Incontra i tuoi eroi. Dicembre Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

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1 Incontra i tuoi eroi Dicembre 2012 Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

2 Gottlob Frege ( ) Matematico, logico, filosofo Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

3 Gottlob Frege ( ) Matematico, logico, filosofo Contribuzioni al programma logicista Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

4 Gottlob Frege ( ) Matematico, logico, filosofo Contribuzioni al programma logicista Contribuzioni alla filosofia analitica Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

5 Gottlob Frege ( ) Matematico, logico, filosofo Contribuzioni al programma logicista Contribuzioni alla filosofia analitica Opere più importanti alla matemàtica e alla logica: Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

6 Gottlob Frege ( ) Matematico, logico, filosofo Contribuzioni al programma logicista Contribuzioni alla filosofia analitica Opere più importanti alla matemàtica e alla logica: Begriffsschrift (Concettografia) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

7 Gottlob Frege ( ) Matematico, logico, filosofo Contribuzioni al programma logicista Contribuzioni alla filosofia analitica Opere più importanti alla matemàtica e alla logica: Begriffsschrift (Concettografia) Grundgesetze der Arithmetik (Leggi basiche dell aritmetica) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

8 Concettografia (esempio) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

9 Proprietà ed estensioni A ogni classe X li corrisponde una proprietà: φ(x) = x X. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

10 Proprietà ed estensioni A ogni classe X li corrisponde una proprietà: φ(x) = x X. A ogni proprietà φ li corrisponde una classe, la sua estensione: {x : φ(x)} Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

11 Proprietà ed estensioni A ogni classe X li corrisponde una proprietà: φ(x) = x X. A ogni proprietà φ li corrisponde una classe, la sua estensione: {x : φ(x)} Your discovery of the contradiction caused me the greatest surprise and, I would almost say, consternation, since it has shaken the basis on which I intended to build my arithmetic.... It is all the more serious since, with the loss of my rule V, not only the foundations of my arithmetic, but also the sole possible foundations of arithmetic seem to vanish. (Frege to Russell) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

12 Bertrand Russell ( ) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

13 Bertrand Russell ( ) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

14 Bertrand Russell ( ) Matematico, logico, filosofo Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

15 Bertrand Russell ( ) Matematico, logico, filosofo Interessato nella religione, la politica, e la matematica Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

16 Bertrand Russell ( ) Matematico, logico, filosofo Interessato nella religione, la politica, e la matematica Fu imprigionato per pacifista Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

17 Bertrand Russell ( ) Matematico, logico, filosofo Interessato nella religione, la politica, e la matematica Fu imprigionato per pacifista Contribuzioni alla matematica: Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

18 Bertrand Russell ( ) Matematico, logico, filosofo Interessato nella religione, la politica, e la matematica Fu imprigionato per pacifista Contribuzioni alla matematica: The Principles of Mathematics (1902) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

19 Bertrand Russell ( ) Matematico, logico, filosofo Interessato nella religione, la politica, e la matematica Fu imprigionato per pacifista Contribuzioni alla matematica: The Principles of Mathematics (1902) Principia Mathematica (1910, con Whitehead) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

20 Principia Mathematica (esempio) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

21 Il Paradosso di Russell Paradosso del barbiere Un villaggio ha tra i suoi abitanti uno ed un solo barbiere, uomo ben sbarbato. Sull insegna del suo negozio è scritto: Il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

22 Il Paradosso di Russell Paradosso del barbiere Un villaggio ha tra i suoi abitanti uno ed un solo barbiere, uomo ben sbarbato. Sull insegna del suo negozio è scritto: Il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli. Prendiamo la proprietà φ(x) = x / x. Supponiamo che M è la sua estensione: M = {x : x / x} Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

23 Il Paradosso di Russell Paradosso del barbiere Un villaggio ha tra i suoi abitanti uno ed un solo barbiere, uomo ben sbarbato. Sull insegna del suo negozio è scritto: Il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli. Prendiamo la proprietà φ(x) = x / x. Supponiamo che M è la sua estensione: M = {x : x / x} Allora, se M M, allora M soddisfa φ, quindi M / M. Contraddizione! Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

24 Il Paradosso di Russell Paradosso del barbiere Un villaggio ha tra i suoi abitanti uno ed un solo barbiere, uomo ben sbarbato. Sull insegna del suo negozio è scritto: Il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli. Prendiamo la proprietà φ(x) = x / x. Supponiamo che M è la sua estensione: M = {x : x / x} Allora, se M M, allora M soddisfa φ, quindi M / M. Contraddizione! se M / M, allora M soddisfa φ, quindi M M. Contraddizione! Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

25 Altre opere di Russell On Education, Especially in Early Childhood (1926) Perché non sono cristiano (1927) La conquista della felicità (1930) Un etica per la politica (1954) The Basic Writings of Bertrand Russell (1961) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

26 Giuseppe Peano ( ) Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

27 Giuseppe Peano ( ) Matematico, logico, linguista Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

28 Giuseppe Peano ( ) Matematico, logico, linguista Aveva la Cattedra di Calcolo Infinitesimale in Torino Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

29 Giuseppe Peano ( ) Matematico, logico, linguista Aveva la Cattedra di Calcolo Infinitesimale in Torino Invento la lingua ausiliare Latino sine Flexione o Interlingua Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

30 Giuseppe Peano ( ) Matematico, logico, linguista Aveva la Cattedra di Calcolo Infinitesimale in Torino Invento la lingua ausiliare Latino sine Flexione o Interlingua Importante ruolo nella formalizzazione della matematica Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

31 Giuseppe Peano ( ) Matematico, logico, linguista Aveva la Cattedra di Calcolo Infinitesimale in Torino Invento la lingua ausiliare Latino sine Flexione o Interlingua Importante ruolo nella formalizzazione della matematica Formulario, quinta ed. (1908) Con 4200 formule e teoremi Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

32 Curva di Peano Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

33 Curva di Peano Questa curva continua si ottiene come un limite Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

34 Curva di Peano Questa curva continua si ottiene come un limite È una curva che riempi tutto il quadro Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

35 Curva di Peano Questa curva continua si ottiene come un limite È una curva che riempi tutto il quadro È un primo esempio di insieme frattale Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

36 Altri frattali Fioco di neve di Koch Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

37 Altri frattali Costruzione: Fioco di neve di Koch Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

38 Altri frattali Triangolo di Sierpiński Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

39 Altri frattali Triangolo di Sierpiński Spugna di Menger Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

40 Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

41 Un frattale della natura Romanescu Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

42 Assiomi di Peano 1. Lo 0 è un numero naturale. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

43 Assiomi di Peano 1. Lo 0 è un numero naturale. 2. Ogni numero naturale n ha un successore, s(n). Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

44 Assiomi di Peano 1. Lo 0 è un numero naturale. 2. Ogni numero naturale n ha un successore, s(n). 3. Lo 0 non ha nessun successore. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

45 Assiomi di Peano 1. Lo 0 è un numero naturale. 2. Ogni numero naturale n ha un successore, s(n). 3. Lo 0 non ha nessun successore. 4. Se due numeri naturali hanno lo stesso successore, allora quelli due numeri sono uguali. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

46 Assiomi di Peano 1. Lo 0 è un numero naturale. 2. Ogni numero naturale n ha un successore, s(n). 3. Lo 0 non ha nessun successore. 4. Se due numeri naturali hanno lo stesso successore, allora quelli due numeri sono uguali. 5. Principio d induzione: Se lo 0 è un elemento di un insieme A, e per ogni numero naturale di A, il suo successore è anche un elemento di A, allora tutti i numeri naturali sono elementi di A. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

47 Assiomi di Peano 1. Lo 0 è un numero naturale. 2. Ogni numero naturale n ha un successore, s(n). 3. Lo 0 non ha nessun successore. 4. Se due numeri naturali hanno lo stesso successore, allora quelli due numeri sono uguali. 5. Principio d induzione: Se lo 0 è un elemento di un insieme A, e per ogni numero naturale di A, il suo successore è anche un elemento di A, allora tutti i numeri naturali sono elementi di A. Notate che: Quando definiamo l 1 e la somma vedremo che: il successore di n è n + 1! Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

48 Principio d induzione Principio d induzione Se lo 0 soddisfa una proprietà φ, se un numero n ha la proprietà φ, allora n + 1 ha la proprietà φ, allora tutto numero naturale ha la proprietà φ. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

49 Somma e prodotto (definizioni ricorsive) Somma: n + 0 = n, n + s(m) = s(n + m). Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

50 Somma e prodotto (definizioni ricorsive) Somma: n + 0 = n, n + s(m) = s(n + m). Prodotto: n 0 = 0, n s(m) = (n m) + n. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

51 Somma e prodotto (definizioni ricorsive) Somma: n + 0 = n, n + s(m) = s(n + m). Prodotto: n 0 = 0, n s(m) = (n m) + n. Definizioni dei primi numeri: 1 = s(0), 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4), etc. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17

52 Somma e prodotto (definizioni ricorsive) Somma: n + 0 = n, n + s(m) = s(n + m). Prodotto: n 0 = 0, n s(m) = (n m) + n. Definizioni dei primi numeri: 1 = s(0), 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4), etc. Quindi: n + 1 = n + s(0) = s(n + 0) = s(n). Cioè, il successore di n è n + 1. Incontra i tuoi eroi Dicembre / 17