CORSODI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE (LM-32)

Esercitazione: Analisi sismica di una struttura 3D Edifici Multipiano 1

Fasi dell esercitazione progettuale 1. Descrizione geometrica della struttura; 2. Ipotesi, analisi dei carichi e scelta dei gradi di libertà; 3. Costruzione della matrice delle masse; 4. Costruzione della matrice di rigidezza; 5. Soluzione del problema agli autovalori: pulsazioni e modi di vibrare, calcolo dei fattori di partecipazione; 6. Determinazione dello Spettro di risposta elastico; 7. Valutazione degli spostamenti modali massimi; 8. Calcolo delle risposte modali massime; 9. Determinazione degli spostamenti e delle sollecitazioni modali sui telai; 10. Calcolo degli spostamenti e delle sollecitazioni sulla struttura utilizzando le regole di combinazione modale; 11. Analisi aleatoria con PSD assegnata; 12. Analisi al passo con set di accelerogrammi naturali assegnati; 2

Applicazione Modello 3D della struttura 3

Applicazione Pianta della carpenteria del piano primo 4

Applicazione Pianta della carpenteria del piano secondo 5

Applicazione Pianta della carpenteria del piano terzo 6

Applicazione Sezione longitudinale 7

Le strutture 3D in zona sismica: Le ipotesi Il comportamento dinamico di strutture 3D viene descritto introducendo nel modello strutturale le seguenti ipotesi: i. Pilastri inestensibili; ii. Masse concentrate al livello dei solai (telai privi di massa); iii. Strutture costituite da impalcati infinitamente rigidi per forze agenti nel proprio piano iv. Solai infinitamente deformabili per forze perpendicolari al piano 9

Analisi dei carichi Masse associate ai carichi gravitazionali: G G Q Masse associate ai carichi gravitazionali: 1 2 2 j jk Travi in c.a.o: 1) Trave 30x60 cm (25 0.60 0.30)= G 1 : 4.5 kn/m; 2) Trave 80x20 cm (25 0.80 0.20)= G 1: 4.0 kn/m; Pilastri in c.a.o: 1) Pilastri 30x60 cm (25 0.60 0.30)= G 1 : 4.5 kn/m; 2) Pilastri 30x30 cm (25 0.30 0.30)= G 1 : 2.25 kn/m; j Solaio tipo in latero cemento 16+4 cm. Peso proprio G 1 :2.90kN/mq; Carico permanente G 2 :2.80kN/mq; Carico variabile (cat. A) Q 1 :2.00kN/mq; 21 =0.30 Massa associata (2.90+2.80+0.30 2.00)*1000/9.81=642 kg/mq Balcone in soletta piena 15 cm. Peso proprio G 1 :3.75kN/mq; Carico permanente G 2 :1.85kN/mq; Carico variabile (cat. C) Q 1 :4.00kN/mq; 21 =0.60 Massa associata (3.75+1.85+0.60 4.00)*1000/9.81= 816 kg/mq Solaio di copertura in latero cemento 16+4 cm. Tamponamenti in laterizio alleggerito Peso proprio G 1 :2.90kN/mq; Spessore 25+5 cm; finestre 15% Carico permanente G 2 :1.80kN/mq; Peso proprio Carico variabile (cat. H) Q 1 :0.50kN/mq; 21 =0.00 (12 kn/mc 0.25 0.85)= G 1 :2.55kN/mq Carico permanente Massa associata (2.90+1.80+0.00 0.50)*1000/9.81= 00 0 81= 479 kg/mq (21 kn/mc 0.05 0.85)= 05 0 G 2 : 0.8925 kn/mq; Massa associata (3.06+0.8925)*1000/9.81=403 kg/mq; 10

Analisi dei carichi Masse associate ai carichi gravitazionali: G G Q 1 2 2 j jk j 11

Scelta dei gradi di libertà I gradi di libertà dinamicamente significativi vengono raccolti in un vettore di dimensione pari a tre volte il numero di piani (N) X t u1 t... u N t ut v1 t... v t t vn t 1 t... N t N spostamenti lungo x N spostamenti lungo y Nrotazioniattornoaz Equazioni del moto (vibrazioni libere) t t MX KX 0 Forze inerziali Forze elastiche i i u t v t i t 12

Costruzione della matrice delle masse MX t KX t 0 Forze inerziali F I t F Ix,1 t... F, Ix N t F Ix t F,1 Iy t F... Iy t, M Iy N IO t F t M t IO,1... M IO, N t F Ix t F Iy t M t IO 14

Costruzione della matrice delle masse Ogni massa diffusa sull impalcato subisce una forza di inerzia Piano rigido proporzionale a se stessa e all accelerazione impressa. u u y Forze d inerzia df u dm u y dm Ix, i p i i P df, Iy i vpdm vi ixp dm dm df y df x IO, i Ix, i P Iy, i P 5.60 0,60 4,40 5,00 0 x P 4,45 dm df Iy, i 5,00 0 2 3,70 df Ix, i 0,60 y 4 x 4,55 y P 5 0,60 0,80 13,30 3,20 1 3,40 1,20 6 p i i P v v x 0,60 p i i P 0,80 5,00 0 4,30 3,70 3 3,45 3,55 7 3,40 4,7 70 0,60 9,30 15

Costruzione della matrice delle masse Forze d inerzia, Ix i p i i P Integrando su tutto l i simo impalcato: df u dm u y dm df v dm v x dm Iy, i p i i P dm df y df x IO, i Ix, i P Iy, i P F M u S Ix, i i i i X, i F Mv S Per tutti i piani in forma vettoriale: Iy, i i i i Y, i M us vs I IO, i i X, i i Yi, i Oi, F M u S Ix t X F M vs Iy t Y M S u S vi IO X Y O 16

Costruzione della matrice delle masse M I O t M t 0 SX ut t t t S S I t FI MX 0 Mt SY v X Y O m1 0... 0 SX,1 0... 0 0 m2... 0 0 SX,2... 0 S............ X............ 0 0... mn 0 0..., I O,1 0... 0 0 IO,2... 0............ 0 0... I O,3 S Y S Y S X N,1 0... 0 0 S... 0 Y,2............ 0 0... S Y, N 17

Costruzione della matrice di rigidezza MX t KX t 0 Forze elastiche F E t F Ex,1 t... FEx, N t F Ex t FEy,1 t FEy t... FEy, N t M EO t M t EO,1... M EO, N t F Ex t F Ey t M t EO 19

Costruzione della matrice di rigidezza t t MX KX 0 Forze elastiche La matrice di rigidezza K è una matrice 3N x 3N ottenuta assemblando le matrici di rigidezza dei singoli telai piani che compongono la struttura determinare la matrice di rigidezza dei singoli telai piani nel riferimento locale; trasformarele singole matrici tiidi rigidezza iid nel riferimento i globale; l assemblare la matrice di rigidezza dell intera struttura nel riferimento globale; ( j) δ ( j) R vettore degli spostamenti del j esimo telaio nel riferimento locale matrice di trasformazione del j esimo telaio R R ( j) 1 ( j)t ( j) ( j) δ R X ( j ) R cos j IN sin j IN ( dyjcos j dxjsin j) IN 20

Costruzione della matrice di rigidezza t t MX KX 0 Forze elastiche La matrice di rigidezza K è una matrice 3N x 3N ottenuta assemblando le matrici di rigidezza dei singoli telai piani che compongono la struttura determinare la matrice di rigidezza dei singoli telai piani nel riferimento locale; K ( j) ( j ) ( j ) ( j ) k1 k2 k2 0 0 ( j) ( j) ( j) k2 k2 k3 0 0 0 0 kn 1 kn kn j j 0 0 kn kn ( j) ( j) ( j) ( ) ( ) F K δ vettore delle forze elastiche del j esimo telaio nel riferimento locale ( ) ( ) ( ) E 21

Costruzione della matrice di rigidezza t t MX KX 0 Forze elastiche La matrice di rigidezza K è una matrice 3N x 3N ottenuta assemblando le matrici di rigidezza dei singoli telai piani che compongono la struttura determinare la matrice di rigidezza dei singoli telai piani nel riferimento locale; trasformarele singole matrici tiidi rigidezza iid nel riferimento i globale; l ( j) ( j) δ R X relazione di trasformazione per gli spostamenti F R Fˆ relazione di trasformazione per le forze ( j) ( j) ( j) E E ˆ ( j ) E F vettore delle forze elastiche del j esimo telaio nel riferimento globale Fˆ R F R K δ R K R X ( ) ( )T ( ) ( )T ( ) ( ) ( )T ( ) ( ) E E ˆ j j F K X E j j T j j ti di iid dlj i tli l if i t l b l K R K R matrice di rigidezza del j esimo telaio nel riferimento globale 22

Costruzione della matrice di rigidezza t t MX KX 0 Forze elastiche La matrice di rigidezza K è una matrice 3N x 3N ottenuta assemblando le matrici di rigidezza dei singoli telai piani che compongono la struttura determinare la matrice di rigidezza dei singoli telai piani nel riferimento locale; trasformarele singole matrici tiidi rigidezza iid nel riferimento i globale; l assemblare la matrice di rigidezza dell intera struttura nel riferimento globale; j j j j j j T j j K R K R matrice ti di rigidezza iid del dlj esimo tli telaio nel riferimento i globale l j K K j matrice di rigidezza dell intera struttura nel riferimento globale l j 23

Costruzione della matrice di rigidezza Procedura semplificata per telai ortogonali Telai direzione x (ad es. telaio 2) (2) 1 u1 2 dy 2 (2) 1 u1 1 (2) 2 (2) (2) (2) 2 u2 2d δ y 2 u2 2 dy δ u (2) (2) 2 3 u3 3 3 u3 3d y 2 2 y Altri telai δ δ (1) (3) u d u d 1 y 3 y 24

Costruzione della matrice di rigidezza Procedura semplificata per telai ortogonali Telai direzione y (ad es. telaio 5) (5) 1 v1 1 5 d (5) x 1 v1 1 (5) 5 (5) (5) (5) 2 v2 2d δ x 2 v2 2 dx δ v d (5) 5 (5) 3 v3 3 3 v3 3d x 5 5 x δ δ δ Altri telai (4) (6) (7) v d x v d v d 4 6 x 7 x 5.60 0,60 4,40 0,,60 4 y 5,00 4,45 x 4,55 5 5,00 0,80 2 3,70 3,20 1 3,40 0,60 13,30 1,20 6 4,30 3,70 0,80 5,00 3 3,45 3,55 0,60 7 4,70 3,40 9, 30 0,,60 25

Costruzione della matrice di rigidezza Procedura semplificata per telai ortogonali Forze telai direzione x (ad es. telaio 2) F K δ 2 2 (2) E 2 2 (2) 2 M K δ EO d y δ δ δ (1) (2) (3) 1 u d y u d u d 2 y 3 y Altri telai F K δ 1 1 (1) E M 1 1 (1) 1 EO K δ F K δ 3 3 (3) E d 3 3 (3) 3 M K δ EO y d y 5.60 0,60 4,40 0,,60 4 y 5,00 4,45 x 4,55 5 5,00 0,80 2 3,70 3,20 1 3,40 0,60 13,30 1,20 6 4,30 3,70 0,80 5,00 3 3,45 3,55 0,60 7 4,70 3,40 9, 30 0,,60 26

Costruzione della matrice di rigidezza Forze telai direzione y F K δ 5 5 (5) E 5 5 (5) 5 M K δ EO Altri telai d x Procedura semplificata per telai ortogonali δ δ δ 4 4 v d x 5 5 x v d v d 6 6 x δ v dd 7 7 x F K δ 4 4 (4) E 4 4 (4) 4 M K δ EO F K δ 7 7 (7) E d 7 7 (7) 7 M K δ EO d x x F K δ 6 6 (6) E 6 6 (6) 6 M K δ EO d x 5.60 0,60 4,40 0,,60 4 y 5,00 4,45 x 4,55 5 5,00 0,80 2 3,70 3,20 1 3,40 0,60 13,30 1,20 6 4,30 3,70 0,80 5,00 3 3,45 3,55 0,60 7 4,70 3,40 9, 30 0,,60 27

Costruzione della matrice di rigidezza Procedura semplificata per telai ortogonali Risultante e momento risultante Direzione x Direzione y nx 3 3 j j j j j Ex E y j j1 j1 F F K δ K u d ny 7 7 j j j j F F K δ K vd Ey Ei x j j4 j4 Momento risultante ny nx 7 3 EO E, idx E, idy dx dx dy dy j j j4 j1 j j j j j j j j M F F K v K u 28

Costruzione della matrice di rigidezza Procedura semplificata per telai ortogonali Risultante e momento risultante t t t t F Ex Kxx Kxy K x u FE t KX t FEy t Kxy Kyy Ky v t M EO x y K K K n n x ( j) ( ) y j xx yy xy j j K K ; K K ; K 0; nx nx n n x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( )2 y j j j j j j j j x dy y dx dy dx j j j j K K ; K K ; K K K ; 29

Il problema agli autovalori Equazioni del moto t t MX KX 0 I modi di vibrare della struttura si determinano in corrispondenza delle soluzioni dell equazione: pulsazione M K 0 2 j Matrice di dissipazione ione C j autovettore j 1 j... Nj N... 2... 1 j N j 2N 1 j 3N j X t u 1 t... un t u t v1 t t... v t vn t 1 t... N t N spostamenti lungo x N spostamenti lungo y N rotazioni attorno a z 31

Coefficienti di partecipazione p modale Equazioni del moto MX CX KX Mτu g Vettore di incidenza dell accelerazione sismica che dipende dalla direzione del sisma Sisma in direzione x 1 0 τ x 0 Sisma in direzione y τ y 1 0 0 Trasformazione modale X Y 2 g Y ΛY Ω Y pu p T Φ Mτ Coefficienti di partecipazione modale Analisi modale con spettro di risposta 32

Determinazione dello Spettro di risposta elastico 1) Definizione del sito: link utili: Norme Tecniche per le Costruzioni (D.M. 14/01/2008) Consiglio Superiore Lavori Pubblici i Azioni sismiche Spettri di risposta ver. 1.03 34

Analisi sismica di una struttura 3D Determinazione dello Spettro di risposta elastico 1) Definizione del sito: link utili: Norme Tecniche per le Costruzioni (D.M. 14/01/2008) Consiglio Superiore Lavori Pubblici i Azioni sismiche Spettri di risposta ver. 1.03 35

Determinazione dello Spettro di risposta elastico 2) Strategia di progettazione: 36

Determinazione dello Spettro di risposta elastico 2) Strategia di progettazione: a g F 0 * T C per il tempo di ritorno scelto 37

Determinazione dello Spettro di risposta elastico 3) Determinazione dell azione di progetto: 38

Determinazione dello Spettro di risposta elastico 3) Determinazione dell azione di progetto: 10 0.55 5 40

Determinazione dello Spettro di risposta elastico 3) Determinazione dell azione di progetto: S d (T)/g 065 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Spettri di progetto SLV 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 T [s] 42

Analisi sismica di una struttura 3D Valutazione degli spostamenti modali massimi equazione del moto del k esimo oscillatore modale y t 2y t 2 y t p u t S T k k k k k k k g Tk p S Tk pk Se Tk 2 2 spostamento massimo del j esimo oscillatore modale Y S d (T)/g 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 a i T k,max k D k k Spettri di progetto SLV 0.05 0 T 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 T [s] 2 44

Fasi dell esercitazione progettuale 1. Descrizione geometrica della struttura; 2. Ipotesi, analisi dei carichi e scelta dei gradi di libertà; 3. Costruzione della matrice delle masse; 4. Costruzione della matrice di rigidezza; 5. Soluzione del problema agli autovalori: pulsazioni e modi di vibrare, calcolo dei fattori di partecipazione; 6. Determinazione dello Spettro di risposta elastico; 7. Valutazione degli spostamenti modali massimi; 2 T 2 ( k ) k X Y, p S T kmax k k a k k 8. Calcolo delle risposte modali massime; 9. Determinazione degli spostamenti e delle sollecitazioni modali sui telai; 10. Calcolo degli spostamenti e delle sollecitazioni sulla struttura utilizzando le regole di combinazione modale; 11. Analisi aleatoria con PSD assegnata; 12. Analisi al passo con set di accelerogrammi naturali assegnati; 45

Determinazione degli spostamenti e delle forze massime sui telai Riepilogo telai direzione x (1) 1 430 4,30 δ u d y 3,70 δ (2) u d (3) δ u dd F ( ) y 2 y 3 1 1 (1) E F K δ 2 2 (2) E K δ F K δ 3 3 (3) E 5.60 0,60 0,60 4,40 4 y 5,00 2 3,70 1,20 3,45 4,45 3,20 x 4,55 5 5,00 0,80 6 1 0,80 5,00 3 3,40 3,55 0,60 0,60 13,30 7 3,40 9,30 4,70 0,60 47

Analisi sismica di una struttura 3D Spostamenti e sollecitazioni utilizzando le regole di combinazione modale; Combinazioni modali Combinazioni spaziali SRSS (Square Root of Sum of Square) Se tutti i periodi differiscono tra loro almeno del 10% V m rsrss, Vr, j j1 CQC (Combinazione Quadratica Completa) jk V, m m rcqc jkvr, jvrk, j1 k1 2 3/2 8 0 1 r r 2 2 1 rjk 4 0 1 rjk jk jk j ; r 2 2 jk k 2 1 r 4 1 r k 2 2 d X Y V V V V 0.3V X Y Vd max VY 03V 0.3VX V r : generico spostamento o sollecitazione al r esimo grado di libertà; m: numero dei modi considerati 49

Fasi dell esercitazione progettuale 1. Descrizione geometrica della struttura; 2. Ipotesi, analisi dei carichi e scelta dei gradi di libertà; 3. Costruzione della matrice delle masse; 4. Costruzione della matrice di rigidezza; 5. Soluzione del problema agli autovalori: pulsazioni e modi di vibrare, calcolo dei fattori di partecipazione; 6. Determinazione dello Spettro di risposta elastico; 7. Valutazione degli spostamenti modali massimi; 8. Calcolo delle risposte modali massime; 9. Determinazione degli spostamenti e delle sollecitazioni modali sui telai; 10. Calcolo degli spostamenti e delle sollecitazioni sulla struttura utilizzando le regole di combinazione modale; 11. Analisi aleatoria con PSD assegnata (da completare); 12. Analisi al passo con set di accelerogrammi naturali assegnati; 50

Analisi sismica di una struttura 3D Analisi al passo con set di accelerogrammi naturali assegnati 3 2 1-1 u g t accelerogramma del sisma di Tolmezzo 5 10 15 20 25 30 35 t Gli accelerogrammi sono storie temporali di accelerazione sismica e sono rappresentati da coppie di valori tempo accelerazione rilevati con un certo intervallo di campionamento. -2 Determinazione della risposta del sistema in termini di spostamento per via iterativa: APPLICAZIONE DEL METODO DI INTEGRAZIONE AL PASSO t t t t t Z Θ Z L V f k 1 N k N N k u g t costante t all interno del dlpasso vedi slide #58 delle lezioni per il significato dei simboli. 52