Esercizi di Macchine a Fluido

Università degli Studi di Udine Facoltà di Ingegneria Esercizi di Macchine a Fluido a cura di L. Casarsa Esercizi proposti nelle prove scritte dell esame di Macchine I e II modulo dai docenti G.L Arnulfi, P. Giannattasio e P. Pinamonti 1

Esercizi sulle Macchine Motrici Idrauliche 2

SCELTA TURBINA IDRAULICA (Appello del 04.12.2002, esercizio N 1) Testo In una centrale idroelettrica è installata una turbina collegata con un alternatore con p = 22 coppie polari. Il salto geodetico è H g = 14 m e la portata è Q = 70 m 3 /s. La turbina ha un diametro massimo della girante di D g = 3.5 m ed è attraversata da acqua con velocità meridiana uniforme pari a c m = 10 m/s. Supponendo che le perdite nelle tubazioni dell impianto siano di H perdite = 2 m e scegliendo dei valori opportuni per i rendimenti, si determini: tipo di turbina, potenza utile, diametro al mozzo, triangoli di velocità al diametro medio della girante (in particolare calcolare gli angoli palari). Svolgimento Tipo di turbina Per determinare il tipo di turbina è necessario calcolare il numero caratteristico di macchina k definito come: k = ω Q0.5 (gh) 0.75 (1) dove ω è la velocità angolare, Q la portata volumetrica e H il salto netto. Dato il numero di coppie polari dell alternatore collegato alla macchina, è possibile calcolare il numero di giri della turbina: n = 120 f = 136 g/min con f = 50Hz (2) 2p e quindi la velocità angolare ω = 2πn = 14.28 rad/s (3) 60 Il salto netto è invece definito dalla differenza tra il salto geodetico e le perdite nelle tubazioni: H = H g H perdite = 12 m (4) Sostituendo nell equazione 1, si ottiene k = 3.34 che rientra nel campo delle turbina ad elica. Potenza utile La potenza utile P u è data dal prodotto della potenza teorica trasferibile dal fluido alla macchina (P th ) per il rendimento effettivo della macchina, dato dal prodotto dei rendimenti meccanico, volumetrico ed idraulico: P u = P th η e = ρgqh η m η v η id (5) Assumendo 0.98 per il rendimento meccanico e volumetrico e 0.92 come rendimento idraulico, si ottiene P u = 8240 KW. Diametro al mozzo Assunto il rendimento volumetrico, è possibile calcolare la reale portata che attraversa la macchina: Q = Q η v = 68.6 m 3 /s (6) La portata è inoltre calcolabile dall area di passaggio fra le pale della girante e la velocità meridiana, assunta uniforme come da ipotesi: Q = c m π 4 (D2 g D 2 m) (7) 3

dove D g e D m sono i rispettivamente i diametri della girante all estremità e al mozzo. Il diametro al mozzo risulta quindi pari a : D m = Dg 2 4Q = 1.875 m (8) πc m Triangoli di velocità I triangoli di velocità vanno calcolati al diametro medio: D = D g + D m 2 La velocità periferica al diametro medio è espressa da: (9) u = u 1 = u 2 = ω D 2 = 13.39 m/s (10) La componente periferica in ingresso, c 1u è calcolabile dal lavoro idraulico tramite la formula di Eulero (si assume che la velocità in uscita dalla turbina sia assiale): c 1u = gh id u = ghη id u = 8.09 m/s (11) La velocità assoluta in ingresso alla girante è quindi pari a (vedi fig.1): c 1 = c 2 1u + c2 m = 12.86 m/s (12) La componente tangenziale della velocità relativa è calcolabile come segue: w 1u = u c 1u = 5.3 m/s (13) da cui è possibile calcolare direttamente l angolo palare in ingresso: β 1 = arctan c m c 1u = 62.1 (14) La velocità relativa in uscita è data direttamente da (nell ipotesi di flusso assiale, vedi fig. 1): e quindi l angolo palare in uscita è pari a: w 2 = u 2 + c 2 m = 16.71 m/s (15) β 2 = arcsin C m W 2 = 36.8 (16) 4

Figura 1: Triangoli di velocità al diametro medio ella girante ANALISI DIMENSIONALE TURBINE IDRAULICHE (Appello del 22.7.96, esercizio N 1) Testo Due turbine idrauliche simili e funzionanti in condizioni di similitudine fluidodinamica hanno le seguenti caratteristiche: I turbina : n 1 = 250 g/min; H 1 = 20 m; η e1 = 0.87; Q 1 = 25 m 3 /s II turbina : H 2 = 20 m; diametro pari a metà di quello della I turbina Determinare il numero caratteristico di macchina, la potenza utile delle due turbine, la velocità di rotazione e la portata della seconda. Svolgimento Numero caratteristico di macchina É possibile calcolare il numero caratteristico di macchina delle due turbine direttamente dai dati della prima: k = ω Q0.5 = 2.5 (17) (gh) 0.75 Potenza utile delle due turbine La potenza utile è definita come: P e = η e ρgqh Per la prima turbina vale quindi: P e1 = η e1 ρgq 1 H 1 = 4.27 MW (18) Poichè le due turbine simili ammettono lo stesso salto utile e medesimo rendimento effettivo (le due macchine simili lavorano in condizioni di similitudine fluidodinamica), allora vale la seguente relazione fra le potenze utili delle due macchine: P e2 P e1 = Q 2 Q 1 = D2 2 D 2 1 5

Pertanto, la potenza utile della seconda turbina vale: P e2 = P e1 D2 2 D 2 1 = 1.07 MW (19) Velocità di rotazione e portata della seconda turbina Consideriamo la definizione di cifra di potenza: λ = P e ρω 3 D 5 Per le due macchine simili vale: λ 1 = λ 2. Esprimendo la velocità angolare ω in funzione del numero di giri ω = 2πn/60, si ha: P n 2 = n 1 3 e2 D1 5 P e1 D2 5 = 500 g/min (20) La portata della seconda macchina si può ottenere dall eguaglianza delle cifre di flusso ϕ = Q ωd 3 : Q 2 = Q 1 ω2 ω 1 D 3 2 D 3 1 = Q 1 n2 n 1 D 3 2 D 3 1 = 6.25 m 3 /s (21) TURBINA PELTON (Appello 20.03.2003, esercizio N 1) Testo Si consideri una turbina Pelton operante con caduta netta H = 500 m, portata Q = 4 m 3 /s e con due induttori, i = 2. La turbina sia collegata ad un alternatore otto coppie polari, 2p = 16. Ipotizzando un rapporto u/c 1 = 0.48 e scegliendo opportuni valori per i rendimenti/coefficienti di perdita, calcolare: numero caratteristico di macchina, potenza utile, diametro dei getti, diametro medio della girante, triangoli della velocità. Svolgimento Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina k è definito come: Il numero di giri di rotazione della macchina: k = ω Q0.5 (gh) 0.75 (22) n = 120 f 2p = 375 g/min f = 50Hz (23) e quindi la velocità angolare: ω = 2πn = 39.27 rad/s (24) 60 Sostituendo quindi in eq. 22, si ottiene k = 0.134, valore che appartiene al range tipico per le turbine Pelton. 6

Diametro dei getti Il diametro dei getti dei due induttori può essere calcolato dall espressione della portata: Q = i c 1 πd2 4 dove c 1 è la velocità in uscita dall induttore, espressa da: (25) c 1 = ϕ 2gH (26) Assumendo 0.97 come valore per il coefficiente di perdita ϕ, si ottiene c 1 = 96.1 m/s e quindi, dall eq. 25, si calcola d pari a: 4Q d = = 0.163 m (27) c 1 π i Diametro medio della girante Poichè dai dati di macchina risulta che u/c 1 = 0.48, la velocità periferica u vale u = c 1 0.48 = 46.13 m/s. Il diametro medio della girante si ricava dall espressione della velocità periferica: D = 2u ω = 2.349 m (28) Triangoli di velocita Per definire completamente il triangolo di velocità in ingresso rimane da calcolare solo la velocità relativa w 1 (vedi fig. 2): w 1 = c 1 u = 50 m/s (29) La velocità periferica in uscita è calcolabile da quella in ingresso assumendo un opportuno valore per il coefficiente di perdita ψ: w 2 = ψ w 1 = 48 m/s ψ = 0.96 (30) Assumendo che la velocità assoluta in uscita c 2 non abbia componente periferica (c 2u = 0, vedi fig. 2): c 2 = w2 2 u = 13.2 m/s (31) mentre l angolo relativo di uscita: β 2 = arcsin w 2 u = 16.3 (32) Potenza utile La potenza utile è definita dal prodotto della potenza teorica P th trasferibile dal fluido alla macchina per il rendimento effettivo η e dato dal prodotto dei rendimenti idraulico, volumetrico e meccanico: P u = P th η e = ρgqh η id η v η m (33) 7

Trattandosi di una turbina ad azione, il rendimento volumetrico si assume unitario; il rendimento meccanico si stima pari a 0.97, mentre il rendimento idraulico può essere calcolato direttamente dalla sua definizione e dall espressione del salto idraulico secondo Eulero: η i = H id H = u c 1 1 g H Pertanto, la potenza utile risulta pari a P u = 17.13 KW = 0.90 (34) NOTA Per il calcolo della potenza utile, il rendimento idraulico poteva anche essere assunto. Così facendo, la velocità di uscita dagli induttori c 1 doveva essere calcolata non dalla eq. 26 ma dalla definizione del salto idraulico secondo Eulero: H id = u c 1 g = η id H (35) Figura 2: Triangoli di velocità all ingresso (sx) e all uscita (dx) della girante TURBINA FRANCIS (Appello del 04.12.96, esercizio N 1) Testo Effettuare il dimensionamento di massima di una turbina Francis che debba elaborare una portata Q = 21 m 3 /s, fornendo una potenza all albero P e = 40 MW. Disegnare in scala i triangoli di velocità e le sezioni meridiana e trasversale della macchina. Allegati: diagrammi 3-7; tabella 1. Svolgimento La potenza utile all albero è definita come: P e = η e ρghq (36) 8

dove η e è il rendimento effettivo dato dal prodotto del rendimento idraulico η id per quello volumetrico η v e meccanico η m. Assumendo η id = 0.94; η v = 0.98 e η m = 0.95 (η e = 0.875), si può calcolare H dall equazione (36): H = P e = 222 m (37) η e ρgq Dal diagramma in fig. (3) si può quindi determinare il numero di giri caratteristico riferito alla potenza n p = 105. Dalla definizione di n p, esprimendo la potenza utile in CV (P e = 40 MW = 54.348 CV ) si può risalire al numero di giri della turbina: n = n ph 1.25 Pe = 386 g/min (38) La velocità di sincrono inferiore più vicina si ha per 8 coppie polari (2p = 16): n = 120f 2p = 375 g/min f = 50 Hz (39) Il nuovo valore di n p sarà quindi: mentre il numero caratteristico di giri riferito alla portata: n p = n P e = 102 (40) H1.25 n q = nq0.5 = 30 (41) H0.75 valore che appartiene al range tipico delle turbine Francis (20-120). Dal grafico in figura (4) è possibile determinare i diametri della sezione meridiana, essendo i parametri k i definiti come: k i = u i = πd in 2gH 60 (42) 2gH Per la turbina considerata si ottiene: D = D 1 = 2.218 m; D 2 = 1.815 m e D 3 = 1.244 m (vedi fig. 8). Dal grafico in fig. (5) si ricavano gli altri parametri geometrici: B/D = 0.13 B = 0.288 m P/D = 0.105 P = 0.233 m La posizione del punto A si determina dall equazione della portata una volta nota la velocità c 2m I triangoli di velocità vanno calcolati lungo la linea di flusso media. Bisogna quindi prima calcolare i diametri e le velocità medie: D 1 = D + D 1 2 = 2.218 m u 1 = πd 1n 60 = 43.55 m/s D 2 = D 2 + D 3 2 = 1.530 m u 2 = πd 2n 60 = 30 m/s 9

La velocità meridiana in ingresso si calcola direttamente dall espressione della portata, assumendo per il coefficiente di ingombro palare ξ 1 = 0.95: c m1 = η vq πd 1 Bξ 1 = 10.8 m/s (43) In uscita, per porsi nelle condizioni di massimo rendimento della macchina, si assume c 2u = 0, ovvero c 2m = c 2. Dal grafico in fig. (6), noto il valore di n p, si possono determinare le velocità assolute in ingresso e uscita dalla girante: k ce = 0.69 c 1 = k ce 2gH = 45.5 m/s k cu = 0.14 c 2 = k cu 2gH = 9.24 m/s Per il triangolo della velocità in ingresso vale (vedi fig. 20): c u1 = c 2 1 c2 m1 = 44.2 m/s w 1 = c 2 m1 + (c u1 u 1 ) 2 = 10.82 m/s α 1 = arcsin c m1 = 13.7 β 1 = 90 + arccos c m1 = 93.5 c 1 w 1 Per il triangolo in uscita si ha invece: w 2 = u 2 2 + c2 2 = 31.4 m/s β 2 = arctan c 2 = 17.1 u 2 Dal diagramma (7) si valuta il range di variazione del numero di pale della girante Z g : Z gmax = 21; Z gmin = 13. Assumiamo Z g = 17. Il diametro della circonferenza dei perni palari del distributore è: D cp = 1.3D = 2.883 m. Dalla tabella 1, per il valore di D cp in questione, si ha che il numero di pale del distributore è Z d = 24. In fine, è possibile verificare il rendimento idraulico assunto: η id = H id gh = u 1c 1 gh = 0.88 che è un valore troppo basso. Si dovrebbe quindi procedere con una successiva iterazione del dimensionamento utilizzando il valore appena calcolato nell equazione (37). D cp 800mm Z d = 12 D cp = 900 1500mm Z d = 16 D cp = 1500 2400mm Z d = 20 24 D cp 2400mm Z d = 24 Tabella 1: Numero di pale del distributore in funzione del diametro dei perni palari 10

H max 400 300 200 100 0 0 100 200 300 400 n p Figura 3: Caduta massima k i 1.2 1 k 2 k 0.8 k 1 0.6 0.4 k 3 0.2 0 0 100 200 300 400 n p Figura 4: Dimensioni sezione meridiana 11

0.5 0.4 B/D 0.3 0.2 P/D 0.1 0 0 100 200 300 400 n p Figura 5: Dimensioni sezione meridiana 0.8 0.6 0.4 K ce K cu 0.2 0 0 100 200 300 400 n p Figura 6: Velocità specifiche di ingresso e uscita macchina 12

Z g 26 24 Max 22 20 18 16 14 12 Min 10 8 0 100 200 300 400 n p Figura 7: Numero di pale della girante Figura 8: Sezione meridiana 13

TURBINA AD ELICA (Appello del 20.12.01, esercizio N 1) Testo Si esegua il calcolo di una turbina idraulica tipo elica con i seguenti dati funzionali: caduta netta H = 20 m; portata Q = 18 m 3 /S. Scegliendo un opportuna velocità di rotazione si calcolino in particolare la potenza utile, il numero caratteristico di macchina, i diametri esterno e interno della girante e i triangoli di velocità al diametro medio (u, c m, c 1u, β 1, β 2 ). Allegato: diagramma statistico parametri di progetto. Svolgimento Scelta velocità di rotazione Assumiamo che la girante della turbina sia collegata ad un alternatore con otto coppie polari (2p = 16). Il numero di giri della macchina è quindi: n = 120f 2p = 375 g/min f = 50Hz (44) Potenza utile Per calcolare la potenza utile è necessario stimare i valori dei rendimenti: η id = 0.96 η v = 0.99 η m = 0.89 Il rendimento effettivo della macchina risulta quindi pari a: η e = η id η v η m = 0.89 (45) La potenza utile è quindi ora calcolabile attraverso la potenza teorica trasferibile dal fluido alla macchina per il rendimento effettivo: P u = P th η e = ρgqh η e = 3143 KW (46) Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina k è definito come: k = ω Q0.5 2πn = (gh) 0.75 60 Q 0.5 = 3.18 (47) (gh) 0.75 valore che ricade nel range tipico per le turbine ad elica. Diametri di mozzo ed estremità Dal diagramma statistico allegato si possono ricavare i parametri di progetto per il mozzo (k um ) e per l estremità palare (k ug ): k ug = 1.75 u g = k ug 2gH = 34.67 m/s k um = 0.7 u m = k um 2gH = 13.87 m/s 14

Dalle velocità periferiche, noto il numero di giri, è quindi possibile calcolare i diametri: D g = u g 60 πn = 1.766 m D m = u m 60 πn = 0.706 m Triangoli di velocità al diametro medio Per prima cosa, calcoliamo il diametro e la corrispondente velocità periferica: D = D g + D m 2 = 1.236 m u = u 1 = u 2 = πdn = 24.27 m/s 60 Calcoliamo poi le componenti meridiane della velocità assoluta: c m = c m1 = c m2 = 4Qη v π Dg 2 Dm 2 = 8.66 m/s (48) Assumendo che la velocità in assoluta in uscita dalla macchina non assuma componente periferica (c 2u = 0), allora è possibile calcolare la componente periferica della velocità assoluta in ingresso c 1u dall espressione del lavoro idraulico euleriano: c 1u = gh id u Gli angoli palari risultano quindi (vedi fig. 9): = ghη id u = 7.76 m/s (49) c m β 1 = arctan( ) = 19.6 u c 1u β 2 = arctan( c m u ) = 27.7 Figura 9: Triangoli di velocità al diametro medio 15

Figura 10: Diagramma statistico parametri di progetto turbina ad elica 16

Esercizi sulle Macchine Operatrici Idrauliche 17

CAVITAZIONE POMPE (Appello del 06.12.02, esercizio N 1) Testo Una pompa invia una portata Q = 16 dm 3 /s di acqua ad un serbatoio sopraelevato di 8 m. In aspirazione il diametro è d a = 100 mm e la pressione è di p a = 35 KP a; in mandata il diametro è d m = 65 mm e la pressione p m = 250 KP a. La velocità di rotazione è di n = 24.5 g/s. Verificare l eventuale presenza di cavitazione e calcolare le perdite di carico dell impianto. Assumere tensione di vapore pari a p v = 20 KP a. Si consideri inoltre per la pompa σ = 0.242 k 4/3. Svolgimento Verifica cavitazione Lo schema dell impianto è riportato in fig. 11. Per verificare la presenza di cavitazione si devono valutare i rispettivi NPSH della pompa e dell impianto e verificare che: (NP SH) disponibile = (NP SH) impianto > (NP SH) pompa = (NP SH) richiesto L NPSH della pompa si calcola come: dove H m è la prevalenza manometrica: (NP SH) pompa = σ H m (50) H m = z m z a + p m p a ρg + c2 m c 2 a 2g (51) Le velocità in mandata e aspirazione possono essere calcolate dalla formula per la portata: c m = 4Q πd 2 m = 4.82 m/s c a = 4Q πd 2 = 2.04 m/s a Pertanto, dall equazione 51, assumendo z m z a = 0, si ottiene H m = 22.89 m. Per il calcolo di σ è necessario calcolare il numero caratteristico di macchina: k = L NPSH della pompa risulta quindi pari a: ωq0.5 = 0.336 (52) (gh) 0.75 (NP SH) pompa = σ H = 0.242 k 4/3 H = 1.3 m (53) L NPSH dell impianto è invece calcolabile come: La pompa quindi non cavita. (NP SH) impianto = p a ρg + c2 a 2g p v ρg = 1.74 m (54) 18

Perdite di carico dell impianto Essendo i serbatoi di mandata e aspirazione aperti all atmosfera, allora la prevalenza totale H t è definita da: H t = H g + H tubazioni H m dove H g è l altezza geodetica (differenza di quota fra serbatoio di monte e aspirazione, H g = 8 m) e H tubazioni è la perdita di carico nelle tubazioni. Si ottiene quindi: H tubazioni = H m H g = 14.89 m (55) Figura 11: Schema dell impianto 19

POMPA VOLUMETRICA (Appello del 16.07.03, esercizio N 1) Testo Si consideri una pompa a stantuffo bicilindrica con le seguenti caratteristiche funzionali: potenza assorbita P ass = 2500 KW, velocità di rotazione n = 150 g/min, cilindrata totale V c = 25 dm 3, rapporto corsa diametro c/d = 1.4. La pompa aspira acqua da un serbatoio aperto all atmosfera e la manda ad un serbatoio in pressione posto a una quota più elevata di 50 m. Assumendo un valore per il rendimento effettivo di η e = 0.83, per il rendimento volumetrico di η v = 0.95 e per le perdite di carico nelle tubazioni di H tub = 500 m, calcolare: diametro e corsa dei cilindri, velocità media dello stantuffo, portata media fornita, prevalenza manometrica e pressione raggiunta nel serbatoio di mandata. Assumendo un grado di irregolarità dell 8% calcolare il valore del volume medio delle casse d aria. Svolgimento Diametro e corsa dei cilindri La cilindrata unitaria è definita come: V u c = πd2 4 c = πd3 4 ( c D ) = V c 2 Essendo noto il rapporto c/d, il diametro dello stantuffo è pari a: 4V D = u 3 c = 0.225 m (57) π (c/d) (56) e quindi la corsa: c = (c/d) D = 0.315 m (58) Velocità media dello stantuffo La velocità media è calcolabile come: v m = c n 30 = 1.57 m/s (59) Portata media fornita La portata media è definita attraverso la velocità media come segue: dove z è il numero dei cilindri. Q m = z v m πd2 4 η v = 0.0595 m 3 /s (60) Prevalenza manometrica La prevalenza manometrica H m si può calcolare attraverso l espressione della potenza assorbita: H m = P ass η e ρgq = 3555 m (61) 20

Pressione serbatoio di mandata Trascurando le velocità dei peli liberi nei due serbatoi, la prevalenza manometrica H m è uguale alla prevalenza totale H t, definita dalla seguente espressione: H t = H m = p m p a ρg + H g + H tub (62) dove H g è la prevalenza geodetica (dislivello fra il serbatoio di monte e valle, 50 m). La pressione relativa nel serbatoio di mandata sarà quindi pari a (la pressione relativa nel serbatoio di aspirazione è nulla p a = 0): p m = ρg(h m H g tub ) = 29.5 MP a (63) Volume medio cassa d aria Il grado di irregolarità nella cassa d aria è così definito: δ irr = V V mca (64) dove V mca è il volume medio della cassa d aria e V è la variazione di volume ammessa nella cassa d aria. Per una pompa bicilindrica a semplice effetto come quella del caso considerato vale: V = 0.21 V u c = 2.625 10 3 m 3 (65) Pertanto, il volume medio della cassa d aria risulta pari a: V mca = V δ irr = 0.0328 m 3 (66) DIMENSIONAMENTO DI UNA POMPA CENTRIFUGA (Appello del 12.12.02, esercizio N 1) Testo Una pompa trasferisce una portata d acqua pari a Q = 0.04 m 3 /s da un bacino posto a 2 m sotto il livello della pompa ad un altro posto 50 m sopra. I bacini sono aperti all atmosfera. Il diametro delle tubazioni è di d = 150 mm. Le perdite di carico nelle tubazioni siano pari a 17 volte l energia cinetica nelle tubazioni. La pompa ruoti a 1500 g/min. Determinare: prevalenza manometrica della pompa, numero caratteristico di macchina, dimensioni della sezione meridiana e angolo palare in uscita (scegliendo opportuni valori per il rendimento idraulico e volumetrico della pompa). Allegato: diagramma statistico parametri di progetto. Svolgimento Prevalenza manometrica della pompa 21

Nota la portata che la pompa smaltisce e il diametro delle tubazioni, è possibile calcolare la velocità del fluido nei condotti: La perdita di pressione nelle tubazioni è quindi pari a: v t = 4Q = 2.26 m/s (67) πd2 H t = 17 v2 t 2g La prevalenza manometrica fornita dalla pompa risulta quindi pari a: = 4.439 m/s (68) H m = H g + H t = 56.439 m/s (69) dove H g è l altezza geodetica (dislivello totale fra il serbatoio di monte e valle). Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina è definito come: k = ωq0.5 = 0.275 (70) (gh m ) 0.75 Sezione meridiana Per determinare la geometria della sezione meridiana si deve utilizzare il diagramma statistico allegato. Dal valore di k si ricava k u2 = 1 e quindi la velocità periferica in uscita: e quindi il diametro esterno della girante: u 2 = k u2 2gH m = 33.28 m/s (71) D 2 = 2u 2 ω = 60u 2 πn Noto D 2, dal diagramma si ricavano tutte le altre dimensioni: D 1 D 2 = 0.35 D 1 = 0.148 m D 1 D 2 = 0.2 D 1 = 0.085 m b 2 D 2 = 0.02 b 2 = 0.008 m La sezione meridiana è così completamente determinata. = 0.424 m (72) Angolo palare in uscita La velocità meridiana è calcolabile dall espressione della portata, una volata assunti opportuni valori per il rendimento volumetrico e per il coefficiente di ingombro palare. Nell ipotesi di η v = 0.98 e ξ 2 = 0.99: c 2m = Q πd 2 b 2 ξ 2 = Q πd 2 b 2 ξ 2 η v = 3.9 m/s (73) 22

Ipotizzando che la velocità in ingresso non abbia componente periferica (c 1u = 0), e assumendo un opportuno valore per il rendimento idraulico (η v = 0.85),la componente periferica della velocità in uscita si determina direttamente dall espressione euleriana del salto idraulico: c 2u = gh id u 2 = gh id u 2 η id = 19.35 m/s (74) L angolo della velocità relativa in uscita sarà quindi: c 2m β 2 = arctan( ) = 15.5 (75) u 2 2 2u Figura 12: Diagramma statistico parametri di progetto pompa centrifuga 23

POMPA ASSIALE (Appello del 04.09.03, esercizio N 1) Testo Si consideri una pompa assiale con portata d acqua fornita Q = 0.5 m 3 /s e prevalenza manometrica H = 8 m. Utilizzando il diagramma statistico allegato e assumendo valori opportuni per i rendimenti, calcolare la potenza assorbita, la velocità di rotazione, il numero caratteristico di macchina e i diametri interno e esterno della girante. Determinare inoltre i triangoli di velocità (in particolare gli angoli palari di girante e diffusore/raddrizzatore) in corrispondenza del diametro medio. Svolgimento Potenza assorbita La potenza assorbita è definita da: P ass = 1 η e ρgqh (76) Il rendimento effettivo η e si può determinare dal grafico in figura (14), una volta noto il numero caratteristico di giri riferito alla potenza n p. Quest ultimo, è ricavabile dal primo grafico allegato (figura 13) in funzione della prevalenza massima H max. Assumendo H m = H max, si ottiene n p = 920 a cui corrisponde un rendimento effettivo di η e = 0.83. La potenza assorbita vale quindi P ass = 47.23 KW = 64.28 CV. Velocità di rotazione Dalla definizione di n p si ricava: n = n ph 1.25 P 0.5 ass = 1544 g/min con P ass in CV (77) Nota: si può supporre un collegamento diretto della pompa con un motore elettrico a due coppie polari (2p = 4) e scegliere n = 1500 g/min. Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina è definito come: k = ωq0.5 2πn = (gh) 0.75 60 Q 0.5 = 4.34 (78) (gh) 0.75 valore che appartiene al range tipico delle pompe assiali (2 6). Diametri esterno ed interno della girante Dal grafico in figura (13) si ricava anche: Il diametro esterno vale quindi: k ue = 2.5 u e = k ue 2gH = 31.3 m/s b/d e = 0.24 b = 0.24 D e D e = u e 60 πn = 0.387 m (79) 24

e il diametro interno: D i = D e 2b = D e (1 2 0.24) = 0.201 m (80) Triangoli di velocità al diametro medio Il diametro medio vale: D m = D i + D p 2 La velocità periferica al diametro medio: = 0.294 m (81) u 1 = u 2 = u = πn 60 D m = 23.8 m/s (82) La velocità di attraversamento della macchina, assunta costante, si determina dall equazione della portata: c m1 = c m2 = c m = 4Q π(d 2 e D 2 i ) = 4Q η v π(de 2 Di 2 = 6.12 m/s (83) ) assumendo un rendimento volumetrico η v = 0.95. Nell ipotesi di assenza di predistributore (c 1u = 0), la componente periferica della velocità assoluta in uscita è direttamente calcolabile dall espressione del lavoro idraulico secondo Eulero: c 2u = gh id u = gh η id u (84) Se assumiamo un rendimento meccanico pari a η m = 0.97, il rendimento idraulico vale: η id = e quindi dall eq. (84): c 2u = 3.7 m/s. Dai triangoli di velocità in figura (15) si ha: η e η v η m = 0.90 (85) β 1 = arctan( c m u ) = 14.4 (86) c m β 2 = arctan( ) = 16.9 (87) c u c 2u α 2 = arctan( c m c 2u ) = 58.8 (88) 25

Figura 13: Diagramma statistico pompe assiali Figura 14: Rendimento effettivo pompe assiali Figura 15: Triangoli di velocità al diametro medio 26

Esercizi sui Compressori e Ventilatori 27

COMPRESSORE VOLUMETRICO (Appello del 08.06.1998, esercizio N 2) Testo Un compressore alternativo monocilindrico di cilindrata V c = 100 cm 3 e volume nocivo V n = 5 cm 3 è mosso da un motore elettrico a uno coppia polare. Comprime aria dall ambiente (p 1 = p a = 1.013 10 5 P a) a p 3 = 800 KP a. L esponente delle politropiche (sia di compressione che di espansione) è m = 1.3. Il rendimento politropico è η p = 0.97. Calcolare la portata, la potenza assorbita e il rendimento isotermo. Svolgimento Portata La portata di un compressore volumetrico alternativo è definita dalla seguente relazione: ṁ = ρ a V c n 60 λ v (89) dove ρ a è la densità dell aria nelle condizioni di aspirazione (p a = 1.013 10 5 P a; T a = 293 K; ρ a = 1.2 Kg/m 3 ), V c è la cilindrata, n il numero di giri e λ v il coefficiente di riempimento. Poichè il motore elettrico a cui è accoppiato il compressore ha una sola coppia polare, allora n = 3000 g/min. Il coefficiente di riempimento, riferito all espansione politropica, si calcola come: dove ε n è il grado di spazio morto: λ v = V c V 0 V 0 = 1 V 0 V c = 1 (ρ 1/m c 1)ε n = 0.805 (90) ε n = V n V c = 0.05 (91) e ρ c è il rapporto di compressione: La portata quindi vale: ṁ = 4.83 g/s. ρ c = p 3 p 1 = 7.89 (92) Potenza assorbita La potenza assorbita è definita come segue: P ass = nl i 60 η m (93) Per il rendimento meccanico η m assumiamo 0.98, mentre il lavoro interno L i si può calcolare dalla definizione di rendimento politropico: η p = L p L i L i = L p η p Il lavoro politropico L p vale: L p = m m 1 p 1V 1 (ρ 1 1 m c 1) m m 1 p 3V 3 (1 ρ 1 m 1 c ) = 21.57 J/ciclo (94) 28

dove V 3 = V n = 5 cm 3 e V 1 = V c + V n = 105 cm 3. Quindi il lavoro interno: L i = L p η p = 22.23 J/ciclo (95) e la potenza assorbita: P ass = n L i 60 η m = 1134 W (96) Rendimento isotermo Il lavoro isotermo vale: L t = p 1 V 1 ln ρ c p 3 V 3 ln ρ c = 13.7 J/ciclo (97) e quindi il rendimento isotermo: η t = L t L i = 0.61 (98) Figura 16: Ciclo termodinamico nel piano p-v COMPRESSORE ASSIALE (Appello del 29.04.99, esercizio N 2) Testo Uno stadio di compressore assiale (girante seguita da diffusore) riceve aria a p 1 = 1 bar e T 1 = 288 K con velocità assoluta in ingresso girante c 1 = 150 m/s assiale. La velocità periferica della girante al raggio medio è u = 250 m/s, la componente assiale della velocità rimane costante attraverso lo stadio, la deflessione della corrente nelle palette mobili è ε = β 1 β 2 = 15, la velocità in uscita dal diffusore è assiale. All uscita dal diffusore lo spigolo delle palette ha lunghezza radiale l 3 = 0.2 m e il diametro medio è d 3 = 1.3 m Il rendimento politropico dello stadio è η p = 0.85. Determinare i triangoli di velocità al raggio medio e la potenza assorbita dallo stadio. 29

Svolgimento Triangoli di velocità al raggio medio Uno schema dei profili palari al raggio medio e dei corrispondenti triangoli di velocità è riportato in fig. 17. Dai dati forniti risulta: c assiale = c 1 = c a1 = c a2 = c a3 = c 3 È quindi possibile calcolare direttamente la velocità relativa e il corrispondente angolo di flusso (e palare) in ingresso alla girante: w 1 = u 2 + c a1 = u 2 + c 1 = 291.5 m/s (99) β 1 = arctan u c a 1 = arctan u c 1 = 59.04 (100) Data la deflessione imposta al flusso dai palettaggi rotorici, ε, l angolo di uscita dalla girante vale: β 2 = β 1 ε = 44.04 (101) La velocità relativa all uscita della girante è data da: w 2 = c 2a cos β 2 = c 1 cos β 2 = 208.6 m/s (102) La componente periferica della velocità assoluta è invece determinata come segue: c 2u = u w 2u = u w 2 sin β 2 = 105 m/s (103) e quindi l angolo del flusso assoluto vale (angolo palare di ingresso del diffusore): α 2 = arctan c u2 c a2 = arctan c u2 c 1 = 35 (104) La velocità della corrente assoluta è: c 2 = c 22u + c2a2 = c 2 2u + c2 1 = 183.1 m/s (105) In uscita dal diffusore il flusso è assiale per ipotesi e quindi si ha banalmente c 3 = c a3 = c 1 = 150 m/s. Potenza assorbita dallo stadio La potenza assorbita dallo stadio è definita come: P ass = ṁ L i η m (106) dove η m è il rendimento meccanico dello stadio che si può assumere pari a 0.98. Il lavoro interno L i è calcolabile dall espressione di Eulero: L i = u (c 2u c 1u ) = u c 2u = 15.6 KJ/Kg (107) La portata si può invece calcolare all uscita del diffusore dove sono note le dimensioni dei vani palari: ṁ = ξρ 3 c a3 πd 3 l 3 (108) 30

dove ξ è il coefficiente di ingombro palare che qui si assume pari a 0.98. Per calcolare la densità dell aria all uscita dello stadio è necessario conoscere la corrispondente temperatura e pressione. Il lavoro interno L i è anche pari al salto entalpico sull intero stadio, essendo c 1 = c 3 ; quindi: T 3 = T 1 + L i c p = 308.5 K con c p = 1.004 KJ Kg K (109) La pressione all uscita dello stadio si calcola invece attraverso l equazione della trasformazione politropica di compressione nello stadio: La densità risulta quindi pari a: p 3 = p 1 ( T 3 T 1 ) k k 1 ηp = 1.162 bar (110) ρ 3 = p 3 RT 3 = 1.312 Kg/m 3 con R = 287 J/KgK (111) Dall equazione (108) la portata risulta ṁ = 116.4 Kg/s e la potenza assorbita (eq. 106) P ass = 1.910 KW. Figura 17: Triangoli di velocità e profili palari al diametro medio 31