FACOLTA DI INGEGNERIA CIVILE

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1 1 UNIVERSITA DI PADOVA FACOLTA DI INGEGNERIA CIVILE Corso di calcolo numerico e Programmazione PROGETTO 2: sulla soluzione dei sistemi lineari.

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12 12 Iterate k GRAFICO DEL NUMERO DI ITERAZIONI AL VARIARE DI OMEGA. [ω=1,182;k=16,408] Valori rilevati Regressione polinomiale ,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 ω

13 13 GRAFICO SEMILOGARITMICO DEGLI SCARTI IN FUNZIONE DELLE ITERATE Regressione lineare. Log scarto. 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 Linear Fit. yscale(y) = A + B * xscale(x) log d k =2,288-0,2996k Parameter Value Error A 2, ,00831 B -0, ,02685E Iterate k

14 14 COMMENTO. ã Si è costruito il programma Fortran che risolve il sistema lineare Ax=b utilizzando lo schema di sovrarilassamento. Si è eseguito il programma 11 volte per ω da 1 a 1,5 procedendo a passi Δω=0,05, si è ottenuto un output dove si è evidenziato il numero di iterazioni eseguite iter e la soluzione finale del sistema Vettore soluzione : ω iter Vettore soluzione: 1, , E+02 1, E+02 1, E+02 1, E+02 1, E+02 1, E+02 1, E+02 1, E+02 1, E+02 1,50 35 La tolleranza utilizzata è di 10-8 e la si è confrontata alle varie iterazioni con la norma euclidea dello scarto (tra l iterata corrente e quella precedente) scarto. ã ã Per determinare il fattore di rilassamento ottimale ω opt in maniera grafica si è riportato in un grafico il numero di iterazioni al variare di ω; si è quindi svolto due regressioni polinomiali del terzo ordine, una per ogni ramo del grafico, ottenendo due curve la cui intersezione (punto di minimo del sistema) individua il punto ω=1,182 cioè il nostro ω opt stimato graficamente. La ragione della regressione polinomiale è dovuta al fatto che il numero di iterate non varia linearmente con omega, prima abbiamo provato con una regressione del secondo ordine ma questa non ha fornito dei risultati qualitativi di buon livello, mentre con una regressione del terzo ordine si è ottenuto una buona rappresentazione del ramo di destra, mentre quello di sinistra per una approssimazione soddisfacente doveva possedere più punti di appoggio. Per determinare il parametro di rilassamento ottimale in modo analitico si sono utilizzati gli scarti dello schema di sovrarilassamento con ω=1 (che corrisponde al metodo di Saidel) con i quali si è stimata la costante asintotica di convergenza M=λ 1,s riportando in un grafico semilogaritmico la norma euclidea dello scarto in funzione di k, su questi punti si è fatta una regressione lineare, ottenendo una retta la cui pendenza è m=-0,2996. Da qui mi possiamo determinare M=λ 1,s =10 m =0, Questa è la stima del raggio spettrale della matrice di iterazione di Saidel, osservato che la matrice è biciclica e coerentemente ordinata possiamo applicare la seguente relazione per la determinazione di ω opt : ω opt = λ 1, s = 1, La discrepanza tra il valore di ω opt trovato per via grafica da quello determinato numericamente, può trovare una giustificazione dalle considerazioni fatte precedentemente, ad ogni modo i due valori si avvicinano, questo a conferma della validità dei metodi applicati e delle formule usate.

15 15 ã Commento sul programma Fortran utilizzato. Il programma principale chiamato sovrarilassamento permette l acquisizione dei dati in input: - coefficienti della matrice; - vettore b (termine noto); - n di iterazioni massimo (itmax); - valore di omega (ome); - tolleranza ammessa (toll). Tutti questi dati vengono acquisiti tramite una istruzione open seguita da dei parametri che indicano il nome della sorgente (il nome del file) e il numero di riferimento assegnato a tale file. Questo programma principale si interessa anche ad eseguire tutte le operazioni di salvataggio dei risultati in un file (inizializzato dal comando open), oltre a questo richiama due sottoprogrammi: - la subroutine SOR - la function EUC. Il primo viene chiamato con il comando call, mentre il secondo è un particolare tipo di sottoprogramma denominato function, il quale fornisce un parametro numerico. 1) Il sottoprogramma subroutine SOR utilizza i dati di input relativi alla sua lista di parametri di scambio (nmax,n,a,b,xold,xnew,tol,itmax,iter,scarto,sc,ome), il cuore di tale programma è un ciclo do wile che implementa il commando iter=iter+1, tale commando viene implementato a ripetizione fino a che lo scarto risulta maggiore della tolleranza ( iter.lt.itmax.and.scarto.gt.tol ); tale ciclo viene implementato anche attraverso l utilizzo della struttura do (tipo particolare di quella while, che viene introdotta perché sono presenti delle variabili di tipo vettore). In questo sottoprogramma viene inoltre determinata la norma euclidea dello scarto dk 2 (utilizzando i valori dati dal sottoprogramma EUC), inoltre viene anche stimato il fattore M di convergenza come rapporto delle norme degli scarti consecutivi M=d k /d k-1. Ed infine viene determinata la velocità asintotica di convergenza R=-log(M). 2) Il sottoprogramma function EUC legge i parametri (nmax,n,x) in input e determina il 2 valore della norma euclidea x = 2 ( x i ). Tutti i risultati vengono quindi visualizzati sul file risultati.ris attraverso l uso di appositi comandi di formattazione e con l uso di formati di testo adatti. Ora vorrei approfondire alcune parti del programma per una sua migliore compressione. Il programma inizia con la dichiarazione delle variabili e della loro identificazione, molto importante è l istruzione iniziale implicit none che istruisce il compilatore a non dichiarare automaticamente le variabili (da usare sempre per evitare errori insidiosi): - integer si usa per rappresentare variabili a valore intero; - parameter serve per dichiarare delle costanti (per esempio nmax); - real*8 si usa per dichiarare delle variabili reali, a fianco è riportata la precisione numerica con la quale esse vengono rappresentate (in questo caso in doppia precisione). Un file viene chiamato tramite il commando open come si è già affermato, da questi file si può leggere o scrivere delle informazioni tramite il semplice utilizzo delle istruzioni read e write. Il comando read è seguito dal numero identificativo del file sorgente e dalla specificazione di quali dati si deve leggere (considerando anche il loro formato di lettura, basti osservare le istruzioni usate per far leggere al programma una matrice). Il commando write è seguito da numero di riferimento del file nel quale si deve scrivere, e dal numero identificativo della formattazione ed infine dai parametri che indicano cosa scrivere. Ora analizziamo dettagliatamente un commando format :

16 16 format (1x, tolleranza:,e8.2,//,1x, numero massimo di iterazioni,i4,/) La prima istruzione 1x introduce uno spazio bianco prima del testo tolleranza, mentre e8.2 è una istruzione di formattazione per un numero espresso in formato scientifico (in questo caso ad esso è riservato 8 cifre totali delle quali 2 per la mantissa), l ultima istruzione i4 formata un numero intero di quattro cifre, se il numero è più corto (sia esso in formato intero o scientifico) vengono introdotti degli spazi bianchi in testa. Il carattere / serve per iniziare una nuova riga di testo, possiamo trovare anche la seguente istruzione f5.2, questo viene usato per stampare dei numeri interi a virgola fissa, dove 5 sono i caratteri disponibili dopo la virgola, mentre 2 è il numero dei decimali. Il programma vero e proprio inizia con la dichiarazione del valore iniziale di ω ome=1, e da un ciclo do while che viene eseguito fino a che omega è minore di 1.51 (è questo ciclo che governa tutto il programma e che ferma la sua esecuzione). Poi con un ciclo do i viene assegnato il valore iniziale di xold(i) e viene chiamato il sottoprogramma SOR (con il commando call) il cuore del programma. Dopo di questo viene stampata la soluzione con i comandi già visti, alla fine il programma principale si conclude con la chiusura del ciclo end do, e la chiusura del programma stesso con le stringhe stop e end. Il cuore del sottoprogramma SOR consiste nell implementazione del metodo del sovrarilassamento: i 1 n ω x = + k + 1, i xk, i bi aij xk + 1, j aij xk, j a ii j= 1 j= 1 do i = 1,n som1 = 0.d0 do j = 1,i-1 som1 = a(i,j)*xnew(j) + som1 end do Questa prima parte dell iterazione risolve una parte dell algoritmo: s om1 = a ij x k j= 1 A questo punto ci interessiamo della seconda parte dell iterazione: som2 = 0.d0 do j = i,n som2 = a(i,j)*xold(j) + som2 end do xnew(i) = xold(i) + ome*(b(i) som1 som2)/a(i,i) end do Questa seconda parte risolve l altro fattore dell algoritmo: i 1 n s om 2 = a ij x k, j j= i Alla fine viene determinato il vettore xnew(i) concludendo l implementazione dell algoritmo. Successivamente tramite un ciclo viene ad essere determinata la norma euclidea dello scarto, in questo punto viene chiamato il secondo sottoprogramma (function) EUC, tramite la seguente istruzione: scarto =euc(nmax,n,sc) (tra parentesi sono indicate le variabili usate dal sottoprogramma). Poi viene determinata la costante asintotica (M) e la velocità asintotica di convergenza (R), tutti i risultati inerenti alla iterata attuale vengono stampati nel file risultati.ris tramite le istruzioni esposte in precedenza. Altra istruzione importante è l azzeramento del ciclo: xold(i) = xnew(i) ; mentre l istruzione return ha la funzione di non far terminare il ciclo ma di far ritornare il compilatore all istruzione di chiamata. L ultima parte del listato è dedicata alla determinazione della norma euclidea tramite il sottoprogramma EUC. + 1, j PROGRAMMI UTILIZZATI: questa relazione è stata impaginata e scritta con il pacchetto Office XP professional. L elaborazione dei dati e dei grafici è stata eseguita con il programma Origin 5.0 (programma di analisi statistica e matematica di dati).