STIMA. STIMA La procedura di stima (identificare il valore incognito di certi parametri ) può essere condotta secondo due modalità:

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1 La proedura di stima (identifiare il valore inognito di erti parametri ) può essere ondotta seondo due modalità: Stima puntuale Stima intervallare (stima del valore) (stima dell intervallo) Stimatore=metodo di alolo impiegato per eseguire una stima Proprietà di uno stimatore: orrettezza uno stimatore è orretto se il suo valore atteso oinide on il parametro onsistenza uno stimatore è onsistente se la sua dispersione attorno al parametro si ridue all aumentare di n effiienza è sempre relativa ad un altro stimatore ed è espressa dal rapporto tra le due varianze robustezza uno stimatore è robusto se non è sensibilmente alterato 1 dalla violazione di un assunto Metodi di stima puntuale Metodo dei momenti: Minimi quadrati: momenti ampionari ome metodo di stima dei parametri della popolazione stima del parametro mediante quel valore he rende minima la somma delle distanze al quadrato tra le osservazioni ed il parametro stesso Massima verosomiglianza: seleziona le stime del parametro he on più probabilità sono ongruenti on le osservazioni ampionarie

2 Stima Stima Intervallare µ µ Sapendo he la variabile aleatoria media ampionaria si distribuise normalmente (per N>30) siamo in grado di sapere quale probabilità abbiamo di osservare un erto valore ampionario onosendo µ e. 3 Lezione - 11 Marzo 005 Stima Stima Intervallare µ p(µ) p(x ) X Con la stesa logia possiamo INFERIRE a partire dal dato ampionario onosendo X e s la probabilità he il parametro della popolazione ada in un erto intervallo Lezione - 11 Marzo 005 4

3 Stima intervallare La stima intervallare individua un intervallo I in ui è ontenuto il valore T(stima del parametro θ). α/ α/ L 1 =Limite di fiduia INTERVALLO L =Limite di fiduia + α=livello di signifiatività 1-α=livello di onfidenza Assunti N>=30 X distribuita normalmente 5 4 differenti situazioni ampione grande ampione grande ampione piolo ampione piolo varianza nota varianza sonosiuta varianza nota varianza sonosiuta 6

4 Situazione A (ampione grande, varianza nota) P x z µ x + = 1 α z n n L 1 = x z n Intervallo di onfidenza L = x + z n Z ritio è funzione del livello di signifiatività 7 Situazione A (esempio) x=6, = 37,6 α= = = 6, 0.61 = 5.59 L = = 6, = 6.81 L 0 z =1.96 N=400 ( 5.59 µ 6.81). 95 P = 8

5 aratteristihe Metodo di stima Situzione varianza da numerosità Distribuzion Varianza usare nel ampione e teoria alolo A grande nota z onosiuta B grande ignota z ampionaria orretta C piolo nota z onosiuta D piolo ignota t di Student ampionaria orretta X distribuita normalmente 9 Esempi & Eserizi Si sa he la prestazione ad un test di matematia si distribuise nella popolazione on media µ=70, e deviazione standard =7,09. Vengono sottoposti al test 50 studenti estratti dalla popolazione di ui sopra. Quanti studenti otterranno un punteggio superiore 75? Quanti quali he otterranno un punteggio ompreso tra 60 e 80? Quanti quali he otterranno un punteggio ompreso tra 50 e 70? Se lo sperimentatore dovesse deidere a priori una soglia per stabilire la suffiienza e volesse he questa soglia fosse superata (probabilistiamente) da 50 soggetti, quale valore dovrebbe segliere? Si risponda alle domande onsiderando due differenti ipotesi: a) Il punteggio al test si distribuise normalmente nella popolazione b) Non si sa ome il punteggio al test si distribuisa nella popolazione 10

6 Esempi & Eserizi Avendo estratto un ampione di 50 soggetti da una popolazione si alolano per le variabili x e y il valor medio e la varianza Variabile X Variabile Y X medio=19,5 e varianza s =8,4. Y medio =34, e varianza s =13,8. Si selga un valore alfa e si aloli l intervallo di onfidenza nel quale adono i parametri µ X µ y Si risponda alle domande onsiderando due differenti ipotesi: a) Le due variabili x e y si distribuisano normalmente nella popolazione b) Non si sappia ome le due variabili x e y si distribuisono nella popolazione 11 Stima intervallare della differenza tra due medie P 1 1 ( x x ) 1 z + ( x x ) z + µ µ n1 n n1 n 1

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