Gli studenti posso scaricare dai rispettivi siti le versioni trial/studente delle release

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1 SOFTWARE DI SIMULAZIONE (SIMULATORI) SOFTWARE DI SIMULAZIONE (SIMULATORI) Nel paragrafo abbiamo fatto cenno ad alcuni pacchetti software di simulazionei. L uso di tali simulatori è oggi diventato assai diffuso all interno di diverse realtà della vita reale in ragione della loro generalità e flessibilità di uso. Faremo riferimento a simulatori ad eventi discreti general purpose, ovvero non destinati alla creazione di modelli di simulazione specifici bensí capaci di creare modelli di simulazione di sistemi complessi anche molto diversi fra di loro. Tali simulatori hanno ormai raggiunto un ottimo livello di adattabilità e facilità di uso. Sono di solito basati su un interfaccia grafica che permette di costruire un modello con il semplice drag and drop di moduli predefiniti all interno di appositi riquadri di lavoro, ignorando l esistenza del linguaggio nel quale il simulatore realizzerà il modello stesso. Inoltre, sono dotati di animazioni grafice anche tridimensionali che permettono di osservare il funzionamento del sistema implementato nel modello di simulazione. Tali animazioni sono molto utili se si vuole mostrare tale funzionamento a persone che sono poco propense ad osservare tabelle spesso molto lunghe e piene di valori numerici poco significativi ad un occhio poco esperto. Abbiamo scelto i due seguenti simulatori: ARENA R Prodotto dalla Rockwell Automation, è un simulatore oggi largamente utilizzato, che attraverso un interfaccia grafica consente sia di realizzare un modello di simulazione, sia di effettuare i diversi run di una simulazione e di analizzare i risultati ottenuti. SIMIO TM Prodotto dalla SIMIO LCC, anch esso con una efficace interfaccia grafica è basato su oggetti intelligenti che una volta costruiti, possono essere riutilizzati in progetti diversi. SIMIO è un simulatore di più recente generazione e rappresenta un passaggio dal paradigma della simulazione process oriented al quello della simulazione objects oriented. Entrambi i simulatori sono dotati di strumenti di animazione e visualizzazione 3D che permettono di osservare bene il funzionamento del sistema reale. Gli studenti posso scaricare dai rispettivi siti le versioni trial/studente delle release piú recenti di entrambi: ARENA 14 e SIMIO 5. Per ogni dettaglio sull uso di ARENA si fa riferimento a [Kelton et al., 2004], [Altiok, Melamed, 2007], [Rossetti, 2010] e alla User s Guide. Per ogni dettaglio sull uso di SIMIO si fa riferimento a [Kelton et al., 2011], [Joines, Roberts, 2012] e alla User s Guide.

2 168 SIMULAZIONE Si riportano di seguito solo i testi di alcuni esercizi svolti durante le esercitazioni. I relativi modelli implementati con ARENA sono disponibili sul sito web del corso. Si tratta di esempi molto introduttivi destinati solamente ad illustrare l uso dei moduli che costituiscono i Basic process di ARENA, ovvero i moduli: CREATE, PROCESS, DISPOSE, DECIDE, ASSIGN, BATCH e SEPARATE dei quali si riporta una breve descrizione: CREATE: genera le entità e le immette nel sistema. La generazione può avvenire secondo uno schema fissato o specificando la distribuzione di probabilità dei tempi di interarrivo. PROCESS: rappresenta qualsiasi tipo di processamento di entità. Permette anche di considerare l utilizzazione di risorse (e dei relativi vincoli di disponibilità) secondo tre schemi: size delay, seize delay release e delay release. DISPOSE: espelle le entità dal sistema. Permette anche di specificare se registrare le statistiche dell ingresso delle entità. DECIDE: permette di controllare l istradamento delle entità sulla base di condizioni oppure sulla base di probabilità in corrispondenza per ciascuna uscita. ASSIGN : esegue l assegnazione di variabili e attributi. L operazione di assegnazione è effettuata quando un entità attraversa il modulo. BATCH : permette di raggruppare entità. La costruzione del batch è controllata dal numero delle entità o da attributi. Le entità che entrano nel modulo vengono raggruppate e si avrà una sola entità (gruppo) in uscita dal modulo. SEPARATE: ha due funzioni: produrre una o piú copie di una entità, oppure separare un gruppo di entità precedentemente raggruppate. MODELLO 1. Un modello che rappresenti un sistema a coda M/M/1 con media dei tempi di interarrivo pari a 60 minuti e media dei tempi di servizio pari a 50 minuti. MODELLO 2. Ad un istituto di credito arrivano richieste di erogazione di mutui. La distribuzione dei tempi di interarrivo di tali tempi è esponenziale con media 2 ore. La richiesta viene esaminata da un impiegato il cui tempo per completare la pratica è distrbuito secondo una ditribuzione triangolare con valori (1, 1.75, 3) ore. In genere, nell 88% dei casi la pratica va a buon fine, ovvero il mutuo è concesso. Nel rimanente 12% dei casi, la risposta è negtiva.

3 SOFTWARE DI SIMULAZIONE (SIMULATORI) 169 MODELLO 3. Un impresa per la trasformazione di semilavorati deve processare l arrivo di 100 semilavorati. Questi dovranno passare attraverso 2 ulteriori processi di lavorazione: detti Machining Center ed Inspection Station. Dopo tali processi verrà effettuato il controllo di qualità sul prodotto finito valutandone il grado di finitezza. I dati relativi al problema sono: al primo processo produttivo i semilavorati arrivano uno alla volta con intertempo di arrivo esponenziale (media pari ad 1 minuto); i tempi di processamento (espressi in minuti) al Machining Center sono uniformemente distribuiti nell intervallo [0.65, 0.70]; i tempi di processamento (espressi in minuti) al Inspection Station sono uniformemente distribuiti nell intervallo [0.75, 0.80]; con probabilità del 50% i pezzi controllati sono perfect ed escono dal sistema attraverso un proprio canale; con probabilità del 20% i pezzi controllati sono very good ed escono dal sistema attraverso un proprio canale; con probabilità del 5% i pezzi controllati sono good ed escono dal sistema attraverso un proprio canale; con probabilità del 25% i pezzi controllati rientrano nel sistema e vengono rilavorati sui due processi. MODELLO 4. In un laboratorio di analisi di un ospedale il centro prelievi è aperto dal lunedì al sabato dalle 7.30 alle Gli utenti arrivano al centro con intertempi di arrivo distribuiti esponenzialmente con media 7 minuti. Appena arrivato al centro prelievi un utente deve ritirare un numero da una macchinetta distributrice e poi deve attendere di essere chiamato allo sportello per l accettazione dove presenterà la richiesta di analisi del proprio medico curante; gli utenti sono chiamati in ordine di numero crescente e le operazioni per l accettazione sono eseguite in tempi distribuiti uniformemente tra 1 e 1.5 minuti. Dopo l accettazione l utente si reca all ufficio cassa se deve pagare il ticket oppure, se è esente da tale pagamento, si reca direttamente all ambulatorio per il prelievo. Il pagamento del ticket richiede tempi distribuiti uniformemente tra 0.5 e 1 minuto, mentre i tempi per effettuare i prelievi presso l ambulatorio sono distribuiti esponenzialmente con media 5 minuti. MODELLO 5. Una catena di montaggio costruisce apparecchi assemblando due parti (Parte tipo 1 e Parte tipo 2 ) che riceve dall esterno. Le singole parti arrivano alla catena di montaggio secondo due diverse distribuzione di probabilità dei tempi di interarrivo: per le parti di tipo 1 si ha una distribuzione uniforme

4 170 SIMULAZIONE tra 0.4 e 0.7 ore, per le parti di tipo 2 si ha una distribuzione normale a media 0.5 ore e deviazione standard 0.2. Le singole parti, prima dell assemblaggio subiscono un pretrattamento; i tempi necessari per questa operazione sono distributi secondo la distribuzione normale a media 0.1 ore e deviazione standard 0.03 per le parti del tipo 1 e a media 0.15 ore e deviazione standard 0.04 per le parti del tipo 2. L assemblaggio è effettuato in un tempo costante pari a 0.3 ore. Dopo l assemblaggio c è una lavorazione finale che richiede un tempo distribuito secondo la distribuzione normale a media 0.6 ore e deviazione standard MODELLO 6. In una videoteca entrano clienti con tempi di interarrivo distribuiti esponenzialmente con media 5 minuti. Una volta entrati i clienti scelgono casualmente tra i tre diversi tipi di film (drammatico, commedia, azione). Il tempo impiegato nella scelta ha distribuzione triangolare con valore minimo 1 minuto, massimo 10 minuti e valore piú probabile 5 minuti. Una volta effettuata la scelta il cliente può decidere se acquistare anche una pizza oppure dirigersi direttamente alla cassa. Nel 25% dei casi la pizza viene acquistata e questo richiede un tempo distribuito secondo una distribuzione triangolare con valore minimo 0.5 minuti, massimo 2 minuti e valore piú probabile 1 minuto. Il tempo necessario al pagamento alla cassa (con o senza la pizza) è anch esso distribuito secondo una distribuzione triangolare con valore minimo 1 minuto, massimo 4 minuti e valore piú probabile 2 minuti. MODELLO 7. Un Computer consta di 1 CPU, 3 terminali, 1 unità Hard Disk (HD) e 1 unità a nastro (Tape). In ciascun terminale siede un utente il quale invia jobs alla CPU con intertempi distribuiti esponenzialmente (valore atteso pari a 100 secondi). I jobs si accumulano in una coda (FIFO) prima di essere processati dalla CPU. Ciascun job processato dalla CPU la tiene occupata per un tempo distribuito esponenzialmente (valore atteso pari a 1 secondo). Un job che lascia la CPU può: con probabilità 20% ritornare al terminale che l ha inviato; con probabilità 72% andare nella coda (FIFO) dell Hard Disk; con probabilità 8% andare nella coda (FIFO) dell unit a nastro. Ciascun job processato dall Hard Disk necessita di un tempo distribuito esponenzialmente (valore atteso pari a 1.39 secondi), dopodiché torna alla coda della CPU. Analogamente ciascun job processato dall unità a nastro necessita di un tempo distribuito esponenzialmente (valore atteso pari a secondi), poi torna alla coda della CPU. Tutti i job prodotti dagli operatori sono tra loro statisticamente indipendenti. MODELLO 8. Un azienda di vendite per corrispondenza riceve richieste di ordini con distribuzione esponenziale a media 9 minuti. Due operatori telefonici

5 SOFTWARE DI SIMULAZIONE (SIMULATORI) 171 accettano gli ordini. Per entrambi il tempo di servizio è distribuito secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 3 minut1, massimo 11 minuti e valore piú probabile 7 minuti il primo operatore e valore minimo 2 minuti, massimo 11 minuti e valore piú probabile 8 minuti il secondo. Una volta tereminata la chiamata l ordine viene passato all addetto del reparto consegne che provvede a preparare l ordine e a caricarlo su un furgone. Tale operazione richiede un tempo distribuito secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 5 minuti, massimo 20 minuti e valore piú probabile 10 minuti. Prima di partire per le consegne, il furgone attende che vi siano caricate le merci corrispondenti a 10 ordini. I tempi per le consegne sono distribuiti secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 20 minuti, massimo 80 minuti e valore piú probabile 40 minuti. Per ciascun ordine consegnato il fattorino fornisce la notifica di avvenuta consegna all azienda che provvede ad inserire il cliente nella lista delle consegne effettuate. Tale operazione avviene con un tempo distribuito secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 1 minuto, massimo 4 minuti e valore piú probabile 2 minuti. L ultima operazione è l emissione della fattura da inviare al cliente che avviene con un tempo distribuito secondo la distribuzione triangolare con valore minimo 0.8 minuti, massimo 2 minuti e valore piú probabile 1 minuto.

6 172 SIMULAZIONE 2.7 RIFERIMENTI DEL CAPITOLO 2 La trattazione di questo capitolo è basata sul testo [Law, Kelton, 2000] che rappresenta un testo completo su tutti gli aspetti della simulazione e quindi utile anche per approfondimenti. Per aspetti più teorici si può consultare il capitolo 11 del testo [Ross, 2003a]. Fra i numerosi ulteriori testi sulla simulazione citiamo, ad esempio, [Ross, 2002] e [Banks et al., 2001]. Il testo [Banks, 1998] riporta una collezione di articoli che forniscono un adeguata panoramica sulle metodologie e le aree di applicazione della simulazione. Per quanto riguarda il software di simulazione ARENA trattato nel paragrafo 2.6 si fa riferimento al testo [Kelton et al., 2004]. Segnaliamo inoltre il sito Web dell Informs College on Simulation e il sito dei proceedings delle conferenze annuali Winter Simulation Conference nel quale si possono trovare molti articoli e survey aggiornate su diversi aspetti della simulazione e su applicazioni della simulazione. Banks, J. (1998). Handbook on Simulation. Principles, Methodology, Advances, Applications, and Practice. Wiley and Sons, New York. Banks, J., J.S.Carson, Nelson, B., Nicol, D. (2001). system simulation. Prentice Hall. Discrete event Law, A., Kelton, W. (2000). Simulation modeling and analysis. McGraw Hill, New York, third edition. Kelton, W., Sadowski, R., Sturrock, D. (2004). Arena. McGraw Hill, New York, third edition. Simulation with Ross, S. (2002). Simulation. Academic Press, San Diego, third edition. Ross, S. (2003a). Introduction to probability models. Academic Press, San Diego. Ross, S. (2003b). Probabilità e statistica. Apogeo, Milano.

7 ESERCIZI SULLA SIMULAZIONE ESERCIZI SULLA SIMULAZIONE Esercizio Applicare il metodo della trasformazione inversa per generare cinque osservazioni casuali dalla distribuzione esponenziale con media pari ad 1, a partire dai seguenti cinque numeri casuali generati dalla distribuzione uniforme in [0, 1) Esercizio Si vuole effettuare una simulazione di un sistema di code M/M/3 in cui la frequenza media di arrivo è pari a 20 e la velocità di servizio è pari a 10, essendo interessati a stimare il numero medio di utenti presenti nel sistema. Supponiamo che siano state effettuate 5 repliche indipendenti dalle quali si sono ottenuti i seguenti risultati: 1 a replica: a replica: a replica: a replica: a replica: 2.55 Calcolare la stima della media e l intervallo di confidenza al 95%. Facendo riferimento a tale intervallo di confidenza, trascurando il problema dello start up e supponendo di voler ottenere un errore assoluto sulla stima della media inferiore a 0.2, determinare se le cinque repliche effettuate sono sufficienti ad ottenere tale precisione. In caso negativo, applicando la procedura iterativa, determinare il numero delle repliche necessarie per ottenere la precisione voluta sapendo che nelle eventuali successive cinque repliche si ottengono i seguenti valori: 6 a replica: a replica: a replica: a replica: a replica: 2.88 Esercizio Applicare la procedura di Welch, con un valore di time window k = 2, al seguente output di una simulazione 1 a replica: a replica: a replica: a replica: a replica: Dei valori Ŷj(2) ottenuti dalla procedura, (trascurando il problema dello startup) determinare media e t intervallo di confidenza al 95%.

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