INTRODUZIONE AL GPS 1. Introduzione La determinazione della posizione di un punto con il sistema GPS si basa sulle misure di distanza fra il ricevitore e un certo numero di satelliti. Poichè la posizione nello spazio fisico è individuata da 3 coordinate, è necessario misurare simultaneamente le distanze da almeno 3 satelliti, di cui sia nota la posizione. Poichè inoltre, come si vedrà, è necessario utilizzare le osservazioni per sincronizzare la scala dei tempi del ricevitore con quella dei satelliti, occorre introdurre un incognita tempo accanto alle coordinate del punto nelle equazioni di osservazione, e di conseguenza devono essere almeno 4 i satelliti da cui vanno misurate le distanze. I satelliti, che costituiscono il segmento spaziale del sistema, sono previsti in numero di 24, disposti su 6 orbite circolari con un raggio di circa 26000km (quindi a una distanza dalla superficie terrestre di circa 20000km), corrispondente ad un periodo orbitale di mezzo giorno sidereo (11 ore e 58 minuti). Tali orbite sono inclinate di 55 sull equatore e distanziate di 60 in longitudine (fig.1). In realtà oggi i satelliti presenti sono in numero superiore a 24. I lanci sono iniziati nel 1978. Quelli attualmente in orbita, che fanno parte dei blocchi II e IIA, sono stati lanciati a partire dal 1989. Sono previsti lanci di nuovi blocchi, con caratteristiche tecnologiche aggiornate, per rimpiazzare i satelliti che via via concludono la loro fase attiva. La gestione dell intero sistema è affidata a 5 stazioni a terra, che costituiscono il segmento di controllo. 4 di esse (Hawaii, Ascension, Diego Garcia, Kwajalein) sono nella fascia tropicale, uniformemente distribuite in longitudine attorno al globo; la quinta (Colorado Springs, negli Stati Uniti) svolge funzioni di coordinamento centrale dell intero sistema (fig.2). La loro funzione consiste nella raccolta dei dati per la determinazione delle orbite dei satelliti, la loro elorazione e la loro memorizzazione sui satelliti stessi, insieme con altre informazioni da trasmettere ai ricevitori a terra, la correzione delle orbite, quando queste si discostano troppo dalle orbite nominali, il controllo della scala dei tempi sugli orologi a bordo dei satelliti. Le stazioni riceventi a terra, che costituiscono il segmento di utilizzo, ricevono dai satelliti un segnale elettromagnetico che, oltre a consentire di misurare la distanza, contiene tutte le informazioni sulla posizione e sullo stato del satellite che permettono di elorare le misure per ricavare la posizione del ricevitore. Inizialmente il sistema GPS è stato concepito essenzialmente per scopi militari; la sua funzione principale era di assistere la navigazione, ossia di consentire a un veicolo in movimento la determinazione della propria posizione in tempo reale con l accuratezza di un centinaio di metri. Successivamente sono state sviluppate tecniche di elorazione dei segnali ricevuti che consentono di determinare con accuratezza sub-centimetrica, sia pure non in tempo reale, il vettore congiungente due diverse stazioni in posizione fissa che ricevono contemporaneamente segnali GPS. Negli ultimi tempi si stanno sviluppando tecniche per la determinazione precisa e in tempo reale delle posizioni di stazioni in movimento. 2. Il segnale GPS Il segnale elettromagnetico inviato dai satelliti GPS è costituito da due onde portanti sinusoidali, indicate con L1 e L2, con frequenze f 1 =1575.42MHz e f 2 =1227.60MHz, corrispondenti a 154 e 120 volte la frequenza fondamentale dell oscillatore a bordo dei satelliti, che è f 0 = 10.23MHz. Le lunghezze d onda di L1 e L2, ricavate dalla formula λ = c/f, dove c 3 10 8 m/sec, sono rispettivamente di circa 19cm e 24cm. Le informazioni sono trasmesse sotto forma di modulazioni delle onde portanti. Fra i ricevitori in commercio, i più semplici (monofrequenza) ricevono soltanto la frequenza L1; i ricevitori bifrequenza sono naturalmente più costosi e sono essenziali per rilievi di alta precisione. L espressione analitica di un onda sinusoidale in funzione del tempo ha la forma y(t) = A cos(ωt + φ), dove φ è la fase e A un ampiezza costante; una modulazione di ampiezza appare come un fattore moltiplicativo dipendente dal tempo, per cui l espressione di un onda modulata è y(t) = B(t)cos(ωt + φ). Di particolare interesse per lo studio del GPS è il caso in cui B(t) è una funzione costante a tratti che assume 1
i valori +1 e -1 (fig.3). Nei punti in cui B(t) cambia il suo valore si ha un cambiamento di segno di y(t), corrispondente ad un cambiamento di fase di 180 (fig.4). Modulazioni di questo tipo sono introdotte nel segnale usato per la misura della distanza. Più precisamente, sono presenti due distinte modulazioni, in cui la sequenza di +1 e -1 è definita da codici pseudo-random, che debbono essere conosciuti dai ricevitori per poter eseguire la misura. Nel codice detto C/A (coarse acquisition), che modula la portante L1 ed è di pubblico dominio, la sequenza pseudocasuale di +1 e -1 ha frequenza f 0 /10, pari a circa 1MHz (corrispondente ad una lunghezza d onda di circa 300m), e si ripete ogni millisecondo. Il codice C/A è diverso da satellite a satellite, ed è quindi utilizzato anche come segnale identificativo. Il codice detto P (precision) ha una sequenza pseudocasuale di frequenza f 0 (corrispondente ad una lunghezza d onda di circa 30m) e si ripete ogni circa 267 giorni; modula sia una componente della portante L1 sfasata di π/2, sia la portante L2. Per fare in modo che questo codice sia riservato esclusivamente all uso militare, esso viene criptato con il codice W, dando luogo al codice Y. A questi codici si aggiunge il cosiddetto messaggio D, di frequenza 50Hz, che contiene informazioni sulla posizione e sullo stato di salute dei satelliti. Il segnale GPS può quindi essere espresso nella forma S(t) = A C C(t)D(t) sin(2πf 1 t + φ 1 ) + A P P (t)d(t) cos(2πf 1 t + φ 1 ) + A P P (t)d(t) cos(2πf 2 t + φ 2 ) (1) dove C(t) rappresenta il codice C/A, P (t) il codice P, D(t) il messaggio; A C, A P sono le ampiezze, f 1, f 2, φ 1, φ 2 le frequenze e le fasi di L1 e L2. Si noti che il codice C/A modula soltanto la frequenza L1, e che le portanti L1 modulate dai due diversi codici sono sfasate di π/2. Se τ è il tempo di percorrenza del segnale dal satellite al ricevitore, il segnale ricevuto al tempo t è S r (t) = S(t τ). Il ricevitore determina τ, da cui si può ricavare la distanza fra satellite e ricevitore, d = cτ. L espressione della distanza fra l i-esimo ricevitore e il k-esimo satellite in funzione delle loro coordinate è d k i = [(x k x i ) 2 + (y k y i ) 2 + (z k z i ) 2 ] 1/2 (2) dove la posizione del satellite è riferita all istante di emissione, quella del ricevitore all istante di ricezione. Il metodo per la determinazione di τ è sostanzialmente simile a quello usato nei distanziometri terrestri, e si basa sulla determinazione dello sfasamento fra S(t) e S r (t) (fig.5). C è però una differenza sostanziale: mentre nei distanziometri terrestri il segnale segue un percorso di andata e ritorno, e generatore e ricevitore sono parti di uno stesso strumento, nel GPS il segnale segue un percorso di sola andata dal satellite al ricevitore a terra, e quindi il ricevitore deve essere in grado di produrre una copia del segnale inviato per poterlo confrontare con il segnale ricevuto. E quindi necessario che la scala dei tempi del ricevitore sia sincronizzata con quella del satellite. Si osservi che un errore di sincronizzazione di 10 9 sec comporta un errore di 30cm nella misura della distanza. La misura eseguita utilizzando il segnale modulato dai codici C/A e P è detta pseudo-range. Poichè il ricevitore deve essere in grado di riprodurre una copia del segnale, il codice deve essere noto. L accuratezza con cui è possibile rilevare lo sfasamento fra il segnale ricevuto e quello prodotto è stimata dell ordine di 1/100 della lunghezza d onda caratteristica, quindi 3m per il codice C/A e 30cm per il codice P. Come si è detto, il periodo del codice C/A è 1msec, corrispondente ad una lunghezza di 300km. Di conseguenza, l errore commesso utilizzando nella misura una copia sbagliata del codice è molto maggiore dell incertezza a priori sulla posizione del ricevitore, e non c è quindi rischio di ambiguità; l argomento vale a maggior ragione per il codice P. Per misure di alta precisione è possibile utilizzare la differenza di fase delle portanti che, come si è visto, hanno una lunghezza d onda dell ordine di 20cm, e consentono quindi un accuratezza molto più elevata nella determinazione della differenza di fase, dell ordine di 2mm (ma, come si vedrà più avanti, il contributo 2
più grande all incertezza della misura non viene da questo errore casuale, ma dai ben più rilevanti errori sistematici). Nelle misure di differenza di fase si pone il problema dell ambiguità, dato che la lunghezza d onda è molto più piccola dell incertezza a priori sulla distanza misurata. Quindi, per determinare la distanza non basta conoscere la parte frazionaria dello sfasamento, ma occorre anche conoscere il numero intero di lunghezze d onda. Il numero intero di cicli prodotti fra l emissione e la ricezione del segnale è dell ordine di 10 8, e deve essere noto esattamente se si vuole conoscere la posizione con precisione centimetrica. Il problema può essere risolto sfruttando il fatto che, per tutto il tempo del collegamento del ricevitore con un satellite, viene tenuta memoria della variazione del numero intero di lunghezze d onda (che non è costante, dato che la distanza fra satellite e ricevitore varia nel tempo), anche se le acquisizioni dei dati vengono fatte a tempi discreti (ad esempio, ogni secondo, ogni 5sec, ogni 30sec, a seconda delle condizioni operative); l unica quantità incognita è quindi l ambiguità iniziale. E pertanto possibile utilizzare la ridondanza delle osservazioni durante una sessione per stimare il numero intero di lunghezze d onda all istante iniziale, ad esempio con il metodo dei minimi quadrati. E da notare che il risultato di questa procedura di stima non è in generale un numero intero e l algoritmo di stima deve quindi prevedere anche una procedura per la scelta di un numero intero (la scelta più immediata è quella dell intero più vicino). Bisogna tener presente che in ogni caso, a causa degli errori nelle misure, il risultato è stocastico, e presenta un incertezza che diminuisce con l aumentare della ridondanza, e quindi con la durata della sessione. Se il valore intero ottenuto viene trattato come se fosse una quantità deterministica fissata, si ha alla fine una sottostima degli errori quadratici medi delle coordinate del punto. E chiaro da quanto visto sopra che l osservazione della differenza di fase non consente la determinazione istantanea della posizione, e non è quindi adatta all uso del GPS per navigazione. Per la sua elevata accuratezza è invece adatta per il posizionamento di alta precisione, con lunghe sessioni di osservazione e post-processing dei dati. Bisogna inoltre tener presente che durante una sessione ci possono essere interruzioni fortuite del collegamento fra ricevitore e satellite, dovute a presenza di ostacoli o a difetti di trasmissione. In questo caso si ha un interruzione nel conteggio del numero intero di lunghezze d onda (cycle slip) e la procedura di stima dell ambiguità deve essere ricominciata da capo. 3. Gli errori sistematici Si è accennato sopra all errore casuale dovuto a imprecisioni nella determinazione dello sfasamento fra segnale ricevuto e segnale riprodotto. A questo si aggiungono errori sistematici dovuti all inaccurata conoscenza della posizione dei satelliti, a difetti di sincronizzazione fra gli orologi, a perturbazioni nella propagazione e nella ricezione del segnale. L entità di questi errori può essere molto superiore a quella degli errori casuali; per questo sono stati studiati attentamente, per cercare di modellizzarli al meglio. Non è però possibile stimare i loro effetti ad un livello soddisfacente per una determinazione di precisione centimetrica della posizione di un singolo punto. Come si vedrà più avanti, è tuttavia possibile utilizzare come osservili differenze fra distanze per la determinazione dei vettori congiungenti due stazioni che acquisiscono contemporaneamente (baselines). Poichè nel fare le differenze diversi errori si cancellano o si riducono di molto, la determinazione delle baselines risulta molto più accurata del posizionamento di un singolo punto. Per questo è importante poter fare stazione su punti di cui sia nota la posizione precisa, come i vertici della rete IGM95, o, in prospettiva, le stazioni permanenti. Come si è detto, la posizione del satellite è comunicata all utilizzatore mediante un messaggio contenuto nel segnale. Si è già visto che le orbite sono approssimativamente circolari; tuttavia esse si discostano da quelle previste dalle leggi di Keplero in primo luogo perchè il campo di gravità della terra non è esattamente a simmetria sferica, a causa delle irregolarità nella distribuzione delle masse, in secondo luogo perchè alla gravità si sommano forze non gravitazionali (la più rilevante è la pressione di radiazione, dovuta alla luce proveniente direttamente dal sole o riflessa dalla terra). Queste perturbazioni, pur essendo piccole, fanno sì che l orbita reale si discosti da quella kepleriana di una quantità rilevante e crescente nel tempo. La loro modellizzazione, necessaria per il calcolo dell orbita mediante soluzione numerica delle equazioni del moto, eseguita dal segmento di controllo e trasmessa ai satelliti, dipende da un certo numero di parametri 3
che possono essere stimati sulla base delle osservazioni dei satelliti stessi. Poichè queste orbite calcolate sono ancora affette da errori crescenti nel tempo, è necessario aggiornare continuamente (ad esempio, ogni giorno) la soluzione, utilizzando le osservazioni immediatamente precedenti. Gli errori su queste soluzioni possono essere dell ordine del centinaio di metri. Un accuratezza più elevata (errori dell ordine del metro sulla posizione del satellite) può essere ottenuta utilizzando, anzichè le orbite trasmesse dai satelliti, orbite calcolate sulla base di osservazioni eseguite nello stesso intervallo di tempo, adottando quindi una procedura di interpolazione anzichè di predizione, reperibili via Internet. Naturalmente questi dati non sono utilizzili per il posizionamento in tempo reale. Per avere un idea dell effetto dell errore d orbita sulle baselines, si può fare riferimento alla regola empirica δr/r = δb/b, dove r è la distanza fra satellite e stazione e b è la lunghezza della baseline; quindi, ad esempio, su una base di 20km l errore è dell ordine di 1/1000 dell errore d orbita. Per quanto riguarda gli errori dovuti alla sincronizzazione fra gli orologi, va detto che il sistema GPS adotta una sua scala dei tempi, e fornisce informazioni sulla sincronizzazione degli orologi dei satelliti rispetto a questa scala; inoltre, una stima dell errore di sincronizzazione dell orologio del ricevitore rispetto alla scala dei tempi GPS viene, come si è già accennato, dalla ridondanza delle osservazioni eseguite contemporaneamente dalla stazione. E anche importante tenere conto dell instilità degli orologi, e della deriva che ne consegue, di maggior entità per gli orologi al quarzo, più contenuta per gli orologi atomici (quelli al cesio sono più stili di quelli al rubidio). Il tempo di percorrenza del segnale fra satellite e ricevitore viene alterato dal fatto che la velocità della luce varia nell attraversamento dei diversi strati dell atmosfera. Occorre distinguere fra la ionosfera, che è al di sopra dei 40-50km di altezza, in cui la radiazione elettromagnetica interagisce con elettroni liberi, e la troposfera, ad altezza inferiore, in cui sono presenti atomi e molecole neutre. Va inoltre osservato che l errore dovuto all attraversamento dell atmosfera è più rilevante, ovviamente, se il satellite è basso sull orizzonte, tanto che, in generale, le osservazioni al di sotto dei 15 vengono considerate inaffidili e scartate. Gli stessi ricevitori possono essere tarati in modo da registrare soltanto osservazioni di satelliti la cui altezza sull orizzonte supera un dato valore. L errore ionosferico è variile nel tempo a causa di variazioni di densità degli elettroni liberi dovute per esempio all attività solare, e dipende dalla lunghezza d onda della radiazione incidente. Più precisamente, la variazione del tempo di percorrenza è approssimativamente proporzionale all inverso del quadrato della frequenza; di conseguenza, confrontando i risultati ottenuti con L1 e L2, è possibile stimare l entità dell effetto, e anche costruire una combinazione delle due osservazioni che non è affetta dall errore. Per questa ragione per rilievi di alta precisione è essenziale disporre di ricevitori bifrequenza. L errore troposferico, al contrario, è indipendente dalla frequenza, ed è costituito da due termini, le cosiddette componenti secca e umida. In particolare, il termine umido dipende dalla quantità di vapore acqueo contenuto nell atmosfera, ed è difficilmente stimile a causa della difficoltà di avere informazioni accurate sull umidità atmosferica, che è rapidamente variile sia con la quota sia con la posizione planimetrica. Per questa ragione l errore troposferico costituisce il limite principale all accuratezza delle determinazioni GPS di alta precisione. Infine, altri errori possono avere origine dalle condizioni di ricezione del segnale. L errore di multipath è dovuto al fatto che il segnale può giungere al ricevitore non solo per via diretta, ma anche dopo riflessione su superfici presenti nelle vicinanze. Inoltre sono possibili interferenze di altri segnali elettromagnetici nella stessa banda di frequenze. Questi inconvenienti possono essere evitati con un accurata scelta del sito per la messa in stazione dello strumento; a volte anche piccoli spostamenti possono modificare significativamente la qualità del segnale. Si riportano qui di seguito alcune formule relative alle osservili GPS, in cui è esplicitato il contributo degli errori sistematici. Si indica con t (k) il tempo misurato dall orologio del k-esimo satellite, con t (i) il tempo misurato dall orologio dell i-esimo ricevitore, con t GP S il tempo riferito alla scala dei tempi del sistema GPS. 4
t (k) = t GP S + δt (k) t (i) = t GP S + δt (i) (3) Se il segnale è inviato al tempo t GP S,1 ed è ricevuto al tempo t GP S,2, il tempo di trasmissione è t GP S = t GP S,2 t GP S,1. All istante dell invio il tempo indicato dall orologio del satellite è t (k),1 = t GP S,1 + δt (k) ; all istante della ricezione il tempo indicato dall orologio del ricevitore è t (i),2 = t GP S,2 + δt (i). Il tempo di trasmissione determinato dalla stazione è τ = t (i),2 t (k),1 = t GP S + δt (i) δt (k). Lo pseudo-range è quindi p k i = cτ = c t GP S + cδt (i) cδt (k) (4) A sua volta, c t GP S non rappresenta esattamente la distanza da misurare, dato che l attraversamento della ionosfera e della troposfera modifica la velocità del segnale. In ultima analisi, l equazione di osservazione per lo pseudo-range si può scrivere p k i = d k i + d ion + d trop + cδt (i) cδt (k) + ɛ + ν (5) dove con ɛ sono indicati errori sistematici dovuti al moto del satellite e alle condizioni di ricezione e con ν il rumore di osservazione (errori casuali a media nulla). Se vengono osservati gli sfasamenti ψ (misurati in cicli: il valore iniziale di ψ è compreso fra 0 e 1), la distanza che risulta dalla misura è (ψ + N)c/f, dove N è l ambiguità iniziale del numero intero di cicli, f è la frequenza del segnale. Quindi ψ k i = d k i f c + ψ ion + ψ trop + fδt (i) fδt (k) N k i + ɛ + ν (6) 4. L uso di osservazioni differenziate Si è già accennato al fatto che, usando come osservili differenze fra distanze misurate, gli errori sistematici possono essere cancellati o significativamente ridotti. Ad esempio, l errore dell orologio del ricevitore è cancellato nella differenza delle distanze misurate fra una singola stazione e due diversi satelliti; se uno stesso satellite viene osservato da due stazioni vicine (fig.6), in modo che i percorsi del segnale attraversano porzioni di atmosfera vicine fra loro, è presumibile che gli errori atmosferici siano fra loro non molto diversi e si cancellino quasi completamente nell eseguire la differenza. Si è anche detto che le osservazioni differenziate, quando riguardano stazioni diverse, vengono utilizzate per determinare le baselines. Infatti la differenziazione produce in ogni caso una perdita di informazione, e si può provare che l uso di osservazioni differenziate per determinare la posizione assoluta di un singolo punto è, se non impossibile, tale in ogni caso da causare inaccettili amplificazioni degli errori di osservazione, che cancellano il vantaggio della riduzione degli errori sistematici; questo problema non si presenta, al contrario, nelle determinazioni delle baselines. I vantaggi nella cancellazione degli errori che si ottengono differenziando da un lato osservazioni da una stessa stazione, dall altro osservazioni di uno stesso satellite, possono essere combinati costruendo differenze doppie, ossia differenze delle differenze relative ad una stessa coppia di stazioni e a due distinti satelliti (o, equivalentemente, ad una stessa coppia di satelliti e a due distinte stazioni)(fig.7). In effetti, le differenze doppie delle misure di sfasamento sulla portante sono le quantità normalmente utilizzate per il posizionamento relativo (determinazione delle baselines) di alta precisione. Si è visto che gli sfasamenti della portante misurati nel corso di una sessione tengono memoria della variazione del numero intero di cicli e che l incognita da determinare è unicamente il numero intero di cicli all istante iniziale. Quando si presenta un cycle slip, questa memoria si perde, e si ha una discontinuità dello sfasamento 5
misurato. Questa discontinuità ovviamente si mantiene quando si fanno le differenze, se il cycle slip si manifesta su uno solo degli sfasamenti misurati. In particolare, nelle differenze doppie, che sono funzioni lentamente variili nel tempo, il cycle slip si evidenzia chiaramente come un gradino in una funzione liscia. Se si eseguono differenze fra le differenze doppie degli sfasamenti relativi ad una stessa coppia di stazioni e ad una stella coppia di satelliti ad istanti diversi, t 1 e t 2, con t 2 > t 1, separati da un intervallo di tempo costante τ, si ottengono le differenze triple (fig.8), in cui, se nell intervallo fra t 1 e t 2 non si verifica alcun cycle slip, si cancella l incognita del numero intero di cicli. Se si osserva una differenza tripla nel corso di una sessione, un cycle slip al tempo t dà luogo ad una discontinuità per t 2 = t e ad una discontinuità di segno opposto per t 1 = t. Il cycle slip si presenta quindi come un picco nel segnale che può essere facilmente evidenziato da un analisi automatica dei dati. Vengono qui riportate le espressioni esplicite dei vari tipi di differenze di misure di fase: - Differenze singole di osservazioni simultanee di due ricevitori su uno stesso satellite: ψ i jk = ψ i k ψ i j (7) - Differenze singole di osservazioni simultanee di due satelliti distinti da parte di una stessa stazione: - Differenze doppie (due satelliti e due stazioni): ψ jk i = ψ k i ψ j i (8) ψ hk ij = ψ k ij ψ h ij = ψ hk j - Differenze triple (differenze fra differenze doppie ad epoche diverse): ψ hk i (9) δ ψ hk ij (t 1, t 2 ) = ψ hk ij (t 2 ) ψ hk ij (t 1 ) (10) 5. Il sistema di riferimento Le posizioni determinate con il GPS sono espresse in un sistema di riferimento solidale con la terra denominato WGS84 (World Geodetic System 1984). Vengono fornite coordinate cartesiane riferite ad una terna di assi geocentrica (ossia con l origine nel centro di massa della terra) con l asse z nella direzione dell asse convenzionale di rotazione e l asse x diretto verso il meridiano di Greenwich. Queste possono essere facilmente trasformate in coordinate geografiche φ, λ, h riferite ad un ellissoide geocentrico di parametri geometrici noti a, f (GRS80: Geodetic Reference System 1980). In realtà il sistema di riferimento è definito dal fatto che le posizioni di un certo numero di stazioni sono considerate note; esso subisce piccole variazioni nel tempo, dovute a movimenti crostali. Nell ultimo decennio sono state istituite reti di stazioni permanenti GPS, che acquisiscono dati in continuo, elorati da appositi organismi internazionali. Annualmente vengono fornite stime aggiornate delle posizioni delle stazioni che definiscono il sistema di riferimento e della loro velocità di variazione. Attualmente in Italia sono attive circa dieci stazioni permanenti gestite dal Centro di Geodesia Spaziale dell ASI (Agenzia Spaziale Italiana), ed è prevista l istituzione di nuove stazioni nel prossimo futuro. Inoltre, l Istituto Geografico Militare ha istituito la rete IGM95 (fig.9), costituita di circa 1200 vertici, uniformemente distribuiti su tutto il territorio nazionale, con distanze dell ordine di 20km, di cui sono note le coordinate determinate con il GPS. E quindi possibile, facendo stazione su questi vertici, determinare delle baselines che possono poi essere utilizzate per calcolare, partendo dalle posizioni note dei vertici IGM95, le coordinate di altri punti di stazione. 6
Inoltre, l IGM fornisce, insieme con le coordinate dei vertici IGM95, i parametri delle trasformazioni (rototraslazioni con variazione di scala) necessarie per ricavare le coordinate geodetiche nel sistema di riferimento Roma40, che sono la base per il calcolo delle coordinate cartografiche Gauss-Boaga. A causa delle deformazioni presenti nella rete Roma40, questi parametri sono in generale diversi da punto a punto, e la loro applicilità è limitata ad una piccola area intorno a ciascun vertice. Naturalmente l unione di queste aree ricopre l intero territorio; se un punto appartiene a più di una di queste aree, l applicazione dei diversi insiemi di parametri ammissibili comporta scarti inferiori alle tolleranze normalmente accettate. 6. GPS differenziale Con la sigla DGPS (GPS differenziale) si indica quella modalità di posizionamento puntuale che si avvale della stima degli errori eseguita da una stazione posta nelle vicinanze la cui posizione è nota. Infatti, se la posizione di una certa stazione è nota, si può calcolare la sua distanza dai satelliti GPS, e, sottraendo da essa la distanza osservata, si ottiene l errore di osservazione, che, come si è visto, è somma degli errori orbitali, degli errori di orologio dei satelliti e delle stazioni e degli errori nella propagazione del segnale. Se la stazione di cui si vuole determinare la posizione è posta nelle vicinanze, e osserva lo stesso satellite nello stesso istante, si può assumere che gli errori di propagazione non siano molto differenti, e gli errori dovuti al satellite sono identici. L errore stimato per la prima stazione può quindi essere applicato anche alla seconda, e solo l errore di orologio delle stazioni deve essere trattato a parte. Questa procedura di correzione può essere applicata sia ad osservazioni di codice sia di fase. Le informazioni dalla stazione di riferimento possono essere acquisite in tempo reale via radio o tramite telefono cellulare, e sono standardizzate secondo un protocollo internazionale indicato con la sigla RTCM. Si noti che il DGPS consente il posizionamento puntuale, e comporta un trattamento dei dati differente da quello usato per determinare le baselines con le osservazioni di differenze di distanze. Concettualmente, tuttavia, le due procedure non sono molto dissimili: in ogni caso, per ottenere una sensibile riduzione dell errore, è necessario che sia nota la posizione di un altra stazione non molto distante. 7. GPS cinematico L uso del GPS per la navigazione, basato sul posizionamento puntuale in tempo reale con misure di codice, non è sufficientemente accurato per essere adottato su un veicolo terrestre che si muove su un sistema stradale. Per questa ragione l applicazione del GPS ai veicoli terrestri si è sviluppata soltanto in tempi recenti, utilizzando anche le misure di fase e i metodi differenziali, sia DGPS sia misure differenziate. Si assume quindi che sia disponibile nelle vicinanze una stazione di posizione nota, e, per il posizionamento in tempo reale (RTK, real time kinematics), è necessario poter ricevere i dati relativi alle osservazioni di questa stazione via radio o mediante telefono cellulare; sono stati istituiti servizi di trasmissione basati su satelliti di telecomunicazioni. In Italia non è ancora disponibile un servizio di trasmissione funzionante su tutto il territorio; nell Italia settentrionale è possibile utilizzare servizi forniti da paesi confinanti. La possibilità di utilizzare misure di fase, come si è visto, è legata alla determinazione dell ambiguità del numero intero di cicli. Nel caso che la misura venga eseguita per una posizione fissa, si sfrutta il fatto che, nel corso di una sessione di misura, viene eseguito un numero elevato di misure riferite tutte alla stessa posizione della stazione ed allo stesso valore dell ambiguità iniziale, mentre i satelliti si muovono nel tempo. Se invece la stazione è in movimento, le incognite di posizione sono diverse ad ogni misura. Questo non esclude che si possa avere ridondanza, dato che ad ogni nuova misura si aggiungono 3 coordinate incognite, ma i satelliti osservati sono in generale 4 o più. Tuttavia è necessario, specialmente se si è interessati al posizionamento in tempo reale, che la determinazione dell ambiguità sia fatta nel tempo più breve possibile. Nell uso cinematico del GPS si richiedono osservazioni eseguite ad intervalli molto brevi, ad esempio 1sec, mentre nel caso di una stazione fissa sono preferibili intervalli maggiori, ad esempio 30sec, con stazionamento più lungo, in modo da ottenere differenze maggiori nelle configurazioni della costellazione dei satelliti durante 7
la sessione. Nelle prime applicazioni del GPS cinematico differenziale (ad esempio, l uso del GPS a bordo di un aereo che esegue riprese fotogrammetriche, in modo da ridurre la necessità di punti di appoggio a terra), la determinazione dell ambiguità (inizializzazione) veniva effettuata mantenendo fissa la stazione; questa procedura richiedeva però che durante il moto non ci fossero cycle-slips. Questa condizione si verifica difficilmente nel caso del moto di un veicolo a terra in ambiente urbano, dove sono continuamente presenti ostacoli alla visibilità della volta celeste. Diventa dunque disagevole (quando non impossibile, come nel moto di un aereo) fermare il veicolo per l inizializzazione ogni volta che si verifica un cycle-slip. Sono stati elorati algoritmi (indicati con la sigla OTF, on the fly) che, utilizzando contemporaneamente misure di fase e di codice e adottando metodi di stima di tipo sequenziale, consentono la stima dell ambiguità iniziale con un numero molto piccolo di misure, e quindi con un ritardo molto breve. Nelle applicazioni più avanzate il ricevitore GPS viene integrato da un sistema INS (inerziale) in grado di misurare le accelerazioni, e di ricostruire quindi il moto negli intervalli di interruzione della ricezione GPS. Si tratta però di apparecchiature molto costose, la cui utilizzazione è ancora in fase sperimentale. L accuratezza raggiungibile nel GPS cinematico è senz altro inferiore al metro e può raggiungere pochi cm. Non è certamente paragonile all accuratezza del posizionamento di una stazione fissa con stazionamento di lunga durata, ma è senz altro di gran lunga migliore di quella del posizionamento puntuale, ed è sufficiente per la maggior parte delle applicazioni pratiche. La modalità cinematica (ossia con il ricevitore acceso durante gli spostamenti) viene spesso utilizzata anche per rilievi speditivi su piccole aree, con brevi stazionamenti nei vertici da rilevare. 8. Reti GPS Come si è già accennato, la determinazione precisa della posizione delle stazioni GPS richiede lo stazionamento per un periodo di tempo bastanza lungo (anche diverse ore), per avere un ampia ridondanza di dati indipendenti, relativi a configurazioni di satelliti molto diverse. Inoltre, poichè l accuratezza elevata si ottiene sulle baselines e non nella determinazione puntuale della posizione, è necessario che almeno due ricevitori acquisiscano contemporaneamente e che uno almeno sia stazionato in un punto noto; quest ultimo può essere il sito di una stazione permanente, nel qual caso il ricevitore è già installato e i dati possono essere acquisiti via rete, oppure un vertice della rete IGM95, che è individuato da un caposaldo su cui l operatore deve mettere in stazione un suo strumento, le cui coordinate sono fornite a pagamento dall IGM. Si ottiene un livello maggiore di accuratezza usando strumenti bifrequenza, che consentono la correzione dell errore ionosferico. Disponendo di più di due ricevitori, è possibile determinare più di una baseline per ogni sessione. Va però osservato che tutte le misure di baselines uscenti da un vertice utilizzano gli stessi dati relativi a quel vertice, e non sono quindi fra loro indipendenti. Occupando n vertici in una sessione è possibile determinare soltanto n 1 basi (algebricamente) indipendenti; le misure delle altre basi, che utilizzano gli stessi dati relativi a ciascun vertice, sono completamente determinate dalle misure delle n 1 basi indipendenti, e non possono quindi essere utilizzate in una compensazione di rete come misure ridondanti. Inoltre, due basi aventi un vertice comune, anche se sono algebricamente indipendenti, sono statisticamente correlate, poichè usano gli stessi dati relativi al vertice comune. L elorazione dei dati può essere fatta separatamente per ciascuna delle baselines, oppure, utilizzando i programmi di elorazione più avanzati, anche in modalità multibase, con cui tutte le baselines indipendenti di una sessione vengono trattate simultaneamente. Soltanto con quest ultima procedura si possono ottenere le correlazioni fra le diverse basi. Per compensare una rete è quindi necessario eseguire più sessioni di misure, spostando i ricevitori in maniera da ottenere le ridondanze necessarie. I dati di ingresso della compensazione sono le componenti cartesiane delle baselines, e la ridondanza ha origine dal fatto che le somme dei lati di poligonali chiuse devono avere componenti nulle. La procedura di compensazione, quindi, è simile a quella per le reti altimetriche, e se ne 8
differenzia soltanto per il fatto che ogni lato ha 3 componenti. Dal punto di vista della scelta della forma ottimale della rete e delle baselines da misurare in ogni sessione, va osservato che, poichè le quantità misurate sono le distanze dai satelliti, la geometria complessiva della rete comprende anche i satelliti, e i criteri di ottimalità sono quindi diversi da quelli che si seguono quando le misure sono fatte con strumenti a terra. Per la compensazione della rete devono essere fornite le matrici di covarianza delle baselines determinate. Se l elorazione è stata fatta separatamente per ciascuna delle baselines, sono disponibili soltanto le correlazioni fra le diverse componenti di una stessa baseline, mentre baselines diverse devono essere necessariamente trattate come se fossero incorrelate. Le singole baselines, a loro volta, vengono stimate utilizzando le osservazioni di distanza dai satelliti nel corso dell intera sessione, che sono ridondanti; viene quindi eseguita una compensazione. In questo caso, essendo le equazioni di osservazione non lineari, debbono essere note le coordinate approssimate delle stazioni e i loro errori di orologio approssimati. Questi dati possono essere ottenuti in tempo reale da osservazioni di pseudo-range. La compensazione fornisce anche le matrici di covarianza delle componenti, che dipendono soprattutto dalle condizioni geometriche di osservazione. E intuitivo che l accuratezza con cui una posizione puntuale o una baseline viene determinata dipende dalla configurazione geometrica dei satelliti osservati. Al limite, se tutti i satelliti fossero allineati nella stessa direzione, la determinazione della posizione sarebbe impossibile; se i satelliti sono raggruppati in una piccola porzione di volta celeste, la determinazione è possibile, ma piccoli errori di osservazione comportano grossi errori nelle coordinate della stazione o nelle componenti della baseline. Si dice in questo caso che il sistema di equazioni è mal condizionato. I migliori risultati, viceversa, si ottengono se i satelliti sono uniformemente distribuiti su tutta la volta celeste. Il parametro che stilisce il rapporto fra errori di osservazione e errori di stima è indicato con la sigla DOP (dilution of precision), ed un suo valore troppo grande è indice di una cattiva qualità della determinazione. Sono stati introdotti diversi DOP, a seconda dei parametri di interesse per il particolare rilievo; ad esempio, il DOP relativo alla posizione puntuale è indicato con PDOP, quello riferito alla posizione relativa con RDOP. Appendice A1. Determinazione della posizione in tempo reale Misure pseudorange da una stazione a 4 satelliti d i = r si r r + c δt = ((x i x r ) 2 + (y i y r ) 2 + (z i z r ) 2 ) 1/2 + c δt (1) dove δt è l errore di sincronizzazione fra l orologio della stazione e il tempo a cui sono riferiti i segnali GPS. Le posizioni dei satelliti r si sono supposte note. Se si assume di conoscere la posizione approssimata della stazione r (0) r, si possono linearizzare le equazioni: δd i = r s i r (0) r r si r (0) r δr r + c δt e i δr r + c δt (2) dove per le distanze si è scelto il valore approssimato d (0) i = r si r (0) r ; i vettori e i sono versori nelle direzioni ricevitore-satellite. In forma matriciale esplicita l equazione è δd 1 e 1x e 1y e 1z c δx r δd 2 e = 2x e 2y e 2z c δy r δd 3 e 3x e 3y e 3z c δz r δd 4 e 4x e 4y e 4z c δt A ( ) δrr δt (3) 9
Data la precisione delle misure di distanza, la precisione che ne consegue nella determinazione della posizione e della scala dei tempi è legata a det A : quanto più piccolo è det A, tanto più vengono amplificati gli errori. det A = c (e 2 e 3 ) e 4 (e 3 e 4 ) e 1 + (e 4 e 1 ) e 2 (e 1 e 2 ) e 3 (4) Detti P i, i = 1, 2, 3, 4 gli estremi (sulla sfera unitaria) dei versori e i, si prova che i singoli termini al secondo membro sono proporzionali ai volumi delle piramidi OP i P j P k (vedi fig.10); quindi, det A è proporzionale al volume della piramide P 1 P 2 P 3 P 4 (punti in generale non complanari). Se P 1, P 2, P 3, P 4 sono complanari, esiste un versore v (quello da O al centro della calotta tagliata dal piano P 1 P 2 P 3 P 4 sulla sfera) tale che v e i è uguale per ogni i. Quindi, si può scegliere δt tale che v e i + c δt = 0, e pertanto A(v δt) T = 0. Quindi la matrice A è singolare, e non è possibile determinare univocamente posizione e scala dei tempi. Inoltre det A è piccolo se gli e i sono quasi allineati. A2. Differenze di misure di fase come osservili L osservazione di differenze di fase porta alla determinazione di differenze di distanza, da cui si devono ricavare informazioni sulla posizione dei ricevitori. Si scrivono ora le equazioni linearizzate. Indicando con R k la posizione del k-esimo satellite, con r i la posizione dell i-esimo ricevitore, partendo dall equazione non lineare d k i = r i R k + c δt, si ottiene (nel caso più generale, in cui si tiene conto anche dei possibili errori nelle posizioni dei satelliti) da cui, per differenza, δd k i = r i R k r i R k (δr i δr k ) + cδt e k i (δr i δr k ) + cδt (9) δd k j δd k i = e k j (δr j δr k ) e k i (δr i δr k ) = = 1 2 (ek j e k i ) (δr i + δr j 2δR k ) + 1 2 (ek i + e k j ) (δr j δr i ) (10) In quest ultima espressione il secondo addendo dipende solo dalla posizione relativa delle due stazioni (vettore di base), mentre il primo contiene informazioni sulla posizione assoluta e sull errore d orbita. È importante osservare che, essendo le due stazioni in generale relativamente vicine (almeno rispetto alla distanza dai satelliti), i versori e k i e e k j sono poco differenti; quindi la loro differenza, che compare a fattore nel primo addendo, è piccola, mentre la loro semisomma, che compare nel secondo addendo, è approssimativamente un versore, specificamente il versore e k m della direzione congiungente il punto medio della base con il satellite. Di conseguenza, usando differenze prime con due stazioni e un satellite, le posizioni relative sono determinili con precisione molto maggiore che le posizioni assolute. Lo stesso discorso vale per le differenze doppie, che sono differenze di differenze prime, le cui equazioni si ottengono semplicemente come differenze di quelle sopra ottenute: (δd k j δd k i ) (δd h j δd h i ) = (e k m e h m) (δr j δr i ) (11) (si è qui trascurato il primo termine al secondo membro della (10)). In una rete GPS si ottengono quindi vettori di base; per avere le posizioni assolute di tutti i vertici è sufficiente conoscere quella di una singola stazione. Questa è in generale dotata di grandi apparecchiature scientifiche che le consentono di determinare la posizione assoluta con altri metodi (VLBI, laser ranging), mentre le stazioni GPS possono essere attivate con spesa relativamente piccola. 10
Laser ranging: misure distanziometriche con impulsi laser inviati dalla stazione stessa ad un satellite puramente passivo, dotato di una superficie sferica riflettente, la cui orbita è determinile con altissima precisione; la distanza è determinata dal tempo intercorso fra l invio dell impulso e la ricezione dell impulso riflesso (non presenta quindi problemi di sincronizzazione fra orologi diversi). VLBI (Very Long Baseline Interferometry): misure di posizione relativa fra stazioni molto lontane, basate sulla differenza di fase con cui le stazioni ricevono uno stesso segnale radio (onda piana) proveniente da sorgenti extra-galattiche. A3. Espressioni matriciali delle differenze. Matrici di covarianza Differenze singole: ( ) ψ i = ψ j ( 1 1 0 0 0 0 1 1 ) ψ i a ψ i b ψ j a ψ j b ; ( ) ψ ij a ψ ij = b ( 1 0 1 0 0 1 0 1 ) ψ i a ψ i b ψ j a ψ j b ; Assumendo che le singole osservazioni di fase siano tra loro indipendenti e con uguale varianza ( C ψψ = σ 2 I ) e applicando la regola di propagazione della covarianza, si ottiene C = C = ( 1 1 0 ) 0 0 0 1 1 ( 1 0 1 ) 0 0 1 0 1 C ψψ C ψψ 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 = 2σ 2 I = 2σ 2 I Quindi due differenze prime relative alla stessa coppia di stazioni e a due satelliti distinti, oppure alla stessa coppia di satelliti e a due stazioni distinte sono fra loro incorrelate e hanno varianza doppia della varianza delle singole fasi. Differenze doppie: si considerino le differenze doppie relative alla stessa coppia di stazioni e a tre coppie di satelliti di cui la prima ha un satellite a comune con la seconda, la seconda un satellite a comune con la terza: La matrice di covarianza è ψ ij ψ jk = 1 1 0 0 ψ i 0 1 1 0 ψ j ψ kl ψ 0 0 1 1 k ψ l C, = 1 1 0 0 0 1 1 0 C 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 = 2σ 2 2 1 0 1 2 1 0 1 2 Le differenze doppie aventi un satellite a comune sono quindi correlate; inoltre la varianza è quadrupla di quella delle fasi singole. 11
Differenze terze: dalle differenze doppie definite come sopra si costruiscono differenze terze fra due epoche t 1 e t 2 : δψ ij (t 1) δ ψ ij δ ψ jk = 1 1 0 0 0 0 δψ ij (t 2) 0 0 1 1 0 0 δψ jk (t 1) δ ψ kl 0 0 0 0 1 1 δψ jk (t 2) δψ kl(t 1) δψ kl(t 2) Assumendo che le differenze doppie ad epoche diverse siano incorrelate, la loro matrice di covarianza è 2 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 C, = 2σ 2 1 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 2 Quindi la matrice di covarianza delle differenze triple è C δ,δ = 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 C, 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 = 4σ 2 2 1 0 1 2 1 0 1 2 La struttura delle correlazioni è uguale a quella delle differenze doppie, ma la varianza è ulteriormente raddoppiata. 12