Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze dimensionate) da una appropriata unita di misura Esempi: tempo, massa, temperatura, energia Queste grandezze sono normalmente indicate da un carattere tipografico normale. b) Grandezze vettoriali specificate da un valore numerico positivo (modulo) con una appropriata unita di misura, da una direzione e da un verso Esempi: spostamento, velocita, accelerazione, forza Queste grandezze sono normalmente indicate da un carattere in grassetto, o da un carattere sormontato da una freccia, o da un carattere sottolineato (notazione preferita dai matematici). Inoltre graficamente i vettori si indicano con una freccia la cui lunghezza e proporzionale al modulo del vettore. S S Se un corpo si sposta da un punto A ad un punto B distanti fra loro 1 m, per definire in modo completo tale spostamento sara necessario un vettore caratterizzato da: modulo: uguale 1 m; direzione: retta che congiunge A e B; verso : da A a B. Il simbolo di un vettore compreso fra due sbarrette verticali indica il modulo del vettore stesso. Ad Esempio S indica il modulo del vettore S Due vettori sono uguali se hanno modulo direzione e verso uguali S La sua direzione e' la linea retta nello spazio su cui giace il vettore, il suo modulo e' la lunghezza del vettore, il suo verso e' l'orientazione del vettore sulla sua retta. Modulo, direzione e verso saranno definiti di volta in volta secondo la grandezza vettoriale in esame
Somma fra vettori Dati due vettori A e B qualsiasi, come possiamo calcolare graficamente la loro somma R=A+B, detta anche vettore risultante? Si puo procedere in due modi: a)spostare il vettore B, mantenendolo sempre parallelo a se stesso, finche la sua coda coincida con la punta di A. Il vettore R=A+B avra la coda che coincide con la coda di A e la punta che coincide con la punta di B. b)spostare il vettore B, mantenendolo sempre parallelo a se stesso, finche la sua coda coincide con la coda di A. Disegnare il parallelogramma avente per lati i due vettori cosi ottenuti. Il vettore R=A+B e rappresentato dalla diagonale del parallelogramma ed ha la coda coincidente con quella di A e B Notiamo che il vettore R giace sul piano identificato da A e B La somma vettoriale cosi definita gode delle seguenti proprieta : a)proprieta commutativa esempio : A+B=B+A b)proprieta associativa esempio: (A+B)+C= A+(B+C)
Differenza fra vettori Dato un vettore A il suo vettore opposto A e definito come quel vettore avente lo stesso modulo e direzione di A ma verso opposto. In base alle regole definite precedentemente si avra A+(-A)=0 La differenza fra due vettori A e B e definita come la somma fra i vettori A e -B C=A-B=A+(-B) Prodotto fra uno scalare ed un vettore Il prodotto di un vettore A per uno scalare k da come risultato un vettore M = ka Se k>0 M ha la stessa direzione e verso di A e modulo M = k A Se k<0 M ha la stessa direzione di A, verso opposto ad A e modulo M = k A Esempio Se k=-1 si ha M=-A Cioe il vettore M ha stessa direzione e modulo di A ma verso opposto. In altre parole il vettore M e il vettore opposto di A.
Versori e componenti Si definiscono versori dei vettori di lunghezza unitaria (modulo=1) e privi di dimensioni (cioe senza unita di misura associata). I versori sono solitamente utilizzati per indicare una direzione ed un verso. I versori vengono a volte indicati con la stessa lettera dell eventuale vettore da cui derivano sormontata dal simbolo ^. Ad ogni vettore generico A e possibile associare il suo versore  avente modulo unitario e stessa direzione e verso di A Quindi qualsiasi vettore puo essere espresso come il prodotto del suo modulo per il suo versore. Esempio: A= A  Come sara chiaro fra poco particolare importanza hanno i versori aventi direzione e verso dei tre assi ortogonali x, y, z, di un sistema cartesiano. Tali versori sono solitamente indicati con x, y, z oppure i, j, k oppure i, j, k (carattere grassetto). Dato un generico vettore A ed asse orientato r, siano P 1 e P 2 le proiezioni ortogonali della coda e della punta di A sull asse r. A Si definisce componente scalare A r del vettore A rispetto all asse r quel numero relativo il cui valore assoluto e la lunghezza del segmento P 1 P 2 ed il cui segno e positivo o negativo secondo che il segmento orientato P 1 P 2 abbia verso uguale o opposto a quello dell asse r. A r = A cos α
Componenti cartesiane Dato un vettore arbitrario a ed un sistema di assi cartesiani Oxyz le componenti a x, a y, a z, del vettore a rispetto agli assi x, y, z prendono il nome di componenti cartesiane. Da quanto detto a x, a y, a z, possono essere positive negative o nulle. a Quindi detti α, β, e γ gli angoli che il vettore a forma con gli assi x, y, z, (dove 0 o α, β,γ 180 o ) avremo: a x = a cos α a y = a cos β a z = a cos γ Inoltre applicando due volte il teorema di Pitagora (vedi figura) il modulo di un vettore puo essere espresso tramite le sue componenti a = [( a x ) 2 +( a y ) 2 +( a z ) 2 ] 1/2 Da tutto quanto detto sinora segue che dato un generico vettore A esso puo sempre essere espresso tramite le sue componenti cartesiane nel seguente modo: A=a x i + a y j + a z k Ad esempio per un vettore che giace sul piano x, y avremo a z = 0 quindi: A= A x i + A y j
Somma fra vettori, metodo analitico Tramite l utilizzo delle componenti cartesiane possiamo sommare analiticamente due o piu vettori. Siano A e B due vettori generici espressi tramite le loro componenti cartesiane A= a x i + a y j + a z k ; B=b x i + b y j + b z k e si voglia calcolare il vettore risultante R=A+B Per la proprieta associativa le componenti di ciascun vettore possono essere raggruppate secondo la direzione. Pertanto si avra : R =(a x i + a y j + a z k +b x i + b y j + b z k)= = (a x +b x )i + (a y +b y )j + (a z + b z )k In altre parole: R x =(a x + b x ); R y = (a y + b y ); R z = (a z + b z ) Tale procedura, utilizzabile in generale per la somma di un qualsiasi numero di vettori, puo essere visualizzata semplicemente per la somma di due vettori giacenti sul piano xy.
Prodotto scalare Esistono due modi per moltiplicare fra loro due vettori. 1)Prodotto Scalare che ha come risultato uno scalare 2)Prodotto vettoriale che ha come risultato un vettore. Dati due vettori a e b il loro prodotto scalare si indica come a b ed e cosi definito: a b = a b cos Φ Dove Φ e l angolo compreso fra i due vettori a e b. Dalla definizione di prodotto scalare capiamo che: 1)Il segno del prodotto scalare dipende unicamente dal valore dell angolo Φ 2)Il prodotto scalare e sempre nullo se Φ=90 o 3)Il prodotto scalare puo essere pensato come il prodotto del modulo di a per la componente (scalare) di b rispetto ad a, o come prodotto del modulo di b per la componente (scalare) di a rispetto b. 4) Per il prodotto scalare vale la proprieta commutativa e la proprietà distributiva rispetto alla somma. 5)Il prodotto scalare di un vettore qualsiasi per se stesso da come risultato il modulo quadro del vettore cioe : a a = a a cos 0 = a 2
Calcolo del prodotto scalare tramite le componenti Dato un sistema di assi cartesiani Oxyz, a cui associamo i versori i, j, k, dalla definizione di prodotto scalare segue che il prodotto scalare fra due versori sara uguale a : 1 nel caso di prodotto scalare di un versore per se stesso (i i = j j = k k = 1); 0 nel caso di prodotto scalare di un versore per uno differente (i k = i j = j k = 0); (i versori sono ortogonali) Pertanto dati due vettori espressi tramite le loro coordinate cartesiane si avra : a b = (a x i + a y j + a z k ) (b x i + b y j + b z k)= = a x b x + a y b y + a z b z Cioe il prodotto scalare fra due vettori e uguale alla somma dei prodotti delle componenti cartesiane corrispondenti. Esempio: Dati i vettori: A= 6.0 i 8.0 j e B= -4.0 i + 6.0 k calcolare : 1)Il vettore R=A-B; 2)I moduli di A e B 3)Il coseno dell angolo compreso fra A e B 4)Il versore di A espresso tramite le sue componenti cartesiane 1) R=(6.0-(-4.0)) i 8.0 j 6.0 k = 10 i 8.0 j 6.0 k 2) A = [6.0 2 + (-8.0) 2 ] 1/2 = 10; B = [(-4.0) 2 + (+6.0) 2 ] 1/2 = 7.2 3) Sappiamo che A B = A B cos Φ Ma A B = 6.0x(-4.0) + (-8.0)x0 + 0x6.0 = -24 quindi cos Φ = (A B ) /( A B ) = - 0.33 4) Â = A / A = 0.60 i 0.80 j
Prodotto vettoriale Dati due vettori a e b il loro prodotto vettoriale si indica come a x b ed e un vettore c c= a x b che ha: 1) modulo pari a c = a b sen Φ, dove Φ e l angolo piu piccolo formato dai due vettori; 2) direzione perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b ; 3) verso che puo essere individuato ad esempio tramite la regola della mano destra. Disegnati a e b a partire dallo stesso punto di applicazione si immagini di afferrare con le dita della mano destra la perpendicolare ad a e b in modo da spingere a verso b passando attraverso l angolo piu piccolo. Il pollice indichera il verso di c. Dalla definizione di prodotto vettoriale capiamo che 1)Il prodotto vettoriale e sempre nullo se Φ=0 o o 180 o 2) Per il prodotto vettoriale non vale la proprieta commutativa infatti: a x b = -b x a 3)Il prodotto vettoriale di un vettore qualsiasi per se stesso o, in generale, di due vettori paralleli e nullo. Dato un sistema di assi cartesiani i prodotti vettoriali fra i versori degli assi sono: i x i = 0 ; j x j = 0 ; k x k = 0 i x j = - j x i = k k x i = - i x k = j j x k = - k x j = i
Calcolo del prodotto vettoriale tramite le componenti Dati due vettori a e b espressi tramite le loro componenti cartesiane si ha: a x b = (a x i + a y j + a z k) x (b x i + b y j + b z k) = = a x b x (ixi) + a x b y (ixj) + a x b z (ixk) + +a y b x (jxi)+a y b y (jxj) + a y b z (jxk)+ +a z b x (kxi) + a z b y (kxj)+a z b z (kxk)= tenendo presente i risultati dei prodotti vettoriali fra i versori i, j, k dopo alcuni passaggi si ha = (a y b z -a z b y )i + (a z b x -a x b z )j +(a x b y -a y b x )k Questo risultato puo essere scritto in una forma mnemonica piu conveniente sotto forma di determinante: si sviluppa secondo gli elementi della prima riga i j k a x b = a x a y a z b x b y b z Esempio : Dati i vettori: A= 6.0 i 8.0 j e B= -4.0 i + 6.0 k calcolare il seno dell angolo compreso usando la definizione di prodotto vettoriale. Sappiamo che A x B = A B sen Φ i j k A x B = +6-8 0-4 0 +6 = (-48-0)i +(-36+0)j +(0-32)k A x B = [(-48) 2 + (-36) 2 + (-32) 2 ] 1/2 = 68 sen Φ = A x B /( A B ) = 0.94
Alcuni quesiti di verifica: 1) Quale e la differenza fra grandezze fisiche scalari e vettoriali? 2) Da cosa e caratterizzato un vettore? 3) Il modulo di un vettore puo essere negativo? 4) Cosa e un versore? 5) Cosa si intende per componenti cartesiane di un vettore? 6) Dato un vettore espresso tramite le sue componenti cartesiane siete in grado di calcolare: il corrispondente versore, il suo modulo, gli angoli che il vettore forma con gli assi x,y,z? 7)Dati due vettori espressi tramite le loro componenti cartesiane siete in grado di calcolare: la loro somma, il loro prodotto scalare, il loro prodotto vettoriale, l angolo fra loro compreso? 8)Quale deve essere l angolo formato da due vettori affinche il loro prodotto scalare (vettoriale) sia nullo?