) V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ).

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1 TECNICHE PER LA RIDUZIONE DELLA VARIANZA TECNICHE PER LA RIDUZIONE DELLA VARIANZA Come abbiamo avuto modo più volte di osservare, l output di una simulazione necessita di un analisi statistica approfondita per ottenere una buona interpretazione dei risultati. Alcune volte, simulazioni di grandi dimensioni richiedono molto tempo di calcolo e nonostante questo, la precisione dei risultati che si ottengono potrebbe non essere del tutto soddisfacente. Naturalmente la qualità delle stime è tanto migliore quanto più è piccola la varianza delle variabili aleatorie di output. Questo significa che, se si riesce a ridurre tale varianza senza alterare il valore atteso, si può ottenere una precisione migliore, ovvero intervalli di confidenza più piccoli a parità di carico computazionale della simulazione, oppure si riesce a raggiungere una precisione desiderata con un minor numero di repliche e/o con repliche di minore lunghezza. A tale scopo, si possono utilizzare le cosiddette tecniche per la riduzione della varianza. Ovviamente è generalmente impossibile conoscere a priori la misura della riduzione della varianza che dovrà essere ottenuta. Esistono diverse tecniche di riduzione della varianza; nel seguito ne consideriamo due tra le più utilizzate: l uso di variabili antitetiche e il condizionamento Variabili antitetiche L uso di variabili antitetiche si basa sulla seguente osservazione: sia X una variabile di output di una simulazione e supponiamo di voler stimare il valore atteso θ = E(X). A tale scopo, supponiamo di aver generato due variabili aleatorie X 1, X 2 identicamente distribuite con media θ. Consideriamo la nuova variabile aleatoria (X 1 + X 2 )/2; ovviamente essa ha la stessa media θ, e la sua varianza è data da ( ) X1 + X 2 V ar = 1 ( ) V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ). 2 4 Ora, se X 1 e X 2 fossero negativamente correlate (ovvero Cov(X 1, X 2 ) < 0), utilizzando (X 1 + X 2 )/2 si avrebbe una riduzione della varianza. Sulla base di questa semplice osservazione, la tecnica delle variabili antitetiche consiste nell effettuare coppie di repliche della simulazione e utilizzare la media delle coppie delle osservazioni. La correlazione negativa è indotta utilizzando numeri casuali complementari nella generazione delle osservazioni casuali delle distribuzione di probabilità. Come abbiamo visto nel paragrafo 2.3.2, durante una simulazione, per generare osservazioni casuali secondo una distribuzione di probabilità si utilizza una successione di numeri casuali U k uniformemente distribuiti nell intervallo [0, 1). La tecnica delle variabili antitetiche prevede di utilizzare nella prima replica della

2 164 SIMULAZIONE coppia numeri casuali U k per generare le osservazioni di una certa distribuzione di probabilità, mentre nella seconda replica, per generare osservazioni dalla medesima distribuzione di probabilità si utilizzano numeri casuali 1 U k (complementari). Questo è possibile, in quanto come già visto nell Osservazione 2.3.5, se U k è distribuita uniformemente in [0, 1), anche 1 U k è distribuita uniformemente in [0, 1). Formalmente, si ha X 1 = h(u 1,..., U m ) X 2 = h(1 U 1,..., 1 U m ), con U k variabile aleatoria con distribuzione uniforme in [0, 1) e h un opportuna funzione. Si può dimostrare [Ross, 2003a], che se h è una funzione monotona, allora le X 1 e le X 2 sono correlate negativamente. Infatti, vale la seguente proposizione. Proposizione Se h(x 1,..., x m ) è una funzione monotona nelle x 1,..., x m, allora, se U 1,..., U m è un insieme di numeri casuali uniformemente distribuiti in [0, 1) allora Cov (h(u 1,..., U m ), h(1 U 1,..., 1 U m )) 0. Si procede, quindi, in questo modo: si effettuano n coppie di repliche di una simulazione ottenendo le osservazioni ( ) ( ) ( ) X (1) 1, X(2) 1, X (1) 2, X(2) 2,..., X n (1), X n (2) dove la X (1) j è ottenuta dalla prima replica della j esima coppia di repliche utilizzando U j e dove la X (2) j è ottenuta dalla seconda replica della j esima coppia di repliche utilizzando 1 U j. Quindi, per ogni j = 1,..., n, si hanno coppie di osservazioni quindi si può definire e calcolare la stima della media X j = X(1) j + X (2) j, j = 1,... n, 2 X n = n j=1 n X j. ( ) X (1) j, X (2) j e

3 TECNICHE PER LA RIDUZIONE DELLA VARIANZA 165 Si ha V ar( X n ) = V ar(x j) n ( V ar = X (1) j ( = 1 (1) X n V ar j + X (2) j 2 ) ( + V ar X (2) j 4n ) ) + 2Cov = ( ) X (1) j, X (2) j Quindi, inducendo una correlazione negativa tra X (1) j e X (2) j, la varianza V ar( X n ) viene ridotta. Naturalmente è importante che le repliche siano sincronizzate, ovvero se nel generare il j esimo elemento della prima replica si utilizza U j, allora nel generare il corrispondente elemento j esimo della seconda replica deve essere utilizzato 1 U j Condizionamento Un altra tecnica di riduzione della varianza è basata sul condizionamento. Questa tecnica è basata su alcuni noti risultati di Calcolo delle probabilità riguardanti il valore atteso condizionato e la varianza condizionata. In particolare, si fa riferimento ai risultati riportati nella seguente proposizione. Proposizione Siano X e Y due variabili aleatorie. Allora valgono le seguenti relazioni: i) E(X) = E (E(X/Y )) ii) V ar(x) = E (V ar(x/y )) + V ar (E(X/Y )). Dimostrazione: [Questa dimostrazione non fa parte del programma di esame] Dimostriamo queste relazioni nel caso in cui le variabili X e Y siano discrete (il caso di variabili continue si tratta in maniera analoga). Dato un qualsiasi valore y di Y si può calcolare E(X Y = y) e risulta E(X Y = y) = x xp (X = x Y = y) = x x P (X = x, Y = y), P (Y = y) da cui E (E(X Y )) = y = y E(X Y = y)p (Y = y) xp (X = x, Y = y) x

4 166 SIMULAZIONE = x x y P (X = x, Y = y) = x xp (X = x) = E(X) e questo dimostra la i). Per dimostrare la ii) si consideri che vale ( ) V ar(x/y ) = E (X E(X/Y )) 2 /Y = E(X 2 /Y ) (E(X/Y )) 2. (2.5.1) Prendendo il valore atteso ad entrambi i membri della (2.5.1) si ha E (V ar(x/y )) = E ( E(X 2 /Y ) ) E ((E(X/Y )) 2) ( = E(X 2 ) E (E(X/Y )) 2). (2.5.2) Inoltre vale V ar(e(x/y )) = E ( (E(X/Y )) 2) (E(E(X/Y ))) 2 Sommando la (2.5.2) e la (2.5.3) si ha ovvero la ii). = E ( (E(X/Y )) 2) (E(X)) 2. (2.5.3) E (V ar(x/y )) + V ar(e(x/y )) = E(X 2 ) (E(X)) 2, Dalla ii) segue facilmente che poiché la varianza è sempre non negativa, ciascun termine della ii) deve essere maggiore o uguale a zero e quindi risulta E (V ar(x/y )) 0, da cui si ha V ar(x) V ar(e(x/y )). (2.5.4) Questo ci permette di affermare che se X è una variabile di output di una simulazione e supponiamo di voler stimare il valore atteso θ = E(X), per la i), si ha θ = E(X) = E (E(X/Y )), ovvero E(X/Y ) è uno stimatore corretto della media e, per la (2.5.4), si ha che la sua varianza è inferiore. Quindi può essere più conveniente utilizzare E(X/Y ) come stima di θ. In sintesi, lo spirito di questa tecnica è quello di sfruttare qualche proprietà speciale di un modello di simulazione (ove esista), sostituendo una stima di una quantità con il suo valore analitico esatto. Rimuovendo questa fonte di variabilità si dovrebbe avere una variabile aleatoria di output più stabile, anche se non c è alcuna garanzia che questo sia verificato.

5 SIMULAZIONE E OTTIMIZZAZIONE SIMULAZIONE E OTTIMIZZAZIONE La Simulazioe e l Ottimizzazione possono interagire e integrarsi quando si vuole determinare qual è la combinazione di dati di input di una simulazione che ottimizza uno o più indici di prestazione. in qusto caso la funzione obiettivo del problema di ottimizzazione non è disponibile in forma analitica, o comunque non calcolabile con procedure deterministiche, ma il suo valore in corrispondenza di diversi valori delle variabili è ottenibile solamente attraverso il risultato di una simulazione. Potrebbero presentarsi casi in cui oltre la funzione obiettivo anche i vincoli non siano disponibili e la loro verifica può essere effettuata solamente attraverso una simulazione. Infine, anche il valore di alcune variabili del problema di ottimizzazione potrebbe essere ottenuta solamente attraverso una simulazione (uncontrollable variables), ovvero dipendere dai dati di input della simulazione (ucontrollable variables). Ovviamente lo scopo del processo di ottimizzazione è ben diverso da quallo di analisi di scenario proprio della simulazione: infatti, come già evidenziato nell introduzione allo studio della Simulazione, nel primo caso si deve decidere quali configurazione del sistema è la migliore tra tutte le ammissibili (approccio what best ); nel sedcondo caso le configurazioni alternative del sistema sono date e (ovviamente) in numero finito (approccio what if ). Nella sua forma più semplice un roblema di Ottimizzazione e Simualazione può essere formulato come segue: supponiamo di avere una misura di prestazione ottenuta in output da una simulazione e indichiamo tale misura con f. Il valore che f assume dipende dal valore dei dati di input che denotiamo con x 1,..., x n. Per il problema di ottimizzazione questi ultimi saranno le variabili di decisione. Poiché f è ottenuta dall output di una simulazione, essa è, in generale, una variabile aleatoria. Lo scopo sarà pertanto quello di minimizzare/massimizzare il suo valore atteso E (f(x 1,..., x n )) su tutte le combinazioni possibili di x 1,..., x n. Naturalmente ci possono essere vincoli di vario tipo sulle variabili di decisione (i dati di input) che limitano le combinazioni possibili (ammissibili) da considerare. Formalmente si ha il seguente problema (scritto in forma di minimizzazione): min E (f(x 1,..., x n )) g 1 (x 1,..., x n ) b 1.. g m (x 1,..., x n ) b m con g i : IR n IR, b i IR e i = 1,..., m.

6 168 SIMULAZIONE Si osservi che la funzione obiettivo di questo problema non calcolata analiticamente o comunque in maniera deterministica, ma ottenuta come output di una simulazione. Ovvero si deve tener presente la natura stocastica della f e quindi sarà necessario effettuare un certo numero di repliche della simulazione e utilizzare per la f il valore medio dei diversi valori ottenuti in queste repliche (ovviemante in corrispondenza dei medesimi dati di input). Nel complesso, quindi, verrà simulata una sequenza di configurazioni del sistema, ciascuna corrispondente ad una particolare scelta dei dati di input, e ad ogni step della sequenza un algoritmo di ottimizzazione effettuerà una ricerca nello spazio dei possibili dati di input (regione ammissibile) fino alla determinazione della configurazione ottima. Quindi l algoritmo di ottimizzazione sceglie una configurazione iniziale e il simulatore effettua le repliche della simulazione. Il risultato della simulazione è inviato all algoritmo di ottimizzazione e viene verificato un criterio di arresto. Se questo non è verificato, l algoritmo di ottimizzazione determina una nuova configurazione da simulare e il processo continua iterativamente fino al soddisfacimento del criterio di arresto. Più in generale, alcune variabili del problema di ottimizzazione potrebbero esse stesse ottenute dall output di una simulazione. Formalmente si avrebbero le controllable variables (i dati di input) x = (x 1,..., x p ) T e y = y(x) = (y 1 (x),..., y q (x)) T (con p + q = n) le uncontrollable variables e la funzione obiettivo e/o i vincoli dipendono da x e da y, ovvero il problema è nella forma min E (f(x, y)) g 1 (x, y) b 1.. g m (x, y) b m con g i : IR n IR, b i IR ei = 1,..., m. Si osservi che il tempo totale di un esecuzione dipende dal numero di configurazioni del sistema che sono state esaminate (numero di iterazioni dell algoritmo di ottimizzazione), ma anche da tempo necessario per simulare tali configurazioni;

7 SIMULAZIONE E OTTIMIZZAZIONE 169 in caso di varianza elevata, sarà necessario un numero di repliche adeguato per ottenere l accuratezza desiderata; esiste la possibilità di effettuare implementazioni parallele. Molti simulatori includono optimization packages (spesso basati su algorimti euristici) già integrati con il simulatore e che prevedono una visulizzazione di vario tipo durante le iterazioni dell algoritmo. Un esempio è costituito da tool OptQuest R for ARENA R disponibile all interno del simulatore ARENA R (cfr. paragrafo 2.7).

8 170 SIMULAZIONE 2.7 SOFTWARE DI SIMULAZIONE (SIMULATORI) Nel paragrafo abbiamo fatto cenno ad alcuni pacchetti software di simulazionei. L uso di tali simulatori è oggi diventato assai diffuso all interno di diverse realtà della vita reale in ragione della loro generalità e flessibilità di uso. Faremo riferimento a simulatori ad eventi discreti general purpose, ovvero non destinati alla creazione di modelli di simulazione specifici bensí capaci di creare modelli di simulazione di sistemi complessi anche molto diversi fra di loro. Tali simulatori hanno ormai raggiunto un ottimo livello di adattabilità e facilità di uso. Sono di solito basati su un interfaccia grafica che permette di costruire un modello con il semplice drag and drop di moduli predefiniti all interno di appositi riquadri di lavoro, ignorando l esistenza del linguaggio nel quale il simulatore realizzerà il modello stesso. Inoltre, sono dotati di animazioni grafice anche tridimensionali che permettono di osservare il funzionamento del sistema implementato nel modello di simulazione. Tali animazioni sono molto utili se si vuole mostrare tale funzionamento a persone che sono poco propense ad osservare tabelle spesso molto lunghe e piene di valori numerici poco significativi ad un occhio poco esperto. Abbiamo scelto i due seguenti simulatori: ARENA R Prodotto dalla Rockwell Automation, è un simulatore oggi largamente utilizzato, che attraverso un interfaccia grafica consente sia di realizzare un modello di simulazione, sia di effettuare i diversi run di una simulazione e di analizzare i risultati ottenuti. SIMIO TM Prodotto dalla SIMIO LCC, anch esso con una efficace interfaccia grafica è basato su oggetti intelligenti che una volta costruiti, possono essere riutilizzati in progetti diversi. SIMIO è un simulatore di più recente generazione e rappresenta un passaggio dal paradigma della simulazione process oriented a quello della simulazione objects oriented. Entrambi i simulatori sono dotati di strumenti di animazione e visualizzazione 3D che permettono di osservare bene il funzionamento del sistema reale. Gli studenti posso scaricare dai rispettivi siti le versioni trial/studente delle release piú recenti di entrambi: ARENA 14 e SIMIO 5. Per ogni dettaglio sull uso di ARENA si fa riferimento a [Kelton et al., 2004], [Altiok, Melamed, 2007], [Rossetti, 2010] e alla User s Guide. Per ogni dettaglio sull uso di SIMIO si fa riferimento a [Kelton et al., 2011], [Joines, Roberts, 2012] e alla User s Guide.

9 SOFTWARE DI SIMULAZIONE (SIMULATORI) 171 Si riportano di seguito solo i testi di alcuni esercizi svolti durante le esercitazioni. I relativi modelli implementati con ARENA sono disponibili sul sito web del corso. Si tratta di esempi molto introduttivi destinati solamente ad illustrare l uso dei moduli che costituiscono i Basic process di ARENA, ovvero i moduli: CREATE, PROCESS, DISPOSE, DECIDE, ASSIGN, BATCH e SEPARATE dei quali si riporta una breve descrizione: CREATE: genera le entità e le immette nel sistema. La generazione può avvenire secondo uno schema fissato o specificando la distribuzione di probabilità dei tempi di interarrivo. PROCESS: rappresenta qualsiasi tipo di processamento di entità. Permette anche di considerare l utilizzazione di risorse (e dei relativi vincoli di disponibilità) secondo tre schemi: size delay, seize delay release e delay release. DISPOSE: espelle le entità dal sistema. Permette anche di specificare se registrare le statistiche dell ingresso delle entità. DECIDE: permette di controllare l istradamento delle entità sulla base di condizioni oppure sulla base di probabilità in corrispondenza per ciascuna uscita. ASSIGN : esegue l assegnazione di variabili e attributi. L operazione di assegnazione è effettuata quando un entità attraversa il modulo. BATCH : permette di raggruppare entità. La costruzione del batch è controllata dal numero delle entità o da attributi. Le entità che entrano nel modulo vengono raggruppate e si avrà una sola entità (gruppo) in uscita dal modulo. SEPARATE: ha due funzioni: produrre una o piú copie di una entità, oppure separare un gruppo di entità precedentemente raggruppate. MODELLO 1. Un modello che rappresenti un sistema a coda M/M/1 con media dei tempi di interarrivo pari a 60 minuti e media dei tempi di servizio pari a 50 minuti. MODELLO 2. Ad un istituto di credito arrivano richieste di erogazione di mutui. La distribuzione dei tempi di interarrivo di tali tempi è esponenziale con media 2 ore. La richiesta viene esaminata da un impiegato il cui tempo per completare la pratica è distrbuito secondo una ditribuzione triangolare con valori (1, 1.75, 3) ore. In genere, nell 88% dei casi la pratica va a buon fine, ovvero il mutuo è concesso. Nel rimanente 12% dei casi, la risposta è negtiva.

10 172 SIMULAZIONE MODELLO 3. Un impresa per la trasformazione di semilavorati deve processare l arrivo di 100 semilavorati. Questi dovranno passare attraverso 2 ulteriori processi di lavorazione: detti Machining Center ed Inspection Station. Dopo tali processi verrà effettuato il controllo di qualità sul prodotto finito valutandone il grado di finitezza. I dati relativi al problema sono: al primo processo produttivo i semilavorati arrivano uno alla volta con intertempo di arrivo esponenziale (media pari ad 1 minuto); i tempi di processamento (espressi in minuti) al Machining Center sono uniformemente distribuiti nell intervallo [0.65, 0.70]; i tempi di processamento (espressi in minuti) al Inspection Station sono uniformemente distribuiti nell intervallo [0.75, 0.80]; con probabilità del 50% i pezzi controllati sono perfect ed escono dal sistema attraverso un proprio canale; con probabilità del 20% i pezzi controllati sono very good ed escono dal sistema attraverso un proprio canale; con probabilità del 5% i pezzi controllati sono good ed escono dal sistema attraverso un proprio canale; con probabilità del 25% i pezzi controllati rientrano nel sistema e vengono rilavorati sui due processi. MODELLO 4. In un laboratorio di analisi di un ospedale il centro prelievi è aperto dal lunedì al sabato dalle 7.30 alle Gli utenti arrivano al centro con intertempi di arrivo distribuiti esponenzialmente con media 7 minuti. Appena arrivato al centro prelievi un utente deve ritirare un numero da una macchinetta distributrice e poi deve attendere di essere chiamato allo sportello per l accettazione dove presenterà la richiesta di analisi del proprio medico curante; gli utenti sono chiamati in ordine di numero crescente e le operazioni per l accettazione sono eseguite in tempi distribuiti uniformemente tra 1 e 1.5 minuti. Dopo l accettazione l utente si reca all ufficio cassa se deve pagare il ticket oppure, se è esente da tale pagamento, si reca direttamente all ambulatorio per il prelievo. Il pagamento del ticket richiede tempi distribuiti uniformemente tra 0.5 e 1 minuto, mentre i tempi per effettuare i prelievi presso l ambulatorio sono distribuiti esponenzialmente con media 5 minuti. MODELLO 5. Una catena di montaggio costruisce apparecchi assemblando due parti (Parte tipo 1 e Parte tipo 2 ) che riceve dall esterno. Le singole parti arrivano alla catena di montaggio secondo due diverse distribuzione di probabilità dei tempi di interarrivo: per le parti di tipo 1 si ha una distribuzione uniforme

11 SOFTWARE DI SIMULAZIONE (SIMULATORI) 173 tra 0.4 e 0.7 ore, per le parti di tipo 2 si ha una distribuzione normale a media 0.5 ore e deviazione standard 0.2. Le singole parti, prima dell assemblaggio subiscono un pretrattamento; i tempi necessari per questa operazione sono distributi secondo la distribuzione normale a media 0.1 ore e deviazione standard 0.03 per le parti del tipo 1 e a media 0.15 ore e deviazione standard 0.04 per le parti del tipo 2. L assemblaggio è effettuato in un tempo costante pari a 0.3 ore. Dopo l assemblaggio c è una lavorazione finale che richiede un tempo distribuito secondo la distribuzione normale a media 0.6 ore e deviazione standard MODELLO 6. In una videoteca entrano clienti con tempi di interarrivo distribuiti esponenzialmente con media 5 minuti. Una volta entrati i clienti scelgono casualmente tra i tre diversi tipi di film (drammatico, commedia, azione). Il tempo impiegato nella scelta ha distribuzione triangolare con valore minimo 1 minuto, massimo 10 minuti e valore piú probabile 5 minuti. Una volta effettuata la scelta il cliente può decidere se acquistare anche una pizza oppure dirigersi direttamente alla cassa. Nel 25% dei casi la pizza viene acquistata e questo richiede un tempo distribuito secondo una distribuzione triangolare con valore minimo 0.5 minuti, massimo 2 minuti e valore piú probabile 1 minuto. Il tempo necessario al pagamento alla cassa (con o senza la pizza) è anch esso distribuito secondo una distribuzione triangolare con valore minimo 1 minuto, massimo 4 minuti e valore piú probabile 2 minuti. MODELLO 7. Un Computer consta di 1 CPU, 3 terminali, 1 unità Hard Disk (HD) e 1 unità a nastro (Tape). In ciascun terminale siede un utente il quale invia jobs alla CPU con intertempi distribuiti esponenzialmente (valore atteso pari a 100 secondi). I jobs si accumulano in una coda (FIFO) prima di essere processati dalla CPU. Ciascun job processato dalla CPU la tiene occupata per un tempo distribuito esponenzialmente (valore atteso pari a 1 secondo). Un job che lascia la CPU può: con probabilità 20% ritornare al terminale che l ha inviato; con probabilità 72% andare nella coda (FIFO) dell Hard Disk; con probabilità 8% andare nella coda (FIFO) dell unit a nastro. Ciascun job processato dall Hard Disk necessita di un tempo distribuito esponenzialmente (valore atteso pari a 1.39 secondi), dopodiché torna alla coda della CPU. Analogamente ciascun job processato dall unità a nastro necessita di un tempo distribuito esponenzialmente (valore atteso pari a secondi), poi torna alla coda della CPU. Tutti i job prodotti dagli operatori sono tra loro statisticamente indipendenti. MODELLO 8. Un azienda di vendite per corrispondenza riceve richieste di ordini con distribuzione esponenziale a media 9 minuti. Due operatori telefonici

12 174 SIMULAZIONE accettano gli ordini. Per entrambi il tempo di servizio è distribuito secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 3 minut1, massimo 11 minuti e valore piú probabile 7 minuti il primo operatore e valore minimo 2 minuti, massimo 11 minuti e valore piú probabile 8 minuti il secondo. Una volta tereminata la chiamata l ordine viene passato all addetto del reparto consegne che provvede a preparare l ordine e a caricarlo su un furgone. Tale operazione richiede un tempo distribuito secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 5 minuti, massimo 20 minuti e valore piú probabile 10 minuti. Prima di partire per le consegne, il furgone attende che vi siano caricate le merci corrispondenti a 10 ordini. I tempi per le consegne sono distribuiti secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 20 minuti, massimo 80 minuti e valore piú probabile 40 minuti. Per ciascun ordine consegnato il fattorino fornisce la notifica di avvenuta consegna all azienda che provvede ad inserire il cliente nella lista delle consegne effettuate. Tale operazione avviene con un tempo distribuito secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 1 minuto, massimo 4 minuti e valore piú probabile 2 minuti. L ultima operazione è l emissione della fattura da inviare al cliente che avviene con un tempo distribuito secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 0.8 minuti, massimo 2 minuti e valore piú probabile 1 minuto.

13 RIFERIMENTI DEL CAPITOLO RIFERIMENTI DEL CAPITOLO 2 La trattazione di questo capitolo è basata sul testo [Law, Kelton, 2000] che rappresenta un testo completo su tutti gli aspetti della simulazione e quindi utile anche per approfondimenti. Per aspetti più teorici si può consultare il capitolo 11 del testo [Ross, 2003a]. Fra i numerosi ulteriori testi sulla simulazione citiamo, ad esempio, [Ross, 2002] e [Banks et al., 2001]. Il testo [Banks, 1998] riporta una collezione di articoli che forniscono un adeguata panoramica sulle metodologie e le aree di applicazione della simulazione. Per quanto riguarda il software di simulazione ARENA trattato nel paragrafo 2.7 si fa riferimento al testo [Kelton et al., 2004]. Segnaliamo inoltre il sito Web dell Informs College on Simulation e il sito dei proceedings delle conferenze annuali Winter Simulation Conference nel quale si possono trovare molti articoli e survey aggiornate su diversi aspetti della simulazione e su applicazioni della simulazione. Banks, J. (1998). Handbook on Simulation. Principles, Methodology, Advances, Applications, and Practice. Wiley and Sons, New York. Banks, J., J.S.Carson, Nelson, B., Nicol, D. (2001). system simulation. Prentice Hall. Discrete event Law, A., Kelton, W. (2000). Simulation modeling and analysis. McGraw Hill, New York, third edition. Kelton, W., Sadowski, R., Sturrock, D. (2004). Arena. McGraw Hill, New York, third edition. Simulation with Ross, S. (2002). Simulation. Academic Press, San Diego, third edition. Ross, S. (2003a). Introduction to probability models. Academic Press, San Diego. Ross, S. (2003b). Probabilità e statistica. Apogeo, Milano.

14 176 SIMULAZIONE 2.9 ESERCIZI SULLA SIMULAZIONE Esercizio Applicare il metodo della trasformazione inversa per generare cinque osservazioni casuali dalla distribuzione esponenziale con media pari ad 1, a partire dai seguenti cinque numeri casuali generati dalla distribuzione uniforme in [0, 1) Esercizio Si vuole effettuare una simulazione di un sistema di code M/M/3 in cui la frequenza media di arrivo è pari a 20 e la velocità di servizio è pari a 10, essendo interessati a stimare il numero medio di utenti presenti nel sistema. Supponiamo che siano state effettuate 5 repliche indipendenti dalle quali si sono ottenuti i seguenti risultati: 1 a replica: a replica: a replica: a replica: a replica: 2.55 Calcolare la stima della media e l intervallo di confidenza al 95%. Facendo riferimento a tale intervallo di confidenza, trascurando il problema dello start up e supponendo di voler ottenere un errore assoluto sulla stima della media inferiore a 0.2, determinare se le cinque repliche effettuate sono sufficienti ad ottenere tale precisione. In caso negativo, applicando la procedura iterativa, determinare il numero delle repliche necessarie per ottenere la precisione voluta sapendo che nelle eventuali successive cinque repliche si ottengono i seguenti valori: 6 a replica: a replica: a replica: a replica: a replica: 2.88 Esercizio Applicare la procedura di Welch, con un valore di time window k = 2, al seguente output di una simulazione 1 a replica: a replica: a replica: a replica: a replica: Dei valori Ŷj(2) ottenuti dalla procedura, (trascurando il problema dello startup) determinare media e t intervallo di confidenza al 95%.

15 3 Elementi di statistica In questo capitolo, sono riportati in breve alcuni elementi di Statistica di uso comune all interno della Simulazione che lo studente dovrebbe aver già acquisito nel suo curriculum di studi attraverso corsi specifici. Tali importanti aspetti non sono stati trattati esplicitamente, ma considerati come prerequisiti già in possesso degli studenti e sono qui riportati per completezza di informazione. Pertanto questo capitolo non fa esplicitamente parte del programma di esame. 3.1 ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE In questo paragrafo verranno illustrati alcuni elementi di Statistica che sono essenziali per procedere alla costruzione di un modello di simulazione e per effettuare correttamente una simulazione. Si tratta essenzialmente della stima dei parametri e dei test statistici, elementi chiave per l analisi dell input e dell output di una simulazione. Infatti, per effettuare una simulazione di un sistema che presenta elementi stocastici è necessario specificare le distribuzioni di probabilità che regolano i processi che caratterizzano il sistema stesso. Se è possibile raccogliere dati reali (osservazioni) sulle variabili aleatorie di interesse, essi possono essere utilizzati per determinare queste distribuzioni facendo uso di tecniche di inferenza statistica (analisi dell input). Una volta stabilite tali distribuzioni, la simulazione procede generando valori casuali da queste distribuzioni, ovvero, durante ogni esecuzione, la simulazione genera osservazioni casuali di variabili aleatorie distribuite secondo particolari distribuzioni di probabilità. Oltre che per progettare una simulazione,

16 178 ELEMENTI DI STATISTICA è necessario l uso di tecniche statistiche anche per interpretare i risultati ottenuti da una simulazione (analisi dell output). La trattazione degli argomenti riportati in questo paragrafo sarà sintetica e considera esclusivamente quegli elementi che risulteranno utili all interno dello studio della simulazione. Per ogni trattamento più esteso e approfondito si rimanda ai testi specifici come, ad esempio [Ross, 2003b]. 3.2 STATISTICHE CAMPIONARIE E LORO DISTRIBUZIONE In generale, nello studio di un fenomeno riguardante un insieme di elementi (popolazione) che presenta caratteristiche aleatorie, molto spesso si dispone solo di informazioni su una parte di essi (campione) e si vogliono dedurre proprietà generali riguardanti l intera popolazione. L inferenza statistica si occupa di questa problematica e riveste un importante strumento di analisi. Solitamente viene fatta l assunzione che esiste una distribuzione di probabilità della popolazione nel senso che se da essa vengono estratti casualmente alcuni elementi, ad essi sono associate variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite secondo tale distribuzione. In questo senso, un insieme di variabili aleatorie X 1,..., X n di variabili aleatorie indipendenti tutte con la stessa distribuzione si dice campione di questa distribuzione. L interesse principale risiede nella possibilità di dedurre caratteristiche della distribuzione non nota sulla base dei dati a disposizione. Naturalmente ci sono casi in cui della distribuzione della popolazione non si conosce nulla (se non il fatto che essa è discreta o continua), mentre in altri casi la distribuzione è nota ma non sono noti alcuni suoi parametri. Esamineremo entrambi i casi, introducendo, innanzitutto alcuni elementi che riguardano le statistiche campionarie e la loro distribuzione. Dato un campione X 1,..., X n estratto da una popolazione, ogni funzione delle osservazioni campionarie è chiamata statistica campionaria e i valori ottenuti da una qualsiasi funzione dei soli valori osservati sono chiamati statistiche. I due principali esempi di statistiche sono la media campionaria e la varianza campionaria Media campionaria e varianza campionaria Sia dato un campione X 1,..., X n estratto da una popolazione, ovvero le X i sono variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite, e sia µ e σ 2 rispettivamente la loro media e la loro varianza (ovvero la media e la varianza della popolazione). Media campionaria La media campionaria è data da X n = 1 n X i. n i=1

17 STATISTICHE CAMPIONARIE E LORO DISTRIBUZIONE 179 X n è una variabile aleatoria funzione delle X i e si verifica facilmente che risulta E( X n ) = µ e V ar( X n ) = σ2 n. La varianza campionaria è data da s 2 n = 1 n 1 n ( Xi X ) 2 n i=1 e si verifica facilmente che risulta E(s 2 n) = σ 2. Varianza campionaria Distribuzione (approssimata) della media campionaria La distribuzione della media campionaria può essere determinata grazie al Teorema del limite centrale. Siano date le osservazioni X 1,..., X n estratte da una distribuzione di probabilità. Le X i sono variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite e sia µ e σ 2 rispettivamente la loro media e la loro varianza. Definendo la variabile aleatoria X X n µ Z n = n σ, n e la sua funzione di distribuzione F n (z) = P (Z n z), il Teorema del Limite Centrale afferma che lim F n(z) = 1 z e y2 2 dy, (3.2.1) n 2π ovvero F n (z) converge alla funzione di distribuzione della distribuzione Normale standard. Questo risultato permette di ottenere l importante proprietà riportata nel seguente teorema riguardante la media campionaria X n. Proposizione Sia X 1,..., X n un campione estratto da una distribuzione di probabilità a media µ e varianza σ 2. Allora, per n sufficientemente grande, X n µ σ n (3.2.2) è una variabile aleatoria distribuita approssimativamente secondo la distribuzione Normale standard. Questo risultato si ricava immediatamente dal Teorema del Limite Centrale, osservando che la (3.2.1) può essere interpretata nel seguente modo: per n sufficientemente grande, la variabile aleatoria Z n è distribuita approssimativamente come una variabile Normale standard, indipendentemente dalla distribuzione delle X i.

18 180 ELEMENTI DI STATISTICA Ricordando che il valore atteso di Xn è µ e che la sua deviazione standard è pari a σ/ n, la Proposizione afferma che se si normalizza X n sottraendo la sua media e dividendo per la sua deviazione standard, si ottiene una variabile aleatoria che è approssimativamente distribuita secondo una Normale standard purché n sia sufficientemente grande. La problematica che nasce nell utilizzare questo risultato sta nel fatto che non è noto quanto deve essere grande n affinché l approssimazione sia buona; naturalmente questo dipende dalla distribuzione in questione. Osservazioni sperimentali hanno portato a formulare la regola empirica comunemente adottata secondo la quale quando n > 30, si ha in genere una buona approssimazione, qualsiasi sia la distribuzione della popolazione considerata Distribuzioni delle statistiche di popolazioni normali Assumiamo ora che la distribuzione della popolazione sia Normale a media µ e varianza σ 2 e sia X 1,..., X n un campione estratto da tale popolazione. In questo caso ovviamente si ha che la variabile aleatoria (3.2.2) è una variabile Normale standard per qualsiasi valore di n, ovvero vale il seguente risultato. Proposizione Sia X 1,..., X n un campione estratto da una distribuzione di probabilità Normale a media µ e varianza σ 2. Allora X n µ σ n (3.2.3) è una variabile aleatoria distribuita secondo la distribuzione Normale standard. Si osservi che avendo assunto che le X i sono variabili aleatorie normali, il risultato ora enunciato non vale più in senso approssimato, come nel caso della Proposizionea 3.2.1, ma è un risultato esatto che vale per qualsiasi valore di n (non necessariamente grande). Si può inoltre dimostrare che vale il seguente importante risultato: Teorema Sia X 1,..., X n un campione estratto da una distribuzione Normale a media µ e varianza σ 2. Allora i) X n e s 2 n sono variabili aleatorie indipendenti;

19 STIMA DI PARAMETRI 181 ii) X n è una variabile aleatoria normale con media µ e varianza σ 2 /n; iii) (n 1) s2 n σ 2 è una variabile aleatoria distribuita secondo la distribuzione Chi-quadro a n 1 gradi di libertà (χ 2 n 1 ). Questo teorema ha un importante conseguenza che enunciamo nella seguente proposizione. Proposizione Sia X 1,..., X n un campione estratto da una distribuzione di probabilità Normale a media µ. Allora X n µ s n n (3.2.4) è una variabile aleatoria distribuita secondo la distribuzione t di Student con n 1 gradi di libertà (t n 1 ). Confrontando la (3.2.3) e la (3.2.4) si nota che nella Proposizione la variabile aleatoria considerata differisce da quella considerata nella Proposizione per la presenza di s n al posto di σ. Quindi possiamo riepilogare i risultati fino ad ora ottenuti dicendo che, data una popolazione Normale, se si normalizza la media campionaria X n sottraendo la sua media µ e dividendo per la sua deviazione standard σ/ n, si ottiene una variabile aleatoria Normale standard; se invece si divide per s n / n, si ottiene una variabile aleatoria con distribuzione t di Student con n 1 gradi di libertà. 3.3 STIMA DI PARAMETRI Supponiamo ora che la popolazione sia distribuita secondo una distribuzione di probabilità nota, ma caratterizzata da uno o più parametri incogniti. Siamo in questo caso interessati a determinare tali parametri incogniti sulla base di un campione X 1,..., X n. Si tratta di un problema di stima di parametri che consiste nel determinare, sulla base del campione X 1,..., X n, un valore per ciascuno dei parametri in modo che essi costituiscano la migliore approssimazione dei parametri incogniti. Esistono diversi metodi di stima che non sono altro che tecniche per ricavare statistiche e che sono detti stimatori. Uno stimatore è quindi Stimatori e una funzione h(x 1,..., X n ) delle osservazioni campionarie e il valore che tale stime

20 182 ELEMENTI DI STATISTICA funzione assume in corrispondenza di una particolare realizzazione del campione è detto stima. Se θ è un parametro incognito, si indicherà con θ la stima di θ. In alcuni casi si determina un unico valore θ come migliore approssimazione possibile del parametro θ e tale valore viene detto stima puntuale. In altri casi, può Stima puntuale essere preferibile calcolare due valori dello stimatore ovvero θ 1 = h 1 (X 1,..., X n ) e θ 2 = h 2 (X 1,..., X n ) che definiscono un intervallo [θ 1, θ 2 ] tale che, in un campionamento ripetuto, il valore incognito θ apparterrà all intervallo in una determinata percentuale di casi che è detta confidenza dell intervallo. In questo caso Stima per intervalli si parla di stima per intevalli Proprietà degli stimatori Continuando ad indicare con θ un parametro incognito, con θ una sua stima e con h = h(x 1,..., X n ) uno stimatore, riportiamo in questo paragrafo alcune definizioni standard. Definizione Si definisce valore dell errore di campionamento la differenza θ θ. Si chiama distorsione di uno stimatore h la differenza E(h) θ. L errore quadratico medio dello stimatore h è dato da EQM(h) = E(h θ) 2. Definizione Uno stimatore h = h(x 1,..., X n ) si dice stimatore corretto del parametro θ se risulta E(h) = θ. Se invece si ha E(h) θ si dice che h è uno stimatore distorto per θ. Uno stimatore h = h(x 1,..., X n ) si dice stimatore efficiente del parametro θ se i) E(h) = θ ii) V ar(h) V ar(h 1 ) per ogni h 1 stimatore corretto di θ Stima di media e varianza Supponiamo di avere un campione casuale X 1,..., X n e di voler stimare stimare la media µ e la varianza σ 2 della popolazione mediante questo campione, ovvero supponiamo che X 1,..., X n siano variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite con E(X i ) = µ e V ar(x i ) = σ 2, i = 1,..., n con µ e σ 2 non note.

21 STIMA DI PARAMETRI 183 Uno stimatore corretto per la media µ è dato dalla media campionaria µ = X n = 1 n n X i, i=1 in quanto risulta E( X n ) = µ. Uno stimatore corretto per la varianza σ 2 è dato dalla varianza campionaria in quanto risulta E(s 2 n) = σ 2. σ 2 = s 2 n = 1 n 1 n ( Xi X ) 2 n, i= Metodi di stima Esistono diversi metodi per stimare i parametri incogniti di una distribuzione. Riporteremo brevemente nel seguito lo stimatore di massima verosimiglianza Stimatore (Maximum Likelihood Estimator MLE) che è molto utilizzato e per il quale di massima rimandiamo alla letteratura specifica per una trattazione completa. Riportiamo verosimiglianza di seguito una breve descrizione. Date n osservazioni X 1,..., X n, assumiamo che esse siano ottenute da una distribuzione di probabilità continua avente densità f θ (x), dove θ è un parametro che caratterizza la distribuzione. Nell ipotesi che le osservazioni X i sono indipendenti, una misura della probabilità di aver ottenuto quelle osservazioni proprio da quella distribuzione (se θ è il valore del parametro incognito) è data dalla funzione di verosimiglianza L(θ) = f θ (X 1 )f θ (X 2 ) f θ (X n ). Nel caso di distribuzioni di probabilità discrete con funzione di probabilità data da p θ (x), la funzione di verosimiglianza è definita da L(θ) = p θ (X 1 )p θ (X 2 ) p θ (X n ). Il metodo della massima verosimiglianza consiste nello scegliere come stimatore del parametro incognito θ il valore θ che massimizza L(θ). In generale, può non essere facile massimizzare la funzione di verosimiglianza e naturalmente la difficoltà aumenta se la distribuzione ha più di un parametro e quindi la funzione L sarà una funzione di più variabili. Nell effettuare questa operazione di massimizzazione invece di considerare la funzione L(θ) si può considerare la funzione l(θ) = ln L(θ) ovvero il logaritmo della funzione di verosimiglianza (log-likelihood function) che Loglikelihood potrebbe essere più facile da massimizzare. Infatti, poichè la funzione logaritmo function

22 184 ELEMENTI DI STATISTICA è una funzione strettamente crescente, un valore θ massimizza L(θ) se e solo se θ massimizza l(θ). Si osservi, comunque, che l operazione di massimizzazione non è sempre facile e che potrebbe anche essere necessario ricorrere a metodi numerici per risolvere l equazione che si ottiene dall annullamento della derivata. Esempio Date n osservazioni X 1,..., X n dalla distribuzione esponenziale, determinare con il metodo della massima verosimiglianza il parametro λ della distribuzione. La funzione di verosimiglianza è data da L(λ) = (λe λx 1 )(λe λx 1 ) (λe λx n ) = λ n e λ n i=1 X i = λ n e λn X n. Uguagliando a zero la derivata (rispetto a λ) si ha dl(λ) dλ = nλn 1 e λn X n ( 1 λ Xn ) = 0, da cui si ha ˆλ = 1 Xn. Poiché si ha d2 L(ˆλ) < 0, dλ ˆλ è un punto di massimo per la funzione L(λ). 2 Il valore ottenuto per ˆλ non ci sorprende perché la media campionaria è uno stimatore corretto della media della distribuzione che è 1/λ. Allo stesso risultato si può arrivare considerando la funzione log-likelihood, ovvero Infatti si ha per ˆλ = 1 Xn ed inoltre d2 l(ˆλ) dλ 2 = ṋ λ 2 < 0. l(λ) = ln L(λ) = n ln λ λ dl dλ = n n λ X i = 0 i=1 n X i. i=1 Esempio Date n osservazioni X 1,..., X n dalla distribuzione geometrica, determinare con il metodo della massima verosimiglianza il parametro p (0, 1) della distribuzione. La distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta caratterizzata da { p(1 p) x se x = 1, 2,... p p(x) = 0 altrimenti. La funzione di verosimiglianza è data da L(p) = p p(x 1)p p(x 2) p p(x n) = p(1 p) X 1 p(1 p) X2 p(1 p) X n = p n (1 p) n i=1 X i. Si ha n l(p) = ln L(p) = n ln p + X i ln(1 p). i=1

23 STIMA DI PARAMETRI 185 Annulliamo quindi la derivata della l(p), ottenendo Risolvendo l equazione si ottiene e poiché risulta dl(p) dp = n p n i=1 1 ˆp = 1 + X n X i d 2 l(ˆp) dp 2 < 0, 1 p = 0. allora ˆp è un massimo per la l(p) e quindi anche per la funzione di massima verosimiglianza L(p). Esercizio Siano date n osservazioni indipendenti X 1,..., X n estratte dalla distribuzione di Poisson di parametro λ. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro λ Stime per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un errore θ θ dovuto al fatto che la stima θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una misura dell errore commesso. Inoltre, dato il campione X 1,..., X n estratto da una distribuzione di probabilità caratterizzata da un parametro incognito θ, qualunque sia lo stimatore h(x 1,..., X n ) scelto per stimare θ, esso dipende dal campione, ovvero lo stimatore fornirà stime diverse in corrispondenza di campioni diversi. Queste due osservazioni fanno nascere l esigenza di considerare stime per intervalli. Infatti, sulla base dei valori di θ ottenuti considerando un campione casuale X 1,..., X n, si può definire un intervallo in cui sono compresi i valori più probabili per il parametro θ, secondo un livello di confidenza fissato. Per fare ciò si può procedere indirettamente utilizzando una statistica campionaria g(x 1,..., X n ) la cui distribuzione sia nota e non dipendente da θ. Naturalmente, visto che la g è nota, fissato un livello di confidenza (1 α), è possibile determinare due valori g 1 e g 2, indipendenti da θ tali che, comunque scelto α (0, 1), P (g 1 g g 2 ) = 1 α. Lo scopo è quello di tradurre una probabilità su un intervallo per g in una probabilità su intervallo per θ in modo da poter avere P (h 1 θ h 2 ) = 1 α,

24 186 ELEMENTI DI STATISTICA ovvero in modo tale che h 1 e h 2 rappresentino gli estremi dell intervallo per θ. Le distribuzioni note alle quali si fa di solito riferimento sono la distribuzione Normale, la distribuzione t di Student e la distribuzione Chi quadro. Lo scopo sarà quello di avere un valore ben superiore a 0.5 in modo che la probabilità che il parametro θ appartenga all intervallo [h 1, h 2 ] sia tale da assicurare all evento h 1 θ h 2 (evento che si verifica nel 100(1 α)% dei casi) una caratteristica di sistematicità, mentre all evento complementare (che si verifica nel 100α% dei casi) una caratteristica di accidentalità. Formalmente si può fornire la seguente definizione. Definizione Intervallo di confidenza. Dato un campione X 1,..., X n, dato α (0, 1) e date le statistiche h 1 = h 1 (X 1,..., X n ) e h 2 = h 2 (X 1,..., X n ) con h 1 < h 2, per le quali P (h 1 θ h 2 ) = 1 α, l intervallo [h 1, h 2 ] si dice intervallo di confidenza per θ con livello di confidenza pari ad (1 α). Naturalmente tanto più è piccolo α, tanto più è ampio l intervallo di confidenza ad esso associato Stima per intervalli di una media Caso varianza nota Siano date le osservazioni X 1,..., X n estratte da una distribuzione di probabilità a media µ e varianza σ 2. Assumiamo inizialmente che la media µ sia incognita mentre la varianza sia nota. Dalla Proposizione sappiamo che per n sufficientemente grande, la variabile aleatoria Z n = X n µ σ n (3.3.1) è distribuita approssimativamente secondo la distribuzione Normale standard, indipendentemente dalla distribuzione delle X i. Quindi per n sufficientemente grande risulta P ( ) ( z 1 α Z n z 2 1 α = P z 2 1 α X n µ 2 σ n z 1 α 2 ) 1 α,

25 STIMA DI PARAMETRI 187 dove z 1 α è il punto critico (1 α 2 2 ) per una distribuzione Normale standard e può essere immediatamente determinato dai valori tabulati 1 Segue che ( ) σ P X n z 1 α µ X σ 2 n + z 1 α 1 α. n 2 n Quindi, per n sufficientemente grande, il valore incognito di µ si trova nell intervallo [ ] σ σ X n z 1 α, Xn + z 2 1 α n 2 n con un livello di confidenza pari a 1 α. Si parla di intervallo di confidenza del 100(1 α)%. Ad esempio, per determinare un intervallo di confidenza al 95% per una media, dato un campione X 1,..., X n, si trova il punto critico z 1 α = z = 1.96 dalle 2 tabelle della distribuzione Normale standard e facilmente si ricava tale intervallo [ X n 1.96 σ, Xn σ ]. n n Si noti che l intervallo di confidenza può contenere o meno il valore della media µ. Questo implica che un singolo intervallo di confidenza, da un punto di vista probabilistico, fornisce informazioni non complete. La corretta interpretazione dell intervallo di confidenza è la seguente: se si costruisce un numero molto elevato di intervalli di confidenza al 100(1 α)%, indipendenti e ciascuno basato su n osservazioni, con n sufficientemente grande, una frazione di questi intervalli pari ad 1 α conterrà µ. Questa frazione si chiama copertura per l intervallo di confidenza. Quindi solamente una proporzione α di casi darà luogo ad intervalli che non contengono µ. Osservazione Affermare che l intervallo di confidenza, ad esempio per una media µ è al 100(1 α)% non significa che la probabilità che µ appartenga a questo intervallo è pari a (1 α)%; questo perché prima di osservare i dati si può parlare di probabilità che l intervallo che si otterrà contenga µ in quanto gli estremi dell intervallo sono variabili aleatorie. Dopo l osservazione dei dati, ovvero dopo aver determinato gli estremi dell intervallo, si può solamente affermare che l intervallo trovato contiene µ con il 100(1 α)% di confidenza in quanto non si ha a che fare con nessuna variabile aletoria (µ è incognita, ma costante e gli estremi dell intervallo, una volta determinati sono valori numerici). Quanto esposto fino ad ora assume che la varianza σ 2 sia nota. Se invece σ 2 non si conosce sono necessarie altre considerazioni. Infatti, anche se la varianza σ 2 1 Sono ampiamente disponibili tabelle che, per una variabile Normale standard Z, riportano il valore di P (Z z) = 1 2π z e y2 2 dy. Caso varianza non nota

26 188 ELEMENTI DI STATISTICA non è nota, considerando la varianza campionaria s 2 n, poiché si ha lim n s2 n = σ 2, il Teorema del Limite Centrale continua a valere se nell espressione (3.3.1) della Z n sostituiamo σ 2 con la sua stima s 2 n. Questo significa che, per n sufficientemente grande la variabile Z n = X n µ s n, n è approssimativamente distribuita secondo la distribuzione Normale standard. Quindi di ha ( ) s n P X n z 1 α µ X s n 2 n + z n 1 α 1 α, 2 n dove z 1 α è il punto critico (1 α 2 2 ) per una distribuzione normale standard. Quindi, per n sufficientemente grande, con livello di confidenza 1 α il valore incognito di µ si trova nell intervallo [ X n z 1 α 2 s n n, Xn + z 1 α 2 ] s n. n Esempio Siano dati i seguenti valori di dieci osservazioni 1.20, 1.50, 1.68, 1.89, 0.95, 1.49, 1.58, 1.55, 0.50, 1.09, da una distribuzione Normale a media e varianza non note. Si ricava facilmente che X 10 = 1.34 e s 2 10 = Volendo costruire un intervallo di confidenza al 90% per la media si ha 1 α = 0.90, ovvero 1 α = Dalla tavola dei valori di P (Z z) 2 per Z variabile Normale standard si ricava che risulta P (Z c) = 0.95 per c = 1.65, ovvero z 1 α/2 = z 0.95 = Quindi gli estremi dell intervallo richiesto sono dati da X n ± z 1 α 2 s 2 n n = X 10 ± z 0.95 s = 1.34 ± Pertanto l intervallo di confidenza richiesto è dato da [1.12, 1.55]. La difficoltà nell utilizzare questo tipo di intervallo di confidenza per µ sta nel fatto che esso ha valore asintotico, ovvero per n sufficientemente grande e quindi risulta approssimato. Inoltre il valore di n per cui la F n (z) approssima bene la funzione di distribuzione di una variabile Normale standard dipende dalla distribuzione delle osservazioni X i. Se si scelgono valori di n troppo piccoli si ottiene una copertura di un intervallo di confidenza al 100(1 α)% inferiore a 1 α. In questo caso, ovvero per valori piccoli di n si può utilizzare una definizione alternativa dell intervallo di confidenza che fa riferimento non più alla distribuzione Normale standard, ma alla distribuzione t di Student a n 1 gradi