APPUNTI DI GENERALE. by Andrea Grieco

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1 APPUNTI DI RELATIVITA GENERALE by Andrea Grieco

2 L ESTENSIONE PIU VASTA 1916 DIE GRUNDLAGEN DER ALLGEMEINEN RELATIVITÄTSTHEORIE ANNALEN DER PHYSIK La teoria esposta nel seguito costituisce l estensione piu vasta pensabile della teoria indicata in generale al giorno d oggi come teoria della relatività LE LEGGI DELLA FISICA DEVONO ESSERE DI NATURA TALE DA VALERE RISPETTO AD UN SISTEMA DI RIFERIMENTO IN MOTO ARBITRARIO NUOVA TEORIA DELLA GRAVITAZIONE

3 LA COVARIANZA DELLE LEGGI FISICHE COVARIANZA: SI DICE CHE UNA LEGGE FISICA È COVARIANTE, RISPETTO A UNA CERTA TRASFORMAZIONE, QUANDO CONSERVA LA STESSA FORMA DOPO ESSERE STATA TRASFORMATA O F=ma O F =m a U COVARIANZA GALILEIANA: LE LEGGI DELLA DINAMICA NEWTONIANA SONO COVARIANTI RISPETTO ALLE TRASFORMAZIONI DI GALILEO O Velocità = c LUCE O Velocità = c LUCE U COVARIANZA IN RELATIVITÀ RISTRETTA: LE LEGGI DELLA MECCANICA E DELL ELETTROMAGNETISMO SONO COVARIANTI RISPETTO ALLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ

4 LA COVARIANZA GENERALE Le leggi della fisica debbono essere di natura tale che esse si possano applicare a sistemi di riferimento comunque in moto Tutte le nostre verifiche sperimentali si riducono invariabilmente a una determinazione di coincidenze spaziotemporali O O a A(x A, y A, z A, t A )! B(x B, y B, z B, t B ) A(x A, y A, z A, t A )! B(x B, y B, z B, t B ) PRINCIPIO DI COVARIANZA GENERALE: LE LEGGI DELLA NATURA DEVONO POTERSI ESPRIMERE IN UNA FORMA CHE SIA COVARIANTE RISPETTO A QUALUNQUE SISTEMA DI RIFERIMENTO

5 ESISTE LO SPAZIO ASSOLUTO? Nella meccanica classica vi è un innato difetto epistemologico, che fu chiaramente precisato (forse per la prima volta) da Mach, e che si ripercuote anche nella teoria della relatività ristretta. Einstein Die Grundlagen der allgemeinen Relativitatstheorie, 1916 A B A B SPAZIO ASSOLUTO STELLE LONTANE NEWTON BERKELEY LE FORZE APPARENTI SONO UNA CONSEGUENZA DEL MOTO ACCELERATO RISPETTO ALLO SPAZIO ASSOLUTO LE FORZE APPARENTI SONO UNA CONSEGUENZA DEL MOTO ACCELERATO RISPETTO ALLE STELLE LONTANE

6 RIVEDER LE STELLE. PRINCIPIO DI MACH: L INERZIA DI UN CORPO E DOVUTA ALLA SUA INTERAZIONE CON TUTTE LE MASSE PRESENTI NELL UNIVERSO E AL SUO STATO DI MOTO RISPETTO AD ESSE O O O O A B A B SPAZIO VUOTO AD ECCEZIONE DI A E B LA ROTAZIONE RECIPROCA NON INDUCE ALCUNA DEFORMAZIONE SPAZIO CONTENENTE STELLE E GALASSIE LA ROTAZIONE RECIPROCA INDUCE DEFORMAZIONE IN UNO DEI CORPI

7 SISTEMI ACCELERATI OSSERVATORE O IN ASTRONAVE IN MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO a O O a a a O VEDE I CORPI LIBERI SOGGETTI ALLA MEDESIMA ACCELERAZIONE a

8 COME CADONO I GRAVI? OSSERVATORE O IN SULLA SUPERFICIE TERRESTRE IN CAMPO DI GRAVITA UNIFORME O g = 9,8 m/s 2 O VEDE I CORPI LIBERI SOGGETTI ALLA MEDESIMA ACCELERAZIONE g

9 LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE: DUE CORPI DI MASSA INERZIALE M 1 E M 2 SI ATTRAGGONO CON UNA FORZA DIRETTAMENTE PROPORZIONALE AL PRODOTTO DELLE LORO MASSE E INVERSAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA LORO DISTANZA. LA FORZA È DIRETTA LUNGO LA CONGIUNGENTE I CORPI F F r m 1 m 2 F = G 0 m 1 m 2 r 2 G 0 costante di gravitazione universale G 0 = 6,67 x Nm 2 /Kg 2 SOLE TERRA LUNA

10 MOLTI SUCCESSI!CALCOLO DELLE EFFEMERIDI ACCURATISSIMO!SPIEGAZIONE DELLE MAREE!CALCOLO DELLA TRAIETTORIA DEI GRAVI!RITORNO PREVISTO DELLA COMETA DI HALLEY ( )!SCOPERTA DI NETTUNO (1846 LE VERRIER-ADAMS-GALLE) E PLUTONE (1930 PICKERING-LOWELL-TOMBAUGH) IN BASE ALLE PERTURBAZIONI DELL ORBITA DI URANO!CALCOLO DELLE ORBITE DELLE STELLE DOPPIE!SATELLITI ARTIFICIALI (1957 SPUTINIK), L UOMO SULLA LUNA (1969 APOLLO 11), SONDE INTERPLANETARIE!UNIFICAZIONE DELLA FISICA TERRESTRE E DI QUELLA CELESTE

11 QUALCHE PROBLEMA TEORICO LA FORZA SI PROPAGA ISTANTANEAMENTE SENZA LA PRESENZA DI UN MEZZO CHE FUNGE DA INTERMEDIARIO (AZIONE A DISTANZA) Newton (teoria della gravitazione): azione a distanza Cartesio (teoria dei vortici): azione per contatto UGUAGLIANZA TRA MASSA INERZIALE E MASSA GRAVITAZIONALE m i F a F = m i a m g F p g F p = m g g POICHÉ SI TROVA a = g DEVE ESSERE m i = m g

12 E PRATICO PRECESSIONE DEL PERIELIO DI MERCURIO! PERIELIO SOLE AFELIO MERCURIO PRECESSIONE DEL PERIELIO VALORE OSSERVATO VALORE TEORICO DIFFERENZA " = 574 /SECOLO " = 531 /SECOLO #" = 43 /SECOLO

13 IL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: GLI EFFETTI PRODOTTI SUI FENOMENI FISICI DALLA PRESENZA DI UN CAMPO GRAVITAZIONALE SONO EQUIVALENTI (INDISTINGUIBILI), ALMENO LOCALMENTE, DA QUELLI PRODOTTI DA UN OPPORTUNA ACCELERAZIONE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO g O O g g g I DUE ASTRONAUTI TROVANO ESATTAMENTE LE STESSE LEGGI DELLA FISICA

14 CONSEGUENZE DEL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA IL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA HA COME CONSEGUENZA IMMEDIATA CHE LA MASSA GRAVITAZIONALE E LA MASSA INERZIALE SIANO EQUIVALENTI g m g = m i GLI EFFETTI PRODOTTI DA UN CAMPO GRAVITAZIONALE SONO LOCALMENTE INDISTINGUIBILI DA QUELLI PRODOTTI DA UN OPPORTUNO SISTEMA DI RIFERIMENTO ACCELERATO. g IN UN ASCENSORE IN CADUTA LIBERA NON SI RISENTE DEGLI EFFETTI DEL CAMPO GRAVITAZIONALE

15 LA LUCE CURVA! SEGUENDO IL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA CIO CHE AVVIENE IN UN SISTEMA ACCELERATO AVVIENE ANCHE IN UN CAMPO GRAVITAZIONALE g g g V 0 O g O AGLI OSSERVATORI O E O IL RAGGIO DI LUCE APPARIRÀ SEGUIRE UNA TRAIETTORIA CURVA

16 LO SPAZIO-TEMPO SI PIEGA UN CAMPO GRAVITAZIONALE CURVA I RAGGI DI LUCE E CIO IMPLICA UNA CURVATURA DELLO SPAZIO-TEMPO B A C NELLO SPAZIO-TEMPO CURVO LE TRAIETTORIE DEI RAGGI DI LUCE SEGUONO IL PERCORSO PIÙ BREVE TRA DUE PUNTI: GEODETICHE

17 EUCLIDE NON SI APPLICA IN PRESENZA DI UN CAMPO GRAVITAZIONALE LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO-TEMPO NON È PIÙ EUCLIDEA R R L = 2"R L L % 2"R L # #! $! $! + # + $ = 180 GEOMETRIA EUCLIDEA! + # + $ % 180 GEOMETRIA NON EUCLIDEA

18 ESISTONO GLI SPAZI CURVI? SUPERFICI CON DIVERSA CURVATURA RAGGIO DI CURVATURA R R = raggio della sfera CURVATURA K=1/R 2 Per il piano R=& e K=0 Per la sfera R=r e K=1/r 2

19 LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO-TEMPO LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO-TEMPO QUADRIDIMENSIONALE NON E EUCLIDEA E VARIA DA PUNTO A PUNTO: VARIETA DI RIEMANN t t y y x RELATIVITA RISTRETTA SISTEMA CARTESIANO x RELATIVITA GENERALE SISTEMA GAUSSIANO LOCALMENTE E POSSIBILE CONSIDERARE UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO. L APPROSSIMAZIONE È VALIDA IN PORZIONI LIMITATE DELLO SPAZIO-TEMPO

20 CHI CURVA LO SPAZIO-TEMPO? LA PRESENZA DI MATERIA-ENERGIA MODIFICA LO SPAZIO-TEMPO EQUAZIONI DI CAMPO: COLLEGANO IL TENSORE METRICO E QUINDI LA CURVATURA DELLO SPAZIO-TEMPO ALLA DENSITÀ DI MASSA-ENERGIA

21 QUALCHE FORMULA O O O VEDE L OROLOGIO DI O RALLENTARE E LE LUNGHEZZE CONTRARSI IN SENSO RADIALE CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE L = L 0 1-2G 0M Rc 2 DILATAZIONE DEL TEMPO ' = ' 0 1-2G 0M Rc 2

22 QUALCHE CALCOLO TERRA M= 5,97x10 24 Kg R = 6,37x10 6 m ' = 1, ' 0 # ' = 2 s/100 y L = 0, L 0 #L = 6 cm SOLE M= 1,99x10 30 Kg R = 6,96x10 8 m ' = 1, ' 0 # ' = 1 h 51 m/100 y L = 0, L 0 STELLA DI NEUTRONI M= 1,99x10 30 Kg R = 6,00x10 3 m ' = 1,40 ' 0 # ' = 24 m/h L = 0,71 L 0

23 ECLISSE STORICA DEFLESSIONE DEI RAGGI LUMINOSI STELLA, POSIZIONE APPARENTE ( STELLA, POSIZIONE REALE SOLE LUNA TERRA NEL 1919 NEL CORSO DI UNA SPEDIZIONE ORGANIZZATA IN AFRICA DALL ASTRONOMO REALE SIR. ARTHUR EDDINGTON. LE OSSERVAZIONI COMPIUTE, ASSIEME A QUELLE DI ALTRE SPEDIZIONI, CONFERMARONO, NEI LIMITI DEGLI ERRORI SPERIMENTALI, LA DEFLESSIONE PREVISTA DA EINSTEIN. POSIZIONE REALE POSIZIONE APPARENTE TEORIA DI NEWTON ( = 0,87 TEORIA DI EINSTEIN ( = 1,74 OSSERVAZIONI ( = 1,61 ±0,40

24 LE IMMAGINI IMMAGINI DALLA SPEDIZIONE DEL 1919

25 MERCURIO TORNA AL SUO POSTO PRECESSIONE DEL PERIELIO DI MERCURIO! PERIELIO SOLE AFELIO VALORE OSSERVATO VALORE TEORICO DIFFERENZA " = 574 /SECOLO " = 531 /SECOLO #" = 43 /SECOLO DIFFERENZA CALCOLATA DA EINSTEIN #" = 43,03 /SECOLO

26 LA LUCE SI ARROSSA SPOSTAMENTO VERSO IL ROSSO DELLE RADIAZIONI EMESSE DALLA SUPERFICIE DELLE STELLE O O STELLA ) 0 ) RED-SHIFT GRAVITAZIONALE: UNA RADIAZIONE EMESSA ALLA SUPERFICIE DELLA STELLA CON FREQUENZA ) 0 È OSSERVATA DA O CON FREQUENZA ) MINORE

27 LE ONDE GRAVITAZIONALI ONDE GRAVITAZIONALI: PERTURBAZIONI DELLO SPAZIO-TEMPO CHE SI PROPAGANO ALLA VELOCITA DELLA LUCE EMISSIONE DI ONDE GRAVITAZIONALI DA UN SISTEMA BINARIO (ES. PSR )

28 FUGA DALLA GRAVITA VELOCITA DI FUGA : E LA VELOCITA DA IMPRIMERE A UN CORPO AFFINCHE ABBANDONI PER SEMPRE LA SUPERFICIE DI UN PIANETA TERRA M= 5,97x10 24 Kg R = 6,37x10 6 m V F = 11,2 Km/s SOLE M= 1,99x10 30 Kg R = 6,96x10 8 m V F = 617,6 Km/s STELLA DI NEUTRONI M= 1,99x10 30 Kg R = 6,00x10 3 m V F = ,4 Km/s

29 STELLE OSCURE STELLE OSCURE: LA VELOCITA DI FUGA E SUPERIORE A QUELLA DELLA LUCE VELOCITÀ DI FUGA > Km/s 1783 JOHN MICHEL 1796 PIERRE SIMON DE LAPLACE STELLA OSCURA R S = 2G c 0 2 M LE STELLE OSCURE HANNO UNA GRAVITA SUPERFICIALE COSI INTENSA CHE LA LUCE CHE PRODUCONO NON RIESCE AD ABBANDONARE LA SUPERFICIE, RISULTANO QUNDI INVISIBILI

30 LO SPAZIO-TEMPO SI CHIUDE NEL 1916 K. SCHWARTZSCHILD TROVA SOLUZIONI ALLE EQUAZIONI DI CAMPO IN CUI LA VELOCITA DI FUGA DA UN CORPO CELESTE DIVENTA UGUALE A QUELLA DELLA LUCE R S = 2G c 0 2 M AL DI SOTTO DEL RAGGIO DI SCHWARZSCHILD LA VELOCITA DI FUGA E MAGGIORE DI QUELLA DELLA LUCE, LA SUPERFICIE COSI DEFINITA E DETTA ORIZZONTE DEGLI EVENTI SULL ORIZZONTE DEGLI EVENTI LA DILATAZIONE TEMPORALE E LA CONTRAZIONE SPAZIALE DIVENTANO INFINITE

31 BUCO NERO NEL 1967 J. WHEELER CONIA IL TERMINE BLACK HOLE PER LE STELLE COLLASSATE AL DI SOTTO DEL RAGGIO DI SCHWARTSCHILD RAPPRESENTAZIONE ARTISTICA DI UN BUCO NERO (NASA) ALL INTERNO DELL ORIZZONTE DEGLI EVENTI LA RELATIVITA PREVEDE LA FORMAZIONE DI UNA SINGOLARITA SPAZIO-TEMPORALE QUALUNQUE OGGETTO PRECIPITI IN UN BUCO NERO, UNA VOLTA ATTRAVERSATO L ORIZZONTE, CADE INESORABILMENTE VERSO LA SINGOLARITA CENTRALE NO HAIR THEOREM: LE PROPRIETA OSSERVABILI DEI BUCHI NERI SONO ESCLUSIVAMENTE LA MASSA, LA CARICA E IL MOMENTO ANGOLARE

32 ESISTONO I BUCHI NERI? SIMULAZIONE DI UN BUCO NERO VISTO DA 600 Km DI DISTANZA (WIKIPEDIA)

33 CYGNUS X-1 SORGENTE X CYGNUS X-1 PROBABILE SISTEMA BINARIO BUCO NERO DI 10 MASSE SOLARI E GIGANTE AZZURRA (WIKIPEDIA)

34 M87 JET DI MATERIA PROBABILMENTE EMESSO DA UN BUCO NERO DI MILIONI DI MASSE SOLARI NEL CENTRO DI M87 (VIRGO A) (WIKIPEDIA)

35 A.C.A. GRUPPO TEORICO GRAZIE PER L ATTENZIONE!!! DOMANDE?

36 LA GIOSTRA DI EINSTEIN $ V = $R O a = $ 2 R O a = $ 2 R R V a L = 2%R L > 2%R a O Righello di O Righello di O L orologio O apparirà ad O battere il tempo più lentamente O

37 LA GIOSTRA DI EINSTEIN $ V = $R O a = $ 2 R O a = $ 2 R R V a L = 2%R L > 2%R a O Righello di O Righello di O L orologio O apparirà ad O battere il tempo più lentamente O

38 LA LUCE CURVA g G g G g V 0 g O O Agli osservatori O e O il raggio di luce apparirà seguire una traiettoria curva, esattamente come la pallina. A B C Nello spazio-tempo curvo le traiettorie dei raggi di luce seguono i percorso più breve tra due punti. Tali traiettorie sono dette geodetiche.

39 LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO-TEMPO - 2 L invariante intervallo, introdotto in relatività ristretta, può aiutarci a capire quanto la geometria dello spazio-tempo si discosta da quella euclidea. ct ct ct cdt ds cdt cdt ds dx dx x dx ds 2 = dx 2 c 2 dt 2 = g 11 dx 2 + g 00 c 2 dt 2 + g 10 dx cdt + g 01 dx cdt x x Per lo spazio-tempo quadridimensionale, possiamo descriverne la deformazione utilizzando i coefficienti g ik che ci permettono di calcolare l intervallo ds. g ik prende il nome di tensore metrico. ds 2 = 3 3!! i= 0 k = 0 g ik dx i dx k

40 LE EQUAZIONI DEL MOTO Vogliamo descrivere il moto di un corpo nello spazio-tempo G V 0 g G V 0 g g g O O Scegliamo un sistema di riferimento G che abbia la stessa accelerazione g della pallina. In questo sistema la pallina apparirà seguire una traiettoria rettilinea con velocità costante. La descrizione del moto della pallina in O e O sarà solo una questione di cambiamento di coordinate. d 2 d! x k G 2 = 0 con k=0,1,2,3 ' = x G 0 = ct G tempo proprio

41 MODELLI COSMOLOGICI Principio cosmologico: l universo su grande scala appare omogeneo ed isotropo a qualunque osservatore. Modello di Einstein (1917): universo statico con raggio di curvatura costante positivo, illimitato, densità di materia-energia &, costante cosmologica ' diversa da 0. Modello di de Sitter (1917): universo in espansione o contrazione, curvatura nulla, densità di materia-energia &=0, costante cosmologica '=0. Modello di Lamaître (1927): universo in espansione, curvatura positiva, densità di materia-energia &, costante cosmologica '(0. Parametro R Pre se nte de Sitter Lemaître Einstein passat o futuro Tempo t

42 I MODELLI DI FRIEDMANN Parametro R Pre se nte K=-1 K=0? K=+1 singolarità passat o futuro Tempo t o E C >U, l energia cinetica prevale sull attrazione gravitazionale e l Universo è destinato ad espandersi per sempre. La curvatura è costante e negativa. o E C <U, l attrazione gravitazionale prevale sull energia cinetica e l Universo è destinato a contrarsi dopo una fase di espansione. La curvatura è costante e positiva. o E C =U, l attrazione gravitazionale equilibra l energia cinetica e l Universo è destinato destinato ad espandersi per sempre ma con velocità che tende a zero. La curvatura è nulla.

43 QUANTUM GRAVITY? Quasar Immagine virtuale 1 Atomo di elio Fotone Immagine virtuale 2 Galassia E=h) Effetto lente gravitazionale Terra Emissione di un fotone Int en sit à Elettromagnetica Nucleare debole RELATIVITA GENERALE Nucleare forte Elettrodebole Grav itazionale? Forte+elettrodebole (ev) MECCANICA QUANTISTICA? Energia lunghezza di Planck m tempo di Planck s

44 IL SISTEMA ARISTOTELICO-TOLEMAICO