Formule di Gauss-Green

Formule di Gauss-Green Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi II Riccarda Rossi (Università di Brescia) Gauss-Green Analisi II 1/44

. Richiami di teoria curvachiusainr 2, regolare a tratti, percorsa in senso antiorario T R 2 regione interna a! F : A R 2! R 2,!!! F = F 1 i 1 + F 2 i 2,! F 2 C 1 (A), A insieme aperto contenente T e il sostegno di ZZ I I @F 2 (1) @x dxdy = F 2 dy = (0!! i 1 + F 2 i 2 ) d (2) (3) T ZZ ZZ T T I @F 1 @y dxdy = @F2 @x F 1 dx = I @F 1 dxdy = @y I (F 1! i 1 +0! i 2 ) d F 1 dx + F 2 dy Riccarda Rossi (Università di Brescia) Gauss-Green Analisi II 2/44

T NON semplicemente connesso: ZZ T @F2 @x I @F 1 dxdy = @y 1! nx I F d 1 k=2 k! F d k Riccarda Rossi (Università di Brescia) Gauss-Green Analisi II 3/44

Casi particolari 1.Area di una regione I piana Area(T )= xdy Area(T )= I ydx Area(T )= 1 2 I (x dy ydx) Riccarda Rossi (Università di Brescia) Gauss-Green Analisi II 4/44

Calcolare l area di E = dove a > 0, b > 0 sono fissati. (x, y) 2 R 2 : x 2 a 2 + y 2 b 2 apple 1, Riccarda Rossi (Università di Brescia) Gauss-Green Analisi II 5/44

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Es. 2. I (x 3 xy 3 ) dx +(y 2 2xy) dy dove è il perimetro del quadrato D =[0, 2] [0, 2] percorso in senso antiorario. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Gauss-Green Analisi II 10 / 44

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Es. 3. I I = (e x4 y) dx +[x 3 +sinh(3y 2 )] dy dove è l ellisse 9x 2 +4y 2 = 36 percorso due volte in senso orario. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Gauss-Green Analisi II 16 / 44

Es. 4. Sia A = Q [ D, con e sia 8 >< Q =[0, 1] [0, 1] D = {(x, y) 2 R 2 :(x 1) 2 +(y 1) 2 apple 1, >: 1 apple x apple 2, 0 apple y apple 1} il bordo di A, orientato positivamente. Si calcoli l integrale I (x 3 y) dx +(x + y) dy Non conviene calcolare direttamente l integrale curvilineo: dovrei spezzarlo in 4 integrali, essendo = 1 [ 2 [ 3 [ 4. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Gauss-Green Analisi II 27 / 44

Es. 5. Sia la curva bordo del quadrato Q =[0, 1] [0, 1], orientata in senso orario. Si calcoli I x 1+y dx (sin(y)+x 2 y) dy Conviene applicare la formula di Gauss-Green al rovescio per evitare di parametrizzare i 4 lati del quadrato. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Gauss-Green Analisi II 34 / 44