ALGEBRA I: SOLUZIONI TERZA ESERCITAZIONE 11 aprile 2011 Esercizio 1. Siano m e n due numeri interi positivi tali che m + n è un numero primo. Mostrare che m e n sono coprimi. Soluzione. Sia d = (m, n) il massimo comune divisore di m e n. Poiché d divide per definizione entrambi m e n, segue che d divide anche la loro somma m + n. Poiché m + n è per ipotesi un primo, esso è irriducibile: pertanto i suoi unici divisori positivi sono 1 e m + n. Dunque deve essere d = 1 oppure d = n + m. D altra parte, siccome m e n sono entrambi positivi, otteniamo d min m, n < m + n. Dunque deve essere necessariamente d = 1, vale a dire m e n sono coprimi. Esercizio 2. Siano a e b due numeri interi positivi coprimi. Mostrare che esistono due interi positivi m, n tali che a m + b n 1 (mod ab). Soluzione. Poiché a e b sono coprimi, a è invertibile in Z/(b) e b è invertibile in Z/(a). Esistono pertanto due interi positivi m, n tali che { a m 1 (mod b) b n 1 (mod a) Consideriamo ora il sistema cinese { x 1 (mod b) x 1 (mod a) Siccome a e b sono coprimi, per il teorema cinese del resto esso ammette soluzione e la soluzione è unica modulo ab. Si osservi che a m + b n risolve il sistema (1): infatti per come sono stati scelti m e n vale { a m + b n a m 1 (mod b) (1) a m + b n b n 1 (mod a) D altra parte il sistema (1) ammette una soluzione ovvia, che è 1. soluzione, 1 e a m + b n devono coincidere modulo ab, vale a dire Pertanto, per l unicità della a m + b n 1 (mod ab). Esercizio 3. Trovare tutte le soluzioni del sistema di congruenze { 3x 3 (mod 15) 5x 3 (mod 7) Soluzione. Pur non essendo cinese, il sistema è comunque equivalente ad un sistema cinese. Infatti, se n è un numero intero, allora 3n 3 (mod 15) t : 3n = 3 + 15t t : n = 1 + 5t n 1 (mod 5) Pertanto le equazioni 3x 3 (mod 15) e x 1 (mod 5) sono equivalenti, vale a dire esse ammettono le stesse soluzioni in Z. Riduciamo adesso la seconda equazione in modo che l incognita x compaia con coefficiente 1. Siccome 5 e 7 sono coprimi, 5 è invertibile in Z/(7), ed essendo 5 3 = 15 1 (mod 7) il suo inverso è 3. Pertanto, moltiplicando entrambi i termini della seconda equazione del sistema per 3 e semplificando modulo 7, otteniamo che le equazioni 5x 3 (mod 7) e 1
sono equivalenti. Pertanto il sistema da risolvere è equivalente al sistema cinese { x 1 (mod 5) (2) Inoltre, siccome 5 e 7 sono coprimi, per il teorema cinese del resto la soluzione esiste ed è unica modulo 35. Determiniamo ora le soluzioni del sistema (2). Se n è una soluzione, allora dalla prima equazione si ricava che esiste s Z tale che n = 1 + 5s. Sostituendo tale espressione all incognita nella seconda equazione si ottiene che vale a dire 1 + 5s 2 (mod 7), 5s 1 (mod 7). Moltiplicando infine entrambi i termini dell equazione per 3 (che come osservato precedentemente coincide con l inverso di 5 in Z/(7)) otteniamo l equazione equivalente s 3 (mod 7). Pertanto 16 = 1 + 5 3 è una soluzione del sistema (2) e per il teorema cinese del resto l insieme delle soluzioni di (2) coincide con l insieme delle soluzioni dell equazione x 16 (mod 35). Esercizio. Trovare tutte le soluzioni del sistema di congruenze x 3 (mod 9) x 5 (mod 8) Soluzione. Poiché 7,8 e 9 sono a due a due coprimi, per il teorema cinese del resto il sistema ammette soluzione e la soluzione è unica modulo 50 = 7 8 9. Sia n una soluzione del sistema, allora dalla prima equazione ricaviamo che esiste un intero s tale che n = 3 + 9s. Sostituendo tale espressione all incognita nella seconda equazione si ottiene che vale a dire 3 + 9s 5 (mod 8), s 2 (mod 8). Dunque 21 = 3 + 9 2 è una soluzione del sottosistema composto dalle prime due equazioni { x 3 (mod 9) x 5 (mod 8) e per il teorema cinese del resto l insieme delle soluzioni di tale sistema coincide con l insieme delle soluzioni dell equazione x 21 (mod 72). Sia m una soluzione di tale equazione, allora esiste un intero t tale che m = 21 + 72t. Sostituendo tale espressione all incognita nella terza equazione si ottiene allora 21 + 72t 2 (mod 7), 2
vale a dire 2t 2 (mod 7). Moltiplicando entrambi i termini per l inverso di 2 in Z/(7) (che esiste siccome 2 e 7 sono coprimi), si ottiene l equazione equivalente t 1 (mod 7), Dunque 93 = 21 + 72 è una soluzione del sistema { x 21 (mod 72) che è equivalente al sistema di partenza. Pertanto, per il teorema cinese del resto, l insieme delle soluzioni del sistema coincide con l insieme delle soluzioni dell equazione x 93 (mod 50). Esercizio 5. Dire quali dei seguenti elementi ammettono inverso moltiplicativo, e calcolarlo se esiste: [] in Z/(9), [5] in Z/(50), [15] in Z/(22), [2] in Z/(7713). Soluzione. Dati due interi m e n, sappiamo che m è invertibile in Z/(n) se e solo se m e n sono coprimi. Pertanto tutti gli elementi della lista ammettono inverso, tranne [5] in Z/(50). i). Sia m un numero intero tale che m 1 (mod 9) : allora esiste un intero s tale che m = 1 + 9s, e in particolare 1 + 9s deve essere divisibile per. Viceversa se s è una soluzione dell equazione 1 + 9s 0 (mod ) e se m = 1 + 9s, allora la classe di m coincide con l inverso di []. D altra parte la precedente equazione congruenziale è equivalente a s 3 (mod ), dunque la classe di 37 = 1 + 9 3 coincide con l inverso di [] in Z/(9). iii). Con un po di occhio, si può osservare che 15 3 = 5 1 (mod 22), vale a dire che l inverso di [15] in Z/(22) è [3]. Se invece si è in assenza di idee, si può procedere più pedissequamente come segue. Come nel punto i), se m è un numero intero tale che 15m 1 (mod 22), allora m è della forma dove s è una soluzione dell equazione m = 1 + 22s, 15 1 + 22s 0 (mod 15), e tutte le soluzioni m sono di questa forma. La precedente equazione congruenziale è equivalente a 7s 1 (mod 15), (3) 3
dunque ci siamo ricondotti a cercare l inverso di [7] in Z/(15). Sia n un numero intero tale che 7n 1 (mod 15) : allora dove t è una soluzione dell equazione n = 1 + 15t, 7 1 + 15t 0 (mod 7), e tutte le soluzioni n sono di questa forma. Poiché la precedente equazione è equivalente a t 6 (mod 7), otteniamo che l inverso di [7] in Z/(22) coincide con la classe di Pertanto l equazione (3) è equivalente a 13 = 1 + 15 6. 7 s 13 1 = 182 2 (mod 15) e l inverso di [15] in Z/(22) coincide con la classe di 3 = 1 + 22 2. 15 iv). Poiché 7713 è dispari (altrimenti 2 non sarebbe stato neanche invertibile), segue che soddisfa l equazione pertanto l inverso cercato coincide con [38572]. 38572 = 771 2 38572 2 = 7713 + 1 1 (mod 7713) : Definizione. Dato un intero positivo n, un elemento non nullo x Z/(n) è detto un divisore dello zero se esiste un secondo elemento non nullo y Z/(n) tale che xy = 0. Un divisore dello zero x Z/(n) è detto nilpotente se esiste m N tale che x m = 0. Esercizio 6. Calcolare i divisori dello zero e gli elementi nilpotenti di Z/(10) e di Z/(12). Soluzione. i). Siano m < 10 e n < 10 interi positivi tali che nm = 10a per qualche intero a. Poiché 10 = 2 5 è la fattorizzazione in numeri primi, segue che 2 e 5 dividono mn; d altra parte poiché n e m sono entrambi minori di 10, segue che, se 2 divide m, allora 5 divide n e viceversa. Dunque i divisori dello zero di Z/(10) sono da ricercarsi tra 2,, 5, 6, 8: in effetti tutti questi determinano divisori dello zero di Z/(10). Sia ora m < 10 tale che m k = 10n per qualche intero k e n: ma allora, essendo primi, sia 2 che 5 divisono m, dunque m 10 e non esistono elementi nilpotenti in Z/(10). ii). Siano m < 12 e n < 12 interi positivi tali che nm = 12a per qualche intero a. Poiché 12 = 2 2 3 è la fattorizzazione in numeri primi, segue che 2 e 3 dividono mn; d altra parte poiché n e m sono entrambi minori di 12, segue che sia m che n devono essere divisibili da almeno uno tra 2 e 3. Dunque i divisori dello zero di Z/(12) sono da ricercarsi tra 2, 3,, 6, 8, 9, 10: in effetti tutti questi determinano divisori dello zero in Z/(12). Sia ora m < 12 tale che m k = 12n per qualche intero k e n: allora, essendo primi, sia 2 che 3 divisono m, dunque m è divisibile per 6. Pertanto deve essere m = 6: in effetti 6 è un nilpotente in Z/(12) in quanto 6 2 = 36 0 (mod 12).
Esercizio 7. invertibile. Mostrare che un elemento x Z/(n) è un divisore dello zero se e solo se non è Soluzione. Mostriamo la seguente affermazione equivalente: un elemento x Z/(n) è invertibile se e solo se non è un divisore dello zero. (= ) Sia x Z/(n) un elemento invertibile e sia y Z/(n) un elemento non nullo tale che xy = 0: vogliamo mostrare che deve necessariamente essere y = 0. Ma questo segue moltiplicando entrambi i termini di xy = 0 per l inverso x 1 di x, da cui si ottiene y = x 1 xy = 0. ( =) Sia x Z/(n) un elemento che non è divisore dello zero, mostriamo che x è necessariamente invertibile. Consideriamo l applicazione φ : Z/(n) Z/(n) y xy Mostriamo che φ è suriettiva: questo in particolare implicherebbe che [1] Iφ, vale a dire che esiste y Z/(n) tale che xy = [1], vale a dire che x è invertibile. Poiché Z/(n) possiede solo un numero finito di elementi, l applicazione φ è suriettiva se e solo se è iniettiva. Mostriamo dunque che φ è iniettiva, vale a dire che se y 1, y 2 Z/(n) sono tali che xy 1 = xy 2, allora deve essere y 1 = y 2. Ma questo segue dal fatto che x non è un divisore dello zero: infatti allora da xy 1 = xy 2 segue dunque y 1 y 2 = 0 per l ipotesi su x. x(y 1 y 2 ) = xy 1 xy 2 = 0, Osservazione. Notare che la precedente dimostrazione vale in modo identico in ogni anello commutativo unitario che possieda solo un numero finito di elementi. Definizione. Un numero intero n si dice privo di quadrati se non esistono numeri interi m diversi da 1 il cui quadrato divide n. Esercizio 8. Sia n un intero positivo. Mostrare che Z/(n) è privo di nilpotenti se e solo se n è privo di quadrati. Soluzione. (= ) Mostriamo che se n non è privo di quadrati allora esistono elementi nilpotenti. Sia m < n un numero intero diverso da 1 tale che m 2 divide n e sia a < n tale che n = m 2 a. Consideriamo ma: siccome divide n, in particolare deve essere ma < n, dunque [ma] è diverso da zero in Z/(n). Osserviamo che [ma] è nilpotente: infatti (ma) 2 = m 2 a 2 = na 0 (mod n). Dunque Z/(n) possiede elementi nilpotenti. ( =) Mostriamo che se n è privo di quadrati allora non esistono elementi nilpotenti. Sia a < n un intero positivo tale che a k 0 (mod n) per qualche intero k > 1, vale a dire tale che a k = mn per qualche intero m. Siccome n è privo di quadrati, possiamo scrivere n = p. p primo : p n Poiché ogni numero primo p che divide n divide anche a, dalla precedente scrittura segue che n divide a. Pertanto [a] = 0 e Z/(n) non possiede elementi non nulli una cui potenza sia nulla. 5