Viaggio nel mondo dei. frattali!!!

Transcript

1 Viaggio nel mondo dei frattali!!!

2 PREMESSA: Ciao ragazzi, volevo dirvi che siete stati molto bravi a seguire con tanta attenzione la lezione sui frattali, che era piuttosto difficile. Dalle domande che mi avete fatto, durante e dopo, mi sembra che abbiate capito molte cose, bravi! Vi scrivo sotto l indirizzo al quale potete scaricaricare il programma Xaos, che e un sofware libero che dovrebbe funzionare su qualunque computer: Se avete dei problemi potete scrivermi all indirizzo: maricarla.tesi@unibo.it Vi auguro un anno scolastico interessante e divertente, e arrivederci al prossimo anno! Maria Carla

3 Cosa e un frattale? I frattali sono figure geometriche, come i rettangoli, i cerchi, i quadrati; pero i frattali hanno proprieta speciali che le altre figure non possiedono. Frattale matematico super-famoso: insieme di Mandelbrot.

4 Proprieta strane? Si, per esempio se si fa lo zoom di una figura frattale si trova la stessa forma all infinito!

5 Broccolo:

6 Dove si trovano i frattali? In natura: In matematica: foglia di felce triangolo di Sierpinski

7 Movie: introduzione 1 QuickTime and a decompressor are needed to see this picture.

8 Perche ci interessano? La maggior parte degli oggetti in natura non ha la forma di quadrati, triangoli, sfere o coni, ma di figure geometriche piu complicate. Si da il caso che le nuvole NON siano sfere, e le montagne NON siano coni

9 Molti oggetti naturali, come: felci, coralli, coste, hanno forma frattale.

10 Movie: introduzione 2 QuickTime and a decompressor are needed to see this picture.

11 Inoltre Euclide La geometria che studiamo a scuola su cerchi, quadrati e triangoli e stata organizzata attorno al 300 A.C. da un matematico greco chiamato Euclide, che ha scritto 13 libri chiamati ELEMENTI.

12 i frattali sono moderni! La maggior parte della geometria frattale invece e molto piu recente. E stata organizzata intorno al 1970 dal Professor Benoit Mandelbrot ( ).

13 Movie sulla matematica classica

14 Mandelbrot ha detto: Il concetto di base che unisce lo studio dei frattali alle discipline come la biologia e la medicina parte dalla convinzione di un necessario superamento della geometria euclidea nella descrizione della realta naturale. Volendo essere molto sintetici, i frattali servono a trovare una nuova rappresentazione che parta dall'idea di base che il piccolo in natura non e nient'altro che una copia del grande. I ricercatori in matematica, fisica e ingegneria stanno lavorando tutt ora sui frattali.

15 e inoltre Anche se i frattali sono estremamente complicati, a volte infinitamente complicati alcuni di essi possono essere pero estremamente facili da costruire! (come vedremo) e inoltre ci sono alcune proprieta matematiche semplici riguardo ai frattali che anche noi giovani studenti siamo in grado di capire!

16 e inoltre inoltre ci sono diverse applicazioni pratiche dei frattali nella nostra vita quotidiana, per esempio: 1) In medicina; 2) Nelle antenne; 3) Nei telefoni cellulari; 4) Nelle previsioni del tempo; 5) In alcuni film (che voi probabilmente avete visto!).

17 Che strano nome deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), cosi come il termine frazione; infatti gli oggetti frattali sono considerati in matematica oggetti di dimensione frazionaria (cioe non intera). Su questo concetto torniamo dopo, per ora notiamo che gli oggetti naturali che hanno forme frattali sono oggetti molto rugosi, frastagliati, non lisci.

18 FRATTALI IN MATEMATICA Curva di Koch Helge von Koch ( ) Triangolo di Sierpinski Waclaw Sierpinski ( )

19 Costruiamo la curva di Koch QuickTime and a GIF decompressor are needed to see this picture.

20 piu lentamente 1) dividiamo un lato del triangolo in tre parti uguali e rimuoviamo la parte centrale; 2) sostituiamo il pezzo mancante con due pezzi della stessa lunghezza del pezzo rimosso; 3) facciamo la stessa operazione su tutti i lati del triangolo;

21 perimetro che cresce Iterazione 0: lungh = 1 metro Iterazione 1: lungh = 4/3 = 1.33 metri

22 Curva di Koch dopo la prima iterazione 3 segmenti lungh segm = 1 12 segmenti lungh segm = 1/3

23 e quindi proseguendo 12 segmenti lungh segm = 1/3 48 segmenti lungh segm = 1/9 192 segmenti lungh segm = 1/81

24 calcolo piu preciso iterazione num lungh perimetro segmenti segm m 3 m 1 4x3 = 12 1/3 m 12/3 = 4 m 2 4x12 = 48 1/9 m 48/9 ~ 5.3 m 3 4x48=192 1/27 m 192/27 ~ 7.1 m 4 4x192=768 1/81 cm 768/81 ~ 9.5 m

25 Perimetro INFINITO! Proseguendo la procedura tante tante volte, il PERIMETRO della curva diventa ENORME, grande quanto vogliamo, in matematica si dice INFINITO!

26 Perimetro infinito, e l area? DOMANDA: Cosa fa l AREA racchiusa dalla curva? Di solito, quando si aumenta il perimetro di una figura geometrica aumenta anche la sua area:

27 Area della curva di Koch: L area e sempre racchiusa da uno STESSO CERCHIO che circonda il triangolo di partenza. Non importa quanto grande diventa il perimetro della curva, l area dentro alla curva rimane dentro al cerchio, quindi e piu piccola dell area del cerchio.

28 E quindi l AREA e FINITA!!!

29 Movie: curva di Koch

30 Storia su Benoit e le coste La curva di Koch e interessante perche e simile ad alcuni frattali che si trovano in natura. Mandelbrot ha osservato che le rientranze sempre piu fini della curva di Koch sono proprio quello che ci vuole per descrivere le coste della Gran Bretagna.

31 Quanto e lunga la costa della Gran Bretagna?

32 dipende Unita = 200 km Lunghezza = 2400 km Unita = 100 km Lunghezza = 2800 km Unita = 50 km Lunghezza = 3400 km

33 dal tipo di metro che usiamo per misurare! RISPOSTA: dipende dal metro con cui facciamo le misure! Con un metro che ha solo i DECIMETRI (poco preciso) si perdono molto particolari, e si ottiene una certa lunghezza del perimetro. Con um metro che ha anche i CENTIMETRI (piu preciso) si includono piu particolari, ed il perimetro risulta piu grande. Se potessimo misurare ogni roccia, ciottolo o granello di sabbia il perimetro risulterebbe grandissimo!

34 Movie su misurazione costa QuickTime and a decompressor are needed to see this picture.

35 Quindi la domanda e sbagliata! La domanda piu appropriata sarebbe: QUANTO E RUGOSA LA COSTA DELLA GRAN BRETAGNA? Risposta: la diamo tra un poco

36 Perche le coste sono frattali? Le coste sono formate attraverso semplici processi ripetitivi, che si ripetono per centinaia di milioni di anni. L infrangersi delle onde erode lentamente le linee costiere. La marea che sale e scende erode allo stesso modo, e fa accumulare sassolini. Anche le tempeste giganti erodono e portano sassolini. La forma delle coste e molto piu irregolare della forma della curva di Koch, ma entrambe sono formate in maniere simili, iterando (cioe ripetendo) all infinito un processo semplice.

37 Intermezzo: fiocco di neve I fiocchi di neve crescono espandendosi verso l esterno dal centro, e ramificandosi in continuazione. Il processo non e uguale a quello che ci ha portato alla curva di Koch, pero sono molto simili!

38 Costruiamo il triangolo di Sierpinski QuickTime and a GIF decompressor are needed to see this picture.

39 piu lentamente 0) disegniamo un triangolo equilatero; 1) disegniamo un triangolo interno unendo i punti di mezzo dei tre lati del triangolo di partenza; 2) anneriamo il triangolo interno, e come se fosse un buco; 3) ripetiamo la stessa operazione su ognuno dei triangoli piu piccoli, non anneriti, che abbiamo ottenuto; 4) continuiamo cosi all infinito.

40 Esempio di frattali in 3D

41 Curiose proprieta dei frattali: 1) Auto-similarita ; 2) Dimensione frazionaria; 3) Formazione per iterazione.

42 PROPRIETA 1: AUTO-SIMILARITA

43 Figure simili in geometria: DUE figure geometriche sono SIMILI se una di esse, dopo essere stata ingrandita o rimpicciolita allo stesso modo in tutte la direzioni, si puo sovrapporre all altra (sono ammesse rotazioni e riflessioni).

44 Primi esempi di figure simili: QUADRATI RETTANGOLI TRIANGOLI

45 Esempi di figure NON simili: RETTANGOLI OVALI TRAPEZI

46 Altri esempi di figure simili: Le figure con lo STESSO COLORE sono SIMILI.

47 Simili o non simili??? GIRAFFE!!!

48 DOMANDE PER VOI : 1) DUE CERCHI SONO SEMPRE SIMILI? 2) DUE QUADRATI SONO SEMPRE SIMILI? 3) DUE TRIANGOLI EQUILATERI SONO SEMPRE SIMILI? 4) DUE TRIANGOLI RETTANGOLI SONO SEMPRE SIMILI?

49 Figure auto-simili in geometria: UNA figura geometrica e AUTO- SIMILE se e possibile formarne una piu grande, simile a quella di partenza, usando delle copie di quella di partenza.

50 Auto-similarita in geometria: il quadrato e auto-simile! trapezio: questo e auto-simile, ma in generale?

51 Esempi di figure auto-simili:

52 ALTRE DOMANDE PER VOI : 1) UN QUADRATO E AUTOSIMILE? (SI ) 2) UN RETTANGOLO E AUTOSIMILE? (SI ) 3) UN CERCHIO E AUTOSIMILE? (NO, MAI) 4) UN QUALUNQUE TRIANGOLO E AUTOSIMILE? (NO, DIPENDE DA COME E FATTO )

53 Auto-similarita in natura: pianta scarica elettrica foglia di felce

54 Auto-similarita nei frattali 1:

55 Auto-similarita nei frattali 2:

56 Movie sulla self-similarity

57 PROPRIETA 2: DIMENSIONE FRAZIONARIA

58 Cosa e la dimensione di un oggetto geometrico?. P Un punto ha dimesione 0 (no lungh, no largh, no alt) L Una linea ha dimensione 1 (lunghezza) Un piano ha dimensione 2 (lunghezza e larghezza) Un cubo ha dimensione 3 (lungh, largh e altezza)

59 ancora sulla dimensione Prendiamo delle figure autosimilari (segmento, quadrato e cubo) e raddoppiamo le loro misure: quante copie dell originale otteniamo? segmento: 2 copie (2 = 2x1=2^1) quadrato: 4 copie (4 = 2x2=2^2) cubo: 8 copie (8 = 2x2x2=2^3)

60 Regola generale: Numero copie = fattore di dilatazione ^ DIMENSIONE Segmento: 2 copie = 2 ^ 1 Quadrato : 4 copie = 2 ^ 2 Cubo: 8 copie = 2 ^ 3

61 cosa succede ad un frattale? raddoppiando la lunghezza dei lati otteniamo 3 COPIE! 3 = 2 ^ 1.584

62 Dimensione frazionaria: Figura segmento Triangolo di Sierpinsky quadrato cubo Num copie 2 = 2^1 3 = 2^ = 2^2 8 = 2^3 Dimensione

63 E quindi? E quindi il triangolo di Sierpinsky ha dimensione compresa tra 1 e 2 (ha dimensione )! Questo e il motivo per cui si dice che i frattali hanno dimensione frazionaria (o frattale), cioe non intera! DOMANDA: che dimensione avra la curva di Koch?

64 PROPRIETA 3: FORMAZIONE PER ITERAZIONE

65 Formazione per iterazione: I frattali matematici sono formati tramite un PROCESSO ITERATIVO (cioe che si ripete). Frattali matematici: curva di Koch, triangolo di Sierpinski ( li abbiamo costruiti!). Siamo partiti da una figura geometrica familiare, tipo un triangolo o un segmento, e abbiamo eseguito una semplice procedura per ottenere una figura piu complicata. Poi si procede cosi, all infinito, e si ottiene una figura complicatissima! Forme frattali in natura (formate da un processo che si ripete): coste (erosione), coralli e alberi (ramificazione).

66 Montagna frattale in costruzione: QuickTime and a GIF decompressor are needed to see this picture.

67 Montagna frattale finale:

68 Movie su montagna frattale:

69 A cosa servono i frattali? Come dicevamo all inizio della chiaccherata, ci sono diverse applicazioni pratiche dei frattali nella nostra vita quotidiana, per esempio: 1) In medicina; 2) Nelle antenne; 3) Nei telefoni cellulari; 4) Nelle previsioni del tempo; 5) In alcuni film (che voi probabilmente avete visto!).

70 Movie su Star Trek II

71 Movie su Star Wars III

72 Movie su: antenna frattale

73 Movie su: antenna cellulare

74 Movie su: frattali e medicina

75 Movie finale