Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 5 - Alberi Alberto Montresor Università di Trento This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ or send a letter to Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 94105, USA. 1
Alberi radicati Albero: definizione informale E' un insieme dinamico i cui elementi hanno relazioni di tipo gerarchico Albero: definizione ricorsiva Insieme vuoto di nodi, oppure Una radice T e 0 o più sottoalberi, con la radice di ogni sottoalbero collegata a T da un arco (orientato) T es.: radice T con n sottoalberi T 1 T 2 T n 2
Alberi ordinati Figlio (child) di T T Radice (root) Figlio di T Radice del proprio sottoalbero Nodi interni = Nodi - Foglie Padre (parent) dei nodi j e k Sottoalbero a j k... Nodi fratelli Foglie (leaf) (figli di a) 3
Alberi: definizioni In un albero Profondità di un nodo: la lunghezza del percorso dalla radice al nodo (i.e., numero archi attraversati) Livello: l'insieme dei nodi alla stessa profondità Altezza dell'albero: massimo livello delle sue foglie p=0 p=1 p=2 p=3 Livello 3 Altezza albero: 3 4
Alberi? 5
Alberi? DAG Radice Foresta 5
Alberi: una possibile specifica TREE % Costruisce un nuovo albero, costituito da un solo nodo e contenente v Tree(ITEM v) % Legge il valore ITEM read() % Scrive v nel nodo write(item v) % Restituisce il padre; nil se questo nodo è radice TREE parent() % Restituisce il primo figlio; nil se questo nodo è foglia TREE leftmostchild() % Restituisce il prossimo fratello del nodo a cui è applicato; nil se assente TREE rightsibling() % Inserisce il sottoalbero t come primo figlio di questo nodo insertchild(tree t) precondition: t.parent() = nil % Inserisce il sottoalbero t come successivo fratello di questo nodo insertsibling(tree t) precondition: t.parent() = nil % Distrugge il sottoalbero radicato nel primo figlio di questo nodo deletechild() % Distrugge il sottoalbero radicato nel prossimo fratello di questo nodo deletesibling() 6
Algoritmi di visita degli alberi Visita (o attraversamento) di un albero: Algoritmo per visitare tutti i nodi di un albero In profondità (depth-first search, a scandaglio): DFS Vengono visitati i rami, uno dopo l altro Tre varianti In ampiezza (breadth-first search, a ventaglio): BFS A livelli, partendo dalla radice 7
Visita alberi: in profondità in ordine anticipato (previsita) visitaprofondità(tree t) precondition: t = nil (1) esame anticipato del nodo radice di t TREE u t.leftmostchild() while u = nil do visitaprofondità(u) u u.rightsibling() (2) esame posticipato del nodo radice di t T a b e c d f g Sequenza: a b c d e f g 8
Visita alberi: in profondità in ordine posticipato (postvisita) visitaprofondità(tree t) precondition: t = nil (1) esame anticipato del nodo radice di t TREE u t.leftmostchild() while u = nil do visitaprofondità(u) u u.rightsibling() (2) esame posticipato del nodo radice di t T a b e c d f g Sequenza: c d b f g e a 9
Visita alberi: in profondità in ordine simmetrico (invisita) invisita(tree t) precondition: t = nil TREE u t.leftmostchild() integer k 0 while u = nil and k<ido k k +1 invisita(u) u u.rightsibling() esame simmetrico del nodo t while u = nil do invisita(u) u u.rightsibling() T a b e c d f g Sequenza (i=1): c b d a f e g 10
Visita alberi: in ampiezza visitaampiezza(tree t) precondition: t = nil QUEUE Q Queue() Q.enqueue(t) while not Q.isEmpty() do TREE u Q.dequeue() esame per livelli del nodo u u u.leftmostchild() while u = nil do Q.enqueue(u) u u.rightsibling() T a b e c d f g Sequenza: a b e c d f g 11
Realizzazione con vettore dei figli / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Padre Rischio di sprecare memoria se molti nodi hanno grado minore del grado massimo k. Nodo Array di Figli 12
Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello / / / / / / / / / / / / / / / / Padre Soluzione: usare una lista di figli (fratelli). Nodo Primo Figlio Fratello 13
Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello TREE NODE parent NODE child NODE sibling ITEM value Tree(ITEM v) TREE t new TREE t.value v t.parent t.child t.sibling nil return t insertchild(tree t) t.parent() this t.rightsibling() child child t insertsibling(tree t) t.parent() this t.rightsibling() sibling sibling t % Puntatore al padre % Puntatore al primo figlio % Puntatore al successivo fratello % Valore del nodo % Crea un nuovo nodo % Inserisce t prima dell attuale primo figlio % Inserisce t prima dell attuale fratello 14
Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello deletechild() NODE newchild child.rightsibling() delete(child) child newchild deletesibling() NODE newbrother sibling.rightsibling() delete(sibling) sibling newbrother delete(tree t) NODE u t.leftmostchild() while u = nil do TREE next u.rightsibling() delete(u) u next delete t 15
Realizzazione con vettore dei padri L'albero è rappresentato da un vettore i cui elementi contengono l'indice del padre Esempio: 0 a 1 b 1 e 2 c 2 d 3 f 3 g T a b e c d f g 16
Realizzazione con vettore dei padri TREE integer[]p % Vettore dei padri % Costruisce una foresta con n nodi isolati Tree(integer n) p new integer[1...n] for i 1 to n do p[i] 0 % Restituisce il padre del nodo i; restituisce 0 se i è radice integer parent(integer i) return p[i] % Rende il nodo i un figlio del nodo j setparent(integer i, integer j) p[i] j 17
Alberi binari Definizione Un albero binario è un albero ordinato in cui ogni nodo ha al più due figli e si fa distinzione tra il figlio sinistro ed il figlio destro di un nodo. Nota: due alberi T e U aventi gli stessi nodi, gli stessi figli per ogni nodo e la stessa radice, sono distinti qualora un nodo u sia designato come figlio sinistro di un nodo v in T e come figlio destro del medesimo nodo in U livello 1 1 1 0 2 2 2 1 3 4 3 4 3 4 2 5 5 5 3 T 1 T 2 T 3 18
Alberi binari Figlio sinistro Radice del sottoalbero sinistro Sottoalbero sinistro Radice j.parent() Padre del nodo j (e k) a Figlio destro Radice del sottoalbero destro Sottoalbero destro j k a.left() a.right() 19
Alberi binari: specifica TREE % Restituisce il figlio sinistro (destro) di questo nodo; restituisce nil se assente TREE left() TREE right() % Inserisce il sottoalbero t come figlio sinistro (destro) di questo nodo insertleft(tree t) precondition: t.parent = nil insertright(tree t) precondition: t.parent = nil % Distrugge il sottoalbero sinistro (destro) di questo nodo deleteleft() deleteright() 20
Alberi binari: realizzazione / / / / / / Padre / / / / Figlio Sinistro Figlio Destro Nodo 21
Alberi binari: realizzazione TREE Tree(ITEM v) TREE t = new TREE t.parent nil t.left t.right nil t.value v return t insertleft(tree T ) T.parent this left T insertright(tree T ) T.parent this right T TREE deleteleft() if left = nil then left.deleteleft() left.deleteright() delete left left nil deleteright() if right = nil then right.deleteleft() right.deleteright() delete right right nil Per motivi di spazio, le operazioni parent(), left(), right(), read() e write() non sono mostrate; semplicemente, restituiscono il valore della variabile corrispondente. 22
Alberi binari: visite in profondità visitaprofondità(tree t) if t = nil then (1) esame anticipato del nodo radice di t visitaprofondità(t.left()) (2) esame simmetrico del nodo radice di t visitaprofondità(t.right()) (3) esame posticipato del nodo radice di t 23
Limite inferiore complessità ordinamento Albero delle scelte in algoritmi di ordinamento Sequenze di confronti (a due alternative) rappresentabile come albero binario Nodi interni confronti, foglie soluzioni del problema Percorso radice-foglia: insieme di confronti per individuare una soluzione Limite inferiore ordinamento Sia n la dimensione del vettore Numero di possibili soluzioni: n! Altezza minima albero: log2 n! n/2 log2 n/2 Da cui deriva che qualunque algoritmo di ordinamento richiede Ω(n log n) confronti si a < b no b < c c < b si no si no a,b,c a < c c,b,a a < c si no si no a,c,b c,a,b b,a,c b,c,a Figura 5.8: Albero delle scelte per l ordinamento di tre numeri. 24
Semplici esercizi basati su visite Es. 5.1 - Dato un albero radicato T, calcolare la sua altezza Dato un albero radicato T, calcolare il numero totale di nodi Dato un albero radicato T, stampare tutti i nodi a profondità h 25