Pensiero Algoritmico. Lezione 2 16 Novembre Ripasso. Teorema di Euler. Ozalp Babaoglu Università di Bologna

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1 Pensiero Algoritmico Lezione 16 Novembre 016 Ozalp Babaoglu Università di Bologna Ripasso Algoritmi Pensiero algoritmico Astrazione Modello Il problema di Google Street View" Sette Ponti di Königsberg Grafo Grado di un nodo, camino in un grafo, camino di Euler 1 Teorema di Euler Un grafo G connesso ha almeno un camino di Euler se e solo se contiene al massimo due nodi di grado dispari Corollario: Il problema Sette Ponti di Königsberg è irrisolvibile

2 Camino di Euler Esempio Teorema di Euler Dimostrazione (caso solo se ) Sia G=(N,E) dove N è l insieme di nodi e E è l insieme di archi Per esempio, G=({a,b,c,d,e,f,g},{(a,c),(a,b),(a,d),(a,e),(b,d),(d,e),(e,f ),(e,g),(f,g)}) a c b d c a d e f g e a b d e g f Sia u1 u ui uk un camino di Euler di k nodi Notare che un nodo può comparire più volte nel camino Se u1 uk, il primo nodo u1 e l ultimo nodo uk contribuiscono un arco ciascuno al camino Ogni nodo interno ui contribuisce due archi al camino Sia α numero di volte nodo interno ui compare nel camino Visto che tutti gli archi nel camino sono distinti, il grado di un nodo interno ui deve essere α (pari) Il grado dei nodi u1 e uk deve essere α+1 (dispari) Se u1 uk, tutti i nodi sono interni e hanno grado α (pari) Quindi, u1 u ui uk è un camino di Euler solo se il grafo contiene o zero o due nodi con grado dispari 5 6 Teorema di Euler Dimostrazione (caso se ) Algoritmo di Fleury (188) Dato un grafo G con al massimo due nodi di grado dispari, esibire una procedura (algoritmo) per costruire un camino di Euler in G Algoritmo di Fleury è in grado di costruire un camino di Euler in G a c b d Scegliere un nodo con grado dispari (un nodo qualsiasi se tutti pari) Scegliere un arco tale che sua cancellazione non sconnetta il grafo Passare al nodo nell altra estrema del arco scelto Cancellare l arco dal grafo Ripetere i tre passi precedenti finche non ci sono archi rimasti e g f d a e g f e d b a c 7 8

3 Algoritmo di Fleury Algoritmo di Fleury Dato un grafo G=(N,E) dove al massimo due nodi hanno grado dispari, costruire un camino di Euler in G Useremo un linguaggio Python-like per esprimere l algoritmo next = u dove u N e grado(u) è dispari print next while (E non vuoto): scegliere un arco (u,v) tale (is_bridge((u,v))) è falso cancellare (u,v) da E next = v print next Come realizzare is_bridge((u,v))? Idea: Sia i il numero dei nodo raggiungibili in G partendo da u Cancelliamo l arco (u,v) ottenendo un nuovo grafo G' Sia j numero dei nodo raggiungibili in G' partendo da u Se i=j, allora l arco (u,v) non è un ponte Se i j, allora l arco (u,v) è un ponte 9 10 A B C D Proprietà degli Algoritmi I J T U H G E K F L M N O S R Q P V 11 Correttezza Semplicità concettuale Efficienza (costo) Ottimalità Con analisi degli algoritmi intendiamo: dimostrare loro correttezza e quantificare loro costo in termini delle risorse impiegate (tempo, memoria) Ci limitiamo al costo temporale degli algoritmi In particolare, come cresce il costo temporale di un algoritmo e non il suo valore assoluto (secondi, minuti, ore) 1

4 Analisi del Algoritmo di Fleury Analisi del Algoritmo di Fleury Quanto tempo impiega algoritmo di Fleury su un grafo G con n nodi e m archi? Dipende Linguaggio in cui è stato programmato Computer che sta eseguendo Dimensioni del grafo G La struttura (topologia) particolare del grafo G I primi due fattori sono tecnologici (e cambieranno in futuro) Il terzo è un fattore intrinseco del algoritmo e cambierà solo cambiando le dimensioni del grafo Informatici sono interessati a capire come il tempo che impiega un algoritmo cresce con dimensioni dei dati sempre maggiori Invece del tempo, contiamo il numero di operazioni necessari per costruire il camino di Euler in un grafo con n nodi e m archi Fase init Per ogni nodo bisogna calcolare suo grado e decidere se e dispari facendo m operazioni (ogni arco viene contato due volte) Fase ciclico Ripetuto m volte Ogni ripetizione calcola is_bridge((u,v)) Si sa che is_bridge((u,v)) può essere fatto in n+m operazioni Allora, tempo totale per Fleury diventa (n+)m+m Come dobbiamo giudicare questo risultato? Fleury è un algoritmo efficiente o no? Possiamo fare meglio? 1 1 Circuito di Euler Algoritmo di Hierholzer (187) Un circuito di un grafo è una sequenza alternata di nodi e archi dove il primo e l ultimo nodi sono gli stessi Un circuito di Euler di un grafo G è un circuito che contiene ogni arco in G una e sola una volta Un grafo G connesso ha almeno un circuito di Euler se e solo se tutti nodi in G hanno grado pari Scegliere un nodo qualsiasi e costruire un circuito π Se esiste un nodo in π con archi non coperti (non incluso in qualche circuito), inizia un nuovo circuito θ partire da quel nodo Fondere circuiti π e θ, ripetere finche ci sono archi non coperti a c b d e g f d c a e d e f g e d c a e f g e d a b d a d c a b d a e f g e d 15 16

5 Analisi del Algoritmo di Hierholzer Crescita delle funzioni Quanto tempo impiega algoritmo di Hierholzer su un grafo G con n nodi e m archi? E possibile realizzare tutte le operazioni di Hierholzer facendo cm operazioni per un costante c Ricordiamo Fleury faceva (n+)m+m operazioni per lo stesso grafo In termini di m, Fleury fa c'm+m operazioni Vogliamo un metodo per caratterizzare la crescita delle funzioni per valori grandi del loro input analisi asintotica f(m) c'm+m cm 17 m m' 18 Riduzione tra problemi Riduzione tra problemi Poiché esisti un camino di Euler in G, ci devono essere due nodi u e v con grado dispari Si dice Problema P1 riduce in problema P, scritto P1 P se una soluzione al problema P può essere trasformato in una soluzione al problema P1 Camino di Euler Circuito di Euler Per calcolare il camino di Euler in G, trasforma G in un G' per poter calcolare un circuito di Euler in G' Trasforma il circuito in G' ad un camino di Euler in G 19 G v u Siccome grafo G' ha solo nodi con grado pari, possiamo usare un algoritmo (come Hierholzer) per calcolare un circuito di Euler In fine, trasformare il circuito di Euler in camino di Euler togliendo l arco (u,v) G' v u 0

6 Analisi asintotica degli algoritmi Analisi asintotica degli algoritmi Ci interessano i ritmi di crescita delle funzioni che caratterizzano i tempi di esecuzione degli algoritmi per valori grandi del loro input analisi asintotica Quale esecuzione? Caso migliore Caso peggiore Caso media Caso media di solito è difficile e richiede conoscenza della distribuzione dei valori input Caso migliore non è molto informativo Caso peggiore stabilisce un limite superiore al tempo di esecuzione 1 Analisi asintotica limite superiore Dimensione del input molto grande Esecuzione caso peggiore Definizione O-grande : f(n) è O-grande g(n), scritto O(g(n)) se e solo se per n sufficientemente grande, f(n) non supera c g(n) dove c è un costante positivo Analisi asintotica degli algoritmi Interpretazione grafica c1 g1(n) Analisi asintotica degli algoritmi Esempi c g(n) f(n) è O(1) (è anche O(n), O(n ), O(n ), O( n ), ) n + 00 è O(n) n n è O(n) log(n) + 70 è O(log(n)) 5n + n + 000log(n) + 89 è O(n ) n1 n

7 Analisi asintotica degli algoritmi Famiglie di crescita O(n!) O( n ) O(n ) O(n) O(log(n)) O(1) 5