Le unita di Planck sono unita di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fondamentali, in modo che queste valgano 1 se espresse

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Tiziano Luciani
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Le unita di Planck sono unita di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fondamentali, in modo che queste valgano 1 se espresse nelle unita di Planck.

2 Le unita di Planck sono unita di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fondamentali, in modo che queste valgano 1 se espresse nelle unita di Planck. Le costanti sono: G Costante di Gravitazione Universale (Relativita Generale, Teoria di Newton) h Costante di Planck (Meccanica Quantistica) c Velocita della Luce (Relativita Speciale) 4πε o Costante di Coulomb (Elettrostatica) k B Costante di Boltzmann (Termodinamica, Meccanica Statistica)

3 All epoca di Planck gli effetti quantistici non sono trascurabili sulla scala dell orizzonte. L universo non puo essere descritto esclusivamente dalla teoria della relativita generale Al tempo di Planck, tp, esistono fluttuazioni quantistiche sulla scala di Planck lp=ctp. m p = ρ p l p 3 ρ p (Gt p 2 ) 1 massa di Planck (Universo Eistein de Sitter) Dal principio di indeterminazione di Heisenberg si ricava che:! ΔEΔt m p c 2 t p ρ p c 5 t 4 p c 5 t p Gt! 2 p Violazioni alla conservazione dell energia su scala cosmologica sono ammesse per intervalli inferiori al tempo di Planck t p G! c 5 1/ sec

4 Le grandezze fisiche caratteristiche all epoca di Planck sono: l p ct p G! c 3 1/ cm ρ p 1 Gt p 2 c 5 G 2! g cm -3 m p ρ p l 3 p!c G 1/ 2 E p m p c 2!c 5 G T p E p!c 5 k B G 1/ 2 1/ gr Gev k B K

5 Considerato un corpo di massa m, il tempo per cui e possibile violare la conservazione dell energia per una quantita pari ad mc 2 e il tempo Compton t c Quindi durante tc si puo creare una coppia di particelle virtuali di massa m. Il raggio di Scwarzschild e quello che un corpo di massa m deve avere perche la sua massa a riposo mc 2 sia uguale alla sua energia potenziale gravitazionale. Ovvero: U Gm 2 /l s ΔE = mc 2 t c =! mc 2 l c = ct c l s = 2Gm t c 2 s = l s c Per m=mp si ha che ls=lc. Per corpi macroscopici, m>mp si ha che ls>lc Per oggetti microscopici ls<lc ovvero non posso trascurare effetti quantistici. N.B. Al tempo di Planck l universo e come se fosse composto da buchi neri di massa mp di scala pari a quella dell orizzonte e che evaporano in un tempo tp.

6 Nei momenti successivi a tp la temperatura dell universo varia come. Esso e composto da un gas di particelle non degeneri ultrarelativistiche in equilibrio termico attraverso reazioni di annichilazione-creazione del tipo: k B T e = m x c 2 x + + x γ + γ ʹ Queste reazioni (che sono a long range) mantengono in equilibrio termodinamico le particelle. L equilibrio per la specie i-esima e quindi ottenuto semplicemente come: n i (T) = g i K B T!c ρ i (T)c 2 = g K 4 i BT 4 2π 2!c 3 x 2 dx = 3/4 e x g i ± 1 1 π ζ (3) K T B 2!c 0 x 3 dx = 7 /8 e x g i ± ζ(3)σt 4 0 T a 1 Dove + e si riferiscono a Bosoni e Fermioni (entrambi ultrarelativistici). 3

7 La densita di energia totale di tutte le particelle puo esere quindi espressa come ρ Tot c 2 = g i,b B F g j,f ζ(3) σt 4 c 2 = g ˆ (T)ζ(3) σt 4 c 2 Dove B=Bosoni, F=Fermioni e g=numero effettivo di gradi di liberta. Nel calcolare la densita totale di energia, alle particelle ultrarelativistiche vanno aggiunte quelle particelle che, pure relativistiche, si sono gia disaccoppiate (ρd), quelle particelle che, pure accoppiate, non sono piu relativistiche (ρnr) e, infine, quelle particelle che non sono mai state in equilibrio termico con la radiazione (ρnt). E facile vedere verificare se, nell universo primordiale, le particelle sono in equilibrio: n B = 4 3 n (T) = g F iζ (3) K T B!c!c σ α 2 K B T 2 3 ρ c 2 F 3K B T d [ g ˆ n F ] 1 / 3 [n F ] 1 / 3 K T B!c α 2 d 2 τ coll 1 nσ c! g ˆ α 2 K B T << 3 32πGρ 1 / H(t) = τ H

8 e ±,τ ±... W ±,Z 0 m Z 0 90 GeV, m W ± 80 GeV E SUGRA >10 19 GeV Gravitoni Supergravita' E GUT GeV Forze : Bosoni Supermassivi E EW 100 GeV W 1,2,3,B Z 0,W ± m L,B = 0 m L,B 0 n ±,p ±,π ±...Gluons n ±,p ±,π ± E= 2 / 300MeV u,d,s,c,b,t

9 Le transizioni di fase [TF] caratterizzano sistemi sia classici che quantistici. Durante le TF un parametro macroscopico d ordine Φ, inizialmente 0, cresce, mentre l Hamiltoniana del sistema mantiene la sua simmetria. La configurazione finale e casuale e dipende da piccole perturbazioni presenti durante la TF. Per sistemi in TF l energia libera F=U-TS dipende da Φ. Le transizioni di fase spontanee possono essere del primo o del secondo ordine a seconda che la TF avvenga spontaneamente o sia indotta perturbativamente. V (φ) V (φ) 1 2 φ φ V (φ) = F + α(t)φ 2 + β(t)φ 4 V (φ) = F + α(t)φ 2 + β(t)φ 4 + γ(t)(φ 2 ) 3 / Transizione di fase II Ordine Transizione di fase I Ordine

10 In fisica delle particelle un campo scalare φ rappresenta una particella a spin 0. Nella fisica delle particelle i campi scalari sono necessari alla rottura spontanea delle simmetrie e alla conseguente transizione di fase. L esempio piu noto e quello del bosone di Higgs nella rottura della simmetria elettrodebole. Ma tali campi sono associati alla rottura di altri tipi di simmetrie (es: GUT). Ogni teoria delle particelle contiene un campo scalare Un campo scalare fondamentale (Higgs) e gia stato osservato. Nella fisica dei sistemi condensati i campi scalari sono invece comunemente osservati in corrispondenza di ogni transizioni di fase. Questi prendono il nome di parametri d ordine

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