Strumenti di indagine per la valutazione psicologica

Transcript

1 Strumenti di indagine per la valutazione psicologica 41 ANOVA a un fattore between Davide Massidda davidemassidda@gmailcom Ovvero: analisi della varianza con un'unica VI ANOVA a una via L'ANOVA consente di valutare se una variabile dipendente di tipo quantitativo varia in funzione di una o più variabili di tipo qualitativo È una delle tecniche più usate per l'analisi di dati sperimentali, ma per la verità non è obbligatorio un disegno sperimentale: basta una variabile quantitativa e una qualitativa, a prescindere dal livello di controllo L'ANOVA tratta tutti i fattori come fissi, anche quelli che in realtà dovrebbero essere considerati casuali Università di Cagliari, aa 2013/2014 Il ruolo della statistica Il modello ANOVA Dato un insieme di misure, la statistica è quell'insieme di tecniche che consente di: y ij = µ + α j + ε ij descriverle sinteticamente (statistica descrittiva); comprendere se ci sono delle relazioni che legano i diversi fenomeni sottoposti a misurazione e quali sono queste relazioni (statistica inferenziale) i = 1n unità di rilevazione (soggetti) j = 1k livelli del fattore (gruppi) µ 1 La statistica è quella disciplina che fa da ponte tra i numeri e l'informazione, estraendo la conoscenza dai dati µ 4 α 3 α 4 µ α 1 µ 3 α 2 µ 2

2 Un primo esempio: il burnout Il valore atteso Sogg Y In un gruppo di dieci infermieri ospedalieri è stato misurato il livello di burnout Sogg Y Assumiamo che Y, nella popolazione, abbia una distribuzione normale: il suo valore atteso sarà µ, che possiamo stimare utilizzando la media del campione Ȳ = n i=1 n Y i =162 Il fenomeno varia Devianza totale Cosa è che fa variare il nostro fenomeno? Perché esso non è costante ma varia in maniera così imprevedibile? Perché per l'individuo 1 è stato osservato 22 e non 162? E perché per l'individuo 2 è stato osservato 19 e non 162? E perché perché La mente umana è complessa! Ci possono essere un sacco di motivi, tutti validi, in grado di spiegare il perché di questa variabilità Prima di tutto, questa variabilità cerchiamo di quantificarla Y 22 Y Ȳ = = = = = = = = = = = = = = = -12 Quanto ogni valore osservato dista dal valore atteso? Ovvero: quanto ciò che abbiamo osservato si discosta da ciò che dovremmo osservare se il fenomeno non variasse? n (Y i Ȳ ) 2 =1984 i=1 Questo è il 100% della variabilità Se riuscissimo a spiegarne almeno una porzione significativa, avremo offerto un buon contributo alla comunità scientifica

3 Il predittore Devianza between Y Reparto 22 Rianimaz 19 Rianimaz 23 Rianimaz 20 Rianimaz 18 Rianimaz 16 Ostetricia 12 Ostetricia 17 Ostetricia 14 Ostetricia 13 Ostetricia 12 Iperbarica 11 Iperbarica 18 Iperbarica 13 Iperbarica 15 Iperbarica Ȳ Rn =204 Ȳ Os =144 Ȳ Ip =138 E se provassimo a utilizzare la variabile reparto per spiegare le variazioni dei punteggi di burnout? Y Reparto 22 Rianimaz 19 Rianimaz 23 Rianimaz 20 Rianimaz 18 Rianimaz 16 Ostetricia 12 Ostetricia 17 Ostetricia 14 Ostetricia 13 Ostetricia 12 Iperbarica 11 Iperbarica 18 Iperbarica 13 Iperbarica 15 Iperbarica Y Ȳ j = = = = = = = = = = = = = = = -24 Eliminiamo artificialmente la variabilità esistente all'interno di ciascun gruppo, rendendo tutti gli individui uguali alla media del proprio gruppo Quanto ogni gruppo di discosta dalla media generale? k j=1 n j (Ȳ j Ȳ ) 2 =1332 i =1 Devianza within Scomposizione della varianza Y Reparto 22 Rianimaz 19 Rianimaz 23 Rianimaz 20 Rianimaz 18 Rianimaz 16 Ostetricia 12 Ostetricia 17 Ostetricia 14 Ostetricia 13 Ostetricia 12 Iperbarica 11 Iperbarica 18 Iperbarica 13 Iperbarica 15 Iperbarica Y Ȳ j = = = = = = = = = = = = = = = 12 Usiamo come valore atteso non la media generale ma la media di ogni gruppo Quanto ogni individuo si discosta dalla media del proprio gruppo? k j=1 n j (Y i Ȳ j ) 2 =652 i =1 k j=1 i =1 Totale n (Y i Ȳ ) 2 =1984 i=1 Between n j k (Ȳ j Ȳ ) 2 =1332 j=1 Within n j (Y i Ȳ j ) 2 =652 i =1

4 Sorgenti di variabilità Sorgenti di variabilità Between: distanza fra i gruppi, da imputare alle differenze fra un reparto e l'altro Within: distanza entro i gruppi, da imputare alle differenze fra un soggetto e l'altro Varianza between Varianza between

5 Varianza within Varianza within Scomposizione della varianza Scomposizione della varianza Between La devianza between esprime quanto della variabilità individuale è da attribuire al fatto che un infermiere si trovi un un reparto piuttosto che in un altro Reparto Within Residuo La devianza within rappresenta quella porzione di differenze individuali che non possono essere spiegate dal fattore di raggruppamento: è ciò che resta da spiegare della variabilità del fenomeno

6 La dimensione dell'effetto Quesito Reparto 671 % η 2 = SS Between SS Total La percentuale di variabilità attribuibile al fattore reparto è davvero così grande da poter asserire che, il fatto che un infermiere si trovi in un reparto piuttosto che in un altro, sia determinante nel provocare il suo livello di burnout? 329 % Residuo In termini un po' più formali La formulazione delle ipotesi Gli infermieri dei tre reparti provengono dalla stessa popolazione, quindi gli scarti dal valore atteso osservati sono solo effetto del caso, oppure sono estratti da popolazioni il cui parametro µ è realmente diverso? Ovvero: la differenza fra le medie dei tre reparti riflette differenze reali in termini di burnout oppure è solo frutto di errore accidentale? Insomma: si tratta di un'unica popolazione o di tre popolazioni diverse? H 0 :μ 1 =μ 2 =μ 3 I tre gruppi provengono da popolazioni che hanno la stessa media (quindi: i campioni sono estratti dalla stessa popolazione) H 1 : i, j μ i μ j Fra i tre gruppi ne esistono almeno due, che possiamo indicare con i e j, le cui popolazioni di riferimento hanno media diversa (quindi: i campioni sono estratti da popolazioni diverse)

7 Omogeneità delle varianze fra i gruppi Devianza Varianza È un'assunzione dell'anova, la cui violazione può portare a distorsioni nelle stime Il problema, però, è anche logico La distribuzione normale non è descritta solo da un parametro µ, ma anche da un parametro σ Per poter affermare che due popolazioni sono in realtà la stessa popolazione, queste non dovrebbero coincidere solo per µ, ma anche per σ Ci sono appositi test, come quello di Bartlett, che consentono di verificare se, a meno di un certo margine d'errore, le varianze siano omogenee Il primo passo per la verifica d'ipotesi è trasformare le devianze in varianze Nota bene: Varianza= Devianza Gradi di libertà La devianza è chiamata sommatoria dei quadrati (SS) La varianza è chiamata media dei quadrati (MS) Devianza Varianza Devianza Varianza MS between = SS between k 1 MS between = = 1332 =662 2 gdl = 2 MS within = k j =1 SS within SS within = n 1 1+n 2 1+n 3 1 (n j 1) 652 MS within = = =54 gdl = 12

8 Il test F La distribuzione F Per valutare se la quota di varianza spiegata dal fattore Reparto è significativamente superiore rispetto alla quota di varianza non spiegata, possiamo metterle in rapporto F= MS between MS within = =123 Il rapporto tra due varianze si distribuisce come una F di Fisher-Snedecor I valori F variano tra 0 e + (Trattandosi di una distribuzione che regola il rapporto tra due valori al quadrato, la distribuzione F non può essere definita per valori negativi) Non ha una forma simmetrica, ma presenta una lunga coda a destra Dipende da due parametri, ν 1 e ν 2, che corrispondono rispettivamente ai gradi di libertà della varianza al numeratore e della varianza al denominatore La distribuzione F La verifica d'ipotesi ν 1 = 1, ν 2 = 100 ν 1 = 1, ν 2 = 1 ν 1 = 100, ν 2 = 1 A questo punto abbiamo un valore F, che esprime il rapporto tra la varianza spiegata dal fattore Reparto e la varianza d'errore Se la quota di varianza spiegata dal fattore Reparto fosse sufficientemente grande rispetto alla varianza d'errore (quindi F elevato), potremmo rigettare H 0 in favore di H 1 Il punto è: quanto deve essere grande F per poter rigettare H 0? Al variare dei gradi di libertà, varia la forma della distribuzione

9 Null Hypothesis Significance Testing (NHST) Null Hypothesis Significance Testing (NHST) L'approccio NHST è l'approccio più comune alla verifica d'ipotesi (ma non l'unico né necessariamente il migliore) Si basa sull'idea che l ipotesi vera sia H 0 Si osserva qual è la probabilità di osservare un risultato R (che in questo caso è il nostro valore F) uguale o più estremo rispetto a quello ottenuto empiricamente, data la verità di H 0 H 0 viene rigettata se questa probabilità è bassa, perché il risultato che abbiamo osservato è troppo improbabile stando alla verità di H 0 Quindi: 1 Con l'approccio NHST tutto ruota intorno a H 0 2 Non si calcola la probabilità che H 0 sia vera, ma la probabilità di osservare un risultato uguale o più estremo rispetto a quello empiricamente rilevato, assumendo la verità di H 0 3 Se la probabilità è bassa, l ipotesi H 0 dovrebbe essere rifiutata: il risultato è troppo improbabile stando alla verità di H 0 Tornando a noi Tornando a noi Se H 0 fosse vera, F sarebbe piccolo La domanda che ci dobbiamo porre è: «Se H 0 fosse vera, qual è la probabilità di osservare un F grande almeno quanto quello che abbiamo osservato noi?» Facendo riferimento alla distribuzione F di Fisher- Snedecor, possiamo calcolare qual è la probabilità che un certo valore F ricada in un certo intervallo Utilizzando la funzione di ripartizione della F, possiamo calcolare la probabilità di osservare un valore F uguale o più estremo rispetto a quello che abbiamo ottenuto

10 Titolo Significatività statistica Quando un p-value è sufficientemente piccolo da poter essere considerato significativo? p = Per convenzione, si usano tre valori: 005 (5%) 001 (1%) 0001 (1 ) Regola generale e condivisa: p 005: non rifiuto H 0 Questo valore di probabilità è comunemente chiamato p-value p < 005 rifiuto H 0 Significatività statistica L'output dei software statistici Non solo il nostro valore p è inferiore a 005, ma è inferiore anche a 001 Il fattore Reparto risulta statisticamente significativo (F (2,12) = 1230, p < 001, η 2 = 067) Rifiutiamo H 0 : ci sono almeno due Reparti che presentano valori medi significativamente diversi Df Sum Sq Mean Sq F value p value Reparto ** Residuals Cosa manca? Trova il grande assente

11 p-value vs effect size p-value e valore critico Un p-value molto piccolo non indica un effetto molto significativo: la forza dell'effetto è espressa dall'indice η 2 e non dal p Il p è la probabilità che un evento (o uno più estremo) si verifichi sotto l'assunzione di verità di H 0 Uso del valore critico: Dove cade questo valore? Prima o dopo 389? L'effect size è la forza di questo evento Valore critico per α = 005 p-value e valore critico Analogie tra test statistici Uso del p-value: Quanto è grande quest'area? Più o meno di 005? Regressione, test t e ANOVA fanno tutti parte della famiglia dei modelli lineari con VD quantitativa misurata quantomeno su scala a intervalli Ciò che cambia è la VI: Regressione: quantitativa test t: qualitativa a due livelli ANOVA: qualitativa a tre o più livelli p > 005 F calcolato < F critico p = 005 F calcolato = F critico p < 005 F calcolato > F critico

12 Analogie tra test statistici Maneggiare con cura Praticamente è solo una questione di nomi: dal punto di vista algebrico, le operazioni di calcolo sono le medesime In linea di massima, ciò che cambia è il significato dei parametri e la statistica utilizzata per valutare la significatività, anche se da una statistica si può ricavare l'altra t= F R 2 =η 2 (Nell'ANOVA a una via) L'ANOVA necessita di un buon numero di osservazioni all'interno di ogni gruppo La distribuzione dei dati di ogni gruppo dovrebbe essere approssimabile a una normale Se queste due condizioni non sono verificate, in sostituzione dell'anova si può ricorrere ai test non parametrici (nel caso, al test di Kruskal-Wallis) Le varianze tra i gruppi devono essere omogenee Se non lo sono, si possono applicare opportune correzioni Box plot Dynamite plot

13 Dynamite plot Dynamite plot L'altezza delle barre corrisponde al valore medio di ogni gruppo Le barre d'errore possono rappresentare l'errore standard oppure l'intervallo di confidenza Deviazione standard: descrive la variabilità di una serie di misure Errore standard: descrive la variabilità di un valore statistico Intervallo di confidenza: intervallo di valori entro i quali si stima debba cadere il vero valore della popolazione con una certa probabilità p (di solito 95%) Quattro buone ragioni per Le tre misure sono una derivata dall'altra: SD=σ SE= σ n CI 95%= x ±z 0975 SE wwwquadernodiepidemiologiait/epi/campion/err_stahtm scienceblogscom/cognitivedaily/2008/07/31/most-researchers-dont-understa-1 Dot plot non usare il dynamite plot 1 Non descrive la distribuzione di dati nei singoli gruppi 2 Non permette di comparare le distribuzioni dei gruppi 3 Non permette di capire se sono presenti outlier 4 Intuitivamente, si assume che il punto di partenza delle barre sia lo zero (a volte va bene, altre volte no) Tuttavia Il dynamite plot mostra in maniera immediata e pulita le differenze fra medie, cosa che altri grafici non fanno

14 Alcune indicazioni generali Alcune indicazioni generali Un grafico permette di comunicare con maggior efficacia un risultato, per cui è sempre bene che l'analisi sia accompagnata da qualche visualizzazione Evitiamo però di abusarne, soffocando il testo con le immagini Per quanto possibile, ogni grafico dovrebbe poter essere interpretato anche a prescindere dal testo in cui è inserito Per questo motivo, bisogna sempre inserire una didascalia esaustiva (ma non prolissa) Ogni grafico deve essere numerato e avere un richiamo nel testo Rispetto alla carta stampata, il web consente di dare molto più spazio alla creatività