Usando il pendolo reversibile di Kater
Scopo dell esperienza è la misurazione dell accelerazione di gravità g attraverso il periodo di oscillazione di un pendolo reversibile
L accelerazione di gravità è una delle più importanti costanti fisiche Essa definisce l unità di forza e pertanto sottostà a tutte le misure in meccanica Nel 1817 Kater, per aumentare l accuratezza della misura dell accelerazione di gravità ottenuta attraverso misurazione diretta, ideò il metodo del pendolo reversibile
Per effettuare l esperienza verranno utilizzati: - un pendolo reversibile -un PC con interfaccia grafica e funzioni di cronometro - una fotocellula con sensibilità di 1 ms collegata al PC -un metro a nastro con sensibilità 1 mm
Un pendolo semplice è costituito da un filo inestensibile di lunghezza l e massa trascurabile a cui è appeso un punto materiale di massa m. Esso può oscillare intorno ad un punto fisso, O, detto polo Per piccoli valori di θ, il periodo di oscillazione del pendolo risulta: T = 2π ω = 2π l g
A differenza del pendolo semplice, il pendolo composto è costituito da un corpo rigido, libero di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse fisso non passante per il centro di massa. Il periodo di oscillazione risulta quindi: T 2π Ι = = 2π da cui ω mdg g = 4π 2 mdt I 2
L accelerazione dipende quindi, fra l altro, da Ι, momento di inerzia, g = 4π 2 mdt I 2 e da d, distanza del centro di massa dal polo
Cosa rappresenta il momento d inerzia? Consideriamo una massa puntiforme m soggetta ad una forza F F m L accelerazione F/m risulterà tanto maggiore quanto più piccola è la massa m Consideriamo ora un corpo esteso soggetto ad una forza F non passante per il suo centro di massa Il corpo tenderà a ruotare e lo farà tanto più rapidamente quanto più è piccolo il suo momento d inerzia Ι CM F
Il momento d inerzia rappresenta quindi, per un corpo che ruota, qualcosa di analogo alla massa per un corpo che trasla Il momento d inerzia non dipende solo dalla massa totale del corpo, ma anche da come questa massa è distribuita rispetto all asse attorno al quale il corpo può ruotare La ballerina ruota più rapidamente quando ha le braccia strette vicino al corpo e più lentamente quando allarga le braccia. Infatti così facendo distribuisce diversamente la sua massa ed in particolare ne allontana una parte dall asse di rotazione, che possiamo immaginare passante per il suo tronco
Confrontando le espressioni del periodo del pendolo semplice T = 2π ω = 2π l g e del pendolo composto T = 2π ω = 2π Ι mdg si nota che il periodo del pendolo composto è quello che avrebbe un pendolo semplice di lunghezza l = Ι/md Questa lunghezza viene detta lunghezza ridotta del pendolo composto
Durante l esperienza attraverso i periodi di oscillazione di un pendolo composto si determina il periodo del pendolo semplice equivalente al pendolo composto
Consideriamo un particolare tipo di pendolo composto caratterizzato da un asta al fondo della quale è appesa una massa fissa mentre una massa mobile m A èin grado di essere spostata lungo l asta Il corpo nel suo insieme è in grado di oscillare attorno a due diversi assi, individuati dai poli O ed O e sia l la distanza fra questi due punti
Spostare la massa m A provoca una variazione -delmomento di inerzia Ι del corpo calcolato rispetto all asse di rotazione - della distanza d fra baricentro e polo di rotazione ed una conseguente variazione del periodo di oscillazione in base alla relazione: T = 2π ω = 2π Ι mdg
Sia: O il polo attorno al quale avviene la rotazione B la posizione (non nota) del baricentro h 1 la distanza (non nota) fra il polo ed il baricentro Ι o il momento d inerzia (non noto) rispetto al polo O Il periodo di oscillazione T o (misurabile) è dato da: T o = 2π ( Ι o /mgh 1 ) 1/2
Supponiamo di aver misurato il periodo di oscillazione attorno ad ognuno dei coltelli, ottenendo rispettivamente: T o = 2π ( Ι o /mgh 1 ) 1/2 T o = 2π ( Ι o /mgh o ) 1/2 Possiamo spostare la massa m A periodi coincidono, cioè fino a quando i due T o = T o e supporre l esistenza di un pendolo semplice che abbia lo stesso periodo T di oscillazione Scrivendo tutto questo in formule imponiamo: T o = T o = T
Se imporre la condizione: T o = T o = T permettesse di ricavare il valore di l dal periodo T o = T o = T, noto sperimentalmente una volta determinato l si potrebbe ottenere g g = 4π T 2 l Possiamo determinare la lunghezza l del pendolo semplice in grado di realizzare questa condizione? 2
Riscriviamo l uguaglianza attraverso: T o = T o = T - il valore esplicito del periodo di oscillazione del pendolo composto rispetto ad ognuno dei due poli - il valore esplicito del periodo di oscillazione del pendolo semplice ricordando che questo significa imporre : l = Ι/md dove d è la distanza fra il baricentro ed il polo di oscillazione Otteniamo allora: Ι o / m h 1 = l Ι o / m h o = l
Utilizzando il teorema di Steiner si può passare dal momento di inerzia del corpo calcolato rispetto all asse di rotazione al momento di inerzia del corpo calcolato rispetto al centro di massa da cui: Ι CM = Ι o -mh o 2 Ι o e Ι o Ι CM = Ι o -mh 1 2 - sottraendo membro a membro - utilizzando per Ι o e Ι o le relazioni Ι o = l mh 1 e Ι o = l mh 0 - con alcuni passaggi algebrici otteniamo: h 1 + h o = l
Allora il periodo ottenuto spostando la massa mobile fino a che sia realizzata la condizione T 0 = T 0 coincide con il periodo di un pendolo semplice che abbia lunghezza pari alla distanza fra i due poli di oscillazione del pendolo composto
L accelerazione di gravità risulta quindi esprimibile come g = 4π T 2 l 2 con: T = T 0 = T 0 l = h 1 + h o essendo h 1 + h o la distanza, misurabile, fra i due coltelli
Una volta determinata la posizione delle masse, il pendolo permette di studiare la variazione di accelerazione di gravità in funzione della posizione sulla superficie terrestre La causa principale di questa variazione è la latitudine, a causa della dipendenza di g da: - raggio della Terra, che varia con la latitudine - azione della forza centrifuga dovuta alla rotazione terrestre, che ha il suo massimo effetto all equatore
Ambedue gli effetti contribuiscono a rendere g dipendente dalla latitudine ed in particolare minima all equatore L Handbook of the American Institute of Physics riporta per g la seguente relazione: g = 978.0490 (1 + 0.0052884 sin 2 ϕ - 0.0000059 sin 2 2 ϕ) Di conseguenza il valore atteso a Torino (ϕ = 45 ) è g = 980.63 cm s -2
Come svolgere l esperienza - misurare la distanza fra i due coltelli: corrisponderà alla lunghezza ridotta, cioè alla lunghezza del pendolo semplice che ha lo stesso periodo di oscillazione del pendolo composto quando sia realizzata la condizione di uguaglianza fra i periodi di oscillazione sui due coltelli - posizionare la massa mobile il più vicino possibile al coltello - misurare la distanza fra le tacche incise sulla massa mobile e sulla massa fissa
- posizionare la fotocellula per la misurazione automatica del periodo di oscillazione - appoggiare il pendolo su un coltello, avendo cura di porre il pendolo ben centrato per evitare eccessivo attrito durante l oscillazione - verificare di operare in condizione di angolo di oscillazione piccolo. Misurata la distanza s del pendolo dalla verticale, calcolare il valore dello spostamento angolare θ (ampiezza dell oscillazione). L angolo deve risultare al massimo di 10 l θ s θ In radianti = s / l
- preparare la tabella per la registrazione dei periodi di oscillazione in funzione delle diverse distanze fra le due masse x (cm) T (s) T ' (s) - porre in oscillazione il pendolo. Lasciare passare alcune oscillazioni, dare lo START al sistema di misurazione del periodo. Verificare che il valore del periodo di oscillazione rimanga costante. Il sistema di acquisizione dei tempi si ferma automaticamente. Riportare il valore del periodo sull opportuna tabella
- porre in oscillazione il pendolo sul secondo coltello e ripetere l acquisizione del periodo di oscillazione. Riportare il nuovo valore in tabella - spostare la massa mobile di circa 10 cm, misurando la nuova distanza fra le tacche incise sulle due masse. Ripetere le operazioni per determinare il periodo di oscillazione su ognuno dei coltelli e riportare in tabella il valore della distanza fra le due masse e quelli dei due periodi di oscillazione - ripetere la sequenza fino a che la massa mobile non raggiunga la minima distanza dal secondo coltello
- preparare il grafico dei periodi in funzione della distanza fra le due masse, utilizzando tutto il foglio di carta millimetrata formato A4 e riportare con colori diversi i periodi relativi ad ognuno dei due coltelli - individuare la zona di intersezione fra le curve ottenute dal fit dei punti sperimentali Pendolo 2,010 T [s] 1,970 1,930 1,890 25,0 55,0 85,0 115,0 d [cm]
- posizionare la massa mobile nell intorno della distanza per la quale i periodi ottenuti facendo oscillare il pendolo sui due coltelli si uguagliano; questa è la distanza individuata nel grafico attraverso l intersezione delle due curve - per ognuna delle intersezioni, ripetere le misure di determinazione del periodo relativamente ad ognuno dei due coltelli per 5 volte; indicate con d 1 e d 2 le posizioni delle due intersezioni, le misure vanno fatte a d 1 61 cm, d 1 62 cm, d 2 61 cm, d 2 62 cm - inserire i dati ottenuti in una nuova tabella
- costruire due nuovi grafici, uno per ognuna delle zone di intersezione ottenute nel primo grafico Intersezione sinistra Intersezione destra 2,020 1,990 1,980 T [s] 1,970 T [s] 1,970 1,960 1,920 28,0 29,0 30,0 31,0 32,0 33,0 34,0 35,0 36,0 1,950 98 99 100 101 102 103 104 105 106 d [cm] d [cm] - determinare le due posizioni di intersezione ed i relativi valori di periodo
Abbiamo ottenuto per il periodo di oscillazione due valori che soddisfano la condizione richiesta: T o = T o = T da cui è possibile calcolare il valore medio T m Con questo valore di periodo di oscillazione possiamo ottenere il valore dell accelerazione di gravità, utilizzando per la lunghezza del pendolo la distanza fra i due coltelli g = 4π Tm 2 l 2
Valutazione dell errore Essendo l espressione di g: g = 4π Tm 2 l 2 l errore può essere calcolato come errore relativo secondo la relazione: g g = l l + 2 T T m m