Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di 3 - PROBLEMI DI INTERPOLAZIONE Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche
1 Interpolazione: Polinomio di Lagrange 2 3
Introduzione Problemi di interpolazione Supponiamo di avere un insieme di dati che rappresentano misurazioni della temperatura in una certa località durante il mese di luglio con cadenza bisettimanale. Rappresentiamo tali dati nella seguente tabella: Giorno Temperatura 1 27.1 8 27.2 15 23.5 22 28.0 29 29.1 Supponiamo di voler conoscere la temperatura in un giorno del mese diverso da quelli tabulato, o di dover utilizzare la temperatura in un modello che la richiede continua, o di voler predire la temperatura più avanti nel tempo. Dobbiamo costruire una funzione continua che passi per i punti della tabella: interpolazione!
Interpolazione polinomiale Problemi di interpolazione Una classe di funzioni continue molto usate nei problemi di interpolazione sono i polinomi. Sappiamo che per n + 1 punti assegnati, {(x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n )} passa uno ed un solo polinomio P n (x) di grado n. Approssimazione polinomiale delle funzioni Una proprietà importante dei polinomi è che possono approssimare bene quanto si vuole una qualunque funzione continua su un intervallo chiuso. In particolare vale il seguente teorema: Theorem (Teorema di Weierstrass) Sia f : [a, b] R una funzione continua e sia ε > 0 arbitrario. Allora esiste un polinomio P(x) tale che, per ogni x [a, b], si ha f(x) P(x) < ε.
Interpolazione di Lagrange Polinomio interpolatore di Lagrange Supporremo nel seguito che le y i siano i valori di una funzione nei punti x i, chiamati nodi: y i = f(x i ) Siano {(x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n )} n + 1 punti del piano cartesiano. Chi è il polinomio di grado n che passa per essi? Cominciamo dalle cose semplici, n = 1: {(x 0, y 0 ), (x 1, y 1 )}. Allora P 1 (x) = y 0 x x 1 x 0 x 1 + y 1 x x 0 x 1 x 0 Si vede facilmente che P 1 (x 0 ) = y 0 e P 1 (x 1 ) = y 1. n = 2: {(x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )}. Allora (x x 1 )(x x 2 ) P 2 (x) = y 0 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) + y (x x 0 )(x x 2 ) 1 (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) (x x 0 )(x x 1 ) +y 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )
Interpolazione di Lagrange Polinomio interpolatore di Lagrange In generale, per n + 1 punti: P n (x) = y 0 (x x 1 )(x x 2 )...(x x n ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )...(x 0 x n ) + +y 1 (x x 0 )(x x 2 )...(x x n ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )...(x 1 x n ) +... +y k (x x 0 )...(x x k 1 )(x x k+1 )...(x x n ) (x k x 0 )...(x k x k 1 )(x k x k+1 )...(x k x n ) +... +y n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) (x n x 0 )(x n x 1 )...(x n x n 1 )
Interpolazione di Lagrange Notazione I coefficienti delle y k si indicano solitamente con L n,k (x) e sono polinomi di grado n: L n,k (x) = (x x 0)...(x x k 1 )(x x k+1 )...(x x n ) (x k x 0 )...(x k x k 1 )(x k x k+1 )...(x k x n ) così che il polinomio interpolatore di Lagrange si può scrivere come P n (x) = n y k L n,k (x) k=0 Come son fatti gli L n,k?
Interpolazione di Lagrange Esempi degli L n,k su [0, 1] 3 2 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n = 10, k = 5-1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n = 100, k = 5
Interpolazione di Lagrange Esempio f(x) = sin 2πx nell intervallo [0, 1], nodi equispaziati; 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n = 3 1 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n = 5 1 Mathematica file Interpol1.nb 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n = 5 1
Interpolazione di Lagrange Theorem (Errore) Sia f C n+1 [a, b] e siano x 0, x 1,..., x n i nodi dell interpolazione in [a, b], distinti ma altrimenti arbitrari. Allora, x [a, b] esiste un numero ξ(x) [a, b] tale che f(x) = P n (x) + fn+1 (ξ(x)) (n + 1)! (x x 0 )(x x 1 )...(x x n ) Vediamo che f(x k ) = P n (x k ) (ovvio!!) e che l errore è proporzionale alla derivata di ordine n + 1 ed inversamente proporzionale ad (n + 1)! Se la derivata (n + 1)-esima è limitata, allora l errore va a zero molto rapidamente all aumentare di n.
Interpolazione di Lagrange Altro esempio f(x) = tanh x nell intervallo [ 1, 1], nodi equispaziati; 1 1 0.5 0.5 1 n = 10 1 Mathematica file Interpol1.nb
Un metodo molto usato per la generazione del polinomio interpolatore è quello delle differenze divise. Siano x k [a, b], k = 0, n i nodi e siano f(x) una funzione continua definita anch essa in [a, b]. Sia inoltre P n (x) il polinomio interpolatore di Lagrange di grado n. Il polinomio si può scrivere nella forma P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) +... +a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) dove gli a k sono dei coefficienti da determinare. Si vede subito che a 0 = P n (x 0 ) = f(x 0 ) a 1 = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0
Continuando a 2 = f(x 2) f(x 0 ) a 1 (x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = f(x 2) f(x 1 ) + f(x 1 ) f(x 0 ) a 1 (x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) ( ) f(x1) f(x0) x2 x 0 x 2 x 1 x 1 x 0 1 = = f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 x 2 x 0 f(x1) f(x0) x 1 x 0 x 2 x 0
Queste espressioni si possono scrivere più sinteticamente introducendo le differenze divise per la funzione f. La definizione delle differenze divise è induttiva: Diff. divisa di ord. ZERO: f[x i ] = f(x i ); Diff. divisa di ord. UNO: f[x i, x i+1 ] = f[x i+1] f[x i ] x i+1 x i Diff. divisa di ord. k: f[x i, x i+1,..., x i+k ] = f[x i+1, x i+2,..., x i+k ] f[x i, x i+1,..., x i+k 1 ] x i+k x i
Con queste definizioni, possiamo allora scrivere che a 0 = f(x 0 ) = f[x 0 ] a 1 = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 = f[x 1] f[x 0 ] x 1 x 0 = f[x 0, x 1 ] a 2 = f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1 ] x 2 x 0 = f[x 0, x 1, x 2 ]... a k = f[x 0, x 1, x 2,..., x k ] Il polinomio interpolatore si può dunque scrivere come P n (x) = f[x 0 ] + n f[x 0, x 1,..., x k ] (x x 0 )(x x 1 )...(x x k 1 ) k=1 detta formula di interpolazione di Newton alle differenze divise
Mathematica file DiffDiv1.nb
- Legame con le derivate Dal Teorema di Lagrange: se f(x) è derivabile, ξ [x 0, x 1 ] tale che f[x 0, x 1 ] = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 = f (ξ) Theorem Sia f C n [a, b] e siano x 0, x 1,..., x n i nodi in [a,b], distinti ma altrimenti arbitrari. Allora ξ (a, b) tale che f[x 0, x 1,..., x n ] = f(n) (ξ) n!
Proof. Sia g(x) = f(x) P n (x). Evidentemente g(x k ) = 0, k. Per il Teorema di Rolle generalizzato, ξ (a, b) tale che g (n) (ξ) = f (n) (ξ) P n (n) (ξ) = 0. Ma P n (n) (x) = n! f[x 0, x 1,..., x n ], da cui la tesi.
- Nodi equispaziati Siano ora i nodi (x 0, x 1,..., x n ) uniformemente distribuiti in [a, b], cioè x i+1 x i = h = cost., con, x 0 = a e x n = b, ed h = (b a)/n è detto passo di discretizzazione. Allora possiamo scrivere che x i = x 0 + i h x i x j = (i j)h Se x [a, b], possiamo scrivere x = x 0 + s h, dove s è un numero reale con 0 s n; s = 0 x = a, s = i x = x i, s = n x = b i < s < i + 1 x i < x < x i+1 x 0 x 1 x 2 x 3 x n a h x b x
Notazione binomiale Avremo dunque x x 0 = s h, x x 1 = (s 1)h (x x 0 )(x x 1 ) = s(s 1)h 2 (x x 0 )(x x 1 )...(x x k ) = s(s 1)...(s k)h k+1 Il polinomio interpolatore di Lagrange diventa allora P n (x) = P n (x 0 + sh) = f[x 0 ] + s h f[x 0, x 1 ] +s(s 1)h 2 f[x 0, x 1, x 2 ] +... +s(s 1)...(s n + 1)h n f[x 0, x 1,..., x n ] n = s(s 1)...(s k + 1)h k f[x 0, x 1,..., x k ] k=0
Notazione binomiale - in avanti Ricordando la definizione dei coefficienti binomiali ( ) n n(n 1)...(n k + 1) = ; k k! estendendola anche al campo reale, possiamo scrivere P n (x) = f[x 0 ] + n k=1 ( ) s k! h k f[x 0, x 1,..., x k ] k che è detta formula alle differenze divise in avanti di Newton
Differenze finite in avanti, formula di Newton Le formule per le differenze divise si possono mettere in una forma diversa e più utile per sviluppi futuri. A tal scopo introduziame la notazione di Aitken: f(x i ) = f(x i+1 ) f(x i ). Abbiamo allora che f[x 0, x 1 ] = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 = 1 h f(x 0) f[x 0, x 1, x 2 ] = f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1 ] x 2 x 0 = 1 2h = 1 2h 2 2 f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 0 ) h
Differenze finite in avanti, formula di Newton ed in generale f[x 0, x 1,..., x k ] = 1 k! h k k f(x 0 ) così che il polinomio di Newton può ora essere scritto come P n (x) = f[x 0 ] + n k=1 ( ) s k f(x 0 ) k detta Formula di Newton per le differenze finite in avanti.
Differenze finite all indietro, formula di Newton Il polinomio di Newton, invece che P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) +... +a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) può anche essere scritto come P n (x) = a n + a n 1 (x x n ) + a n 2 (x x n )(x x n 1 ) +... + a 1 (x x n )(x x n 1 )...(x x 2 ) +a 0 (x x n )(x x n 1 )...(x x 2 )(x x 1 ) che equivale a riordinare i nodi di interpolazione all indietro, (x n, x n 1,..., x 1, x 0 ).
Differenze finite all indietro, formula di Newton Introducendo il simbolo tale che f(x i ) = f(x i ) f(x i 1 ) e le differenze divise all indietro f[x n, x n 1 ] = 1 h f(x n)... f[x n, x n 1,..., x n k ] = 1 k! h k k f(x n ) generalizzando i coefficienti binomiali sui reali negativi, ( ) s s( s 1)...( s k + 1) = k k! k s(s + 1)...(s + k 1) = ( 1) k!
Differenze finite all indietro, formula di Newton allora il polinomio di Newton può essere scritto come P n (x) = f[x n ] + n ( ) s ( 1) k k f(x n ) k k=1 detta Formula di Newton per le differenze finite all indietro. Le differenze finite all indietro, qui introdotte nel contesto dell interpolazione (ma noi non le useremo a tale scopo), torneranno utili più avanti. Esistono anche le differenze finite centrate, le vedremo in seguito.
Approssimazione polinomiale a tratti Una filosofia diversa per l approccio al problema dell interpolazione è quella di costruire una curva polinomiale a tratti, coincidente con i valori della funzione nei nodi, e soddisfacente a condizioni di continuità ai nodi. La più semplice è l interpolazione lineare, che collega i punti di interpolazione con una spezzata. x 0 x 1 x 2 x 3 x n a h x b x
Approssimazione polinomiale a tratti Con la spezzata non si ha regolarità ai nodi. Si fa quindi passare per ogni coppia di nodi un polinomio di grado più alto imponendo condizioni di regolarità. L approssimazione polinomiale a tratti più usata e quella cubica, detta approssimazione con gli splines.
Approssimazione polinomiale cubica Sia f definita nell intervallo [a, b] e siano (x 0, x 1,..., x n ) i nodi. Sia S(x) un polinomio di terzo grado; indichiamo con S j (x) il polinomio di terzo grado definito nell intervallino [x j, x j+1 ], con j = 0, 1,..., n 1. Ciascun S j contiene quattro coefficienti da determinare. Le condizioni ai nodi interni sono: S(x j ) = f(x j ), j = 0, 1,..., n S j+1 (x j+1 ) = S j (x j+1 ), j = 0, 1,..., n 2 S j+1 (x j+1) = S j (x j+1), j = 0, 1,..., n 2 S j+1(x j+1 ) = S j (x j+1 ), j = 0, 1,..., n 2...
Condizioni agli estremi... mentre ai nodi estremi si impongono alternativamente una delle due condizioni: S (x 0 ) = S (x n ) = 0 detta spline naturale S (x 0 ) = f (x 0 ) S (x n ) = f (x n ) spline completa
Approssimazione polinomiale cubica Scriviamo il polinomio j-esimo e le sue derivate come S j (x) = a j + b j (x x j ) + c j (x x j ) 2 + d j (x x j ) 3 S j(x) = b j + 2 c j (x x j ) + 3 d j (x x j ) 2 S j (x) = 2 c j + 6 d j (x x j ) e notiamo che S j (x j ) = a j, S j (x j) = b j e S j (x j) = 2 c j per ogni j = 0, 1,..., n 1 (*). per convenienza, introduciamo h j = x j+1 x j ; la condizione S j (x j ) = f(x j ) dà immediatamente a j = f(x j ), per j = 0, 1,..., n 1; siano inoltre a n = f(x n ), b n = S (x n ) e c n = S (x n )/2; la condizione S j+1 (x j+1 ) = S j (x j+1 ) dà allora a j+1 = a j + b j h j + c j h 2 j + d jh 3 j per j = 0, 1,..., n 1....
... la condizione S j+1 (x j+1) = S j (x j+1) dà b j+1 = b j + 2 c j h j + 3 d j h 2 j per j = 0, 1,..., n 1.... la condizione S j+1 (x j+1) = S j (x j+1) dà c j+1 = c j + 3 d j h j per j = 0, 1,..., n 1. Alla fine otteniamo il sistema a j+1 = a j + b j h j + c j h 2 j + d jh 3 j b j+1 = b j + 2 c j h j + 3 d j h 2 j c j+1 = c j + 3 d j h j per j = 0, 1,..., n 1. Assieme alle condizioni (*) viste prima, queste danno un sistema algebrico lineare nei coefficienti c j.
Ricaviamo d j dalla terza equazione e sostituiamo nelle altre due: a j+1 = a j + b j h j + h2 j 3 (2 c j + c j+1 ) b j+1 = b j + h j (c j + c j+1 ) (*) Dalla prima di queste ricaviamo b j : b j = a j+1 a j 2 c j + c j+1 h j h j 3 b j 1 = a j a j 1 h j 1 h j 1 2 c j 1 + c j 3 da cui Sostituendo nella (*) con j j 1 otteniamo il sistema
h j 1 c j 1 + 2 (h j 1 + h j )c j + h j c j+1 = 3 a j+1 a j h j 3 a j a j 1 h j 1 per j = 1, 2,..., n 1. I membri di destra sono noti, in quanto a j = f(x j ) e h j = x j+1 x j. Si tratta di un sistema del tipo Ax = b, con c 0 e c n assegnati dalle condizioni agli estremi: c 0 = c n = 0 per la spline naturale, mentre per la spline completa vengono assegnati b 0 = f (a) e b n = f (b). La matrice A è tridiagonale e soddisfa le proprietà richieste per l esistenza e l unicità della soluzione del sistema; quindi la soluzione è unica sia per la spline naturale che per la spline completa.
Spline naturale A = x = c 0 c 1... c n b = 3 a2 a1 h 1 3 an an 1 h n 1 0 3 a1 a0 h 0... 3 an 1 an 2 h n 2 0 1 0 0...... 0 h 0 2(h 0 + h 1 ) h 1...... 0 0 h 1 2(h 1 + h 2 ) h 2... 0.................. 0...... h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n 1 0............ 1
Spline completa A = x = c 0 c 1... c n b = 3 a1 a0 h 0 3 a2 a1 h 1 3 an an 1 h n 1 3 f (a) 3 a1 a0 h 0... 3 an 1 an 2 h n 2 3 f (b) 3 an an 1 h n 1 2 h 0 h 0 0...... 0 h 0 2(h 0 + h 1 ) h 1...... 0 0 h 1 2(h 1 + h 2 ) h 2... 0.................. 0...... h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n 1 0...... 0 h n 1 2 h n 1
Theorem (Stima dell errore) Sia f C 4 [a, b] e sia M = max x [a,b] f(4) (x). Allora, se S(x) è la spline completa (unica) per la funzione f sui nodi a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b allora 5 M max f(x) S(x) x [a,b] 384 max (x j+1 x j ) 4 0 j n 1 Applicazioni La costruzione degli algoritmi di interpolazione tramite splines implica la risoluzione di un sistema lineare, che vedremo in futuro. Per ora accontentiamoci di qualche esempio elementare.