Università Politecnica delle Marche Scuola di Dottorato di Ricerca in Scienze dell Ingegneria Curriculum in Ingegneria delle Strutture e delle Infrastrutture ---------------------------------------------------------------------------------------- Studio e ottimizzazione di geosintetici per pavimentazioni flessibili rinforzate Tutor: Prof. Francesco Canestrari Dottorando: Leonello Belogi Coordinatore del Curriculum: Prof. Francesco Canestrari XI ciclo nuova serie
Università Politecnica delle Marche Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile e Architettura Via Brecce Bianche 60131 - Ancona, Italia
Abstract In road construction, pavement rehabilitation reinforcement systems can be employed to improve pavement service life. In particular, many studies focused on geosynthetics, materials widely used as reinforcement systems. The main objectives of this experimental research was to study the effects produced by geosynthetic and to implement their properties for asphalt pavement. The work program was divided in two different parts. The first step describes the construction of two trial sections. A glass fiber grid and a carbon fiber grid were installed at the interface between two asphalt layers of pavement. Moreover, one of the two abovementioned sections was instrumented in order to measure the stress-strain. The reinforced pavements are part of the international project RILEM Advanced Interface Testing of Geogrids in Asphalt Pavements developed by laboratory tests and in situ observations. The second part of the research intended to improve geocomposites with tests carried out in laboratory. In order to evaluate the effects of various variables on bituminous systems, different types of geocomposites were studied.the laboratory study developed has allowed the selection of an optimun geocomposite for road applications. ASTRA shear tests, three point-bending tests (3PB) and fuor point-bending tests (4PB) were carried in the experimental program. The experimental findings systems showed a reduction of interface shear resistance and an enhanced flexural resistance in reinforced geosynthetics.
Abstract L inserimento di un sistema di rinforzo all interno delle pavimentazioni stradali può migliorare le prestazioni della sovrastruttura e prolungarne la vita utile, sia in nuove costruzioni che in interventi di manutenzione. In particolare numerosi studi si sono concentrati sull utilizzo di geosintetici come sistemi di rinforzo in campo stradale. La sperimentazione è stata incentrata simultaneamente su due distinti ambiti di ricerca. Una primo ambito ha riguardato la realizzazione e lo studio di due tronchi pilota in vera grandezza. All interfaccia delle pavimentazioni rinforzate sono state inserite geogriglie in fibra di vetro e in fibra di carbonio, inoltre, un tronco sperimentale è stato dotato di strumentazioni per misurare lo stato tenso-deformativo generato dal passaggio di veicoli. Tale studio ha previsto prove di laboratorio e osservazioni in sito nell ambito del progetto di ricerca internazionale RILEM Advanced Interface Testing of Geogrids in Asphalt Pavements. Il secondo ambito, invece, ha riguardato il processo di ottimizzazione di un particolare geocomposito mediante prove di laboratorio. A tal fine sono state studiate diverse varianti di geocomposito che hanno consentito di valutare gli effetti prodotti da alcune variabili significative nei sistemi bituminosi bistrato. Il processo di ottimizzazione ha consentito di individuare una configurazione adeguata alla realizzazione di un geocomposito per impieghi stradali. Le indagini di laboratorio, in entrambi i casi, sono state eseguite mediante prove di taglio diretto ASTRA, prove di flessione statica su 3 punti (3PB) e prove dinamiche flessionali su 4 punti (4PB). Le evidenze sperimentali hanno permesso di osservare una inevitabile diminuzione delle prestazioni a taglio e un consistente aumento della resistenza a carichi flessionali nei sistemi rinforzati con geosintetici.
Indice 1. Introduzione 1 2. Il rinforzo delle pavimentazioni stradali 3 2.1 Introduzione... 3 2.1.1 Dissesti delle pavimentazioni stradali... 3 2.2 Materiali di rinforzo... 5 2.3 Geosintetici per pavimentazioni stradali... 6 2.3.1 Geosintetici: materiali e tipologie... 6 2.4 Studi sperimentali, funzioni e applicazioni... 9 2.4.1 Rinforzo degli strati non legati... 9 2.4.2 Rinforzo degli strati legati... 13 3. Metodologie di prova 21 3.1 Prova di taglio ASTRA... 21 3.2 Prova di flessione dinamica su 4 punti (4PB)... 31 3.3 Prova di flessione statica su 3 punti (3PB)... 40 PARTE A Realizzazione e studio di tronchi pilota sperimentali 4. Realizzazione di tronchi pilota sperimentali RILEM Interlaboratory Project TC 237-SIB 43 4.1 Introduzione... 43 4.2 Tronco pilota strumentato... 44 4.2.1 Organizzazione generale e logistica... 44 4.2.2 Progetto della pavimentazione strumentata... 45 4.2.3 Strumentazione e posizionamento... 47 4.2.4 Messa a punto del sistema di acquisizione dati... 48 4.2.5 Costruzione tronco e installazione della strumentazione... 49 4.2.6 Verifica della strumentazione e prove in sito... 53 4.3 Tronco pilota non strumentato... 44 4.3.1 Introduzione... 54 4.3.2 Organizzazione generale e dimensioni... 54 4.3.3 Fasi costruttive... 55 5. Programma sperimentale 60 5.1 Geogriglie di rinforzo... 60 5.2 Materiali bituminosi... 61 5.3 Programma prove di laboratorio... 62
6. Analisi dei risultati 65 6.1 Introduzione... 65 6.2 Risultati prova ASTRA... 65 6.3 Risultati prova di flessione su 3 punti (3PB)... 74 6.4 Risultati prova di flessione su 4 punti (4PB)... 78 6.5 Osservazioni e misurazioni in sito... 81 7. Conclusioni 88 PARTE B Processo di ottimizzazione di geocompositi 8. Ottimizzazione sperimentale di laboratorio 90 8.1 Introduzione... 90 8.2 Fase Preliminare... 91 8.2.1 Geocompositi... 91 8.2.2 Programma sperimentale... 93 8.3 Fase 1... 95 8.3.1 Geocompositi... 96 8.3.2 Materiali bituminosi... 97 8.3.3 Programma sperimentale... 98 8.3.4 Procedura di confezionamento piastre... 100 8.4 Fase 2... 103 8.4.1 Geocompositi... 104 8.4.2 Materiali bituminosi... 104 8.4.3 Programma sperimentale... 105 9. Analisi dei risultati 108 9.1 Introduzione... 108 9.2 Prova ASTRA... 108 9.2.1 Fase Preliminare... 108 9.2.2 Fase 1... 112 9.2.3 Fase 2... 121 9.3 Prova di flessione su 3 punti (3PB)... 128 9.3.1 Fase 1... 128 9.3.2 Fase 2... 134 9.4 Prova di flessione su 4 punti (4PB)... 141 9.4.1 Fase 2... 141 10. Conclusioni 154 Bibliografia 156
Capitolo 1. Introduzione La pavimentazione stradale è la parte dell infrastruttura viaria destinata alla viabilità. Affinché la circolazione stradale avvenga in sicurezza e all utente sia garantito un determinato livello di confort alla guida, occorre che la sovrastruttura possegga adeguate caratteristiche geometriche e funzionali. Tale scopo può essere perseguito, oltre che con una buona progettazione e costruzione della pavimentazione, pianificando interventi di manutenzione durevoli nel tempo. Infatti, l obiettivo della manutenzione stradale è di garantire un livello soddisfacente delle caratteristiche funzionali lungo tutto l arco della vita utile dell infrastruttura. In tale contesto, l intervento di risanamento più diffuso nel campo delle pavimentazioni stradali, consiste nell inserimento di un nuovo strato di conglomerato bituminoso al di sopra della superficie ammalorata. Generalmente, però, questo tipo di intervento non risulta essere la soluzione più efficace e duratura, infatti, trascorso poco tempo dall esecuzione dell intervento la superficie viabile si presenta nuovamente dissestata. Le ridotte disponibilità economiche di enti ed amministrazioni pubbliche, spingono i ricercatori ed i tecnici del settore ad individuare soluzioni tecniche e progettuali, in grado di coniugare economicità e durabilità degli interventi. In particolare, sono stati studiati materiali e miscele bituminose in grado di rispondere sempre più a requisiti prestazionali elevati. Inoltre, negli ultimi decenni, si è cercato di studiare tramite programmi sperimentali di laboratorio e progetti applicativi in sito l effetto prodotto dall eventuale inserimento di un strato di rinforzo all interno della sovrastruttura. Tale strato può avere varie conformazioni e può differenziarsi, sia nella geometria sia nella struttura di base (composizione e materiali costituenti). I materiali di rinforzo più diffusi per gli impieghi stradali sono di natura metallica e geosintetica. In alcuni casi, tali rinforzi sono stati sviluppati specificamente per il corpo stradale, in altri, invece, sono stati impiegati prodotti commerciali già utilizzati in altri campi delle costruzioni. Attualmente, gli studi sperimentali e le applicazioni tecniche vengono condotti prevalentemente sui materiali geosintetici. L obiettivo della ricerca scientifica in tale ambito è di valutare, tramite studi teorici, sperimentali ed osservazioni su scala reale, gli effetti generati dall interposizione di uno strato di rinforzo all interno di strati bituminosi legati. Infatti, l inserimento di un elemento intermedio di opportuna rigidezza, può produrre una variazione nel comportamento meccanico-strutturale dell opera e generare effetti differenti in relazione alla sollecitazione presa in considerazione. In tale contesto, lo studio sviluppato e descritto nel presente documento ha l obiettivo di migliorare la comprensione sull effettivo contributo che i materiali geosintetici possono produrre all interno degli strati legati di una pavimentazione flessibile, e ottenere materiali con prestazioni adeguate agli impieghi stradali. Al fine di raggiungere suddetti scopi, si è approfondita la conoscenza sull utilizzo dei geosintetici in pavimentazioni stradali mediante 1
lo studio dello stato dell arte; successivamente è stato pianificato un programma di ricerca sperimentale e, infine, quest ultimo è stato realizzato mediante prove di laboratorio, osservazioni in sito, e relative elaborazioni ed interpretazioni dei risultati. Come materiali di rinforzo sono state studiate e analizzate due differenti tipologie di geosintetici, appartenenti, a seconda del caso, alla categoria delle geogriglie e alla tipologia dei geocompositi. Ne deriva che, al fine di organizzare la sperimentazione in maniera funzionale e consona alle specifiche esigenze, l attività sperimentale è stata articolata e sviluppata sue due progetti di ricerca distinti. Tuttavia, gli obiettivi generali alla base di tali progetti sono stati comuni e si sono integrati a vicenda. Il presente documento ha lo scopo di descrivere, presentare e riassumere l attività svolta. In particolare, dopo una prima parte generale e comune ad entrambi i progetti di ricerca, costituita dalla descrizione degli studi sperimentali sui rinforzi e dalle metodologie di prova di prova adottate, si entra nel merito delle sperimentazioni eseguite tramite l organizzazione in due differenti parti: Parte A e Parte B, che nel seguito vengono brevemente introdotte. Parte A: Realizzazione e studio di tronchi sperimentali pilota. Tale attività è rientrata nell ambito della partecipazione ad un progetto di ricerca internazionale del RILEM dal titolo Advanced Interface Testing of Geogrids in Asphalt Pavements che ha previsto la realizzazione di due diversi tronchi sperimentali. Il tronco sperimentale non strumentato è stato costruito con lo scopo di ricavare campioni da inviare ai laboratori partecipanti al progetto di interlaboratory test, invece, il tronco strumentato è stato realizzato per osservare il comportamento di una pavimentazione rinforzata sotto l azione del traffico. I rinforzi studiati nella sperimentazione sono stati due geogrligie, una in fibra di vetro e l altra in fibra di carbonio. Il programma sperimentale ha previsto l esecuzione in laboratorio di prove statiche e flessionali, e osservazioni in sito circa la risposta nel tempo della pavimentazione strumentata sotto l azione dei carichi da traffico. Parte B: Processo di ottimizzazione di geocompositi. Ha riguardato il processo di ottimizzazione realizzato con l obiettivo di produrre geocompositi idonei ad applicazioni stradali. A tal fine, è stata avviata anche una proficua collaborazione con un azienda operante nel settore della produzione di geomembrane, grazie alle quale è stato possibile studiare differenti tipologie di geocomposito. Per ottenere il geocomposito sono stati accoppiati una geomembrana e un armatura di rinforzo. Durante la sperimentazione, poi, è stato possibile analizzare l influenza prodotta nei sistemi rinforzati da alcune variabili prese in considerazione, quali: il tipo di mescola, la tipologia del rinforzo, la dimensione della maglia del rinforzo, l ubicazione del rinforzo, la tipologia di trattamento superficiale, l influenza della superficie di posa, e la tipologia e il tempo di maturazione della mano d attacco. Sono state eseguite prove e relative elaborazioni - a flessione e taglio - sia su provini confezionati in laboratorio che su campioni prelevati in sito. Il programma sperimentale è stato articolato su 3 fasi distinte e consequenziali che hanno permesso, in base alle evidenze sperimentali, di modificare e ottimizzare il geocomposito in base agli aspetti specifici investigati. 2
Capitolo 2. Il rinforzo delle pavimentazioni stradali 2.1. Introduzione Attualmente, nel campo delle costruzioni stradali, gli interventi più consistenti riguardano il risanamento delle pavimentazioni ammalorate. Infatti, la posa in opera di un nuovo strato di conglomerato bituminoso non costituisce, generalmente, una soluzione duratura. Per tale motivo, negli ultimi decenni, la ricerca ha focalizzato l interesse verso soluzioni capaci di generare interventi durevoli, in particolare, sono stati sviluppati materiali dotati di caratteristiche adeguate per la manutenzione. 2.1.1 Dissesti delle pavimentazioni stradali L utilizzo dei geosintetici, nella manutenzione delle pavimentazioni stradali, può avvenire sia negli strati legati sia negli strati non legati, in base alla funzione che tali rinforzi debbono assolvere. Al fine di comprendere meglio le problematiche che interessano l infrastruttura, occorre conoscere i principali dissesti che si possono creare durante la vita utile della pavimentazione. Infatti, conoscendo il tipo di dissesto e la relativa causa, è possibile adottare soluzione tecniche e materiali adeguati al fine di migliorare o risanare la pavimentazione. Le cause di ammaloramento delle sovrastrutture stradali sono molteplici, ma i meccanismi di rottura sono riconducibili principalmente a tre tipologie, quali: la fessurazione da fatica, l ormaiamento e la fessurazione di riflessione. Nel seguito vengono brevemente descritte e spiegate. La fessurazione da fatica: viene generata dall azione ciclica dei carichi da traffico sulla pavimentazione. Infatti, il passaggio ripetuto dei veicoli sulla superficie induce alternativamente tensioni di trazione e compressione. Il conglomerato bituminoso è un materiale che possiede scarsa resistenza a trazione, per cui i carichi da traffico producono nel tempo la fessurazione. L innesco di tali fessure si presenta nella zona dove le tensioni risultano più elevate, ovvero alla base degli strati legati, per poi propagarsi fino in superficie. In Figura 2.1 è possibile osservare lo schema e una superficie ammalorata sulla quale, risulta evidente, la presenza della fessurazione a fatica. 3
Figura 2.1 Fessurazione da fatica L ormaiamento: causato da un accumulo di deformazioni permanenti, si presenta con depressioni longitudinali, generalmente in corrispondenza della zona di passaggio delle ruote dei veicoli (Figura 2.2). Il fenomeno può interessare gli strati legati e, in tal caso, manifestarsi a seguito di azioni cicliche di taglio in superficie. Oppure, può coinvolgere gli strati non legati a causa di un inadeguata redistribuzione dei carichi o della scarsa capacità portante del sottofondo. Figura 2.2 Meccanismo di ormaiamento 4
La fessurazione di riflessione: causato dalla risalita in superficie di fessure presenti nello strato sottostante. In questo caso la rottura della pavimentazione avviene per propagazione delle fessure presenti nella vecchia pavimentazione attraverso lo strato superficiale sovrastante, in seguito al rifacimento di nuovo manto di usura. Tale fenomeno è riconducibile all incapacità del nuovo strato di opporsi alle tensioni di taglio e di trazione create da movimenti concentrati attorno alla fessura preesistente nello strato inferiore. E una delle maggiori problematiche che si riscontrano nel risanamento di pavimentazioni ammalorate (Figura 2.3). Figura 2.3 Fessurazione di riflessione Questo fenomeno è dovuto all effetto di richiamo, che le fessure esistenti esercitano, a seguito dei movimenti indotti dai carichi di traffico o dalle variazioni termiche giornaliere e stagionali, sui nuovi strati sovrastanti. 2.2 Materiali di rinforzo I materiali che vengono impiegati nel campo stradale hanno diversa natura e possono essere raggruppati in due categorie principali: i materiali metallici ed i geosintetici. L impiego di interstrati nelle pavimentazioni stradali ha come obiettivo principale quello di prolungare la vita utile dell infrastruttura. In quest ottica, non necessariamente si richiede ai materiali impiegati di possedere un elevata rigidezza o una specifica funzione di rinforzo strutturale, ma di avere caratteristiche tali da garantire il miglioramento rispetto ad alcuni dissesti tipici delle pavimentazioni. Un materiale capace di ritardare o impedire alcuni processi di dissesto della pavimentazione, quali la propagazione della rottura o la penetrazione dell acqua all'interno della sovrastruttura stradale, può procurare beneficio a tutta la sovrastruttura. In molti casi, quindi, gli interstrati non apportano alcun miglioramento alle caratteristiche meccaniche della pavimentazione, al contrario l effetto di sconnessione che essi producono possono causare la diminuzione della resistenza a taglio all interfaccia, tuttavia il loro contributo al rallentamento dei processi di danneggiamento, anche se con meccanismi diversi da quello della portanza, ne giustifica l impiego. 5
Inquadrate le varie problematiche che investono la progettazione, la realizzazione e la manutenzione delle infrastrutture stradali, si intuisce il successo registrato in questo settore da parte dei rinforzi e l interesse generale per materiali speciali, laddove questi portino a nuovi ed efficaci accorgimenti costruttivi. I geosintetici, per caratteristiche e proprietà, hanno offerto soluzioni e flessibilità d impiego tali da garantirne lo sviluppo tramite la ricerca, la produzione e l impiego nel settore stradale. I geosintetici a loro volta sono suddivisi in: - geotessuti; - geogriglie; - geomembrane; - geocompositi. Nel seguito si parlerà solamente dei materiali geosintetici dal momento che questi ultimi sono oggetto di studio di tale sperimentazione. 2.3 Geosintetici per pavimentazioni stradali 2.3.1 Geosintetici: materiali e tipologie Nel seguito vengono affrontate separatamente le trattazioni riguardanti i materiali di base costituenti i geosintetici, e le differenti tipologie e conformazioni che questi possono assumere. Materiali In questa parte vengono descritti in maniera sintetica i principali materiali che compongono i geosintetici. Nel dettaglio essi sono costituiti da: - polietilene (PE); - polipropilene (PP); - poliestere (PET); - fibra di vetro. Il polietilene (PE) è un polimero costituito da lunghe catene di monomeri di etilene. Ne esistono due tipologie differenti, l HDPE (ad alta densità) e l LDPE (a bassa densità). L HDPE ha un minor grado di ramificazione, maggiori forze intermolecolari e resistenza a trazione rispetto all LDPE. Per questo motivo l HDPE è il polimero maggiormente utilizzato per la realizzazione dei geosintetici. Il polipropilene (PP) è uno dei materiali più impiegati per la produzione di geotessili ed è costituito dalla polimerizzazione di monomeri di polipropilene. Ha una buona resistenza agli agenti chimici aggressivi e buone proprietà meccaniche. Il poliestere (PES) utilizzato nei geosintetici, è ottenuto dal polietilene tereftalato, che viene polimerizzato attraverso la policondensazione del monomero di base. Ha una maggiore resistenza e un minore rilassamento (creep) se paragonato con altri materiali geosintetici. 6
Le fibre di vetro sono materiali ottenuti da filamenti estremamente fini di vetro. Si utilizzano come elemento di rinforzo abbinati ad altri prodotti polimerici. Le fibre di vetro sono molto utili per il loro elevato rapporto tra superficie e peso, mostrano inoltre elevata resistenza a trazione (Tabella 2.1). Nome Densità Punto di fusione Resistenza a trazione Allungamento a rottura - [Kg/dm 3 ] [ C] [MPa] [%] Polipropilene (PP) 0,91 150-170 13-55 15-200 Polietilene (LDPE) 0,93 110-120 9-27 20-60 Polietilene (HDPE) 0,96 130-140 32-65 10-45 Poliestere (PET) 1,37 230 95-130 8-20 Fibra di vetro 2,5 850 175-300 2-5 Tabella 2.1 Caratteristiche fisiche dei principali materiali per geosintetici. Al fine di generare un effettivo contributo, tali materiali debbono fornire adeguate prestazioni meccaniche sia all interno del rinforzo di cui sono componenti, sia negli strati in cui vengono collocati. Infatti, poiché le pavimentazioni flessibili sono caratterizzate da deformazioni verticali relativamente piccole, le caratteristiche tenso-deformative dei materiali di rinforzo, devono essere tali da poter erogare una notevole forza già per piccole deformazioni, ovvero possedere un'elevata rigidezza. Ad esempio, alcuni studi [1]effettuati sulle geogriglie polimeriche hanno dimostrato che la resistenza delle reti è influenzata da due aspetti fondamentali: - l orientamento del polimero; - il rivestimento superficiale. Infatti, secondo Carter et al. [1] l obbiettivo di migliorare e raggiungere una maggiore resistenza a trazione delle griglie polimeriche, può essere ottenuto orientando e organizzando le molecole del polimero secondo una lunga catena allineata nella direzione della resistenza richiesta. Questo può essere ottenuto mediante la connessione di fili o fibre di polimeri, orientati fino a formare una maglia regolare, o in alternativa mediante la perforazione di fogli polimerici continui. Il secondo metodo, studiato da Carter permette di ottenere una griglia orientata con giunti rigidi. La ricerca condotta, ha dimostrato chiaramente che il foglio polimerico poteva, quando perforato con un preciso disegno delle aperture, essere allungato in una o entrambe le direzioni, conferendo a seconda dei casi un comportamento monoassiale o biassiale alla griglia (Figura 2.4). Con un attenta selezione dei gradi di densità dei polimeri utilizzati (HDPE) e determinando la corretta forma delle aperture, spesso molto complesse, la resistenza a trazione ottenuta da Carter, con l orientamento dei polimeri, è risultata pari a 500 MPa, equivalente ad un acciaio dolce di buona qualità. 7
Figura 2.4 Processo produttivo reti monoassiali e biassiali [1] Altro aspetto fondamentale che condiziona in maniera rilevante le prestazioni meccaniche delle geogriglie, è il rivestimento superficiale; a questo scopo lo studio svolto da Aldea et al. [2] ha fornito utili indicazioni. L obiettivo della ricerca è stato quello di indagare l effetto che il diverso rivestimento superficiale, eseguito su rinforzi per pavimentazioni stradali in fibra di vetro, ha sul comportamento prestazionale delle reti. I risultati sperimentali ottenuti, hanno dimostrano che, indipendentemente dal rivestimento applicato, il trattamento superficiale migliora le caratteristiche di resistenza dei prodotti studiati. La resistenza a trazione è inoltre influenzata, anche se in maniera meno marcata rispetto al tipo di polimero, dalla tecnica di esecuzione del rivestimento. Tipologie Come già accennato, esistono diversi tipi di rinforzo, ognuno con proprie caratteristiche meccaniche, funzioni e specifici utilizzi. Di seguito si riportano le tipologie più impiegate nel campo delle pavimentazioni stradali. I geotessuti: sono prodotti permeabili piani, costituiti da materiali polimerici. Hanno diverse funzioni nel campo dell ingegneria civile, in particolare nelle sovrastrutture stradali, tra cui le principali sono: la separazione, la filtrazione, il drenaggio e la protezione. I geotessuti possono essere divisi in due gruppi principali: geotessili tessuti e geotessili non tessuti. Un geotessile non tessuto è costituito da filamenti distribuiti in maniera casuale, coesionati mediante trattamento meccanico, termico o chimico. Il geotessile tessuto, invece, è costituito da fili intrecciati secondo due direzioni, in genere ortogonali. Le geogriglie: sono materiali a struttura planare, polimerica e reticolare, resistente a trazione, costituiti da elementi connessi tra loro. Sono utilizzate per ottemperare la funzione di rinforzo, laddove non è richiesta particolare funzione impermeabilizzante. Sono derivate dall estrusione e dallo stiramento di polietilene o polipropilene, oppure dalla tessitura di fibre di poliestere ad alta resistenza. Infine, sono costituite da strisce di materiale saldate tra loro ad ottenere una griglia, con dimensioni delle maglie dai 5 ai 30 mm. Le geogriglie svolgono una funzione di rinforzo, favorita dalla loro particolare struttura, in grado di esercitare un effetto cerchiante rispetto alle particelle di conglomerato, che trovano alloggio nelle aperture della geogriglia stessa. 8
Le geogriglie possono essere di tipo estruso, di tipo tessuto o a nastri saldati. Si parla, anche, di geogriglie di tipo monoassiale o biassiale, a seconda che sviluppino resistenza a trazione in un unica direzione o in entrambe le direzioni principali. I geocompositi: sono materiali derivanti dalla combinazione di due o più geosintetici, con un ampio spettro di utilizzo, a seconda dei materiali impiegati, accoppiando funzione di rinforzo, impermeabilizzazione, protezione. Le geomembrane: sono membrane bituminose impermeabili, in genere costituite da un sistema tristrato, di cui quello inferiore, formato da un compound bituminoso con superficie inferiore autoadesiva, quello centrale costituito da una griglia in fibra di vetro e quello superiore formato da un compound bituminoso con superficie superiore termoadesiva. Si utilizza, laddove è richiesta particolare capacità impermeabilizzante, su pavimentazioni con fessurazioni di severità anche elevata. 2.4 Studi sperimentali, funzioni e applicazioni Le prestazioni e le funzioni che i geosintetici sono in grado di svolgere dipendono dai materiali costituenti, dalla loro geometria nonché dalla collocazione che essi hanno all interno dell infrastruttura stradale. Sono riportati, nei paragrafi che seguono, alcuni studi sperimentali e ricerche effettuati nel tempo, al fine di fornire ulteriori informazioni e conoscenze riguardanti il comportamento, gli impieghi e gli effetti prodotti nell ambito delle costruzioni stradali. 2.4.1 Rinforzo degli strati non legati Un problema frequente, delle pavimentazioni stradali, è la riduzione di portanza della fondazione. Tale fenomeno può essere locale, per plasticizzazione del sottofondo, oppure diffuso, per effetto di una perdita delle proprietà meccaniche dello strato di fondazione. E possibile ottenere un effetto di rinforzo interponendo fra il sottofondo e lo strato di fondazione, o direttamente all interno del misto granulare, un geosintetico. L applicazione tecnica deriva dalla necessità di aumentare la capacità portante degli strati non legati o dei terreni di sottofondo scadenti, e per separare e filtrare terreni a diversa granulometria, nella stratigrafia di fondazione stradale. A seconda dei casi, è possibile orientare la scelta progettuale sul materiale che presenta le caratteristiche di rinforzo, separazione e/o filtrazione ottimali, in base alla situazione specifica. In presenza di sottofondi argillosi, ad esempio, si possono verificare risalite di materiale fino ai vuoti dello strato di fondazione, riducendone le proprietà meccaniche e compromettendo la rigidezza flessionale dell intera pavimentazione. Il rinforzo si ottiene, interponendo fra il sottofondo e lo strato di fondazione, un geotessile non tessuto di adeguata grammatura, capace di evitare la contaminazione dello strato non legato. Le geogriglie utilizzate negli strati granulari delle pavimentazioni stradali, sono nella maggior parte dei casi di tipo biassiale. La griglia è in grado di produrre un effetto di rinforzo, tramite cerchiatura e confinamento degli aggregati. Quando il materiale granulare viene compattato sulla rete, i grani penetrano nelle aperture e trattenuti dalle costole, rimangono solidali tra loro, sotto l azione dei carichi trasmessi dal traffico (Figura 2.5). 9
L effetto di contenimento, esercitato dalla griglia, ha la duplice funzione di separazione e rinforzo. La separazione evita la miscelazione delle particelle granulari con il sottofondo più soffice e la contaminazione del materiale, mantenendo intatte le proprietà meccaniche e drenanti della fondazione. Il cerchiaggio degli aggregati riduce, invece, le deformazioni all interno dello strato granulare, sotto l azione dei carichi esercitati dai veicoli. Figura 2.5 Meccanismo di interbloccaggio [1] Affinché la funzione di interbloccaggio tra i grani possa funzionare in modo efficace, secondo Carter et al. [1], è necessario che le geogriglie rispettino tre caratteristiche fondamentali: - elevata rigidezza a basse deformazioni, in modo da fornire forze di trazione consistenti con minimi allungamenti; - giunzioni delle costole ad alta resistenza; - forma della maglia rettangolare. Al fine di quantificare l efficacia del rinforzo operato dalle geogriglie negli strati non legati delle pavimentazioni flessibili, Al-Qadi et al. [3] hanno condotto prove di carico, simulando il passaggio degli pneumatici sulla superficie di tre tronchi stradali diversamente rinforzati. Le sezioni realizzate si sono differenziate per lo spessore degli strati legati, l altezza dello strato di fondazione e la posizione dei rinforzi. La Figura 2.6 mostra una sezione longitudinale del tratto investigato e lo schema seguito per il posizionamento delle reti. 10
Figura 2.6 Sezione longitudinale del tratto sperimentale [3] In fase di preparazione, sono stati installati degli strumenti di rilevamento, a diverse profondità della pavimentazione, tra cui: celle di pressione, estensimetri, trasduttori di spostamento e piezometri. I risultati ottenuti hanno mostrato, per tutte le sezioni rinforzate con la geogriglia, minori deformazioni e tensioni verticali alla base degli strati legati, minori deformazioni verticali del sottofondo e riduzione delle deformazioni orizzontali della fondazione. In particolar modo, la geogriglia è stata in grado di ridurre il trasferimento degli sforzi di taglio agli strati sottostanti. La risposta degli strumenti di misurazione, ha inoltre evidenziato che le deformazioni orizzontali dello strato di fondazione, nelle sezioni di controllo (senza rinforzo), erano significativamente maggiori, rispetto a quelle delle sezioni rinforzate, nella direzione di avanzamento del traffico. Le prove hanno anche mostrato che le sezioni non rinforzate, deterioravano più rapidamente, rispetto a quelle con l interposizione delle reti e che per strati di fondazione di altezza superiore a 300 mm, la posizione ottimale del rinforzo è risultata ad una profondità, pari ad un terzo dello spessore di fondazione. F. Saleh et al. [4] hanno affrontato il problema della determinazione delle deformazioni orizzontali e verticali, in pavimentazioni rinforzate con geogriglie, utilizzando un software agli elementi finiti. La geogriglia è stata modellata come un elemento monodimensionale elastico lineare ed i carichi sono stati considerati monotoni. Le simulazioni, sono state svolte, considerando uno o due elementi di rinforzo, all interno degli strati granulari e facendo variare di volta in volta la loro posizione all interno dello spessore di fondazione. La Figura 2.7 mostra le elevate deformazioni a cui è soggetta la pavimentazione senza rinforzo, a seguito dell applicazione dei carichi. 11
Figura 2.7 Modellazione della pavimentazione senza geogriglia [4] Figura 2.8 Modello con una singola rete in mezzeria dello strato di fondazione [4] Figura 2.9 Modello con doppia rete in mezzeria e alla base dello strato di fondazione [4] I risultati evidenziano come l uso di reti negli strati granulari, determini una diminuzione delle deformazioni orizzontali e in maniera più significativa quelle verticali e come queste ultime, siano intimamente legate alla posizione che la rete assume all interno della fondazione (Figure 2.7 2.9). La presenza del geosintetico produce, quindi, un notevole cambiamento dello stato di sforzo e di deformazione della pavimentazione e del sottofondo stradale. Gli sforzi di trazione indotti dal traffico veicolare, vengono trasferiti dall aggregato al rinforzo, grazie all azione di confinamento laterale esercitata dalla rete, consentendo di ridurre considerevolmente le deformazioni orizzontali, quindi quelle 12
verticali. Il meccanismo di interblocco favorisce la distribuzione degli sforzi sul sottofondo, riducendo i cedimenti differenziali e nel contempo permette di controllare la formazione di ormaie sulla superficie stradale. 2.4.2 Rinforzo degli strati legati Come si è analizzato in precedenza, la causa per la quale si formano le fessure negli strati delle pavimentazioni stradali, è sostanzialmente riconducibile alle caratteristiche dei conglomerati bituminosi, quali, ad esempio, la scarsa resistenza a trazione, che può essere superata anche per bassi valori delle deformazioni. I geosintetici, utilizzati come rinforzo, hanno fondamentalmente, la funzione di assorbire le tensioni e le deformazioni orizzontali, impedendo la formazione e la propagazione delle fessure. Il loro posizionamento, all interno della sovrastruttura, dipenderà dalla problematica che si intenderà affrontare. Ai prodotti, da utilizzare come rinforzo all interno degli strati di conglomerato bituminoso, sono richieste una serie di caratteristiche di base, quali: - possedere una naturale aderenza con il materiale da rinforzare; - resistere alle sollecitazioni indotte durante le fasi di posa; - manifestare un comportamento simile alla dilatazione termica, in modo da accumulare la minor parte possibile di tensioni indotte, dal mancato allungamento termico; - essere soggetto alla minima perdita di resistenza, per le sollecitazioni mantenute costanti nel tempo (effetto creep). Il primo importante contributo sull impiego dei geosintetici, negli strati legati della pavimentazione, viene fornito da Brown et al. [5] investigando sull efficacia delle griglie polimeriche ad alta resistenza. La ricerca svolta, ha interessato una serie di prove di laboratorio, in grado di simulare le reali condizioni di stress causate dal traffico, su sistemi in conglomerato bituminoso, rinforzati da geogriglie in polipropilene, con apertura delle maglie di 49 x 63 mm (Figura 2.10). L influenza delle reti, sullo sviluppo delle deformazioni permanenti (ormaiamento), è stata valutata applicando, su delle lastre in conglomerato bituminoso, di dimensioni in pianta di 120 x 34 mm e spessori variabili da 80 e 100 mm, il carico ripetuto di una ruota in movimento con velocità di 8 km/h e pressione di contatto di 415 kpa. Figura 2.10 Dimensioni della rete utilizzata da Brown [5] 13
La griglia è stata posta ad una profondità compresa tra 0,4 e 0,8 dello spessore dello strato e tutte le prove sono state eseguite ad una temperatura di 30 C, con un massimo di 50.000 passaggi della ruota. I risultati ottenuti (Figura 2.11), hanno dimostrato una riduzione dell ormaiamento, nei provini rinforzati, dal 20 al 58% rispetto a quelli senza rinforzo. Figura 2.11 Sviluppo delle deformazioni permanenti [5] In particolare, l interposizione della griglia all interno dello strato di conglomerato bituminoso o all interfaccia tra due strati, ha ridotto il fenomeno dell ormaiamento fino ad un massimo del 58%, quando la sua profondità era a circa un quarto del diametro dell area di carico. In tutti i casi, l utilizzo della griglia, ha prodotto un aumento di circa tre volte della vita utile dei sistemi studiati. Altro aspetto importante, affrontato da Brown nell ambito dello stesso studio, ha riguardato l efficacia dei rinforzi nel contrastare la fessurazione di riflessione. E evidente dalle osservazioni sul campo, che negli strati di sovrapposizione, la fessurazione di riflessione può essere causata dagli effetti di richiamo che le fessure esistenti esercitano, a causa dei loro movimenti indotti dai carichi di traffico e dalle variazioni termiche a lungo termine, sui nuovi strati sovrastanti. L applicazione di un geosintetico su una superficie fessurata, prima di effettuare una sovrapposizione, può eliminare del tutto il fenomeno della fessurazione di riflessione. I test svolti da Brown hanno preso in considerazione solo gli effetti indotti dai carichi di traffico, tralasciando le variazioni termiche a lungo termine. Le travi in conglomerato bituminoso, di dimensioni 525 x 525 x 10 mm, impiegate per la sperimentazione, sono state sistemate su due assi di compensato di alta qualità, distanziate al centro di 1 cm, quindi sollecitate con un carico ciclico variabile da 1,3 a 8,3 kn (Figura 2.12). 14
Figura 2.12 Apparecchiatura per il controllo della fessurazione di riflessione [5] Dai risultati è emerso che, quando la griglia è stata posta a metà ed a tre quarti della profondità delle travi, sono comparse delle microfratture, ma per far si che queste raggiungessero la stessa lunghezza di quelle osservate sulle travi non rinforzate, è stato necessario applicare un numero di cicli di carico tre volte maggiore. Nella serie di prove con il rinforzo posto alla base non è comparsa nessuna fessura. Caltabiano e Brunton [6] in merito allo studio della fessurazione di riflessione, hanno sviluppato un impianto di prova in grado di simulare contemporaneamente gli effetti termici e di carico. I loro risultati hanno mostrato che l effetto di rinforzo fornito dalla rete, è in grado di aumentare la vita utile della pavimentazione, di un fattore pari a 10. Il lavoro sperimentale, svolto da Francken e Vanelstraete [7], al fine di quantificare l estensione della vita utile sotto l aspetto dello stress termico, conferma che un fattore pari a 10 è apparso plausibile per la progettazione, a condizione che la griglia sia in grado di sostenere uno sforzo relativamente grande, senza rottura. Allo scopo di fornire dati per lo sviluppo di metodi analitici, per la progettazione di pavimentazioni rinforzate, Brown ha completato lo studio iniziale [5] effettuando prove in grado di quantificare l aumento della vita a fatica, prodotto dalle geogriglie. Per simulare le condizioni della pavimentazione in sito, è stata utilizzata una strumentazione simile a quella impiegata per lo studio della fessurazione di riflessione, ma con travi di conglomerato di spessore leggermente inferiore. I risultati hanno mostrato che il posizionamento della rete, in prossimità della base dello strato, può incrementare la vita a fatica di un fattore pari a 10. Il fattore si riduce a 2, quando la griglia è collocata a un quarto dalla base Ciò conferma che l'inserimento della rete, deve avvenire dove le tensioni di trazione che causano la rottura, sono massime (Figura 2.13). E chiaro, a questo punto, che l aderenza fra geosintetico e conglomerato, riveste un ruolo fondamentale nel determinare l efficacia dell interstrato, in quanto consente l assorbimento degli sforzi e la redistribuzione delle tensioni, così come è altrettanto fondamentale, garantire un adeguato legame tra il conglomerato presente sopra la griglia e quello sottostante. 15
Figura 2.13 Deformazioni a fatica in funzione della posizione del rinforzo [5] I vantaggi di rinforzo ottenuti dall impiego degli interstrati, potrebbero essere vani, se la resistenza a taglio all interfaccia fosse notevolmente ridotta, causando lo slittamento degli strati. Questo problema è stato affrontato sin dall inizio da Brown [5] ed allo scopo è stata costruita una scatola di taglio (Figura 2.14), in grado di testare campioni a base quadrata di 320 mm di lato e spessore di 150 mm. I primi risultati hanno mostrato che l inserimento della griglia riduce, in maniera consistente, la resistenza a taglio all interfaccia. Figura 2.14 Scatola di taglio [5] Successivamente, tramite prove condotte applicando cicli lenti di carico, in grado di simulare le condizioni reali, Caltabiano e Brunton [6], hanno riscontrato una riduzione della resistenza a taglio del 20% quando era impiegata una geogriglia e fino al 30% quando si utilizzava un geotessile. Nell ambito di uno studio più recente, svolto da Brown et al. [8], la scatola di taglio, sviluppata nella precedente ricerca [5], è stata modificata con lo scopo di facilitare l applicazione di carichi ripetuti. L apparecchiatura è illustrata nella Figura 2.15. 16
Figura 2.15 Scatola di taglio diretto per carichi ciclici [8] Ogni campione è stato sottoposto a 1000 cicli di carico (2 Hz di frequenza) per ciascun livello di sollecitazione imposto. L incremento del carico è avvenuto a steps successivi, fino alla rottura del provino. La tensione verticale è stata mantenuta costante e pari a 200 kpa durante tutto il test ed in ogni fase della prova è stata determinata la rigidezza dell interfaccia, misurando la deformazione di taglio, tramite trasduttori di spostamento. I risultati hanno mostrato che la deformazione non aumenta linearmente con lo sforzo di taglio applicato, ovvero che la rigidezza a taglio varia con il livello di sforzo. In tutti i casi in cui era presente il rinforzo, inoltre, si è riscontrata una notevole riduzione di resistenza all interfaccia. Si intuisce, quindi, come il legame tra i geosintetici e gli strati di pavimentazione adiacenti, giochi un ruolo decisivo, affinché questi possano lavorare in maniera efficace e senza compromettere la stabilità della sovrastruttura. Proprio per tale motivo, è stato osservato [9] che le pavimentazioni multistrato rinforzate possono essere in grado di sopportare sforzi di taglio dell ordine di 10 15 kn su un area di 150 mm di diametro. Il confronto prestazionale tra diversi sistemi di rinforzo è stato effettuato, mediante l esecuzione di prove di taglio diretto LPDS (Figura 2.16), su provini cilindrici estratti da una stesa sperimentale. 17
Figura 2.16 Apparecchiatura di taglio LPDS [9] Prima della posa delle reti è stato applicato, sulla superficie fresata (3 cm) della pavimentazione esistente, uno strato adesivo di emulsione bituminosa in quantità pari a 150-200 g/m 2, quindi è stato steso uno strato superiore di 3 cm di conglomerato bituminoso, utilizzando le convenzionali attrezzature di compattazione. I campioni cilindrici del diametro di 150 mm estratti dalla pavimentazione, sono stati condizionati per 8 ore a 20 C in una camera climatica, quindi sottoposti a prove di taglio tramite la strumentazione mostrata in Figura 2.16. I risultati, ottenuti dalle reti in fibra di vetro, hanno mostrato una notevole riduzione del legame all interfaccia tra gli strati (Tabella 2.2). La rottura dei provini, sottoposti a prova di taglio, si è osservata per tutti, tra il nuovo strato e la superficie superiore della griglia, come conseguenza del fatto che la mano di attacco, precedentemente applicata, è stata in parte ricoperta dalla sovrapposizione dalla rete. Sample designation Composite shearing force kn O Sample without inlay 9,7 14,3 17,5 G Sample glass-grid inlay Average value: 2,8 Tabella 2.2 Risultati sperimentali [9] È chiaro quindi che esiste un legame diretto tra la dimensione delle maglie della rete, la superficie di contatto tra gli strati e la resistenza a taglio all interfaccia. In uno studio svolto nel 2006 da Canestrari et al. [10], sono state utilizzate due diverse geogriglie, con dimensioni delle aperture rispettivamente di 25 x 25 mm e 12,5 x 12,5 mm, per la preparazione di piastre bistrato in conglomerato bituminoso. Il trattamento all interfaccia 18
prevedeva l applicazione di una mano d attacco di emulsione bituminosa, con dosaggio pari a 0,3 kg/m 2 di bitume residuo. I risultati ottenuti dalle prove ASTRA, effettuate sui provini cilindrici estratti dalle piastre, hanno mostrato che le reti con apertura delle maglie 25 x 25 mm causavano una riduzione percentuale di resistenza minore, rispetto a quella provocata dalla rete con le aperture da 12,5 x 12,5 mm. L aumento della dimensione delle maglie consente di ottenere una maggiore superficie di contatto tra gli strati legati, quindi migliori prestazioni a taglio dell interfaccia. Di contro è necessario fare attenzione a non superare il limite massimo che determina l inefficacia del rinforzo. La capacità di adesione al supporto, dipende strettamente dalla struttura fisica delle geogriglie, la configurazione aperta delle maglie consente da una parte il confinamento dell aggregato e dall altra non preclude il collegamento tra gli strati superiore e inferiore della pavimentazione. Uijting [11], invece, fornisce i principi base attraverso i quali deve avvenire la produzione delle geogriglie perché queste possano assolvere in maniera efficace i compiti a cui sono preposte: - capacità di interbloccaggio degli aggregati che costituiscono le miscele bituminose; - impiego di polimeri ad alta resistenza a fatica. L esperienza sperimentale svolta ha dimostrato, inoltre, che la cura nell installazione di questi materiali è fondamentale, per una buona riuscita degli interventi. Dall analisi attenta degli strati supplementari di usura, ha mostrato che le cause principali di fessurazione erano riconducibili ad errori di posa in opera delle geogriglie, in particolare alla non corretta esecuzione dei giunti, tra i diversi fogli di rete ed allo spessore ridotto degli strati di ricoprimento. Per la valutazione degli effetti che l inserimento dei geosintetici provoca sul meccanismo della fessurazione di riflessione, Zamora-Barraza et al. [12] hanno condotto una ricerca, eseguendo prove su campioni prismatici bistrato secondo lo schema riportato in Figura 2.17, in cui nello strato sottostante del campione (bottom semi-sample), viene eseguito preliminarmente un intaglio per simulare la pavimenta-zione esistente fessurata. Tali prove hanno mostrato che alcune tipologie di geosintetici permettono un incremento della vita utile delle pavimentazioni fles-sibili, potendo essere considerati come sistemi di riduzione della fessurazione di riflessione (anti-reflective cracking system). 19
Figura 2.17 Schema delle prove anti-fessurazione di riflessione [12] Infine, Bocci et al. [13] hanno osservato come le geogriglie manifestino un prolungamento della vita di servizio delle pavimentazioni flessibili sotto l azione di cicli di carico ripetuti, specialmente se posizionate dove le tensioni di trazione sono maggiori. In tal senso, lo studio della posizione del geosintetico all interno della pavimentazione, in relazione agli effetti che esso produce, è uno degli aspetti maggiormente investigati a livello internazionale. E possibile concludere dicendo che l uso dei geosintetici ad alta resistenza, all interno degli strati legati delle pavimentazioni stradali, è efficace a condizione che le modalità di installazione siano adeguate. I rinforzi possono migliorare la resistenza alla fessurazione di riflessione, possono estendere la vita a fatica di un fattore e la vita utile all ormaiamento. Infine, i principali compiti che i geosintetici possono espletare, a seconda della tipologia, sono i seguenti: - inibire il richiamo delle fessure, dagli strati esistenti ammalorati a quelli nuovi, agendo come barriera alla propagazione delle stesse; - mantenere uniforme la distribuzione dei carichi; - assorbire gli sforzi di trazione, per migliorare la resistenza a fatica degli strati, che si trovano al di sopra dei geosintetici; - impermeabilizzare gli strati, specialmente quelli di fondazione non legati, la cui capacità portante risulta estremamente variabile con il contenuto di acqua; - separare e filtrare per evitare la contaminazione degli strati; - ridistribuire gli sforzi di taglio all interno degli strati di conglomerato bituminoso. 20
Capitolo 3. Metodologie di prova Nel presente capitolo vengono descritte le apparecchiature di laboratorio impiegate con le relative elaborazioni teoriche, necessarie ad elaborare i dati ottenuti durante la sperimentazione. 3.1 Prova di taglio ASTRA Apparecchiatura di prova Il metodo ASTRA (Ancona Shear Testing Research and Analysis) consiste in una prova di taglio diretto che permette di valutare le prestazioni delle interfacce nei sistemi bituminosi multistrato, in conformità alla norma UNI/TS 11214. Essa consente di stimare, inoltre, variando le condizioni al contorno, l effetto di diversi parametri, quali temperatura, sforzo normale e umidità relativa, sul comportamento meccanico dei materiali impiegati. Lo schema generale di funzionamento viene mostrato in Figura 3.1: il provino è alloggiato all interno di due semi-scatole, una superiore e una inferiore, opportunamente distanziate in modo da creare una zona centrale, non confinata, in corrispondenza dell interfaccia. Motore Scatola di Taglio Spostamento Verticale η (LVDT) Carico Verticale P Zona non Confinata Camera Climatica Braccio Snodato Forza Orizzontale (Cella di Carico) Strato Superiore del Provino T Strato Inferiore del Provino Dispositivo Mobile ξ (LVDT) Spostamento Orizzontale Figura 3.1 Schema prova di taglio ASTRA La semi-scatola inferiore viene fatta avanzare con una velocità costante ponendo la parte superiore a contrasto con una cella di carico che permette la misurazione, in continuo, della forza di taglio applicata. Per la sperimentazione sviluppata si è assunta la velocità standard 21
di avanzamento pari a 2.5 mm/min. Tramite un sistema di leve e pesi, è inoltre possibile applicare sulla sommità del provino un eventuale carico verticale agente ortogonalmente all interfaccia. Durante lo svolgimento della prova si misurano, tramite due trasduttori, lo spostamento orizzontale e verticale del campione. Tutta la strumentazione necessaria per l esecuzione della prova risulta contenuta all interno di una camera climatica, che permette di controllare le condizioni di temperatura e umidità (Figura 3.2). Figura 3.2 Camera climatica per apparecchiatura ASTRA Per poter alloggiare provini cilindrici, sono stati realizzati due elementi in acciaio, uno per ogni semi-scatola, aventi sezione esterna quadrata e dotati di una cavità cilindrica in grado di contenere provini carotati da sottoporre alla prova di taglio diretto. Questi elementi sono resi solidali alle semi-scatole mediante apposite viti a scomparsa (Figure 3.3 3.5). Inoltre, per ciascun diametro sono disponibili una serie di spessori per adattare le carote anche in altezza (Figura 3.6). 22