L armonia matematica: viaggio nel mondo delle note.

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1 L armonia matematica: viaggio nel mondo delle note. Fulvio Bisi, Anna Torre giugno 2015

2 LA SCALA PITAGORICA Le consonanze fra i suoni furono studiate dai pitagorici analizzando i suoni prodotti dal monocordo, uno strumento costituito da una corda tesa tra due estremi fissi, un ponticello mobile divide la corda in due segmenti di lunghezza variabile. Ascoltando il suono prodotto da questi due segmenti di corda, secondo i pitagorici si otteneva un suono consonante solo quando, dal rapporto tra le misure delle due parti, risultava una frazione costituita da due numeri interi piccoli. Ponendo il ponticello mobile a metà della lunghezza l della corda (o premendola a metà) e pizzicando una delle sue metà, si ottiene un nota ad un ottava superiore. Da ciò i pitagorici ottennero il rapporto dell intervallo di ottava. Quindi se chiamiamo do la nota emessa dalla corda libera, dimezzandola si ottiene il do all ottava superiore.

3 LA SCALA PITAGORICA Teorizzazione dovuta a Pitagora ma già nota tempo prima (1000 a.c.) dalla civiltà cinese. Riducendo la corda ai suoi 2 3 si ottiene, invece, l intervallo di l quinta giusta, il cui rapporto è dato da: 2 = 3 3 l 2 Prendendo due corde uguali ma lunghe una il triplo dell altra, si producono suoni distanti una quinta ma in due ottave differenti: L intervallo di quarta giusta, invece si ottiene riducendola ai suoi 3 4. Ponendo in relazioni tutti i numeri dall 1 al 4, Pitagora credette di ottenere tutte le consonanze.

4 REGOLA GENERATIVA ASCENDENTE Si parte da una nota (p. es., DO), e si costruisce la sua quinta, poi la quinta della quinta ecc. Dividendo per un opportuna potenza di 2 si riducono le nuove note all intervallo di 1 ottava dalla nota di partenza. Regola generativa Rapporto frequenze Nota - 1 do (unisono) 3 2 ( 3 2 )2 1 2 ( 3 2 )3 1 2 ( 3 2 )4 ( )2 ( 3 2 )5 ( )2 3 2 sol (quinta di do) 9 8 re la 64 mi 128 si ( 3 2 )6 ( 1 2 ) fa#

5 REGOLA GENERATIVA DISCENDENTE Ora, all indietro, la nota di partenza (DO) diventa la quinta di quella precedente; il rapporto difrequenze è ora 1/ 3 2 = 2 3 per ridurre le note all intervallo di ottava moltiplichiamo per un opportuna potenza di 2. Regola generativa Rapporto frequenze Nota - 1 do (unisono) fa (quarta di do) ( 2 3 ) si ( 2 3 ) mi ( 2 3 ) la ( 2 3 ) re ( 2 3 ) sol

6 LA SCALA PITAGORICA Sia usando la scala ascendente che quella discendente i cicli non si chiudono (non si arriva mai al do un ottava sopra). Infatti affinché un ciclo si chiuda dovremmo avere: ( 3 2 )n ( 1 2 )k = 2 oppure ( 2 3 )n 2 k = 2 con n, k numeri interi. Dimostrare che è impossibile. (Compromesso: si costruisce la scala in un ottava, poi si trasla tutto forzando raddoppio e dimezzamento delle frequenze) La Scala pitagorica fu impiegata per due millenni in tutti i periodi in cui la musica era costituita da un unica linea melodica ma l evoluzione musicale nel corso dei secoli portò alla polifonia (più di una linea melodica contemporaneamente)

7 LA SCALA TEMPERATA La scala temperata (Andreas Werckmeister (1645,1706)). Punto di vista totalmente diverso accolto e mirabilmente sviluppato da Johann Sebastian Bach.

8 PRIMA NECESSITÀ : ALCUNE FREQUENZE OBBLIGATORIE Abbiamo già visto come è necessario che, se esiste una nota di frequenza ν, deve esserci anche la nota di frequenza 2ν e la nota di frequenza 3 2 ν

9 SECONDA NECESSITÀ : IL TRASPORTO DI UNA MELODIA Supponiamo di voler costruire una scala con n note. Dopo aver costruito la scala vorremmo poter comporre una melodia. Una melodia è una successione di note. Supponiamo che la melodia sia n 1, n 2, n 3...n k, dove con n i abbiamo indicato la frequenza della nota i-esima. Vorremmo che la melodia suonasse allo stesso modo, cioè con gli stessi rapporti di frequenze se la trasportiamo partendo da una nota qualunque, per esempio partendo da n 2 La nuova melodia sarà n 2, n 3...n k+1 Dunque ci occorre che: n 2 n 1 = n3 n 2 = n4 n 3 =... Quanto devono valere questi rapporti tutti uguali?

10 QUANTE NOTE? PERCHÉ 12? Abbiamo già visto come se le note sono n le frequenze della successione delle note di una scala temperata dovrà essere: ν, n 2 ν, n 22 ν, n 23 ν,... Inoltre dovrebbe esserci 3 2 ν IMPOSSIBILE MA... INTERVIENE LA FISIOLOGIA DELL ORECCHIO UMANO: Quale è la minima differenza di frequenze percepibile dall orecchio umano? È dell ordine di 1 hertz. Allora possiamo permetterci un errore inferiore a 1 hertz.

11 APPROSSIMAZIONI Se la scala contiene il suono di frequenza ν deve contenere anche il suono di frequenza 3 2ν. Dall equazione : ν k = 3 2 ν 0 passando ai logaritmi in base 2 si ottiene: log ν 0 = log log 2 ν 0 Si tratta dunque di approssimare con numeri razionali log È sufficiente una approssimazione che corrisponda a una differenza tra le relative frequenze impercepibile dal nostro orecchio, cioè inferiore a 1 hertz.

12 APPROSSIMAZIONI Se prendiamo l ottava che va da 220 Hz a 440 Hz (la 2 la 3 ) questa sulla scala dei logaritmi in base 2 corrisponde a un segmento di lunghezza 1 (perché?). Allora 1 hertz corrisponde a , Per cui l errore su scala logaritmica dovrà essere inferiore a 0, 0046

13 APPROSSIMAZIONI Cerchiamo x tale che 2 x = 3 2. Abbiamo già visto che questo è impossibile se vogliamo che x sia un numero razionale; Certamente x < 1 quindi ponendo x = 1 y con y > 1; l equazione diventa: ( 3 2 )y = 2 y è compreso tra 1 e 2. (perché?) Potremmo prendere x 1 come approssimazione (non soddisfacente)

14 APPROSSIMAZIONI Allora poniamo y = z con z > 1 l equazione diventa z 2 = 2 cioè 3 2 = ( 4 3 )z. come limitiamo z N per la nostra approssimazione? è soddisfacente?

15 APPROSSIMAZIONI Si ha 1 < z < 2. Prendiamo l estremo inferiore: z = 1. Potremmo prendere x = 1 y ma non basta. = 1 2 Allora, z = u con u > 1 e l equazione diventa: 4 3 (4 3 ) 1 3 u = 2 cioè tra quali valori successivi in N si colloca u? come approssimazione, 4 3 = (9 8 )u ;

16 APPROSSIMAZIONI Questa volta u è compreso tra 2 e 3. Potremmo prendere x 3 5 = 1 come approssimazione (un po meglio ma ancora non soddisfacente). allora poniamo u = t, analogamente a prima. La successiva approssimazione è x , 583 e l errore diventa 0, 002 inferiore a quello ammissibile. Questa approssimazione corrisponde a suddividere la scala in 12 gradi. Sull asse dei logaritmi in base 2 l intervallo [0, 1] corrisponde a una suddivisione in dodici parti uguali: 1 12, 2 12, 3 12, 4 12,... che trasportato sull asse normale (dove si riportano i numeri e non i logaritmi in base 2) diventano: , , , , = 12 2, 22, 12 23,...

17 ERRORI quindi log Ossia, il rapporto di quinta 3 2 viene così approssimato da , commettendo un errore inferiore a 0, 002. Quindi, prendendo n = 12 note, l intervallo di quinta risulta soddisfacente. E gli altri intervalli? Colpo di fortuna! L intervallo di quarta = con un errore inferiore a 0, 002. Non basta: per la seconda = 0, 1225, commettendo un errore inferiore a 0, 003. Si potrebbe vedere che in questo modo anche le altre approssimazioni delle note nella scala pitagorica sono abbastanza soddisfacenti

18 CONFRONTO FRA SCALE LOGARITMICA E LINEARE Intervalli uguali in scala logaritmica corrispondono a intervalli sempre crescenti in scala lineare.

19 VANTAGGI L intonazione di un brano è indipendente dalla tonalità in cui esso è eseguito, cioè dalla nota che si sceglie come base della scala, quindi un brano può venire trasposto in altra tonalità senza dover riaccordare gli strumenti Gli strumenti a intonazione fissa suonano ugualmente bene in tutte le tonalità Do diesis e re bemolle coincidono (e tutte le altre note enarmoniche) semplificando la costruzione di alcuni strumenti musicali come per esempio il pianoforte

20 SVANTAGGI Gli strumenti a intonazione fissa non hanno intervalli perfettamente consonanti. Alcuni intervalli presentano un errore abbastanza elevato: per esempio, sull intervallo di settima maggiore l errore commesso è circa 0, 01.