Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini Prova scritta del 19/2/02

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1 Prova scritta del 19//0 Problema 1 (6/30) Le coordinate spazio-temporali di due eventi sono, per un osservatore O x 1 = 6 * m, y 1 = z 1 = 0 m,t 1 = * s x = 1 * m,y = z = 0 m,t =1*10 4 s. L osservatore O viaggia rispetto ad O con velocita v lungo l asse x, e trova che i due eventi sono simultanei. Calcolare v. Problema (6/30) Verificare la seguente relazione nel caso del sottoguscio n = e l = 1 di un atomo: Commentare il significato fisico. l +1 4 l = Υ lm. m = l Problema 3 (9/30) Per un oscillatore armonico di pulsazione ω, l operatore di annichilazione e, com e noto, a = 1 x + ix 0 p x 0, dove x = h. Si calcoli la media sullo stato 0 m fondamentale 0 degli operatori: W = aa a 4 a Z = a a + a a aa Problema 4 (9/30) Usando la regola [AB,C] _ = A[B,C] _ + [A,C] _ B, calcolare i commutatori [p x,x ] [L z,x ] [L z,x ]

2 Soluzione 1 t' t' 1 = Prova scritta del 19//0 Soluzione dei problemi (t t 1 ) (x x 1 ) v c 1 v c deve esser nullo; risolvendo, si trova v c = 1. Soluzione Le tre armoniche sferiche sono: Υ 1 1 (, ) = 3 8 sin e i, Υ 10 (, ) = 6 8 cos, Υ 11 (, ) = 3 8 sin ei ed i moduli quadrati Υ 1 1 (, ) = 3 ( ) = 6 ( ) = 3 8 sin, Υ 10, 8 cos, Υ 11, 8 sin. la verifica richiesta è immediata. Mediando su un guscio non vi sono direzioni privilegiate. Soluzione 3 W = 0 perche ci sono 4 operatori di creazione e 5 di annichilazione. Inoltre, usando le regole di commutazione, e la normalizzazione degli stati, Z = a (1+ a a)a = a 3 a 3 = 3!= 6. Soluzione 4 [p, x ] = ihx [L z,x ] = ihxy [L z,x ] = h (x y ) + 4ihxyL z

3 Prova scritta del 5/3/0 Problema 1 (6/30) Il razzo O viaggia rispetto ad stazione spaziale O con velocita v. Il pilota del razzo dice che l oblo da cui guarda la stazione e lungo 4 m, e che ad un certo istante la sua lunghezza e stata identica a quella di una finestra della stazione, parallela al moto. Il capostazione dice invece che la finestra e lunga 5 m. Qual e la velocita v? Problema (1/30) Un sistema a livelli e descritto dall Hamiltoniana H = a b + b a, dove a e b sono stati quantici ortonormali. Se al tempo t=0 la misura dell Osservabile A = a a b b fornisce A=1, per quale t per la prima volta il sistema e certamente in b? Problema 3 (1/30) Una particella di massa m in una dimensione e confinata fra 0 e L lungo l asse x ( il potenziale e nullo fra 0 e L ed infinito fuori). Calcolare gli autovalori dell energia e le loro degenerazioni in presenza della piccola perurbazione H' ( a) = V ( x a), a (, ).

4 Prova scritta del 5/3/0: soluzione dei problemi 5 = 4 1 v Gli autostati di H sono: c ; risolvendo, si trova v c = 3 5. Soluzione 1 Soluzione + = a + b, = a b con autovalori 1 e 1 rispettivamente. Pertanto al tempo t=0, + ( 0) = a = + al tempo t, + ( t) = +eit e it ; = a cos( t) i b sin( t). Quindi, il sistema si trovera per la prima volta in b per t =. Soluzione 3 Se a non e nell intervallo, la correzione e nulla e lo spettro, com e noto e dato da n = h ml n,n = 1,,... Altrimenti, n h n + ml n H' ( a) n dove, con x nell intervallo, ( x) = n L sin n x ; la correzione vale L n H' a ( ) n = V L sin n a L.

5 Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali Prof.Michele Cini-Prova scritta del 30/9/00 Problema 1 (9/30) Una astronave viaggia rispetto ad una stazione spaziale con velocita v. Il pilota piazza due specchi A e B, il primo in testa e l altro in coda, a distanza AB=l 0 fra loro; l 0 l 0 S A B una sorgente di luce S in mezzo all astronave emette un segnale che arriva simultaneamente in A e B dopo un tempo 0. Per un osservatore sulla stazione spaziale l arrivo del segnale in B precede l arrivo in A di un tempo t. Se t 0 =1, qual e la velocita v? Problema (1/30) Un oscillatore è preparato al tempo t=0 nello stato ψ( 0) = , dove n indica l autostato con autovalore E n = hω n + 1. a) Scrivere la funzione d onda al tempo t. b) Calcolare il valore d aspettazione dell energia. c) Calcolare il valore d aspettazione dell operatore posizione. Problema 3 (9/30) Un sistema quantistico a livelli ha hamiltoniana H = Si calcoli in funzione di α reale il valore di aspettazione dell energia nello stato (da normalizzare) = e. (Cenno: espandere l esponenziale). 0

6 Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali Prof.M.Cini- risoluzione dei problemi -Prova scritta del 30/9/00 Soluzione 1 Per l astronauta, (0) = l 0 c ; nella stazione spaziale la lunghezza e l = l 0 I tempi per arrivare in A e in B sono dati da A = Quindi t 0 = v c v, e viene v c = 1 5. l c v, B = l c+ v. 1 v c. Soluzione a) ψ( t) = e i 3 ωt + 5 i 5 e ωt. b) H = hω a + a + 1,dunque H = ei t + 5 e i 5 t h a + a e i 3 t + 5 e i 5 t = 3 10 h. <H> e una costante. h c) x( t) = mω ψ( t) a + a+ ψ( t) = 4 h 5 mω cosωt. Oscilla in funzione del tempo con la frequenza del quanto. Soluzione 3 Poiche il quadrato della matrice all esponente e nullo, = 1 ; normalizzando, 1 Si ottiene =, e il valor medio e H =

7 Prova scritta del 17/1/0 Problema 1 (10/30) Un razzo si allontana da terra in linea retta lungo l asse x positivo. Un UFO viene avvistato da terra e da un razzo, mentre si muove anch esso in linea retta lungo l asse x. Visto da terra, l UFO si muove a 0.5 c, mentre visto dal razzo si muove a 0.5 c. Qual e la velocita del razzo? [ ]. Si calcoli il commutatore e ikx, ˆp Problema (10/30) Problema 3 (10/30) Siano M,M =1,0, 1 gli autostati di L,L z con L = 1, L z = M. Su questa base, esprimere l autostato di L,L x con L = 1, L x =1.

8 Prova scritta del 17/1/0: soluzione dei problemi Soluzione 1 La legge di composizione relativistica delle velocita dice che V T = V R + u 1+ uv R dove u e la velocita incognita, u = V R V T 1 V R V T ; viene u=0.8 c. Soluzione E noto dal corso che [ x n, ˆp ] = ihnx n 1, cioe [ x n, ˆp ] = ih d dx x n. La risposta e ih d dx e ikx = hke ikx. Soluzione 3 E noto dal corso che sulla base indicata L x = L autovettore con autovalore 1 e.

9 Prova scritta del 7//003 Problema 1 Un punto materiale in una dimensione ha una lagrangiana classica L(x,ẋ) = 1 mẋ 1 kx ; si passi ad un sistema di riferimento naturalmente accelerato di cordinata s ponendo x = s + 1 at. Si ricavino le equazioni del moto nei due sistemi di riferimento dandone una breve discussione fisica. Problema Da una astronave A esce un razzo B che a sua volta lancia una scialuppa spaziale C contenente un cannone che spara un proiettile D. La velocita di A rispetto a terra e v=0.5 c, ma anche la velocita di B rispetto ad A, di C rispetto a B e di D rispetto a C sono tutte parallele ed uguali a v. Qual e la velocita di D rispetto a terra? Problema 3 Un elettrone e descritto dallo spinore = 1 ; qual e il valore di aspettazione 0 r r. n dello spin nella direzione n r = (sin cos,sin sin,cos )? Qual e la probabilita che misurando lo spin in tale direzione si trovi che e su?

10 Prova scritta del 7//03: soluzione dei problemi Soluzione 1 L(s,ṡ,t) = 1 m( ṡ + at) 1 k s+ 1 at ; dalle equazioni di Eulero-Lagrange viene m( ṡ + a) = k(s+ 1 at ). Nel sistema accelerato il punto di equilibrio dell oscillatore accelera e compare una forza inerziale. Soluzione Usando v B = v A + u, e simili, si trova in successione 1+ v A u v B = 0.8, v C = , v D = , sempre in unita di c. Soluzione 3 Mediando r. n r i cos sin e = r r viene. n sin e i cos cos = sin, la probabilita e P = cos. ei = cos. Poiche

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