Prova scritta di Statistica Traccia A docente: I. Oliva 14/2/2014

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1 Prova scritta di Statistica Traccia A docente: I. Oliva 14/2/2014 NOME,COGNOME, MATRICOLA, CFU: Per gli esercizi, saranno valutate solo le risposte con la giusticazione del risultato. Per superare la prova scritta é necessario ottenere 5 punti per i quesiti e 12 punti per gli esercizi. Quesiti (8 CFU/10 CFU) 1. La media geometrica: [1 punto] (a) puó essere calcolata quando un valore é negativo (b) non si usa in presenza di dati in progressione numerica (c) si ottiene dal reciproco della media aritmetica dei reciproci (d) é usata per calcolare l'incremento medio per unitá di tempo 2. Gli indici di dispersione: [1 punto] (a) non godono della proprietá di invarianza (b) sono nulli se esiste variabilitá (c) assumono sempre valori positivi (d) misurano di quanto le modalitá rilevate sono dierenti da un valore di riferimento 3. L'indice di eterogeneitá di Gini: [1 punto] (a) fa riferimento alle distribuzioni di frequenza di variabili quantitative (b) é minimo quando f i = 1/s, dove s é il numero di modalitá del carattere (c) assume valore massimo sempre pari a 1 (d) é massimo quando la frequenza totale é concentrata in corrispondenza di una sola modalitá 4. Si commette un errore di prima specie quando [1 punto] (a) si riuta l'ipotesi nulla, quando invece é vera 1

2 (b) si riuta l'ipotesi alternativa, quando invece é vera (c) non si riuta l'ipotesi nulla, quando invece é falsa (d) non si riuta l'ipotesi alternativa, quando invece é falsa 5. Per trovare l'intervallo di condenza per la media di una popolazione normale, si usa la t di Student anziché una normale standardizzata: [1 punto] (a) quando la media della popolazione non é nota (b) poiché la t di Student é piú eciente (c) quando la varianza della popolazione non é nota (d) quando la media della popolazione é nota 6. I numeri indici [1 punto] (a) non possono essere usati per la valutazione della variazione dei prezzi (b) sono ottenuti come dierenza tra due valori assunti da una grandezza (c) possono essere a base ssa o a base mobile (d) annoverano, tra gli altri, l'indice di eterogeneitá di Gini 7. Descrivere le principali caratteristiche della curva di Gauss. Come si passa da una normale con media µ e varianza σ 2 ad una standardizzata? [1.5 punti] 8. Descrivere i metodi per la misura dell'interdipendenza tra le variabili. [1.5 punti] 2

3 Esercizi 1. Si supponga che il numero di chiamate che arrivano ogni secondo ad un centralino telefonico sia una variabile casuale di Poisson con paramentro d'intensitá pari a 5. Determinare la probabilitá che in un determinato secondo non arrivi nessuna chiamata e la probabiltá che in un determinato secondo arrivino 3 chiamate. (8 CFU/10 CFU) [4 punti] 2. Un'azienda stipula un contratto per vendere barattoli di marmellata da 500 g. La quantitá di marmellata messa in ciascun barattolo é predeterminata meccanicamente ed é distribuita come una normale con media µ e deviazione standard σ = 25 g. A quale valore minimo di µ deve essere tarata la macchina perché non piú del 2% dei barattoli contenga meno di 500 g di marmellata? [4 punti] (8 CFU/10 CFU) 3

4 3. Un'indagine recente, condotta su un campione casuale di 80 cittadini residenti, ha evidenziato che la spesa media bisettimanale per l'utilizzo dei mezzi di pubblico trasporto ammonta a 15 e. Da indagini precedenti era emerso che tale spesa puó essere considerata come una variabile aleatoria normale con varianza pari a 5 e 2. (a) Determinare l'intervallo di condenza al livello del 95% e commentare il risultato. (8 CFU/10 CFU) [3.5 punti] (b) Scrivere l'espressione dell'intervallo di condenza per la frequenza relativa nel caso di grandi campioni. (8 CFU/10 CFU) [1.5 punti] 4

5 (c) Determinare quanto debba essere grande il campione casuale se si desidera ottenere un intervallo di condenza di ampiezza 1.1. (Hint: porre uguale all'ampiezza ssata la dierenza tra gli estremi di un generico intervallo di condenza e risolvere l'equazione rispetto ad n.) (8 CFU) [2 punti] (d) Illustrare il metodo della massima verosimiglianza. (8 CFU) [2 punti] 4. Una macchina per il riempimento delle buste di patatine ha uno scarto quadratico medio di 6 g e una media incognita. La macchina é stata costruita per un riempimento delle buste da 100 g. Per vericare la conformitá del riempimento a quello previsto dalle speciche costruttive, si estrae un campione di 100 buste, ottenendo un contenuto 5

6 medio di 99 g. Eettuare un test di ipotesi per stabilire se il riempimento medio di 100 g é accettabile con un livello di signicativitá di (10 CFU) [4 punti] 5. I valori inseriti nella seguente tabella riguardano le etá di diverse coppie di sposi: Etá mogli (X) Etá mariti (Y ) Determinare il coeciente di correlazione e calcolare i paramentri relativi alla retta di regressione nel caso in cui X sia la variabile indipendente. (8 CFU/10 CFU) [3 punti] 6