Note sull uso della carta (bi)logaritmica. Luca Baldini, INFN - Pisa versione 1.1

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1 Note sull uso della carta (bi)logaritmica Luca Baldini, INFN - Pisa versione dicembre 2003

2 Indice Introduzione 2 Indice delle versioni Le leggi di potenza e la carta bilogaritmica Alcune proprietá dei logaritmi ed una trasformazione intelligente La carta bilogaritmica

3 Introduzione Queste poche righe illustrano brevemente le applicazioni tipiche, le modalitá d uso e le principali propietá della carta bilogaritmica. Indice delle versioni versione 1.1 Data: 22 dicembre Descrizione: alcune correzioni ortografiche; cambiamento dello stile del documento; correzione di un errore nell equazione Credits: E. Gattiglio, R. Funai, L. Giannelli. versione 1.0 Data: 27 ottobre Descrizione: versione iniziale. Credits: F. Angelini, L. Martinelli. Segnalare errori ed inesattezze a luca.baldini@pi.infn.it. 2

4 Capitolo 1 Le leggi di potenza e la carta bilogaritmica Una legge di potenza è, per definizione, una funzione del tipo: y(x) = αx β (1.1) in cui α e β sono due costanti reali (β prende solitamente il nome di esponente della legge di potenza, mentre α è semplicemente una costante moltiplicativa - il che, va da se, non significa che non sia importante...). Esistono innumerevoli esempi di processi fisici che sono ben descritti da una legge di potenza e nel seguito ne illustreremo alcuni tra i piú significativi. La legge spazio-tempo per un corpo che cada liberamente, sotto l azione del campo gravitazionale, in prossimitá della superficie terrestre é data da: s(t) = 1 2 gt2 (1.2) in cui g è l accelerazione di gravitá (abbiamo preso l asse s verticale ed orientato verso il basso ed abbiamo supposto che il corpo parta dalla posizione s = 0 con velocitá iniziale nulla). Si tratta chiaramente di una legge di potenza e, confrontando con la (1.1) si ha: { α = 1 2 g (1.3) β = 2 Il periodo di oscillazione di una massa m, vincolata ad una della estremitá di una molla di costante elastica k (posto che l altra estremitá sia fissata, ovviamente) è: m T (k) = 2π (1.4) k E facile riconoscere in questa espressione una legge di potenza con: { α = 2π m β = 1 2 (1.5) 3

5 Come ultimo esempio possiamo considerare la dipendenza del periodo T del pendolo semplice dalla sua lunghezza l: l T (l) = 2π (1.6) g in cui g è, di nuovo, l accelerazione di gravitá. Anche in questo caso si tratta di una legge di potenza. Problema 1 Ricavare i valori della costanti α e β per l espressione appena scritta. 1.1 Alcune proprietá dei logaritmi ed una trasformazione intelligente Dato un numero b (con b > 0 e b 1), si definisce formalmente il logaritmo in base b di un numero (positivo) x mediante la relazione: log b x = y x = b y (1.7) In pratica le due basi che piú spesso vengono utilizzate sono 10 ed e (e è il cosiddetto numero di Nepero, che vale ); si parla rispettivamente di logaritmi in base 10 e di logaritmi Neperiani. Nel seguito useremo la notazione: log x = log 10 x (1.8) ln x = log e x ma attenzione: questa convenzione non è universalmente seguita! Problema 2 Che cosa ha di particolare il numero di Nepero? In altre parole, perché il logaritmo in base e è cosí importante? Ricordiamo alcune delle proprietá dei logaritmi che ci saranno utili tra breve: log xz = log x + log z (1.9) log x z = log x log z log x a = a log x (le abbiamo scritte in base 10, ma sono valide indipendentemente dalla base!) Torniamo alla nostra legge di potenza (1.1); calcolando il logaritmo di entrambi i membri, ed utilizzando le (1.9), otteniamo: log y = log(αx β ) = log α + β log x (1.10) che possiamo riscrivere in termini di due nuove variabili appositamente introdotte: { X = log x (1.11) Y = log y Cosí facendo si ha: Y(X ) = px + q (1.12) 4

6 in cui: { p = β q = log α (1.13) Per sintetizzare: la nostra legge di potenza, una volta espressa in termini dei logaritmi delle variabili, diviene una relazione lineare in cui l intercetta è data dal logaritmo della costante moltiplicativa α ed il coefficiente angolare dall esponente β. Vediamo un semplice esempio. Supponiamo di aver misurato, a determinati istanti di tempo, la posizione di una massa in caduta libera (mettiamoci nel sistema di riferimento descritto nel paragrafo precedente, in cui ci aspettiamo una legge oraria di tipo 1.2) e di aver ottenuto la tabella 1.1: Notiamo, per Tempo (s) Spazio (m) Tabella 1.1: Dati relativi alla legge oraria di un corpo in caduta libera nel campo gravitazionale alla superficie della terra. inciso, che nella tabella le incertezze di misura non compaiono esplicitamente; complicherebbero solamente la situazione e non aggiungerebbero niente di nuovo a ció che stiamo discutendo... ma non è una ragione per prendere cattive abitudini! In figura 1.1 i dati in tabella 1.1 sono riportati in un grafico e si Spazio percorso (m) Tempo (s) Figura 1.1: Grafico relativo ai dati riportati nella tabella 1.1. La linea tratteggiata rappresenta il modello (1.2). dispongono, come ci si attende, lungo la parabola di equazione (1.2). 5

7 Facciamo l esercizio di estrarre i logaritmi dei nostri dati e compiliamo una nuova tabella: Se mettiamo questi punti in un grafico (figura 1.2) vediamo log(tempo) log(spazio) Tabella 1.2: Logaritmi dei dat contenuti nella tabella 1.2. immediatamente che, come atteso, essi si dispongono su di una retta. Un fit di log(spazio percorso (m)) log(tempo (s)) Figura 1.2: Grafico relativo ai dati riportati nella tabella 1.2. La linea tratteggiata rappresenta la retta che meglio descrive tali dati ed è stata ottenuta utilizzando un pacchetto software di analisi dati. tipo lineare eseguito con il calcolatore fornisce i valori: { p = q = che, con riferimento alle equazioni (1.1) e (1.13), significano: { α = m/s 2 β = 2.00 (1.14) (1.15) Esattamente quanto ci aspettavamo (cfr. equazione 1.3). Problema 3 Estrarre i logaritmi dei dati contenuti in tabella 1.1 e ricostruire indipendentemente la tabella

8 Problema 4 Riportare in un grafico in carta millimetrata i dati contenuti nella tabella 1.2; eseguire per via grafica un fit di tipo lineare ed estrarre i valori dei parametri. Confrontare con quelli riportati in (1.14) e (1.15). 1.2 La carta bilogaritmica La carta bilogaritmica costituisce un brillante espediente per sfruttare la trasformazione che abbiamo definito nel paragrafo precedente senza essere costretti a calcolare un numero imprecisato di logaritmi decimali (il che, nel caso di una grande mole di dati, potrebbe risultare un poco noiso) e compilare una nuova tabella di dati. L idea di fondo è in un certo senso quella di scaricare la trasformazione di coordinate sulle scale dei due assi (che, come vedremo, cessano di essere lineari) anziché sui dati. In effetti la carta bilogaritmica è costruita in modo che inserire un punto - inteso come una coppia ordinata (x,y) - su di essa sia esattamente equivalente ad inserire la coppia (log(x), log(y)) in un normale grafico con scale lineari in entrambi gli assi; ne vediamo un esempio in figura Spazio percorso (m) Tempo (s) Figura 1.3: Grafico, in carta bilogaritmica, relativo ai dati riportati nella tabella 1.1. La linea tratteggiata é la parabola 1.2 che, in scala bilogaritmica, diviene una retta. L intervallo che intercorre tra una potenza di dieci e la successiva si dice decade; da notare che la decade che va da 1 a 10 è assolutamente identica a quella che va da 10 a 100 o da 100 a 1000 e cosí via. Confrontando il grafico in figura 1.3 con quello in figura 1.2 non è difficile accorgersi che i due sono sostanzialmente identici; il grande passo in avanti è che, come abbiamo detto prima, grazie alla carta logaritmica non siamo stati costretti a passare attraverso il tedioso calcolo diretto dei logaritmi; il che non `poco. Alcuni commenti di tipo generale prima di andare avanti: Il significato immediato dell uso di una scala non lineare è che, tanto per fare un esempio, la distanza tra il punto 2 ed il 3 (misurata direttamente 7

9 sul grafico, con il righello) non è uguale a quella tra il 3 ed il 4 o a quella tra il 6 ed il 7. In particolare, su di una scala logaritmica la distanza tra 1 e 10 è uguale alla distanza tra 10 e 100, 100 e 1000 e cosí via. Da un punto di vista formale si tratta di una conseguanza diretta della relazione: log 10 n = n log 10 (1.16) In carta bilogaritmica siamo in generale liberi di moltiplicare la scala assoluta su ognuno dei due assi con l unico effetto di una traslazione del grafico (se si tratta di una legge di potenza, dunque, il coefficiente angolare della retta corrispondente - che coincide sostanzialmente con l esponente della legge di potenza stessa - non cambia). Non dovrebbe essere difficile convincersi che questo deriva dalla proprietá dei logaritmi: log ax = log a + log x (1.17) In effetti nella carta bilogaritmica che si trova comunemente in commercio si disegnano, in genere, solo le decadi e si lascia allo sperimentatore la libertá di indicare la potenza di 10 opportuna in corrispondenza dell inizio di ogni decade. Segue dal punto precedente che un cambiamento di unitá di misura nei dati (che ovviamente è sempre lecito, in fisica) si traduce, in carta bilogaritmica, in una traslazione dei punti sperimentali. Nel nostro caso, ad esempio, una conversione delle lunghezze da metri a decimetri causerebbe uno spostamento del grafico lungo l asse y di una decade verso l alto. Lo zero (benché il punto (0, 0) appartenga di buon diritto a tutte le leggi di potenza...) non puó essere messo in una scala logaritmica; chiaramente deriva dal fatto che: lim log x = (1.18) x 0 + Problema 5 Prendere un foglio di carta bilogaritmica, fissare opportunamente la scala assoluta sui due assi e graficare i dati in tabella 1.1. Riportare sullo stesso grafico i dati in questione dopo aver convertito le corrispondenti unitá di misura da (m, s) in (cm, min). Qual è la differenza? Problema 6 Dimostrare che, in generale, un cambiamento di unità di misura si traduce, in carta bilogaritmica, in una traslazione. La grande utilitá della carta bilogaritmica risiede nel fatto che essa estende largamente la classe delle funzioni fittabili graficamente, che sulla carta millimetrata ordinaria si esaurisce sostanzialmente nelle rette. In effetti su di una scala lineare é molto difficile riconoscere una legge di potenza da una qualsiasi altra funzione; ed è ancora piú arduo, poi, pretendere di stimare l esponente con matita e righello. Tutto questo diventa banale in carta logaritmica, a patto di non dimenticarci che la relazione è lineare solamente se espressa nei logaritmi delle variabili; in effetti, idealmente, il fit grafico si puó eseguire impiegando le regole ordinarie (quelle da carta millimetrata ) sul grafico (X, Y) - riportato in figura ma non su quello (x, y) - in figura 1.3. presi due punti sulla nostra retta e, con riferimento alla (1.12) si ha: { p = Y 2 Y 1 X 2 X 1 (1.19) q = Y(0) 8

10 E facile passare, a questo punto, nelle variabili fisiche y, x, α e β, utilizzando la (1.11) e la (1.13): { α = y(1) β = log y 2 log y 1 (1.20) log x 2 log x 1 Vale a dire che, guardando il grafico in carta bilogaritmica (figura 1.3): La costante moltiplicativa della legge di potenza si trova misurando l intercetta della retta con l asse x = 1 (e non x = 0! Ma questo non dovrebbe stupire piú di tanto, osservando per un attimo l equazione (1.1). L esponente della legge di potenza si calcola facendo il rapporto delle differenze dei logaritmi. Notiamo anche che, per le proprietá dei logaritmi: β = log(y 2/y 1 ) log(x 2 /x 1 ) (1.21) per cui, nel caso in cui le dimensioni delle decadi (misurate con il righello) siano le stesse sui due assi della carta bilogaritmica - che è il caso tipico, in laboratorio - il coefficiente angolare della retta (e quindi l esponente della legge di potenza) si puó calcolare come rapporto di distanze misurate con il righello. Problema 7 Utilizzando le (1.20) ed il grafico riportato in figura 1.3 eseguire un fit grafico e ricavare i valori migliori per i parametri della legge di potenza. Confrontare con con quelli riportati in (1.14) e (1.15). Problema 8 Graficare i dati contenuti nella tabella 1.1 su carta bilogaritmica (verificando che l ampiezza delle decadi sui due assi sia la stessa) ed eseguire un fit grafico estraendo l esponente della legge di potenza come rapporto di distanze misurate con il righello. Confrontare il risultato con quello ottenuto nel problema precedente. 9