Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica Antonio Azzollini antonio.azzollini@unibas.it Anno accademico 2016/2017
Rapporti Statistici I rapporti statistici sono rapporti fra due grandezze, di cui almeno una di natura statistica, legate da una relazione logica. Essi vengono prevalentemente calcolati per eliminare l influenza di circostanze che, altrimenti, non renderebbero confrontabili i dati. Fra i rapporti statistici riconosciamo: Rapporti di composizione Rapporti di coesistenza Rapporti di derivazione Rapporti di densità Rapporti indici
Rapporto di composizione
Rapporto di composizione Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali.
Rapporto di composizione Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali. In una distribuzione di frequenze servono per confrontare l incidenza (il contributo) di ciascuna modalità alla numerosità totale. In questa situazione essi non sono altro che le frequenze relative.
Rapporto di composizione una parte totale 100 1.500.000 9.000.000 100 = 16,67% ( Volkswagen) Totale 9.000.000 x = una parte totale 100 una parte : totale = x :100 Al posto del totale si può utilizzare un altra quantità che viene detta base.
Rapporto di coesistenza
Rapporto di coesistenza Riguardano quelle situazioni in cui si vuole confrontare modalità in qualche modo antitetiche o due quantità concettualmente differenti.
Rapporto di coesistenza Riguardano quelle situazioni in cui si vuole confrontare modalità in qualche modo antitetiche o due quantità concettualmente differenti. In una distribuzione di frequenze esso consiste in un rapporto (eventualmente moltiplicato per 100) tra la frequenza corrispondente ad una modalità e la frequenza corrispondente ad un altra modalità.
Rapporto di coesistenza Il rapporto di coesistenza é il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità. a e b x = b a 100 È quel valore di x tale che b :a = x :100 Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100.
Rapporto di coesistenza Il rapporto di coesistenza é il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità. a e b x = b a 100 È quel valore di x tale che b :a = x :100 Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100. Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente: Maschi Femmine 124 57
Rapporto di coesistenza Il rapporto di coesistenza é il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità. a e b x = b a 100 È quel valore di x tale che b :a = x :100 Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100. Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente: Maschi Femmine 124 57 57 124 100 = 45,96 Ogni 100 maschi ci sono 45,96 femmine. Rapporto di femminilità
Rapporto di coesistenza Il rapporto di coesistenza é il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità. a e b x = b a 100 È quel valore di x tale che b :a = x :100 Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100. Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente: Maschi Femmine 124 57 57 124 100 = 45,96 124 57 100 = 217,54 Ogni 100 maschi ci sono 45,96 femmine. Rapporto di femminilità Ogni 100 femmine ci sono 217,54 maschi. Rapporto di mascolinità
Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità?
Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità? media Indesit = 3 media De Longhi deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi
Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità? media Indesit = 3 media De Longhi deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi Un giusto confronto fra le variabilità dei due titoli può avvenire previa rimodulazione della deviazione standard in rapporto alla media. In sostanza le quantità da confrontare sono i rapporti di coesistenza che altro non sono che...
Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità? media Indesit = 3 media De Longhi deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi Un giusto confronto fra le variabilità dei due titoli può avvenire previa rimodulazione della deviazione standard in rapporto alla media. In sostanza la quantità da confrontare é il rapporto di coesistenza deviazione standard che altro non é che... media
Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità?...il già noto coefficiente di variazione percentualizzato coefficiente di variazione Indesit 100= 1,16 9,89 = 11,73 coefficiente di variazione De Longhi 100= 0,57 3,03 = 18,81
Rapporto di derivazione
Rapporto di derivazione Tale tipo di rapporto interviene quando si vuole effettuare correttamente un confronto fra le frequenze con le quali occorrono diverse modalità di un carattere che, sul piano logico o temporale, segue da un altro che ne costituisce l antecedente o il presupposto.
Rapporto di derivazione Tale tipo di rapporto interviene quando si vuole effettuare correttamente un confronto fra le frequenze con le quali occorrono diverse modalità di un carattere che, sul piano logico o temporale, segue da un altro che ne costituisce l antecedente o il presupposto. In una distribuzione di frequenze, esso é dato dal rapporto fra la frequenza della modalità di un carattere e la frequenza di una corrispondente modalità di un altro carattere che si ritiene esserne la causa o il presupposto.
Rapporto di derivazione Il rapporto di derivazione é il rapporto fra due quantità b e dove rappresenta una manifestazione di una variabile A e b rappresenta una manifestazione di una variabile B generata da A. B A Regione b=veicoli incidentati a=veicoli b/a b/a 1.000 Abruzzo 7,252 1,131,299 0.006 6 Basilicata 1,726 457,376 0.004 4 Calabria 6,570 1,565,296 0.004 4 Campania 21,587 4,350,447 0.005 5 Emilia Romagna 38,497 3,724,937 0.010 10 Friuli-Venezia Giulia 8,207 1,010,877 0.008 8 Lazio 53,240 4,859,950 0.011 11 Liguria 17,048 1,328,553 0.013 13 Lombardia 74,672 7,693,053 0.010 10 Marche 12,373 1,350,814 0.009 9 Molise 933 272,883 0.003 3 Piemonte 25,341 3,710,183 0.007 7 Puglia 24,377 2,862,659 0.009 9 Sardegna 8,628 1,303,464 0.007 7 Sicilia 26,528 4,257,928 0.006 6 Toscana 34,380 3,289,007 0.010 10 Trantino-Alto Adige 5,097 1,050,066 0.005 5 Umbria 5,680 803,525 0.007 7 Valle D Aosta 642 201,564 0.003 3 Veneto 29,396 3,903,220 0.008 8 a a
Rapporto di derivazione L esempio del numero di incidenti con le auto per regione si riferisce a rapporti di derivazione.. B A Regione b=veicoli incidentati a=veicoli b/a b/a 1.000 Abruzzo 7,252 1,131,299 0.006 6 Basilicata 1,726 457,376 0.004 4 Calabria 6,570 1,565,296 0.004 4 Emilia Romagna 21,587 4,350,447 0.005 5............... La quinta colonna della tabella ci indica, regione per regione, quanti incidenti si verificano per ogni 1.000 macchine immatricolate nella regione stessa: ci sono 9 incidenti in Abruzzo, 4 in Basilicata e così via. In questo caso abbiamo usato la formula b a 1000 su 1.000, ma se necessario si può utilizzare un valore più elevato. per esprimere il rapporto su
Rapporto di derivazione Età Decessi Popolazione Femmin Maschi Femmine Maschi <1 e 25 21 272,400 258,566 1-14 61 58 3,887,954 3,684,265 15-29 317 129 5,395,451 5,239,304 30-44 1,568 589 6,622,520 6,610,429 45-59 7,073 2,416 5,365,813 5,548,221 60-69 13,825 6,566 3,084,258 3,460,637 70-79 32,498 26,089 2,142,455 2,947,833 80-89 36,153 55,900 713,313 1,363,955 90 & oltre 13,852 38,149 102,818 295,552 Totale 105,372 129,917 27,586,982 29,408,762 La tabella riporta i morti per malattie dell apparato cardio-circolatorio per popolazione, per genere e classi di età (ISTAT 2001). In generale, le donne hanno una mortalità inferiore per queste cause. 105.372 27.586.982 100.000 = 382,0 129.917 29.408.762 100.000 = 441,8 Si tratta di rapporti di derivazione, visto che il numero di decessi dipende anche dalla numerosità della popolazione dei singoli generi. Il numero di decessi preso da solo non è un dato di per sé confrontabile.
Rapporto di densità
Rapporto di densità I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in riferimento a campi di dimensioni diverse.
Rapporto di densità I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in riferimento a campi di dimensioni diverse. Un esempio si ha quando si vogliono confrontare le frequenze relative osservate in due distribuzioni per classi in cui l'ampiezza delle classi della prima è differente rispetto a quella della seconda.
Rapporto di densità I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in riferimento a campi di dimensioni diverse. Un esempio si ha quando si vogliono confrontare le frequenze relative osservate in due distribuzioni per classi in cui l'ampiezza delle classi della prima è differente rispetto a quella della seconda. Come già osservato, un corretto confronto è possibile ricorrendo alla distribuzione delle densità di frequenze relative che si ottengono dividendo le frequenze relative delle classi per l'ampiezza della classe.
Rapporto di densità In generale il rapporto di densità si definisce come il rapporto dove a numeratore appare la grandezza oggetto di osservazione ed a denominatore la dimensione del campo in cui essa è stata osservata (può essere un intervallo temporale, un'area geografica...)
Rapporto di densità Regione Popolazione residenti Superficie Km 2 Densità abitanti/km 2 Sicilia 5,094,937 25,832.39 197 Piemonte 4,436,798 25,387.07 175 Sardegna 1,663,859 24,100.02 69 Lombardia 9,973,397 23,863.65 418 Toscana 3,750,511 22,987.04 163 Emilia Romagna 4,446,354 22,452.78 198 Puglia 4,090,266 19,540.90 209 Veneto 4,926,818 18,407.42 268 Lazio 5,870,451 17,232.29 341 Calabria 1,980,533 15,221.90 130 Campania 5,869,965 13,670.95 429 Trentino-Alto Adige 1,051,951 13,605.50 77 Abruzzo 1,333,939 10,831.84 123 Basilicata 578,391 10,073.32 57 Marche 1,553,138 9,401.38 165 Umbria 896,742 8,464.33 106 Friuli-Venezia Giulia 1,229,363 862.30 1426 Liguria 1,591,939 5,416.21 294 Molise 314,725 4,460.65 71 Val D Aosta 128,591 3,260.90 39
Indici semplici
Indici semplici Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice. L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la quale viene presa come base di riferimento.
Indici semplici Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice. L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la quale viene presa come base di riferimento. IN SOSTANZA
Indici semplici Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice. L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la quale viene presa come base di riferimento. IN SOSTANZA pongono a confronto le intensità o le frequenze di uno stesso fenomeno in tempi diversi.
Indici semplici Esempio Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di 4,30. Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di 6,70. paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio 1987 100 = 6,7 4,3 100 = 155,81 Il rapporto 155,81 rappresenta l indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987.
Indici semplici Esempio Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di 4,30. Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di 6,70. paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio 1987 100 = 6,7 4,3 100 = 155,81 Il rapporto 155,81 rappresenta l indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987. La paga oraria nel 2003 è 1,5 volte la paga del 1987.
Indici semplici Esempio Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di 4,30. Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di 6,70. paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio 1987 100 = 6,7 4,3 100 = 155,81 Il rapporto 155,81 rappresenta l indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987. La paga oraria nel 2003 è 1,5 volte la paga del 1987. Ma di quanto è variata?
Indici semplici paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio 1987 Variazione percentuale 100 100 = 6,7 4,3 paga oraria gennaio 2003-paga oraria gennaio 1987 paga oraria gennaio 1987 100 100 = 55,81 100 = 55,81
Indici semplici paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio 1987 Variazione percentuale 100 100 = 6,7 4,3 paga oraria gennaio 2003-paga oraria gennaio 1987 paga oraria gennaio 1987 100 100 = 55,81 100 = 55,81 C è stato un aumento del 55,81% nella paga oraria di un operaio nel periodo da gennaio 1987 a gennaio 2003.
Indici semplici Variazione percentuale In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia
Indici semplici Variazione percentuale In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia a h a b 100 100 = a h 1 a b 100 = a h a b a b 100
Indici semplici Variazione percentuale In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia a h a b 100 100 = a h 1 a b 100 = a h a b a b 100 Se a h rappresenta la misura della grandezza al tempo h ed a b rappresenta la misura della stessa grandezza al tempo iniziale b allora a h a b a b 100 rappresenta la variazione percentuale della grandezza dal tempo b al tempo h.
Indici semplici a base fissa Assegnate le grandezze a 1,a 2,,a k si dicono numeri indice a base fissa a b i seguenti rapporti: I = a. i 100, i, i 1. a i 1 a b. a b. a i = 1 2,,k
Indici semplici a base fissa Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981. Gli indici riportati in ultima colonna rappresentano i rapporti percentualizzati fra la p r o d u z i o n e d e l l ' a n n o considerato e quella del 1976 (base fissa). Anni Acciaio Grandezza Indici 1976 23,447 a 1 100 1977 23,334 a 2 99.5 1978 24,383 a 3 103.6 1979 24,250 a 4 103.4 1980 26,501 a 5 113 1981 24,777 a 6 105.7 I 1978,1976 1 Utilizziamo la notazione anno,1976 per indicare l'indice di un anno in rapporto alla base fissa. data dalla produzione del 1976. Per esempio I 1978,1976 =103,6 rappresenta l'indice del 1978 in rapporto 1 al 1976.
Indici semplici a base fissa Esempio Se si vuole conoscere le variazioni dell indice sempre in rapporto alla base fissa considerata, a ciascun indice bisogna sottrarre 100. Nell'ultima colonna sono riportate le variazioni di produzione in rapporto alla produzione del 1976 (base fissa). Anni Acciaio Grandezza Indici Variazioni 1976 23,447 a 100 1 1977 23,334 a 99.5-0.5 2 1978 24,383 a 103.6 +3,6 3 1979 24,250 a 4 103.4 +3,4 1980 26,501 a 5 113 +13 1981 24,777 a 6 105.7 +5,7
Indici semplici a base fissa Esempio Se si vuole conoscere la variazione dell indice fra il 1978 e il 1977 basterà utilizzare la formula I 1978,1976 103,6 1 I 1977,1976 100 = 99,5 1 100 = 4,12 103,6 99,5 Anni Acciaio Grandezza Indici Variazioni 1976 23,447 a 100 1 1977 23,334 a 99.5-0.5 2 1978 24,383 a 103.6 +3,6 3 1979 24,250 a 4 103.4 +3,4 1980 26,501 a 5 113 +13 1981 24,777 a 6 105.7 +5,7 La fomula precedente è giustificata dalla formula di cambio di base fissa. Per esempio, per passare dall'indice in base "anno 1976" I 1978,1976 all'indice in base "anno 1977":. I = 1978,1. I 1977,1976 I 1977,
Indici semplici a base fissa Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno. Esempio Il prezzo di una spillatrice da ufficio è Anno Prezzo Indice (1990) Indice (1990-91) 1985 18.00 1990 20.00 18 100 = 90,0 20 20 100 = 100,0 20 1991 22.00 110.0 1992 23.00 115.0 2004 38.00 190.0 Indice (1990-91-92)
Indici semplici a base fissa Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno. Esempio Il prezzo di una spillatrice da ufficio è Anno Prezzo Indice (1990) Indice (1990-91) 1985 18.00 1990 20.00 18 20 100 = 90,0 18 100 = 85,7 21 20 20 100 = 100,0 20 100 = 95,2 21 1991 22.00 110.0 104.8 1992 23.00 115.0 109.5 2004 38.00 190.0 181.0 Indice (1990-91-92) 20 + 22 = 21 2 Prezzo medio 1990-91
Indici semplici a base fissa Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno. Anno Prezzo Indice (1990) Indice (1990-91) 1985 18.00 1990 20.00 Esempio Il prezzo di una spillatrice da ufficio è Indice (1990-91-92) 18 20 100 = 90,0 18 21 100 = 85,7 18 100 = 90,0 21,67 20 20 100 = 100,0 20 21 100 = 95,2 20 100 = 92,3 21,67 1991 22.00 110.0 104.8 101.5 1992 23.00 115.0 109.5 106.1 2004 38.00 190.0 181.0 175.5 20 + 22 + 23 = 21,67 3 Prezzo medio 1990-91-92
Gli sconti e le variazioni Calcolo del prezzo scontato a 2 di un articolo a partire dal prezzo iniziale a 1 sconto s. e dallo
Gli sconti e le variazioni Calcolo del prezzo scontato a 2 di un articolo a partire dal prezzo iniziale a 1 sconto s. Se ad esempio l articolo costa 90 euro e c è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola 90 90 0,30 = 63 ( 1) e dallo
Gli sconti e le variazioni Calcolo del prezzo scontato a 2 di un articolo a partire dal prezzo iniziale a 1 sconto s. Se ad esempio l articolo costa 90 euro e c è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola 90 90 0,30 = 63 ( 1) e dallo In questo caso 30 rappresenta la variazione percentuale. In generale, a quale operazione corrisponde la 1 ( )? a 1 a 1 s = a 2
Gli sconti e le variazioni Calcolo del prezzo scontato a 2 di un articolo a partire dal prezzo iniziale a 1 sconto s. Se ad esempio l articolo costa 90 euro e c è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola 90 90 0,30 = 63 ( 1) e dallo In questo caso 30 rappresenta la variazione percentuale. In generale, a quale operazione corrisponde la 1 ( )? a 1 a 1 s = a 2 a 1 a 2 a 1 100 = p p sconto percentuale.
Indici semplici a base mobile Assegnate le grandezze a 1,a 2,,a k si dicono numeri indice a base mobile i seguenti rapporti: I i, i 1 = a i a i 1 100, i = 2,,k
Indici semplici a base mobile Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981 Anni Acciaio Grandezze Indici Indici 1976 23,447 a 1 1977 23,334 a 2 a 2 / a 1 x 100 99.5 1978 24,283 a 3 a 3 / a 2 x 100 104.1 1979 24,250 a 4 a 4 / a 3 x 100 99.9 1980 26,501 a 5 a 5 / a 4 x 100 109.3 1981 24,777 a 6 a 6 / a 5 x 100 93.5
Indici semplici a base mobile Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981 Anni Acciaio Grandezze Indici Indici 1976 23,447 a 1 1977 23,334 a 2 a 2 / a 1 x 100 99.5 1978 24,283 a 3 a 3 / a 2 x 100 104.1 1979 24,250 a 4 a 4 / a 3 x 100 99.9 1980 26,501 a 5 a 5 / a 4 x 100 109.3 1981 24,777 a 6 a 6 / a 5 x 100 93.5 Questi numeri forniscono la variazione di prima fabbricazione avutasi rispetto all anno precedente. Per esempio la variazione percentuale di produzione dal 1979 al 1980 è... (109,3-100)% = 9,3%.
Indici semplici a base mobile Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981 Anni Acciaio Grandezze Indici Indici 1976 23,447 a 1 1977 23,334 a 2 a 2 / a 1 x 100 99.5 1978 24,283 a 3 a 3 / a 2 x 100 104.1 1979 24,250 a 4 a 4 / a 3 x 100 99.9 1980 26,501 a 5 a 5 / a 4 x 100 109.3 1981 24,777 a 6 a 6 / a 5 x 100 93.5 Quale è la variazione percentuale media nell'intervallo temporale 1976-1981?
Indici semplici a base mobile Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981 Anni Acciaio Grandezze Indici Indici 1976 23,447 a 1 1977 23,334 a 2 a 2 / a 1 x 100 99.5 1978 24,283 a 3 a 3 / a 2 x 100 104.1 1979 24,250 a 4 a 4 / a 3 x 100 99.9 1980 26,501 a 5 a 5 / a 4 x 100 109.3 1981 24,777 a 6 a 6 / a 5 x 100 93.5 Quale è la variazione percentuale media nell'intervallo temporale 1976-1981? La variazione percentuale media è la media geometrica di indici a base mobile meno 100 5 99,5 104,1 99,9 109,3 93,5 100
Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5 al 1981 vale, la crescita percentuale media dal 1976 a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X100-100 a 1.. 100 a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5
Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5 al 1981 vale, la crescita percentuale media dal 1976 a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X100-100 a 1.. 100 a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 a a b+1 100 a 5.. a b+2 b 2 a a 4 a 100 a a 3 5 5 6 X! 100-100 a b 1 a 2 a 3 a b+1 a 4 a 5
Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5, la crescita percentuale media dal 1976 al 1981 vale a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X100-100 a 1.. 100 a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 a a b+1 100 a 5.. a b+2 b 2 a 3 a 4 a 5 10 a 6 X 100-100 a b 1 a 2 a 3 a b+1 a 4 a 5
Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5, la crescita percentuale media dal 1976 al 1981 vale a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X100-100 a 1.. 100 a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 a a b+1 100 a 5.. a b+2 b 2 a 3 a 4 a 5 10 a 6 X 100-100 a b 1 a 2 a 3 a b+1 a 4 a 5
Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5, la crescita percentuale media dal 1976 al 1981 vale a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X100-100 a 1.. 100 a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 a b+1 a b1 a 5.. a b 6 X 100-100
Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5, la crescita percentuale media dal 1976 al 1981 vale a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X100-100 a 1.. 100 a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 ( - 1) a b+1 a b1 a 5.. a b 6 X 100
Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5 al 1981 vale, la crescita percentuale media dal 1976 ( 1) a. a. b+1 a b 5 6 - a 100 26.501 5 b1 23.447 ( ) 100 = - 1 = 1,025
Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di 30.000 euro nel 2010 Reddito medio annuo di 50.000 euro nel 2012 valore finale valore iniziale = 50.000 30.000 = 1,67
Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di 30.000 euro nel 2010 Reddito medio annuo di 50.000 euro nel 2012 valore finale valore iniziale = 50.000 30.000 = 1,67 Quale è la crescita percentuale media annua?
Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di 30.000 euro nel 2010 Reddito medio annuo di 50.000 euro nel 2012 valore finale valore iniziale = 50.000 30.000 = 1,67 Quale è la crescita percentuale media annua? L'intervallo temporale è di due anni dunque nella formula precedentemente determinata crescita = n valore finale valore iniziale 1 100 bisogna porre n = 2.
Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di 30.000 euro nel 2010 Reddito medio annuo di 50.000 euro nel 2012 valore finale valore iniziale = 50.000 30.000 = 1,67 Quale è la crescita percentuale media annua? crescita = valore 50.000 finale valore 30.000 iniziale 1 100.,29 n 29 =
Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di 30.000 euro nel 2010 Reddito medio annuo di 50.000 euro nel 2012 valore finale valore iniziale = 50.000 30.000 = 1,67 Quale è la crescita percentuale media annua? crescita = valore 50.000 finale valore 30.000 iniziale 1 100.,29 n 29 = ossia c è stata una crescita media del 29% all'anno.
Base mobile vs. base fissa Esempio: quantità di acciaio di prima fabbricazione prodotte in Italia nel periodo 1976-1981. Mobile Fissa 120 112.5 105 97.5 90 1976 1977 1978 1979 1980 1981 Anni Mobile Fissa 1976 100 1977 99.5 99.5 1978 104.1 103.6 1979 99.9 103.4 1980 109.3 113 1981 93.5 105.7