Non ho mai lavorato tanto duramente

Non ho mai lavorato tanto duramente La costruzione della relatività generale dai pochi dati iniziali alle clamorose conferme Giulio Peruzzi Dipartimento di Fisica e Astronomia Università di Padova Il capolavoro di Einstein. La relatività generale 100 anni dopo Aula Magna Università di Parma G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 1 / 38 Indice degli argomenti 1 Prologo Galileo Newton relatività ristretta 2 Teorie costruttive e teorie dei principi La teoria della relatività generale 3 Relatività generale: sviluppi successivi Prime verifiche sperimentali La nascita della cosmologia scientifica Ulteriori verifiche sperimentali e applicazioni 4 Conclusioni G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 2 / 38

Prologo Galileo Prologo Alcuni dei suoi contributi: cinematica (moti locali) (dal 1604) osservazioni celesti (dal 1605 e poi dal 1609 con il cannocchiale) distinzione tra qualità primarie e secondarie (1623 - Il Saggiatore) relatività (?) (1624, lettera a Francesco Ingoli, e 1632, Dialogo) Galileo Galilei (1564-1642) gravità (1632, Dialogo) G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 3 / 38 Prologo Newton Alcuni dei suoi contributi: principio di inerzia principi della dinamica sulla scia di Galileo, equivalenza tra massa inerziale, m i, e gravitazionale, m g : F = m i a, F = G M gm g r 2 legge di gravitazione universale Isaac Newton (1642-1727) spazio e tempo assoluti G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 4 / 38

Prologo Newton Le questioni sollevate dall indagine intorno alla natura dello spazio e del tempo comportano il confronto tra due ordini di realtà : quello relativo allo spazio e al tempo; quello relativo alle cose, agli oggetti materiali. A questo riguardo due sono le concezioni fondamentali dello spazio e del tempo originarie, emblematicamente rappresentate dal confronto tra concezione newtoniana e concezione leibniziana (carteggio Leibniz-Clarke 1715-16): una concezione assolutistica e una relazionale, la cui differenza è, in ultima istanza, riconducibile alla diversa priorità logica dello spazio e del tempo rispetto agli oggetti e processi materiali. Alla prima aderirono Euler e Kant, alla seconda Berkeley e Huygens. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 5 / 38 Prologo relatività ristretta Albert Einstein (1879-1955) Relatività ristretta - Alla fine dell Ottocento molti scienziati, tra i quali Lorentz e Poincaré, si accorsero che le equazioni di Maxwell per i campi elettromagnetici non si conciliavano con il principio di relatività galileiana. Nel 1905 Einstein riuscì a rendere compatibili la meccanica e l elettromagnetismo sostituendo la relatività galileiana con la relatività ristretta. La relatività ristretta, pur privilegiando ancora i sistemi inerziali, definisce le proprietà dello spazio e del tempo in modo diverso dalla meccanica classica, in particolare associa a ogni sistema inerziale un suo tempo proprio. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 6 / 38

Teorie costruttive e teorie dei principi Teorie costruttive e teorie dei princìpi [Albert Einstein, Time, space, and Gravitation (The Times, Londra 1919), leggermente ampliato viene pubblicato nel 1934 nella raccolta The World as I See It (trad. it. in Albert Einstein, Opere Scelte, Bollati Boringhieri, Torino 1988, p. 580; e in Idee e Opinioni, Schwarz editore, Milano 1957, pp. 216-7).] Vi sono diverse specie di teorie in fisica. La maggior parte di esse è di tipo costruttivo. Esse tentano di formare un quadro dei fenomeni complessi partendo da certi princìpi relativamente semplici. La teoria cinetica dei gas, per esempio, tenta di ricondurre al movimento molecolare le proprietà meccaniche, termiche e di diffusione dei gas. Quando affermiamo di comprendere un certo gruppo di fenomeni naturali, intendiamo dire che abbiamo trovato una teoria costruttiva che li abbraccia. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 7 / 38 Teorie costruttive e teorie dei principi In aggiunta a questo gruppo molto vasto di teorie, ve n è un altro costituito da quelle che io chiamo teorie dei princìpi. Esse fanno uso del metodo analitico, invece di quello sintetico. Il loro punto di partenza e il loro fondamento non consistono di elementi ipotetici, ma di proprietà generali dei fenomeni osservate empiricamente, princìpi dai quali vengono dedotte formule matematiche di tipo tale da valere in ogni caso particolare che si presenti. La termodinamica, per esempio, partendo dal fatto che il moto perpetuo non si verifica mai nell esperienza ordinaria, tenta di dedurne, mediante processi analitici, una teoria valida in ogni caso particolare. Il merito delle teorie costruttive sta nella generalità, nella flessibilità e nella chiarezza, il merito delle teorie dei princìpi nella perfezione logica e nella saldezza delle basi. La teoria della relatività appartiene alla categoria delle teorie dei principi. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 8 / 38

La teoria della relatività generale: 1907-1915. 1907 - Il pensiero più felice della mia vita. 1911-1913: il percorso di Einstein e la proliferazione di teorie relativistiche (Max Abraham, Gunnar Nordström, Gustav Mie). 1913-1915: non ho mai lavorato tanto duramente in vita mia. 1919: prime verifiche sperimentali. Svolta nell astronomia teorica e sperimentale e nella cosmologia (a partire dal 1917). Le teorie unificate di campo (dai primi anni 1920). G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 9 / 38 Il pensiero più felice della mia vita Il 6 novembre del 1919 si tiene a Londra la riunione congiunta della Royal Society e della Royal Astronomical Society. In questa occasione vengono esposti e discussi i risultati delle spedizioni di osservazione dell eclissi del maggio di quell anno che confermano la teoria di Einstein. Poche settimane dopo viene concepita l idea di una serie di interventi sulla nuova teoria da raccogliere in un numero della rivista Nature. A causa principalmente del ritardo nella consegna dell articolo da parte di Einstein il numero di Nature sulla relatività apparirà solo il 17 febbraio 1921. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 10 / 38

L articolo di Einstein è essenzialmente diverso - e assai più breve - rispetto al suo manoscritto originale dal titolo Concetti fondamentali e metodi della teoria relativistica illustrati nel loro sviluppo (oggi noto come manoscritto Morgan, dal nome della Morgan Library di New York dove è conservato). Il manoscritto Morgan è oggi una delle maggiori fonti per riscostruire le tappe che portano Einstein alla teoria della relatività generale. In esso si legge: Quando nel 1907, stavo lavorando a un articolo di rassegna sulla relatività ristretta per lo Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, dovetti anche tentare di modificare la teoria newtoniana della gravitazione per rendere le sue leggi compatibili con la relatività ristretta. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 11 / 38 Dal difetto epistemologico della relatività ristretta alla relatività generale. La relatività galileiana e la relatività ristretta si basano sull ipotesi che, per formulare le leggi fisiche, i sistemi inerziali siano equivalenti tra loro e privilegiati rispetto ai sistemi in moto accelerato. Questo privilegio presuppone una misteriosa proprietà dello spazio-tempo: lo spazio tempo si comporta come un palcoscenico che condiziona la descrizione degli eventi fisici senza esserne influenzato. Quando Einstein si pose il problema di modificare la teoria newtoniana della gravitazione per renderla compatibile con la relatività ristretta, si accorse che era necessario generalizzare il postulato di relatività anche ai sistemi di riferimento in moto accelerato. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 12 / 38

Fu allora che ebbi il pensiero più felice della mia vita, nella forma seguente. Il campo gravitazionale ha solo un esistenza relativa, in modo analogo al campo elettrico generato dall induzione magnetoelettrica. Infatti per un osservatore che cada liberamente dal tetto di una casa, non esiste - almeno nelle immediate vicinanze - alcun campo gravitazionale. Infatti, se l osservatore lascia cadere dei corpi, questi permangono in uno stato di quiete o di moto uniforme rispetto a lui, indipendentemente dallo loro particolare natura chimica o fisica (ovviamente si trascura la resistenza dell aria). L osservatore di conseguenza ha il diritto di interpretare il proprio stato come uno stato di quiete. [...] L indipendenza dell accelerazione di caduta dalla natura dei corpi, ben nota sperimentalmente, è pertanto un solido argomento in favore dell estensione del postulato di relatività a sistemi di coordinate in moto non uniforme l uno rispetto all altro. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 13 / 38 G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 14 / 38

G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 15 / 38 William Clifford, Il senso comune nelle scienze esatte, 1885 (postumo) G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 16 / 38

Tre problemi principali I corpi non agiscono a distanza sulla luce, e per effetto della loro azione non incurvano i raggi di essa? e questa azione non è (a parità delle altre cose) massimamente forte alla minima distanza? (Newton, Opticks (1704), questione 1). [Henry Cavendish, c.1784; Johann Georg von Soldner, 1804] Nella parte dell articolo del 1907 dedicata alla gravitazione Einstein affronta tre questioni fondamentali: Il principio di equivalenza Lo spostamento gravitazionale verso il rosso La curvatura della luce causata dal campo gravitazionale Dal dicembre del 1907 al giugno del 1911 Einstein tace sulla teoria della gravitazione. Nel 1911 appare l articolo Sull influenza della gravitazione sulla propagazione della luce. I problemi affrontati sono essenzialmente quelli delineati nel 1907, ma le idee di fondo sono maturate e l approccio è più generale. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 17 / 38 Gli anni 1912 e 1913 Nella prima metà del 1912 Einstein scrive due brevi articoli in cui conclude: (1) [la non costanza della velocità della luce] esclude l applicabilità generale delle trasformazioni di Lorentz, è necessario un gruppo di invarianza più ampio; (2) la sorgente del campo non è solo la densità di materia ponderabile, a questa si aggiunge la densità di energia del campo (l inclusione tra le sorgenti dell energia del campo gravitazionale implica equazioni non lineari); (3) il principio di equivalenza vale solo a livello locale. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 18 / 38

Nell estate del 1912, l intuizione che la geometria riemanniana è lo strumento più idoneo per la nuova teoria gravitazionale. Come ricorda nel discorso di Kyoto del 22 dicembre 1922: Se tutti i sistemi accelerati sono equivalenti, allora la geometria euclidea non può valere in ciascuno di essi. Abbandonare la geometria e conservare le leggi è come descrivere i pensieri senza le parole. Bisogna cercare le parole prima di poter esprimere i pensieri. [la comprensione che la teoria di Gauss delle superfici poteva fornire una chiave di volta, e il suggerimento di Grossmann di riferirsi ai lavori di Riemann, Ricci e Levi-Civita] Mi resi conto che i fondamenti della geometria avevano un significato fisico. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 19 / 38 Da quel momento Einstein lavora duramente con l obiettivo di costruire la nuova teoria: Al momento - scrive in ottobre a Sommerfeld - mi sto occupando esclusivamente del problema della gravitazione [...] Una cosa è certa, in tutta la mia vita non ho mai lavorato tanto duramente e l animo mi si è riempito di un grande rispetto per la matematica, la parte più sottile della quale avevo finora considerato, nella mia dabbenaggine, un puro lusso. In confronto a questo problema, l originaria teoria della relatività è un gioco da bambini. 1913 - articolo in collaborazione con Grossmann (nel quale si trova, tra l altro, per la prima volta una discussione degli esperimenti di Eötvös [1890, 1909]). G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 20 / 38

G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 21 / 38 G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 22 / 38

La teoria della relatività generale La teoria della relatività generale In un lungo articolo pubblicato nel 1914 sui rendiconti dell accademia prussiana Einstein compie numerosi passi avanti verso la teoria della relatività generale: (1) illustra una nuova deduzione delle equazioni già ottenute con Grossmann attraverso principi variazionali; (2) sottolinea, per la prima volta in modo chiaro, il fatto che è impossibile distinguere un campo centrifugo da un campo gravitazionale, contro l argomento del secchio d acqua rotante con il quale Newton aveva sostenuto il carattere assoluto delle rotazioni. Ma sulla questione della covarianza delle equazioni gravitazionali non si registrano progressi significativi, al contrario Einstein riafferma la necessità di apportare restrizioni alla richiesta di covarianza generale se si vuole essere in perfetto accordo con il principio di causalità. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 23 / 38 La teoria della relatività generale All inizio del 1915 inizia la corrispondenza con Tullio Levi-Civita (1873-1941) che sicuramente contribuì alla formulazione finale delle equazioni della teoria della gravitazione di Einstein. Una corrispondenza così interessante non mi è mai capitata - scrive Einstein a Levi-Civita il 2 aprile del 1915 - Lei dovrebbe vedere con quale gioia aspetto le sue lettere. In un articolo, presentato all Accademia Prussiana delle scienze il 25 novembre del 1915, Einstein comunica le corrette equazioni del campo gravitazionale, ma già il 18 novembre aveva portato a termine i calcoli che gli permettevano di prevedere il valore della precessione del perielio di Mercurio (43, il valore già trovato sperimentalmente da Newcomb nel 1882) e di correggere (di un fattore 2) la sua precedente stima della deflessione dei raggi luminosi da parte del Sole. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 24 / 38

La teoria della relatività generale Identificando il campo gravitazionale con le proprietà geometriche dello spazio-tempo, si supera il difetto epistemologico della RR (e RG): la geometria dello spaziotempo agisce sui moti della materia e dell energia e a sua volta è determinata dalla distribuzione della materia e dell energia. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 25 / 38 La teoria della relatività generale Onde gravitazionali Il termine onda gravitazionale appare per la prima volta in una memoria di Poincaré del 1905, nella quale discuteva l estensione dell invarianza di Lorentz alla gravitazione. Nel giugno del 1916, Einstein dà per primo una versione quantitativa delle idee fino allora espresse. Nell articolo tra l altro fa notare che l esistenza di orbite interatomiche stabili non irraggianti è un mistero dal punti di vista della gravitazione come lo è da quello elettromagnetico, e conclude: Sembra che la teoria quantistica sia destinata a modificare non solo l elettrodinamica di Maxwell, ma anche la nuova teoria gravitazionale. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 26 / 38

Relatività generale: sviluppi successivi Prime verifiche sperimentali Prime verifiche delle previsioni della teoria Nel 1919 le spedizioni sull eclissi solare dimostrano che la deflessione della luce solare è in accordo con quella prevista nella memoria di Einstein del 18 novembre del 1915 [classicamente: Henry Cavendish, c.1784; Johann Georg von Soldner, 1804]. Ma le ricerche sperimentali intorno alla relatività generale subiscono dagli anni venti un periodo di ibernazione fino agli anni 1960 quando riesplodono, anche sulla base del tentativo di verificarne la validità sulla spinta degli sviluppi delle teorie quantistiche dei campi. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 27 / 38 Relatività generale: sviluppi successivi Prime verifiche sperimentali Berliner Illustrirte Zeitung, 14 dicembre 1919 New York Times, 21 dicembre 1919 G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 28 / 38

Relatività generale: sviluppi successivi La nascita della cosmologia scientifica La nascita della cosmologia scientifica - cronologia 1917 - Einstein: Considerazioni cosmologiche sulla teoria della relatività generale. Principio di Mach: le proprietà inerziali determinate solo dalla distribuzione (e interazione) delle masse nell universo. Un sistema è inerziale se non accelera rispetto alla distribuzione media delle masse dell universo. Universo stazionario (quindi introduzione della costante cosmologica λ). Principio cosmologico: assunzione che materia e radiazione sono distribuite uniformemente nello spazio su grande scale. L universo è omogeneo e isotropo (e quindi stessa curvatura) in ogni istante del tempo cosmico. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 29 / 38 Relatività generale: sviluppi successivi La nascita della cosmologia scientifica G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 30 / 38

Relatività generale: sviluppi successivi La nascita della cosmologia scientifica 1917 - Modello alternativo di Willem de Sitter (vuoto, moto particella test, redshift, anti-machiano, curvatura dovuta a λ). 1920 - Il Grande dibattito tra Harlow Shapley e Herbert Curtis. 1922 - Aleksandr Friedmann, universo in espansione. 1925 - Erwin Powell Hubble, prima prova incontrovertibile dell esistenza di un oggetto extragalattico, la nebulosa di Andromeda (Messier 31). 1927 - Georges Lemaître, universo in espansione. 1929 - Hubble, recessione delle galassie v = Hd. 1931 - Einstein e de Sitter universo in espansione. 1935-6 - metrica di Howard Robertson (1935) e Arthur Walker (1936). G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 31 / 38 Relatività generale: sviluppi successivi Ulteriori verifiche sperimentali e applicazioni Dagli anni 1960 nuove e stringenti verifiche delle previsioni della teoria Bruno Rossi e David Hall (1941): dilatazione del tempo in relatività ristretta. Robert Pound e Glen Rebka (1960): misura del redshift gravitazionale. Joseph Hafele e Richard Keating (1972): verifica del cosiddetto paradosso dei gemelli. Lenti gravitazionali: breve nota di Einstein nel 1936, quattro articoli nel 1937, due di Fritz Zwicky, uno di Henry Norris Russell, e uno di Gavriil A. Tikhov. Prima osservazione nel 1979 da parte di Dennis Walsh, Bob Carswell, Ray Weymann (su una quasar). G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 32 / 38

Relatività generale: sviluppi successivi Ulteriori verifiche sperimentali e applicazioni G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 33 / 38 Relatività generale: sviluppi successivi Ulteriori verifiche sperimentali e applicazioni Una verifica ormai quotidiana della correttezza della teoria: il GPS SATELLITI: visibili almeno 4 (determinazione delle tre coordinate spaziali + la coordinata temporale, o un suo "offset"). Altezza: circa 20.200 km dalla superficie terrestre; raggio dell orbita: circa 26.600 km; periodo orbitale: circa 12 ore; velocità: circa 4 km/s. CORREZIONI RELATIVISTICHE ALLA SINCRONIZZAZIONE Per avere precisioni dell ordine del cm (su trasmissioni di segnale a radio frequenza), sono necessarie precisioni di sincronizzazione delle decine di nanosecondi (20-30 ns). Dilatazione temporale (relatività ristretta): circa 7 microsecondi al giorno. Redshift (blueshift) gravitazionale (relatività generale): circa +45 microsecondi al giorno. L errore complessivo dell ordine dei 38 microsecondi (38.000 ns) al giorno implica un errore nella posizione dell ordine dei 10 Km. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 34 / 38

Relatività generale: sviluppi successivi Ulteriori verifiche sperimentali e applicazioni G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 35 / 38 Conclusioni La filosofia incontra le teorie della relatività e la cosmologia Temi classici della riflessione filosofica: spazio e tempo, causalità, predicibilità, determinismo. Particolarità della cosmologia come scienza. L Universo è unico (Poincaé). Scienza storica per antonomasia (anche rispetto alla geologia, alla planetologia, alla biologia). Osservabilità e non osservabilità. Quali sono le scale incluse e quali i dettagli compresi nella teoria? Sia nell ultrapiccolo sia nell ultragrande, a seconda dei modelli, vi sono aspetti che vanno necessariamente oltre le nostre osservazioni. Universo o multiverso? Cercare una risposta a questioni del tipo: reversibilità delle leggi fondamentali, descrizione dell universo tramite una funziona d onda, aggiustamento fine dei valori delle costanti - principio antropico (Boltzmann 1897,Hugh Everett III, 1957, Andrej Linde, 1982-3): è possibile verificarla con esperimenti/osservazioni? G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 36 / 38

Conclusioni Varie teorie della gravità: Teorie non relativistiche. Teorie metriche: il Principio di Equivalenza ci dice quale sia la risposta della massa-energia alla curvatura spaziotemporale. Questa in RG è individuata da un campo metrico tensoriale. Nello spaziotempo esistono però altri tipi di campi (vettoriale, scalare). Nella teoria di (Jordan-Fierz-)Brans-Dicke (1955, 1961), al campo tensoriale si aggiunge un campo scalare: le equazioni di campo devono quindi determinare la quantità di campo scalare generata dalla materia-energia, e specificare come cambia la curvatura in relazione alla materia-energia combinata con il campo scalare. Comunque, una volta determinata la metrica il Principio di Equivalenza vincola la risposta della massa-energia allla curvatura spaziotemporale. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 37 / 38 Conclusioni Altre teorie. Non tutte le teorie della gravitazione elaborate negli ultimi decenni sono teorie metriche nel senso sopra esposto. Per esempio le cosiddette teorie di superstringa, che pure si basano su una metrica spaziotemporale anche se trattano di oggetti che vivono in spazi di dimensione superiore allo spaziotempo quadridimensionale, richiedono l introduzione di campi addizionali (dilatoni, moduli) che si accoppiano alla materia-energia in modo tale da portare a una violazioni del PEE. I modelli cosmologici attualmente disponibili sono varianti (perturbazioni) del modello di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. G. Peruzzi (Dip. di Fisica e Astronomia) Non ho mai lavorato tanto duramente Parma, 20 nov 15 38 / 38