CENNI DI TEORIA DEI GIOCHI (Cap. 13 del libro di testo di micro)

CENNI DI TEORIA DEI GIOCHI (Cap. 13 del libro di testo di micro) CHI NE E' IL PADRE FONDATORE? J. Von Neumann COSA STUDIA? La Teoria dei giochi analizza matematicamente l interazione tra individui che perseguono scopi convergenti, oppure in parziale o totale conflitto. I giochi di cui si occupa questa Teoria devono avere almeno due individui che interagiscono. COSA NON STUDIA? La teoria dei giochi NON si occupa dei giochi individuo contro caso, come il lotto, i dadi, la roulette, (se ne occupa il calcolo delle probabilità) PERCHE SI STUDIA? La Teoria dei giochi rappresenta un buon modello per descrivere le interazioni strategiche tra agenti economici. La Teoria microeconomica standard è basata sulla teoria delle scelte individuali. Molti risultati economici coinvolgono però interazioni strategiche. Es: Mercati non perfettamente competitivi, free riding, fallimenti del coordinamento. Questi cenni sono utili per capire come si comporta una persona razionale e intelligente di fronte a vari tipi di problemi in cui interagisce con gli altri. M. Bovi Pag. 1

In altre lezioni abbiamo visto che le persone (anche noi!) molte/troppe volte non si comportano né in modo intelligente né razionale. Ciò implica che, non poche volte, le scelte delle persone sono la causa dei loro stessi disagi. Cioè, avrebbero potuto stare meglio se avessero agito in modo più intelligente e razionale. Come visto, è più facile a dirci che a farsi (errare humanum est). M. Bovi Pag. 2

Elementi Costitutivi del gioco: 1. I Giocatori. Sono almeno due: interazione. 2. Le Regole: ordine delle mosse, azioni possibili, informazione. 3. Gli Esiti (per ogni possibile profilo di scelte) 4. Le Vincite o Utilità attesa (quella di Von Neumann). Assunzioni e Definizioni del gioco: La Teoria dei giochi assume che gli agenti siano intelligenti e razionali. Intelligenti significa che capiscono la situazione in cui si trovano - compreso il fatto che anche gli altri individui sono intelligenti e razionali - e sono in grado di fare ragionamenti logici corretti. Razionali significa che hanno preferenze coerenti sugli esiti finali del processo decisionale e che hanno l obiettivo di massimizzare queste preferenze. La coerenza di cui si parla è esplicitata dallo: Assioma di razionalità. L ipotesi di base della teoria dei giochi è che tutti i giocatori si comportino razionalmente. Cioè, qualunque sia il comportamento dell avversario, nessun giocatore sceglie un azione se ne ha a disposizione un altra che gli permette di ottenere risultati migliori. La coerenza razionale richiesta ai giocatori impone che valga la proprietà transitiva nelle preferenze: se il diploma è preferito alla vacanza e la vacanza al libro allora il diploma deve essere preferito al libro. M. Bovi Pag. 3

ALTRE UTILI DEFINIZIONI Azioni: L insieme delle mosse a disposizione dei giocatori Strategia: Piano completo di azione. La strategia specifica un azione (o anche solo un ipotesi di azione) per ognuna delle situazioni in cui il giocatore può essere chiamato a decidere. Funzione di Utilità: Se sono solo (economia di R. Crusoe) - quindi l'esito delle mie scelte dipende solo dall'opzione che seleziono - e devo decidere fra più opzioni possibili, allora sceglierò l'opzione che mi permette di ottenere il miglior esito in base a una mia scala di preferenze. In questo tipo di economia ogni individuo sceglie senza interagire con gli altri e ognuno ha una sua funzione di utilità sull insieme dei beni. La cosa diventa invece molto più difficile se l'esito della mia scelta dipende anche dalle decisioni prese da altri soggetti: l'utilità che mi aspetto da una mia scelta non è funzione della mia sola scelta, ma anche delle decisioni di almeno un altro soggetto, sulle quali non ho alcun controllo. Potrei aspettare che l'altro decida e quindi regolarmi di conseguenza. Ma anche l'altro potrebbe ragionare allo stesso modo, rischiando di entrare in un circolo vizioso (gioco del telefono: che faccio, aspetto che mi chiama o chiamo io?). In situazioni del genere si parla di decisioni in presenza di interazione strategica e la questione si complica notevolmente. La teoria dei giochi ci aiuta ad affrontare in modo formale e logico simili problemi. M. Bovi Pag. 4

Qualche altra classificazione aiuta a comprendere il legame tra situazioni, comportamenti e risultati. Le mosse di un gioco possono essere simultanee o sequenziali Simultanee: ciascun giocatore decide le proprie scelte ignorando le scelte compiute dagli altri giocatori anche se i giocatori compiono le scelte in momenti diversi si ha una interazione simultanea (è come se i giocatori decidessero simultaneamente: ciascuno deve decidere senza sapere cosa hanno deciso gli altri) Sequenziali: i giocatori decidono le proprie scelte in modo sequenziale e ciascun giocatore compie le proprie scelte conoscendo le scelte dei giocatori che hanno deciso prima di lui ESEMPI: Nel gioco degli scacchi le mosse sono sequenziali, nel gioco della morra cinese le mosse sono simultanee. In una gara d asta per un appalto le ditte fanno un offerta simultaneamente, senza conoscere le offerte fatte dagli altri concorrenti. Gli interessi dei giocatori possono essere completamente contrapposti (gioco a somma zero) o parzialmente contrapposti ESEMPI: Nel gioco degli scacchi gli interessi sono completamente contrapposti: se un giocatore vince, l altro perde. I giochi economici e sociali non sono quasi mai a somma zero: due imprese possono collaborare insieme per produrre di più di quanto riuscirebbero a produrre separatamente. Un gioco può essere disputato una sola volta oppure può essere ripetuto più volte. M. Bovi Pag. 5

ESEMPI: Un meccanico d auto si può comportare diversamente se ha a che fare con un automobilista di passaggio o con un cliente abituale. In una corsa sui cento metri non c è possibilità di collaborazione tra i corridori ma in una maratona o una gara di ciclismo i corridori possono ritenere utile collaborare tra di loro. I giocatori possono avere informazione perfetta del gioco oppure no Un gioco è a informazione completa se le regole del gioco e le funzioni di utilità di tutti i giocatori sono conoscenza comune di tutti i giocatori. Questo assunto non è molto realistico ma è una prima semplificazione per costruire una teoria. Si possono comunque studiare anche i giochi a informazione incompleta, ma la teoria è più complessa. Tutti i giochi con mosse simultanee sono giochi a informazione incompleta. I giocatori possono sottoscrivere accordi vincolanti oppure operare indipendentemente l uno dall altro. M. Bovi Pag. 6

L importanza di Nash nella Scienza Economica La teoria dei giochi cooperativi studia il formarsi di coalizioni con accordi sottoscritti e vincolanti che possono essere di vantaggio per i singoli componenti. Lo studio di questo tipo di coalizioni è stato introdotto da Von Neumann (e Morgensten). La teoria dei giochi non cooperativi si occupa dei meccanismi delle decisioni dei singoli, sulla base di ragionamenti individuali egoistici, in assenza di alleanze vincolanti. Questa Teoria è stata introdotta di Nash. Detto ciò, necessita parlare un po di Storia del pensiero economico: Secondo A. Smith, l'ambizione individuale serve al bene comune e di conseguenza un gruppo di persone ottiene il massimo risultato quando ogni componente del gruppo fa ciò che è meglio per sé stesso: Non è dalla benevolenza del macellaio, del birraio o del fornaio che ci aspettiamo il nostro desinare, ma dalla considerazione del loro interesse personale. Non ci rivolgiamo alla loro umanità, ma al loro egoismo e parliamo dei loro vantaggi, e mai delle nostre necessità. (La Ricchezza delle Nazioni, Adam Smith). Nella fare la rivoluzione marginalista, Walras aderì all approccio utilitarista di Bentham: si prenda in esame una decisione qualsiasi e si considerino le conseguenze piacevoli e spiacevoli che ne derivano. Vedrete che si sceglierà la decisione che ha il maggior numero di conseguenze piacevoli. In quest ottica, il comportamento umano è esclusivamente riducibile al calcolo egoistico e razionale teso alla massimizzazione della propria utilità. M. Bovi Pag. 7

Ecco perché l approccio di Von Neumann e Morgensten era sì utile per gli economisti, ma in fondo non così tanto: Von Neumann e Morgensten studiavano giochi cooperativi che non collimavano con l impostazione egoistica di Smith/Walras. Nash formulò un risultato diverso. Come vedremo, Nash dimostra che è possibile raggiungere una situazione nella quale tutti ottengono il miglior risultato possibile a condizione che si instauri una cooperazione tra i giocatori. Il gioco, però, potrebbe anche essere non cooperativo. Vale a dire, se si agisce in modo egoistico si finisce in un equilibrio in cui tutti potrebbero stare meglio ma, individualmente, nessuno ha l incentivo a muoversi: Con Nash, la teoria dei giochi spiegava l Uomo walrasiano. Prima di approfondire la Teoria dei giochi di Nash introduciamo M. Bovi Pag. 8

DUE CRUCIALI CONCETTI DI SOLUZIONE DELLA TEORIA DEI GIOCHI 1. Dominanza 2. Equilibrio di Nash DOMINANZA Strategia Dominante (SD): è dominante poiché un giocatore può scegliere una mossa che gli garantisce un risultato migliore rispetto a quello di tutte le altre mosse, qualunque sia la scelta degli altri giocatori. Cioè, egli ottimizza i suoi risultati indipendentemente dalle scelte dell altro giocatore. Insomma: sceglierla è razionale. Strategia Dominata: è dominata poiché, per ogni possibile scelta degli altri giocatori, se viene scelta allora il giocatore si garantisce un risultato strettamente peggiore rispetto ad almeno un altra strategia. Insomma: sceglierla non è razionale. Principio di Dominanza (D): (i) Un giocatore non dovrebbe mai scegliere una strategia dominata da qualche altra sua strategia. (ii) Se un giocatore ha una strategia dominante, questa è la sua strategia ottimale. Il concetto di dominanza ha il valore di indicare cosa NON succederà (anche se, come vedremo, tramite un processo di eliminazione talvolta può fornire chiarimenti a riguardo di cosa succederà). Il concetto di dominanza predice in modo forte i risultati nei giochi come il dilemma del prigioniero (DP) in cui ogni giocatore sceglie una qualche particolare strategia senza tener conto delle scelte effettuate dagli altri giocatori: M. Bovi Pag. 9

I giochi risolti con il concetto di dominanza sono interazioni strategiche degenerate, nelle quali le azioni intraprese da ognuno NON dipendono dalle azioni effettuate dagli altri. Dominanza iterata Come abbiamo visto sopra, la dominanza NON iterata riguarda un singolo giocatore e i suoi incentivi. La dominanza iterata implica che un giocatore si metta nei panni dell altro per decidere come questi agirà tenendo in mente le sue preferenze/vincite (NB tutti i giocatori conoscono la matrice dei payoffs). In pratica, la dominanza iterata è una procedura per la quale un giocatore può NON prendere in considerazione alcune delle strategie degli altri giocatori che sono strettamente dominate: se so che per il mio avversario una strategia è dominata allora so che lui/lei non la sceglierà e quindi io, nel giocare, decido razionalmente di non considerarla. Con questa procedura la struttura del gioco cambia in modo tale che il gioco, ridotto dalla dominanza iterata, può avere un equilibrio di Nash o in strategia dominante anche se il gioco completo non lo aveva. Come si risolve un gioco usando la dominanza? L equilibrio in strategie dominanti è il risultato di un gioco in cui ogni giocatore segue una strategia dominante. In base a (D) ( ), se un giocatore dispone di una strategia dominante allora dovrebbe adottarla, indipendentemente dalle sue opinioni su quello che farà l altro giocatore. E se non c è nessuna soluzione in strategia dominante? Se nessuna delle parti ha una strategia dominante si passa alle strategie dominate. Dato che una strategia dominata garantisce un risultato peggiore rispetto a quello di almeno una delle altre mosse qualunque sia la scelta degli altri giocatori allora: Il giocatore che dispone di una strategia dominata la deve eliminare. M. Bovi Pag. 10

L operazione di eliminazione va condotta più volte: un giocatore deve eliminare tutte le strategie dominate Ciascun giocatore deve considerare il fatto che gli altri giocatori eliminano le loro strategie dominate Se durante il procedimento dell eliminazione iterata delle strategie dominate emergono strategie dominanti nel gioco di dimensioni ridotte (i.e. una volta eliminate le strategie dominate), allora tali SD vanno scelte man mano che si presentano. Se detto procedimento termina con un risultato unico, vengono individuate indicazioni per il comportamento dei giocatori e per l esito del gioco. M. Bovi Pag. 11

ESEMPIO: il giocatore A può scegliere fra due mosse (su, giù) il giocatore B può scegliere fra tre mosse (sinistra, centro, destra). Ogni casella corrisponde ad una combinazione di mosse dei due giocatori: il primo numero di ogni casella corrisponde al risultato (payoff) conseguito dal giocatore A; il secondo numero a quello conseguito dal giocatore B: per il giocatore A nessuna delle due strategie è dominata: su è meglio di giù se B sceglie sinistra oppure centro (1>0); viceversa giù è meglio di su se B sceglie destra (2>0) M. Bovi Pag. 12

il giocatore B non ha una strategia dominante; tuttavia ha una strategia dominata: destra è dominata da centro (2>1 se A sceglie su; 1>0 se A sceglie giù). Pertanto il giocatore B elimina la strategia destra e il giocatore A deve tener conto di questa eliminazione. Il gioco si riduce alla seguente tabella: In questa nuova versione del gioco si ha che per il giocatore A la strategia giù è dominata da su (su è la strategia dominante per il giocatore A) quindi il giocatore A elimina la strategia giù e il giocatore B deve tener conto di questa eliminazione il gioco si riduce ulteriormente: In questa nuova versione del gioco si ha che per il giocatore B la strategia sinistra è dominata da centro (centro è la strategia dominante per il giocatore B) quindi la matrice dei payoff si riduce ad una sola cella e il gioco finisce. L esito del gioco è (su, centro) M. Bovi Pag. 13

Questo tipo di eliminazione può far sospettare che in alcuni casi si vadano ad eliminare potenziali situazioni di equilibrio. In realtà si può dimostrare che, nei giochi a somma zero, l eliminazione di strategie (debolmente) dominate non porta alla perdita di equilibri significativi del gioco. M. Bovi Pag. 14

Secondo metodo risolutivo: Il MiniMax Nei giochi a somma zero l eliminazione di strategie dominate non porta necessariamente alla soluzione del gioco. In questi casi il metodo MiniMax può aiutare. Consideriamo il gioco rappresentato dalla seguente matrice dei pagamenti: Il primo giocatore ( Primo ) sceglie le righe, il secondo giocatore ( Secondo ) sceglie le colonne. Quello che guadagna Primo è la perdita di Secondo (somma zero). Primo ragiona in questo modo: Se seleziono la prima riga, il mio avversario (Secondo) dovrà scegliere tra i valori che ha a disposizione nella prima riga (2, 4, 6). Sceglierà ovviamente quello per il quale paga meno, ossia 2. Se seleziono la seconda riga, Secondo sceglierà 0. Se seleziono la terza riga, Secondo sceglierà 0. Primo sa quindi di potersi garantire almeno un guadagno 2. Passiamo al punto di vista di Secondo Se gioco la prima colonna, Primo sceglierà 2, quindi dovrò pagare 2. Se gioco la seconda colonna, Primo sceglierà 7, quindi dovrò pagare 7. Se gioco la terza colonna, Primo sceglierà 7, quindi dovrò pagare 7. Secondo sa quindi di poter fare in modo che al massimo paghi 2. => 2 è l equilibrio del gioco. M. Bovi Pag. 15

Vediamo di formalizzare meglio il procedimento. Il primo giocatore individua per ogni riga il valore minimo, quindi sceglie il valore massimo dei minimi ottenuti. Il secondo giocatore esamina le colonne. Per ogni colonna vede il massimo, quindi sceglie il minimo dei massimi ottenuti. Se il MAXIMIN del primo giocatore coincide con il MINIMAX del secondo giocatore il gioco ha equilibrio. In un gioco a somma zero si ha equilibrio se e solo se MAX MIN = MIN MAX. M. Bovi Pag. 16

L Equilibrio di Nash: Razionalità + Egoismo = Scelte sbagliate? NB prima il gioco era a somma zero, qui è a somma variabile. In molte situazioni di interazione strategica non ci sono strategie dominanti o dominate oppure la procedura della eliminazione iterata delle strategie dominate aiuta a ridurre la dimensione del gioco, ma non conduce ad una soluzione unica. Per individuare le strategie ottimali in queste situazioni, si deve tener conto del fatto che ciò che è meglio per un giocatore dipende da ciò che è meglio per gli altri giocatori e viceversa. In altri termini, per individuare l esito del gioco si deve individuare una combinazione di strategie dove la scelta di ciascun giocatore sia la migliore risposta a quella degli altri. In questi casi ci aiuta il concetto di equilibrio di Nash (NE): La combinazione di strategie dove la scelta di ciascun giocatore è la migliore risposta a quella degli altri viene definita equilibrio di Nash. Il concetto di equilibrio di Nash è molto importante in economia. Intuitivamente, si può anche descrivere così: data (o ipotizzata) la scelta dell altro giocatore, a nessuno dei due giocatori conviene cambiare strategia. E ciò vale anche ex post e cioè dopo che il mio avversario ha fatto la sua mossa! Fissiamo le idee: Strategie dominanti: Io sto facendo il meglio che posso indipendentemente dalla tua strategia. Tu stai facendo il meglio che puoi indipendentemente dalla mia strategia. Equilibrio di Nash: Io sto facendo il meglio che posso dato ciò che tu stai facendo. Tu stai facendo il meglio che puoi dato quello che io sto facendo. L equilibrio in strategie dominanti è un caso particolare di equilibrio di Nash poiché quest'ultimo è più interdipendente. M. Bovi Pag. 17

L equilibrio in strategie dominanti è anche un equilibrio di Nash, mentre il contrario non è vero. Esempio: La coppia di strategie (a, x), che porta a utilità (1,8), è il massimo dei minimi (= maximin) per entrambi i giocatori. Infatti: nella riga più in basso (min) sono indicati i valori minimi del secondo giocatore, che guarda per colonna e solo il secondo numero in parentesi; nella colonna più a destra (min) sono indicati i valori minimi del primo giocatore, che guarda per riga e solo il primo numero in parentesi. Possiamo concludere che (a, x) è un equilibrio? No. Non ci sono elementi per dire che i due giocatori si metteranno d accordo per giocare le strategie (a, x). Infatti: se il secondo giocatore annuncia di voler giocare la strategia maximin x, Primo preferirà giocare la strategia b, piuttosto che la a (dato x, infatti, Primo deve scegliere tra a=1 e b=4). D altronde, se fosse possibile un accordo, sarebbe utile per entrambi convergere verso la strategia (b, z), che porta a un guadagno (10, 10). M. Bovi Pag. 18

La coppia (b, z) soddisfa infatti le condizioni di equilibrio di Nash: il primo giocatore, che guarda le righe, nota che nella riga b non ci sono soluzioni migliori il secondo giocatore, che guarda le colonne, nota che nella colonna z non ci sono soluzioni migliori. Perciò (b,z) è una situazione di equilibrio. Il punto è che non sempre è possibile convergere verso la soluzione cooperativa o verso un equilibrio efficiente, ottimo, come (b,z). Ricapitoliamo collassando secoli di Storia del Pensiero in tre(!) righe: Bentham+Smith+Walras=agente egoista, solitario e ottimizzante la propria utilità Von Neumann=agente ottimizzante, ma interagisce con gli altri cooperando Nash=agente ottimizzante e interagente, ma possibilmente anche egoista-non cooperativo Siccome non è immediato da capire e invece è molto importante capirlo, a costo di ripetizioni vediamo il fondamentale concetto di equilibrio di Nash da varie angolazioni. M. Bovi Pag. 19

Equilibrio di Nash è un profilo strategico in cui ciascuna delle strategie dei giocatori costituisce una risposta ottima alle altre strategie del profilo. Cioè, l equilibrio di Nash è uno o più risultati del gioco tali che nessun individuo ha incentivi a modificare la sua strategia date le strategie adottate/adottabili dagli altri giocatori. Equilibrio di Nash è un Equilibrio: i giocatori non hanno alcuna ragione di cambiare i loro comportamenti poiché l equilibrio è una risposta ottima reciproca. In altre parole: se i giocatori sono in equilibrio nessuno di essi, dopo essere venuto a conoscenza della strategia adottata dall altro, avrà motivo di pentirsi della propria scelta. In ulteriori parole: anche se i giocatori avessero la possibilità di cambiare unilateralmente la propria scelta dopo aver visto quella dell altro giocatore, nessuno dei due avrebbe interesse a farlo. E' questo il senso di equilibrio in Nash. Per questo motivo (l insieme dei prossimi due punti è detto principio di Nash ): 1) La soluzione di un gioco deve essere un equilibrio di Nash. Cioè la strategia ottimale di ciascuno dei giocatori deve essere la risposta ottimale alla strategia dell altro. 2) Se un gioco ha un unico equilibrio, esso è la soluzione del gioco e le strategie che contribuiscono a formare questo equilibrio sono le strategie ottimali dei giocatori. Facciamo un po di pratica: M. Bovi Pag. 20

TROVIAMO IL NE ELIMINANDO LE STRATEGIE DOMINATE Ma non sempre è possibile trovare il NE via eliminazione delle strategie dominate. Bisogna allora usare la miglior risposta : Il NE è in questo caso 2,3 poiché, come detto, il NE è una risposta ottima reciproca M. Bovi Pag. 21

Uno dei principali risultati ottenuti da Nash è la dimostrazione del fatto che qualsiasi gioco, a patto di soddisfare alcune condizioni non troppo restrittive, possiede almeno un equilibrio. Almeno vuol dire che siamo sicuri che c è n è minimo uno. In generale, tuttavia, un gioco ha una molteplicità di equilibri. L esistenza di una molteplicità di equilibri di Nash caratterizza specialmente i giochi con interessi comuni, i quali sono il genere di giochi di maggior rilevanza per le scienze sociali. Esempio famoso: la battaglia dei sessi. Lui e Lei devono decidere se andare a vedere una partita di calcio oppure a teatro. I loro payoffs sono: I due NE sono quelli evidenziati con i cerchietti. Supponiamo ora di accettare il precedente punto 1) e cioè che la soluzione di un gioco deve essere un equilibrio di Nash. Allora dato che nel mondo reale, ovviamente, una soluzione unica viene raggiunta, dobbiamo chiederci: in che modo i giocatori riusciranno a coordinare tacitamente le loro strategie così da giungere alla formazione di un particolare equilibrio tra i vari disponibili? La risposta data dalle Teorie classiche dei giochi (quelle qui allo studio) è la seguente: Il coordinamento potrebbe basarsi su un appropriato criterio di ottimalità che selezioni un unico equilibrio che, per definizione, sarebbe ottimale. M. Bovi Pag. 22

Infatti, se tutti i giocatori condividessero il criterio di ottimalità, ciascuno di essi attuerebbe la strategia che contribuisce a formare l equilibrio ottimale dato che, in base alla sua conoscenza dell altrui razionalità, sarebbe sicuro che anche gli altri si comporteranno nello stesso modo. E proprio questa l idea che costituisce il cuore delle Teorie classiche dei giochi secondo cui la razionalità individuale, assieme alla conoscenza comune delle preferenze e della razionalità altrui, è sufficiente a individuare la soluzione di ogni gioco. Però sappiamo che, spesso, l Uomo non soddisfa questo presupposto. Un caso piuttosto diffuso è il DILEMMA SOCIALE: Il Dilemma Sociale si ha quando la ricerca del massimo benessere individuale da parte di ciascun agente contrasta con l'interesse collettivo e quindi conduce ad un equilibrio in cui tutti stanno peggio di come potrebbero stare. Il dilemma del prigioniero ne è un esempio classico. M. Bovi Pag. 23

Dilemma del Prigioniero Il dilemma può essere descritto come segue. Due criminali vengono accusati di aver commesso un reato. Gli investigatori li arrestano entrambi e li chiudono in due celle diverse, impedendo loro di comunicare (gioco non cooperativo). Ad ognuno di loro vengono date due scelte: confessare l'accaduto, oppure non confessare. Il PM inoltre spiega loro che: se solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena; l'altro viene però condannato a 7 anni di carcere. se entrambi confessano, entrambi vengono condannati a 6 anni. se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 1 anno (diciamo perché comunque erano già colpevoli di spaccio). Insomma l'unico modo per essere liberi è confessare sperando che l'altro non confessi. M. Bovi Pag. 24

Questo gioco può essere descritto con la seguente matrice: confessa non confessa confessa (6,6) (0,7) non confessa (7,0) (1,1) La miglior strategia di questo gioco non cooperativo è (confessa, confessa). Per ognuno dei due giocatori (il gioco è simmetrico) lo scopo è infatti di minimizzare la propria condanna e ogni prigioniero: confessando: rischia 0 o 6 anni non confessando: rischia 1 o 7 anni La strategia non confessa è dunque strettamente dominata dalla strategia confessa. Eliminando le strategie strettamente dominate si arriva all'equilibrio di Nash, dove i due prigionieri confessano e si fanno 6 anni di carcere. Il dilemma consiste nel fatto che la soluzione migliore per entrambi ( ottimo paretiano ) sarebbe cooperare e non confessare (1 anno di carcere invece di 6), ma questo non è un equilibrio. NB Ottimo paretiano: Una situazione è di ottimo paretiano se non ci sono altre possibili situazioni in cui almeno un individuo può stare meglio senza che nessun altro stia peggio. NB Mano invisibile (laissez-faire): se ciascuno persegue l'ottimo individuale, allora emergerà l'ottimo collettivo. NB Nei giochi ripetuti, l equilibrio di Nash è non confesso/non confesso. M. Bovi Pag. 25

Tornando al dilemma, per migliorare la posizione occorrerebbe: a) poter comunicare => accordo (ma non sempre si può comunicare, es. guerra fredda) b) ma anche se si potessero accordare per non confessare entrambi, chi può garantire che l'accordo venga rispettato? In effetti c'è una forte tentazione a non rispettarlo in quanto questo porterebbe chi non rispetta ad essere liberato (il gioco è simmetrico => la posizione dei due è identica). Di qui il ruolo della fiducia, dei possibili accordi e del rischio che qualcuno non li rispetti: se c'è questo rischio nessuno li rispetterà. Lo Stato potrebbe allora fare la parte del Deus ex Machina: l'intervento politico può essere utile. M. Bovi Pag. 26

DILEMMI SOCIALI Oltre al dilemma del prigioniero ci sono molte altre situazioni di dilemma sociale. Altro esempio di dilemma sociale: La soluzione migliore sarebbe la cella (2,2) ma la soluzione dipende dai payoffs dei giocatori e i payoffs dipendono dalle scelte politiche Ecco che in certi casi, dove le scelte individuali stentano a produrre un risultato valido, è importante che la politica intervenga. M. Bovi Pag. 27

UNA ULTERIORE CONCLUSIONE PARADOSSALE Supponiamo che, ceteris paribus, ad un certo punto abbiamo qualche opportunità di scelta in più rispetto ad una situazione precedente. La LOGICA: la situazione non può che essere migliore di prima: male che vada, torno alla situazione di partenza. Il PARADOSSO: quanto appena detto non è affatto ovvio in presenza di interazione strategica. Consideriamo come esempio il gioco (A vs B) rappresentato dalla seguente matrice: A; B b1 b2 a1 1; 1 5; 3 a2 3; 5 10; 10 Per il principio di razionalità, verrà logicamente scelta la coppia di strategie (a2, b2) che fornisce un payoff pari a 10 a ciascun giocatore. Ora, aggiungiamo un'ulteriore strategia per ciascun giocatore ma non sottraiamo nulla: M. Bovi Pag. 28

A; B b1 b2 b3 a1 1; 1 5, 3 0, 4 a2 3; 5 10, 10 0, 11 a3 4; 0 11, 0 1, 1 L'ESITO PARADOSSALE: si converge su (a3, b3) e cioè su un payoff di solo 1 a testa, ben minore del 10 ottenuto con una opzione in meno. Il fatto è che ho subdolamente aggiunto payoffs in modo che Mr. B esclude dalle possibili soluzioni la colonna b2 e Mr. A esclude la riga a2. Per completezza: Se A sceglie: a1 => B sceglie b3 a2 => B sceglie b3 a3 => B sceglie b3 Se B sceglie: b1 => A sceglie a3 b2 => A sceglie a3 b3 => A sceglie a3 => l'equilibrio è (a3,b3) QED. Dato che si possono fare esempi in cui diminuendo tutti i payoff di un gioco si ottiene una soluzione migliore per entrambi i giocatori, si arriva alla MORALE DELLA LEZIONE: scegliere quando ci sono di mezzo gli altri è sempre complicato. M. Bovi Pag. 29