Progetto Laboratori Lauree Scientifiche

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1 Progetto Laboratori Lauree Scientifiche Laboratorio sui logaritmi Il regolo calcolatore Bozza di progetto Il regolo calcolatore è una delle piú antiche ed utilizzate applicazioni dei logaritmi. Consiste in un righello (o regolo) che possiede diverse scale graduate (a seconda del modello) che possono scorrere l una rispetto all altra, consentendo di effettuare moltiplicazioni, divisioni ed elevamenti a potenza con una facilità straordinaria, superata solo dalle moderne calcolatrici. É stato inventato nel 1622 dal pastore anglicano William Oughtred e fu sfuttato fino al 1975, con l avvento delle calcolatrici elettroniche. Fu utilizzato con successo per progettare e costruire grandi opere architettoniche come l Empire State building e la diga Hoover, e accompagnò le missioni Apollo nei loro viaggi verso la Luna. 1 La scala logaritmica Il funzionamento del regolo calcolatore è basato sull utilizzo della scala logaritmica. Quest ultima è una particolare scala graduata, inventata nel 1620 dal matematico inglese Edmund Gunter, ed è rappresentata in figura 1. Figura 1: La scala logaritmica Si può per prima cosa notare che i numeri non sono equispaziati, ma si addensano verso destra. Essa è costruita in modo tale che la distanza dall origine di ciascun numero è proporzionale al suo logaritmo in base 10. Ad esempio, la distanza d del numero 4 dall origine è pari a d = log(4) = , mentre la distanza del numero 10 è pari a log(10) = 1. L origine degli assi è rappresentata dal numero 1, dal momento che log(1) = 0. A prima vista, ci si potrebbe aspettare che, procedendo ulteriormente con i numeri successivi, la scala logaritmica continui ad addensarsi. Invece, 1

2 sfruttando le proprietà dei logaritmi, si può vedere che quando si giunge al numero 10 (e ogni sua potenza), la scala si ripete identica. Se, ad esempio, volessimo rappresentare i numeri 12 e 150 basterebbe considerare che d = log(12) = log(1.2 10) = log(1.2) + log(10) = 1 + log(1.2) d = log(150) = log( ) = log(1.5) + log(100) = 2 + log(1.5) Questo significa che, per rappresentare il numero 12, bisogna aggiungere una nuova scala logaritmica identica alla precedente a distanza 1 = log(10) dall origine degli assi e misurare il numero 12 su di essa, come rappresentato in figura 2. Per il numero 150 bisognerebbe giustapporre 3 scale logaritmiche. Figura 2: Due decine in scala logaritmica 2 Il prodotto diventa una somma Supponiamo di avere a disposizione due regoli lineari C e D. La somma di due numeri x e y si realizza ponendo l origine del regolo C a livello del numero x sul regolo D e leggendo il risultato sul regolo D in corrispondenza del numero y del regolo C. (É semplicemente la somma di due segmenti). Figura 3: La somma di x = 7 e y = 10 con due regoli lineari. La proprietà dei logaritmi di trasformare prodotti in somme, permette di utilizzare la procedura sopra illustrata per calcolare anche i prodotti. Infatti, 2

3 il prodotto di due numeri x ed y può essere ottenuto calcolando i rispettivi logaritmi, e sommandoli fra loro z = log(x y) = log(x) + log(y) Il risultato si ottiene determinando il numero il cui logaritmo in base 10 è pari a z. Questo procedimento può sembrare molto complicato, perchè il calcolo del logaritmo è più complicato del prodotto originario. Tuttavia, l utilizzo di due regoli in scala logaritmica affiancati semplifica totalmente l operazione, come illustrato dalla figura 4. Infatti, se si ripete la procedura illustrata in figura 3 utilizzando due regoli in scala logaritmica, il risultato letto sulla scala D è la somma dei logaritmi dei numeri x e y, rapprentato a sua volta in scala logaritmica. Esso è dunque quel numero il cui logaritmo è pari alla somma log(x) + log(y), ovvero il prodotto fra x e y. Figura 4: Il prodotto usando le scale logaritmiche. 3 Le divisioni e gli elevamenti a potenza Utilizzando il regolo in maniera inversa è possibile effettuare anche le divisioni. Semplicemente si utilizza la proprietà dei logaritmi z = log( y ) = log(y) log(x) log(y) = z + log(x) x Bisogna semplicemente ripetere la procedura usata per il prodotto in maniera contraria, dal momeno che il numero finale sulla scala D è già noto. In pratica, per effettuare la divisione si allinea il dividendo sulla scala D con il divisore sulla scala C. Il risultato si legge sulla scala D in corrispondenza dell origine della scala C, come illustrato in figura 5. L elevamento a potenza è un po più complicato. Bisogna costruire una nuova scala logaritmica (che chiameremo A) sfruttando la proprietà log(x k ) = k log(x) 3

4 Figura 5: La divisione usando le scale logaritmiche. Se vogliamo, ad esempio, elevare un numero al quadrato è sufficiente affiancare due scale logaritmiche lunghe una il doppio dell altra, come illustrato nella figura 6. La scala A è stata costruita contraendo due scale logaritmiche nello spazio occupato dalla D e pertanto i suoi valori ne rappresentano i quadrati. Figura 6: I quadrati e le scale logaritmiche 4 Un regolo calcolatore Questa è una foto di un semplicissimo regolo calcolatore per principianti in commercio fino a pochi anni fa. Figura 7: Un modello di regolo calcolatore per principianti Come si può vedere, la scala logaritmica C è situata su una striscia centrale che può scorrere rispetto al corpo principale, su cui è situata la 4

5 scala D. Sono anche presenti la scala A e B, quadrati rispettivamente della D e della C. Sono stati commercializzati anche modelli più complicati che, grazie alla presenza di molte scale graduate, permettevano di effettuare molte più operazioni, come il modello seguente: Figura 8: Il regolo calcolatore Pickett N3-ES Powerlog Exponential 5

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

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