ISTITUTO COMPRENSIVO CARLOTTA ASCHIERI Scuola media Anno scolastico matematica e informatica classe 2 D

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1 ISTITUTO COMPRENSIVO CARLOTTA ASCHIERI Scuola media Anno scolastico matematica e informatica classe 2 D

2 PRESENTAZIONE Durante l anno scolastico la nostra classe, nell ambito dell organizzazione con 33 ore settimanali, ha lavorato per tutto l'anno (un ora alla settimana) al progetto del laboratorio di matematica-informatica proposto e organizzato dalla prof. ssa Emmanuela Chignola. Il nostro lavoro ha affrontato il tema dei frattali: si tratta di una nuova geometria inventata nella seconda metà del XX secolo. È stata una attività molto impegnativa e di grande pazienza, ma che ci ha dato molte soddisfazioni. ORIGINE DEI FRATTALI "Why is geometry often described as 'cold' and 'dry'? One reason lies in its inability to describe the shape of a cloud, a mountain, a coastiline or a tree. Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line" -- Benoit B. Mandelbrot (Perchè la geometria viene spesso descritta come fredda e arida? Una della ragioni sta nella sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea di costa o di un albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le linee di costa non sono cerchi e la corteccia non è piana, e neppure la luce si propaga in linea retta). Inizia così il primo capitolo di The Fractal Geometry of Nature di Mandelbrot che con questo libro ha presentato la sua nuova geometria alla comunità scientifica internazionale. Mandelbrot inventò il termine frattale (fractals in inglese) cercando su un vocabolario latino un termine che desse l idea di un tutto formato da tanti piccoli pezzi che si ripetono: vi trovò il termine fractus.

3 CHE COS E UN FRATTALE? La definizione più semplice e intuitiva lo descrive come una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete in tutte le direzioni e a scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari. I NOSTRI DISEGNI I disegni frattali che trovate nella nostra presentazione sono stati ottenuti attraverso un programma scaricabile liberamente da internet. Il programma si chiama Tierazon e fornisce un ampio numero di formule matematiche che sono in grado di generare i frattali. I disegni sono ottenuti combinando formule, filtri, e colori.

4 Dopo aver lavorato con Tierazon abbiamo provato noi stessi a costruire dei frattali senza partire dalla formula matematica, che per noi è molto complessa, ma lavorando esclusivamente a livello grafico. I frattali che abbiamo costruito sono la riproduzione di alcuni frattali di base molto famosi in ambito matematico. Sono Il Merletto di Koch, l'albero di Pitagora e il Triangolo di Sierpinski. IL MERLETTO DI KOCH Il merletto di Koch deve il suo nome al matematico Helge Von Koch (Svezia, ) che lo introdusse in un articolo pubblicato nel 1904, prima quindi che venisse introdotto il concetto di frattale come lo intendiamo oggi. Come figura di partenza, si considera un segmento. il segmento viene diviso in tre parti di uguale ampiezza. La parte centrale viene soppressa ed al suo posto vengono inseriti due lati di un triangolo equilatero. La stessa costruzione si ripete per ognuno dei quattro segmenti che formano la figura precedente. Andando avanti nella costruzione, la figura risulta sempre più frastagliata ed il numero dei lati cresce in maniera esponenziale. La lunghezza della curva, al crescere del numero delle iterazioni, tende a diventare infinita. Oltre al lavoro sulla linea abbiamo sperimentato il merletto di Koch lavorando sui triangoli, senza eliminarli.

5 L ALBERO DI PITAGORA Per costruire l Albero di Pitagora si parte da un quadrato. Successivamente si disegnano due nuovi quadrati in modo tale che i loro lati siano coincidenti con quelli di un triangolo rettangolo isoscele avente l ipotenusa coincidente con il lato del quadrato di partenza. In questo modo l'area del quadrato di partenza è uguale alla somma delle aree dei due quadrati (per questo motivo la figura finale prende il nome di Albero di Pitagora). Il procedimento viene iterato senza cancellare le figure ottenute in precedenza. L'Albero di Pitagora non è un frattale in senso stretto, ma costituisce un'interessante applicazione delle trasformazioni geometriche.

6 Il frattale vero e proprio ottenuto dall'iterazione delle due trasformazioni è il seguente e costituisce la chioma dell'albero di Pitagora. IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI Fra i primi frattali studiati, un posto d'onore occupa il cosiddetto triangolo di Sierpinski, dal nome del matematico che per primo ne ha studiato le proprietà (Waclaw Sierpinski, Polonia, ). Si tratta di un frattale molto semplice da ottenere anche per via geometrica elementare. Da un punto di vista strettamente geometrico viene generato con una serie di rimozioni. Si inizia con un quadrato pieno da cui si rimuove un quadratino di lato pari alla metà del quadrato iniziale, in modo da ottenere una figura formata da tre quadrati. Da ciascuno di questi quadrati si elimina il quadratino in basso a destra e si ottiene una figura formata da nove quadratini. In questo modo si continua ogni volta fino ad arrivare al risultato finale.

7 A conclusione del lavoro qui di seguito scorrono le nostre firme: ognuno di noi si è liberamente creato uno sfondo con il programma di Tierazon ed ha apposto il proprio nome.

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