Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a. 2012-13 Homework n 10 Docente: Laura Palagi
Smaltimento dei rifiuti solidi urbani HOMEWORK N 10 Francesco Cambiotti Teresa Ciorciaro Emanuele Foschi
Descrizione del problema Un azienda per il recupero della nettezza urbana deve pianificare le operazioni di raccolta e recupero dei rifiuti domestici in un area urbana. L area urbana è divisa in N zone. In ogni zona i=1,,n possono essere attivate diverse modalità di raccolta del rifiuto solido urbano. Il rifiuto può essere raccolto separato o indifferenziato. Il separato può essere di due tipi : 1. Monomateriale,,k=1,, ; 2. Multimateriale,, h=1,, ; Il rifiuto può essere trasportato in discarica oppure in un impianto di riciclaggio.
Il rifiuto di tipo multimateriale può essere sottoposto ad un processo di separazione per ottenere un rifiuto separato in una percentuale di %S. Il materiale separato è poi rivendibile ad un prezzo k=1,..,. Il mercato è in grado di assorbire tutta la produzione. E richiesta la produzione di un quantitativo minimo di materiale.
OBIETTIVO L AZIENDA DEVE DECIDERE IL QUANTITATIVO DI SEPARATO ( MONOMATERIALE E/O MULTIMATERIALE ) DA VENDERE AL MERCATO, CON LO SCOPO DI MASSIMIZZARE IL SUO PROFITTO
Analisi del problema (1) Indici utilizzati i=1, N : zona i-esima; k=1,, : tipo k-esimo di separato monomateriale; h=1,, : tipo h-esimo di multimateriale; Dati (i) : tipologia di raccolta utilizzata per ogni tipo di rifiuto presente nell i-esima zona; (i) : quantità totale di rifiuto indifferenziato nell i-esima zona; (i) : quantità totale di rifiuto separato monomateriale di tipo k presente nell i-esima zona; (i) : quantità totale di rifiuto separato multimateriale di tipo h presente nell i-esima zona; : capacità massima della discarica;
ANALISI DEL PROBLEMA (2) (i) (euro/ton): costo del trasporto del rifiuto (qualunque) dalla zona i alla discarica; : costo del processo di separazione proporzionale alla quantità di separato di tipo k che si ottiene dal dato multimateriale; (i)(euro/ton): costo del trasposto del rifiuto(monomateriale e multimateriale ) dalla zona i all impianto di riciclaggio di tipo k; : percentuale di monomateriale di tipo k ottenibile dal multimateriale di tipo h; : prezzo di vendita del separato di tipo k; : richiesta minima di mercato del separato di tipo k;
ANALISI DEL PROBLEMA (3) Variabili : quantità di separato monomateriale di tipo k, che l azienda decide di vendere dell i-esima zona; : quantità di multimateriale di tipo h, che l azienda decide di lavorare dell i-esima zona;
ANALISI DEL PROBLEMA (4) Vincoli La quantità di materiale da trasportare in discarica, non deve superare la capacità massima della stessa; La quantità che l azienda decide di vendere, non può superare la quantità massima posseduta; La quantità che l azienda decide di vendere, deve soddisfare una richiesta minima di mercato; Le quantità di monomateriale e multimateriale che l azienda decide di vendere, non devono essere negative;
IPOTESI La quantità di monomateriale, ottenuta dalla lavorazione del multimateriale che l azienda decide di lavorare viene portata all impianto di riciclaggio; Il monomateriale che viene portato all impianto di riciclaggio coincide con la quantità che l azienda decide di vendere; Il processo di separazione in output darà tutti i monomateriali che compongono il multimateriale; Ovvero non è possibile decidere di separare uno soltando dei componenti del multimateriale.
FORMULAZIONE DEL MODELLO MATEMATICO IN FORMA PARAMETRICA Funzione obiettivo : max Ricavi Costo Fisso Costi Variabili
Vincoli: Capacità della discarica Quantità posseduta Richiesta minima Non negatività
ESEMPIO NUMERICO L area urbana è divisa in due sole zone N=2. Nelle due zone sono attive le seguenti tipologie di raccolta: zona 1 (centro) zona 2(periferia) Tipologia Quantità Tipologia Quantità T 1 (1) cass. vetro-plastica 180 T 1 (2) vetro centro racc. 80 T 2 (2) plastica centro racc. 70 T 2 (1) cass. Carta 130 T 3 (2) cass. carta 100 T 3 (1) cass. indifferenziato 200 T 4 (2) cass. indifferenziato 280 Il rifiuto ottenibile è dunque { indifferenziato (I), multimateriale vetroplastica( ),carta ( ), plastica( ), vetro ( ) } E possibile separare vetro e plastica del rifiuto multimateriale M ottenendo i quantitativi percentuale di vetro e plastica ai costi (euro/ton) riportati in tabella: vetro plastica costi 12,00 9,00 %SM 1k, k = 2, 3 60,00% 30,00%
Il rifiuto indifferenziato e il residuo dei processi di separazione deve essere eliminato in discarica al costo di 5 per tonnellata. La discarica ha capacità massima di 750 tonnellate. L eventuale rifiuto separato e/o multimateriale che non si vuole vendere, può anche essere eliminato in discarica. I costi di trasporto sono riportati in tabella. Zona Discarica Impianto di Riciclaggio vetro plastica carta 1 15,00 15,00 15,00 23,00 2 10,00 18,00 20,00 20,00 L aziende rivende il vetro, plastica e la carta riciclate e si suppone che il mercato sia in grado di assorbire tutta la quantità prodotta e che l azienda sia obbligata ad eliminare tutto il rifiuto. I prezzi di vendita (euro per tonnellata) sono riportati nella seguente tabella. vetro Plastica Carta Prezzo1 46,00 35,00 30,00 Prezzo2 46,00 35,00 30,00 Sk min 120 100 150
MODELLO MATEMATICO Funzione obiettivo:
Vincoli
Foglio Dati Abbiamo inserito in Excel le tabelle della traccia creando un foglio dati al quale riferirci durante la costruzione del modello
MODELLO IN EXCEL (1) Per costruire la funzione obiettivo abbiamo suddiviso il profitto in ricavi e costi. Per il calcolo di entrambi ci siamo avvalsi delle matrici somma prodotto.
MODELLO IN EXCEL (2) Abbiamo scritto i vincoli del problema per poi poterli immettere nel risolutore omettendo quelli di non negatività che avremmo inserito direttamente nel solver.
Soluzione Ottima L applicazione del risolutore ci ha portato a questi risultati: Vetro Plastica Carta Multimate riale Variabili 1 0 0 130 180 Variabili 2 80 70 100 0 Le variabili che assumono il valore 0 sono condizionate dal fatto che in quella zona non è presente quel tipo di separato I valori di Vetro, Carta e Plastica indicano la quantità in tonnellate di materiale da riciclare e quindi vendere La variabile riferita al Multimateriale invece rappresenta la quantità da lavorare per ottenere i due Monomateriali Profitto 5356,00
FOGLI DI REPORTS (Rapporto Valori) Cella obiettivo Profitto Celle variabili Valore iniziale delle variabili e valore ottimo scelto dal risolutore Vincoli Stato del vincolo, Valore assunto, Tolleranza.
FOGLI DI REPORTS (Rapporto Sensibilità) Celle Variabili Valori finali Costo ridotto (per le variabili nulle: quanto dovrebbe essere maggiore il profitto per unità di una certa variabile affinché essa assuma un valore non nullo nella soluzione ottima) Coefficiente obiettivo (coefficiente che corrisponde a ogni variabile come appare nella funzione obiettivo) Incremento/Decremento (quanto deve variare in positivo o in negativo il profitto relativo a quella cella variabile affinché la soluzione data non sia più ottima) Vincoli Valore finale e Vincolo a destra Prezzo ombra (quanto aumenterebbe il valore della funzione obiettivo per un incremento unitario del vincolo corrispondente) Incremento/Decremento (Range nel quale ha valore il Prezzo ombra)
ANALISI WHAT IF (Aumento delle quantità disponibili) Se aumentassimo le quantità disponibili di separato e indifferenziato del 50% otterremmo, soddisfacendo tutti i vincoli precedenti, un incremento del profitto del 50% Prima Dopo Multimateriale1 180 270 Carta1 130 195 Indifferenziato1 200 300 Vetro2 80 120 Plastica2 70 105 Carta2 100 150 Indifferenziato2 280 420 Profitto 5356 8034
ANALISI WHAT IF (Aumento dei costi di trasporto verso impianto) Se aumentassimo considerevolmente i costi di trasporto del vetro e plastica all impianto di riciclaggio nella zona 2 non ci converrà più riciclare tutto il materiale ma solo quello richiesto dalla quantità minima. Costo Prima Costo Dopo 18 60 20 60 Materiale Prima 80 12 70 46 Materiale Dopo Profitto Prima Profitto Dopo 5356-172,00
ANALISI WHAT IF (Diminuzione dei prezzi di vendita) Facciamo diminuire i prezzi di vendita. L azienda ha un profitto negativo ma decide comunque di riciclare e vendere tutto il materiale a disposizione poiché in questo modo riesce a minimizzare le perdite. Materiale Vetro Plastica Carta Prezzo Prima 46 35 30 Prezzo Dopo 29 23 27 Profitto Prima Profitto Dopo 5356-18 Vetro Plastica Carta Multi Prima 0 0 130 180 Dopo 70 80 100 0