LA MISURA E LA SUA IMPORTANZA Spesso, nel linguaggio comune, i corpi e gli eventi vengono descritti in modo approssimato (Es. Un corpo può essere definito grande o piccolo, una giornata calda o fredda, un viaggio lungo o corto e così via) facendo riferimento ad una scala di valori e riferimenti personali/soggettivi e che, come tali, variano da individuo ad individuo. Nel linguaggio scientifico occorre quantificare la proprietà del corpo o dell evento che stiamo descrivendo; ciò ci permette di avere dei dati oggettivi cioè, validi per tutti. Dopo aver attribuito un valore numerico è necessario anche indicare a quale proprietà del corpo e dell evento quel numero si riferisce (Es. Un albero è alto 5 cosa?; Un masso pesa 20 cosa? E così via). Purtroppo, non tutte le proprietà dei corpi si possono misurare, sia perché non abbiamo scale di riferimento oggettive a cui fare riferimento (Es. la bellezza, la bontà, il profumo dei fiori, il sapore di un cibo, ecc.), sia perché non eravamo presenti quando l evento è accaduto (Es. Origine dell universo, estinzione dei dinosauri), sia perché non abbiamo strumenti per la misura diretta del fenomeno (Es. Grandezza dell universo). Le proprietà della materia che invece possiamo misurare sono definite grandezze fisiche (Es. Massa, temperatura, lunghezza...). Le proprietà misurabili che dipendono dalle dimensioni del corpo e sono quindi caratteristiche del corpo in esame sono definite proprietà estensive (Es. Volume, massa, peso...). Le proprietà che non dipendono dalle dimensioni del corpo ma sono caratteristiche della sostanza del campione in esame sono definite proprietà intensive (Es. Densità, peso specifico, temperatura di ebollizione...). Per misurare una grandezza fisica occorre avere una grandezza di riferimento con cui confrontarla. Quest ultima deve essere dello stesso tipo di quella in esame ed ad essa viene attribuito arbitrariamente il valore unitario e perciò è definita unità di misura. Misurare una grandezza fisica significa calcolare quante volte la grandezza esaminata contiene l unità di misura che la caratterizza. Affinché una misura abbia senso, deve essere espressa attraverso un numero (informazione quantitativa) ed un unità di misura (informazione qualitativa). IL SISTEMA INTERNAZIONALE DI MISURA (SI) Nel corso della storia, molti furono i sistemi di riferimento e le unità di misura adottati ma non sempre essi permettevano la divulgazione dei risultati ottenuti, la loro validazione ed il confronto tra gli scienziati provenienti da nazioni diverse in cui si applicavano sistemi di misura differenti. Per ovviare ai problemi derivanti da questa situazione, nel 1960, la comunità scientifica internazionale decise di unificare i sistemi di misura allora utilizzati, concordando, che in ambito scientifico, tutti dovessero utilizzare il nuovo Sistema Internazionale di Misura (SI), la cui ufficializzazione avvenne nel 1971. Il Sistema Internazionale di Misura si basa su sette grandezze fondamentali, a cui si affiancano due grandezze supplementari per la misura degli angoli. Tutte le altre grandezze sono dette grandezze derivate e vengono espresse con le unità di misura delle grandezze fondamentali, in quanto derivano dalla combinazione di queste. Prof. Sante Fontana 1
Grandezze fondamentali Grandezza fisica Unità di misura Definizione Lunghezza (l) (Distanza geometrica tra due punti nello spazio) Massa (m) (Resistenza che un corpo oppone a qualsiasi modificazione del suo stato di quiete) Tempo (t) (L intervallo di tempo è la distanza temporale che intercorre tra due eventi) Intensità di corrente elettrica (I, i) (Quantità carica elettrica trasportata entro un'unità di tempo) Temperatura termodinamica (T) (Indica lo stato termodinamico di un corpo e si misura con un termometro) Intensità luminosa (I v) (Numero di fotoni che attraversa una sezione unitaria di un campione, che può essere anche il vuoto, nell'unità di tempo) Quantità di sostanza (n) (Quantità di sostanza contenuta in un insieme e proporzionale al numero di entità presenti) metro (m) kilogrammo (kg) secondo (s) ampere (A) kelvin (K) candela (cd) mole (mol) Il metro è la lunghezza corrispondente allo spazio percorso dalla luce nel vuoto in 1/299792458 s. Il kilogrammo è la massa del prototipo internazionale conservato al Pavillon de Breteuil (Sévres). Si tratta di un cilindro di platino-iridio, rispetto al quale i campioni nazionali vengono tarati. Il secondo è l intervallo di tempo corrispondente a 9192631770 periodi della radiazione emessa nella transizione tra due livelli iperfini dello stato fondamentale dell atomo di 133 Cs. Esso viene realizzato con un orologio atomico. L ampere è l intensità di corrente elettrica che, mantenuta costante in due conduttori paralleli rettilinei, di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile e posti alla distanza di 1 m l uno dall altro nel vuoto, produrrebbe tra i due conduttori la forza di 2 10-7 N su ogni metro di lunghezza. Il kelvin corrisponde alla frazione 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell acqua. La candela è l intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza 540 10 12 hertz e la cui intensità energetica in quella direzione è 1/683 watt allo steradiante. La mole è la quantità di sostanza di un sistema che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi contenuti in 0,012 kg di 12 C, che corrisponde al numero N di Avogadro. le entità elementari devono essere specificate e possono esser atomi, ioni, elettroni... Angolo piano Angolo solido Grandezze supplementari radiante (rad) steradiante (sr) Il radiante è l angolo piano al centro che su una circonferenza intercetta un arco di lunghezza uguale a quella del raggio. Lo steradiante è l angolo solido al centro che su una sfera intercetta una calotta di area uguale a quella del quadrato il cui lato ha la lunghezza del raggio. Grandezze derivate Grandezza fisica Unità di misura Definizione Accelerazione (a) metro al secondo quadrato (Variazione di velocità di un corpo nell unità di tempo) (ms -2 ) Una caloria è la Calore (Forma in cui l energia delle molecole passa da un corpo più caldo ad un corpo più freddo) Carica elettrica (Q) (Quantità di elettricità di cui è dotato un corpo) Energia (E, U) (Capacità di un corpo o di un sistema di compiere lavoro e la misura di questo lavoro è a sua volta la misura dell'energia) Energia libera di Helmholtz (F = U - TS) (A temperatura costante F per un sistema che subisce una trasformazione termodinamica equivale al lavoro caloria (1 cal = 4,186 J) coulomb (C = As) quantità di calore occorrente per innalzare la temperatura di 1 g di acqua distillata da 14,5 C a 15,5 C. 1 coulomb è la quantità di carica elettrica trasportata da una corrente di 1 ampere che scorre per 1 secondo. Un è il lavoro richiesto per esercitare una forza di un newton per una distanza di un metro. Prof. Sante Fontana 2
massimo che si potrebbe ottenere per quella trasformazione e cioè se fosse condotta reversibilmente) Energia libera di Gibbs (G = H TS) ( G per una trasformazione termodinamica, condotta a temperatura e pressione costanti, dà il lavoro utile ottenibile e cioè la differenza tra il lavoro massimo ed il lavoro fatto, nelle espansioni, contro la pressione esterna) Entalpia (H = U + pv) (Funzione di stato che serve a caratterizzare un sistema termodinamico; viene anche detta calore totale o contenuto termico del sistema) Entropia (S) (Grandezza termodinamica che esprime la tendenza di un sistema chiuso e termicamente isolato ad evolvere verso uno stadio di equilibrio termodinamico) Forza (F) (Grandezza fisica vettoriale capace di indurre una variazione dello stato di quiete o di moto dei corpi) Frequenza (f, ν) (È una grandezza che concerne fenomeni periodici o processi ripetitivi, viene data dal numero degli eventi che vengono ripetuti in una data unità di tempo) Massa volumica o densità (ρ, d, δ) (Rapporto tra la massa ed il volume di un corpo, caratteristico della sostanza che costituisce il corpo) Peso volumico o peso specifico (γ) (Esprime il peso dell unità di volume di un corpo, caratteristico della sostanza che costituisce il corpo) Potenziale elettrostatico (V) (Data una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico, si definisce potenziale elettrico in un punto il valore dell'energia potenziale elettrica rilevato da una carica elettrica positiva di prova posta in quel punto per unità di carica, ossia è il lavoro che deve compiere una forza per spostare una o più cariche dall'infinito ad un punto finale) Pressione (p) (È il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente ad una superficie e l area di quest ultima) Superficie (A) (Forma geometrica senza spessore, avente solo due dimensioni) Velocità (v) (È una grandezza vettoriale che indica la rapidità di moto, modulo, la direzione e il verso di un corpo in movimento) Volume (V) (Misura dello spazio occupato da un corpo) newton (N = kgms -2 ) hertz (Hz = s -1 ) kilogrammo al metro cubo (kgm -3 ) newton al metro cubo (Nm -3 ) volt (volt = JA -1 s -1 ) pascal (Pa = Nm -2 ) metro quadrato (m 2 ) metro al secondo (ms -1 ) metro cubo (m 3 ) Quantità di forza necessaria per accelerare un kilogrammo di massa di un metro al secondo quadrato. Numero di cicli o eventi che avvengono in un secondo. Si dice che tra due punti A e B di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 V se la forza elettrica compie il lavoro di 1 J per portare una carica di 1 C da A a B. Esistono poi delle grandezze particolari, definite costanti universali, il cui valore è del tutto indipendente dalle particolari condizioni fisiche del sistema e dal particolare luogo in cui si svolge l esperimento. Costanti universali Costante Simbolo Valore numerico Unità SI carica dell elettrone e 1,602189210-19 C costante di Planck h 6,62617610-34 Js rapporto e/h e/h 2,417969510 14 AJ -1 massa dell elettrone m e 9,10953410-31 kg massa del protone m p 1,672648510-27 kg massa del neutrone m n 1,674954310-27 kg rapporto carica/massa elettrone e/m e 1,758804710 11 Ckg -1 Prof. Sante Fontana 3
inverso della costante di struttura fine α -1 137,03604 - numero di Avogadro N 0 6,02204510 23 mol -1 costante di Rydberg R 1,09737317710 7 m -1 raggio di Bohr a 0 5,291770610-11 m magnetone di Bohr µ B 9,27407810-24 JT -1 magnetone nucleare µ N 5,05095110-27 JT -1 costante universale dei gas R 8,31441 Jmol -1 K -1 costante di Boltzman k 1,38066210-23 JK -1 raggio elettromagnetico dell elettrone r e 2,817938010-15 m lunghezza d onda Compton per l elettrone λ e 2,426308910-12 m costante di Faraday F 9,64845610 4 Cmol -1 velocità della luce nel vuoto c 2,9979245810 8 ms -1 costante di gravitazione universale G 6,672010-11 Nm 2 kg -2 accelerazione di gravità g 9,8062 ms -2 costante dielettrica del vuoto ε 0 8,854187810-12 Fm -1 permeabilità magnetica del vuoto µ 0 4π10-7 Hm -1 Per misure molto grandi o molto piccole, il Sistema Internazionale di Misura utilizza la notazione scientifica, scrivendo la misura in forma esponenziale con potenze di 10. La notazione scientifica è corretta solo se il numero che precede la potenza di 10 ha una sola cifra; in tal caso 10 n rappresenta l ordine di grandezza della proprietà misurata. Fattore di moltiplicazione Prefisso Simbolo Esempio (kg) 1000000000000000000 = 10 18 exa E L acqua degli oceani 10 21 1000000000000000 = 10 15 peta P L acqua del Garda 10 14 1000000000000 = 10 12 tera T 1000000000 = 10 9 giga G 1000000 = 10 6 mega M Un transatlantico 10 7 1000 = 10 3 kilo k Un elefante 10 4 100 = 10 2 etto h Un automobile 10 3 10 = 10 1 deca da 1 = 10 0 Un vocabolario 10 0 0,1 = 10-1 deci d Un libro 10-1 0,01 = 10-2 centi c 0,001 = 10-3 milli m Una ciliegia 10-3 0,000001 = 10-6 micro µ Una formica 10-6 0,000000001 = 10-9 nano n Un ameba 10-10 0,000000000001 = 10-12 pico p Un globulo rosso 10-13 0,000000000000001 = 10-15 femto f 0,000000000000000001 = 10-18 atto a Alcuni prefissi, anteposti ai simboli delle unità di misura, permettono di esprimere i multipli ed i sottomultipli utilizzando la simbologia riportata nella precedente tabella (1 GW = 1 gigawatt = 110 9 W; 1 mm = 1 millimetro = 110-3 m; 1 ns = 1 nanosecondo = 110-9 s). Una tecnica semplice per convertire un unità di misura in un altra è quella di usare i fattori di conversione. Un fattore di conversione è il rapporto di due unità di misura equivalenti e viene moltiplicato all unità di misura che vogliamo convertire (1 kg/1000 g = 1000 g/1 kg). Unità di misura della pressione Unità di misura della temperatura 1 Pa = 1 Nm -2 n K = n C + 273,15 1 bar = 1 10 5 Pa n C = 5/9 (n F 32) 1 atm = 101325 Pa 1 atm = 760 torr 1 atm = 760 mmhg Prof. Sante Fontana 4
GLI ERRORI DI MISURA Quando misuriamo una grandezza fisica compiamo inevitabilmente degli errori di misura. Questi possono dipendere dallo strumento che stiamo utilizzando e/o dall operatore, ma anche da eventi casuali che si verificano durante la misura. Gli errori si distinguono in: errori sistematici: dovuti alle imperfezioni dello strumento o ad imprecisioni nella procedura; errori accidentali: dovuti ad eventi casuali, di diversa natura, che accadono durante la misura. Quando esprimiamo una misura essa è spesso accompagnata dall errore assoluto (e a ) che può essere commesso, in positivo o in negativo: Misura (x) = valore ottenuto ± errore assoluto (l = 1, 50 m ± 0,01) Nel caso in cui siano state fatte numerose misure, l errore assoluto segue il valore medio delle misure effettuate. Misura (x) = valore medio ± errore assoluto Valore medio ( ) = (x 1 + x 2 + + x n )/n (valore medio - errore assoluto) misura (valore medio + errore assoluto) Errore assoluto (e a ) = (valore massimo valore minimo)/2 L accuratezza di una misura indica quanto il suo valore sia vicino al valore reale. x Per precisione di una misura intendiamo la sua riproducibilità (quanto essa si avvicina a misure della grandezza effettuate con lo stesso strumento). Essa ci indica la qualità di uno strumento e quanto sia in grado di ridurre gli errori sperimentali. Conseguentemente, uno strumento preciso è uno strumento in grado di fornire, per una data misura, sempre lo stesso valore o valori molto vicini gli uni agli altri. La conoscenza del solo errore assoluto su di una misura non fornisce informazioni sul grado di precisione con cui è stata effettuata. L errore assoluto di 1 metro è grande se è stato commesso nel misurare l altezza di un edificio, ma è piccolo nella misura della distanza tra Torino e Roma. Per avere informazioni sulla precisione di una misura si utilizzano altri due tipi di errore: l errore relativo e l errore percentuale. Errore relativo (e r ) = errore assoluto/valore medio Errore percentuale (e % ) = (errore relativo x 100)% La portata di uno strumento è la quantità massima di una grandezza che lo strumento riesce a misurare (Una riga da 1 m ha una portata maggiore di un righello da 20 cm.). La sensibilità di uno strumento è la più piccola frazione di una grandezza che lo strumento riesce a misurare (Una bilancia che misura i milligrammi è più sensibile di una che misura soltanto i grammi.). Per indicare la precisione con la quale una misura è stata eseguita, gli scienziati sono molto attenti al numero di cifre significative con cui trascrivono i loro risultati. Le cifre significative contenute in un numero consistono di tutte le cifre presenti nel numero i cui valori sono Prof. Sante Fontana 5
conosciuti con completa certezza, più una cifra finale il cui valore è incerto poiché è influenzato dagli errori di misura. Esse si ricavano eliminando tutti gli zeri a sinistra, e mantenendo tutti gli zeri a destra della virgola. La posizione della virgola non ha nessuna importanza, dipendendo solo dall unità di misura utilizzata per scrivere la grandezza. Nell effettuare dei calcoli, l incertezza sulle singole misure influenza il risultato finale, che non può avere una precisione maggiore (numero di cifre significative) di quella delle misure utilizzate nei calcoli. La meno precisa delle misure è quella che determina la precisione del risultato finale. LA RAPPRESENTAZIONE DEI DATI SCIENTIFICI Una qualsiasi informazione scientifica derivante da uno studio è utile soltanto se il suo contenuto viene reso noto a chi non ha preso parte all esperimento. In caso contrario, sarebbe come se quei dati non esistessero. I dati scientifici divengono significativi solo dopo essere stati organizzati e divulgati alla comunità. Tutto ciò deve avvenire in maniera chiara, utilizzando convenzioni e rappresentazioni riconosciute da tutti. Esistono numerosi modi per rappresentare dei dati, dalla semplice presentazione in una tabella alla loro rappresentazione sotto forma di grafici lineari oppure di diagrammi di varia natura. Ognuna di esse mette in evidenza un aspetto diverso del contenuto che i dati esprimono. Così, se una tabella ci permette semplicemente di affiancare dei dati, se un grafico lineare ci fornisce visivamente l andamento degli stessi e la presenza o meno di una relazione di proporzionalità, un diagramma può mostrarci la relazione tra uno o più dati ed il tutto. Variazione della pressione atmosferica con l altitudine Altitudine Pressione (m) (mm/hg) 0 760 1000 674 2000 596 3000 526 4000 462 5000 402 Pressione (mmhg) 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 2000 4000 Altitudine (m) Pressione (mmhg) 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 Altitudine (m) Se due grandezze variabili sono tra esse collegate, perché al variare dell una varia anche l altra, si dice che una è funzione dell altra e che tra esse esiste una relazione che si può esprimere matematicamente con una formula. La dipendenza di una variabile dall altra è, nella maggior parte dei casi, legata ad un rapporto di causa-effetto, che ci permette di individuare una variabile indipendente (il suo valore non dipende da quello di altre variabili) ed una variabile dipendente (il suo valore dipende da quello di altre variabili). Spesso, ma non sempre, si tratta di una relazione di proporzionalità. Detta x la variabile indipendente e y la variabile dipendente, la relazione matematica tra esse indica il tipo di proporzionalità. Sono possibili quattro casi: Proporzionalità diretta: il rapporto y/x è costante, qualunque sia il valore di x, purché diverso da zero; il grafico ottenuto è una retta descritta dalla funzione y = kx. Prof. Sante Fontana 6
Proporzionalità inversa: il prodotto xy è costante; il grafico ottenuto è un ramo di iperbole equilatera descritto dalla funzione y = k/x (con x 0). Proporzionalità quadratica: il rapporto y/x 2 è costante; il grafico ottenuto è un arco di parabolo descritto dalla funzione y = kx 2. Proporzionalità quadratica inversa: il prodotto yx 2 è costante; il grafico è simile (non uguale) al ramo di un iperbole equilatera ed è descritto dalla funzione y = k/x 2 (con x 0). Notiamo che k, detta costante di proporzionalità, è quasi sempre una grandezza e rappresenta a sua volta una proprietà caratteristica. Prof. Sante Fontana 7