Introduzione agli acceleratori e loro applicazioni - Parte III: Dinamica longitudinale

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1 Introduzione agli acceleratori e loro applicazioni - Parte III: Dinamica longitudinale Gabriele Chiodini Istituto Nazionale di Fisica Nucleare Sezione di Lecce Lezioni per il Dottorato di Ricerca in Fisica dell Università del Salento Anno accademico II Semestre (20 ore, 4 CFD) 1

2 Dinamica longitudinale - + Accendiamo la radiofrequenza V>0 Le particelle ad ogni giro ricevono un incremento di energia pari al potenziale V dell cavita di radiofrequenza che attraversano. I dipoli magnetici mantengono le particelle lungo l orbita aumentando l intensita de campo B in sincrona con l aumento di energia delle particelle. I quadrupoli focalizzano le particelle lungo l orbita mediante forze di richiamo lung l orbita ideale aumentando l intensita del campo B in sincrona con l aumento di energ delle particelle. Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 2 /41

3 Incremento di energia Lunghezza orbita = C Velocita particella = v Periodo di rivoluzione = T = C/v - + V(t) = V 0 sin(2πf RF t) Potenziale di accelerazione della radiofrequenza Condizione di sincronia particella ideale. Esempio: C=3000m=3E3m v=c/10=3e7m/s T=1E-4s=100us f=10khz frf=200mhz harmonico=frf/f=20,000 T = h armonico T RF Ad ogni giro la particella acquista una energia pari a V0 (1-100MV) E=Einiziale+(Numero di Giri)xV0 Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 3 /41

4 Numero armonico I pacchetti di particelle sincroni con la radiofrequenza sono detti BUNCHES e sono al massimo pari al numero armonico harmonico che e pari al numero di BUCKETS cioe potenziali pacchetti. 4 BUNCHES presenti nell anello quindi harmonico-4 BUCKETS sono vuoti - + T = h armonico T RF Esempio: v=c/10=3e7m/s frf=200mhz=2e8hz TRF=1/fRF =5E-9s=5ns dminima=15e-2m=15 cm La distanza minima tra i pacchetti e dminima=v*trf Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 4 /41

5 Fase longitudinale Piu realisticamente la particella ideale ha una fase rispetto la radiofrequenza. V(t) = V 0 sin(2πf RF t) V arrivo - + t = t arrivo V arrivo = V 0 sin(2πf RF t aarrivo ) = V 0 sin(ϕ arrivo ) Ad ogni giro la particella acquista una energia pari a Varrivo< V0 Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 5 /41

6 Nessuna accelerazione ϕ arrivo = Se la fase e nulla la particella ideale non subisce nessuna accelerazione e prosegue a velocita costante Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 6 /41

7 Particella in ritardo al primo giro Una particella in ritardo (nera) riceve una accelerazione superiore rispetto alla particella ideale (rossa). - + Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 7 /41

8 Particella in ritardo al secondo giro La particella ideale (rossa) ha ricevuto la giusta accelerazione per arrivare alla stessa fase dopo un giro. La particella in ritardo (nera) ha ricevuto invece piu accelerazione di quella ideale (posizione piu alta sul potenziale della radiofrequenza e pallino bianco) e quindi riduce il suo ritardo. - + La particella in ritardo (nera) ha recuperato il ritardo perche ha acquistato una velocita superiore a quella della particella ideale (rossa). Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 8 /41

9 Particella in ritardo al terzo giro La particella ideale (rossa) ha ricevuto la giusta accelerazione per arrivare alla stessa fase dopo un giro. La particella in ritardo (nera) ha ricevuto piu accelerazione della particella ideale (posizione piu alta sul potenziale della radiofrequenza e pallino vuoto) ed annulla il suo ritardo. - + La particella in ritardo (nera) ha annullato il ritardo rispetto alla particella ideale (rossa) perche ha una velocita superiore. Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 9 /41

10 Particella in ritardo al quarto giro La particella ideale (rossa) ha ricevuto la giusta accelerazione per arrivare alla stessa fase dopo un giro. La particella in ritardo (nera) ha ricevuto una accelerazione uguale a quella ideale (posizione ugualmente alta sul potenziale della radiofrequenza e pallino vuoto) ma con una velocita superiore e quindi anticipa la particella ideale. - + La particella in ritardo (nera) ora e in anticipo sulla particella ideale (rossa) perche ha una velocita superiore. Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 10/41

11 Particella in ritardo al quinto giro La particella ideale (rossa) ha ricevuto la giusta accelerazione per arrivare alla stessa fase dopo un giro. La particella in ritardo (nera) ha ricevuto una accelerazione inferiore a quella ideale (posizione piu bassa sul potenziale della radiofrequenza e pallino bianco) e smette di aumentare l anticipo. - + La particella in ritardo (nera) smette di aumentare l anticipo sulla particella ideale (rossa) perche ha acquisito la stessa velocita. Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 11/41

12 Particella in ritardo al sesto giro La particella ideale (rossa) ha ricevuto la giusta accelerazione per arrivare alla stessa fase dopo un giro. La particella in ritardo (nera) ha ricevuto una accelerazione molto inferiore a quella ideale (posizione piu bassa sul potenziale della radiofrequenza e pallino vuoto) e continua a ridurre l anticipo. - + La particella in ritardo (nera) riduce l anticipo sulla particella ideale (rossa) perche ha una velocita inferiore. Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 12/41

13 Particella in ritardo all ottavo giro La particella ideale (rossa) ha ricevuto la giusta accelerazione per arrivare alla stessa fase dopo un giro. La particella in ritardo (nera) ha ricevuto un accelerazione inferiore a quella della particella ideale (posizione piu bassa sul potenziale della radiofrequenza e pallino vuoto) ed annulla il suo anticipo. - + La particella in ritardo (nera) riduce l anticipo sulla particella ideale (rossa) perche ha una velocita inferiore. Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 13/41

14 Principio della stabilita di fase Le particelle con una fase rispetto alla radiofrequenza compresa nella salita del potenziale accelerante sono in una regione di stabilita (PRINCIPIO DELLA STABILITA DI FASE). Stabilita di fase Instabilita di fase Δp Emittanza longitudinale Δφ La velocita (o energia o fase) delle particelle sincrone continua ad oscillare tra un minimo ed un massimo (BUCKET) determinato dalla radiofrequenza di accelerazione (oscillazioni di sincrotone) Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 14/41

15 Intrappolamento adiabatico Nella fase di iniezione dei fasci la RF e molto bassa in ampiezza in modo da avere bucket larghi. Dopo la fase iniezione, in preparazione alla accelerazione, la RF viene aumentata in ampiezza ed i bucket si stringono (intrappolamento adiabatico o focalizzazione longitudinale) Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 15/41

16 Accelerazione Nella fase di accelerazione dei fasci la RF e molto alta in ampiezza (bucket stretti) e la fase della particella ideale viene aumentata ma sempre inferiore a 90 0 per mantenere i bucket intatti, cioe non troppo vicino alla regione di instabilita. Ad ogni giro la particella acquista una energia pari a Varrivo< V0 E=Einiziale+(Numero di Giri)xVarrivo. La frequenza della RF deve a sua volta aumentare in modo sincrono alla velocita dei bunches. La corrente dei dipoli lungo l anello deve essere aumentata in modo sincrono per mantenere i bunches lungo la traiettoria ideale. Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 16/41

17 Shrinking adiabatico dell emittanza del fascio Il teorema di Liouville ad energie relativistiche deve essere generalizzato tenendo conto delle nuove variabili dinamiche ε y,0 β y π y spazio fasi classico = xv ε = cos tan te spazio fasi relativistico = xp εp = cos tan te x ε x,0 β x π Accelerazione relativistica p ε 1 p 1 = ε 0 p 0 ε 1 = ε 0 0 ε 1β 1 p 1 π = ε 0β 0 π Ad energie relativistiche le dimensioni del fascio si riducono con Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 17/41 ε y,1 β y π p 0 p 1 y ε x,1 β x π l accelerazione come la radice quadrata del momento NB: Per gli elettroni il teorema di Liouville non vale perche emettono molta energia sotto forma di raggi X quando seguono orbite curve (luce di sincrotrone) x

18 Luce di sincrotrone Gli elettroni in orbite curve emettono molta energia sotto forma di raggi X (luce di sincrotrone)! L emissione di luce di sincrotrone e un fenomeno dissipativo che smorza in modo naturale le oscillazioni di betatrone e di sincrotrone.! La dinamica trasversa (oscillazioni di betatrone) e longitudinale (oscillazioni di sincrotrone) sono accoppiate e non si possono trattare in modo indipendente.! Il teorema di Liouville per gli elettroni non vale perche emettono energia verso l esterno. La riduzione dell emittanza non e dovuta allo strizzamento adiabatico come per i protoni ma alla emissione di raggi X che gli fanno perdere energia.! L energia emessa per radiazione e cosi elevata che le cavita RF sono tantissime e potentissime Coni collimati di Raggi X Elettroni circolanti La luce di sincrotrone ha applicazioni in fisica, chimica, biologia, materiali,... Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 18/41

19 Quadagno di energia cinetica in un campo di accelerazione W=energia cinetica Rate di accelerazione Accelerazione nella gap Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 19/41

20 LINAC PER ELETTRONI Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 20/41

21 Accelerazione in cavità a RadioFrequenza (TW) Iris loaded structure La particella viaggia a velocità v con l onda propagante con velocità di fase v φ =ωrf/k con moto z=vt+z0 E(z,t)=E0sin(ωRFt-kz)=E0sin(ωRFt-ωRF/v φ (vt+z0)) v=v φ condizione di sincronia implica accelerazione constante E(z,t)=E0sin(φ0) φ0 è la fase della RF vista dalla particella W=eE0sin(φ0)L 0<sin(φ0)<1 Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 21/41

22 I equazione energia-fase L energia guadagnata dalla particella sincrona e W0(z)=eE0sin(φ0)z L energia guadagnata da una particella non sincrona e W(z)=eE0sin(φ)z w=w-w0 e ψ=φ-φ0 sono le deviazione di energia e fase della particella reale rispetto a quella sincrona (ideale). dw/dz=ee0[sin(φ)-sin(φ0)]=ee0[sin(ψ+φ0)-sin(φ0)]~ee0cos(φ0)ψ dw/dz=ee0cos(φ0)ψ(z) I eq energia-fase Tasso di incremento energia cinetica della particella reale rispetto particella sincrona Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 22/41

23 II equazione energia-fase Tasso di incremento energia cinetica della particella reale φ=ωrft=ωrfz/v ψ=φ-φ0 dψ/dz=ωrf(1/v-1/v0)~ωrf(v0-v)/v0 2 v0-v=c(β0-β)=c(β0-β)(β0+β)/(β0+β)~c(β0 2 -β 2 )/(2β0)=cm(β0 2 -β 2 )/(2mβ0) v0-v=cm(-1/γ0 2 +1/γ 2 )/(2mβ0)=-cm(-γ0 2 +γ 2 )/(2mγ0 2 γ 2 β0) ~-cm2γ0(-γ0+γ)/(2mγ0 4 β0)~-mc 2 (γ-γ0)/(mcγ0 3 β0)~-w/(mv0γ0 3 ) dψ/dz=-ωrfw/(mv0 3 γ0 3 ) II eq energia-fase Tasso di variazione della fase rispetto particella sincrona Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 23/41

24 Oscillazioni di sincrotrone Combinando le due equazioni energia-fase al 1 ordine ottengo una equazione al II ordine I) dw/dz=ee0cos(φ0)ψ(z) II) dψ/dz=-ωrfw/(mv0 3 γ0 3 ) d 2 ψ/dz 2 +Ω0 2 ψ=0 Ω0 2 =ee0cos(φ0)ωrf/(mv0 3 γ0 3 ) Oscillazioni stabili e soluzioni reali implicano Ω0 2 >0 e cos(φ0)>0 oltre alla condizione di accelerazione sin(φ0)>0 0<φ0<π/2 Stabilità di fase + accelerazione Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 24/41

25 Stabilità di fase in un modo 2π 0<φ0<π/2 Stabilità di fase + accelerazione Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 25/41

26 ariazione di fase all iniezione Le particelle entrano con β<1 mentre la cavità RF e matched per β=1. Riesco ad accelerarne almeno una frazione significativa? Avanzamento della fase dell onda viaggiante rispetto la particella all iniezione E necessario fare un bunching dei pacchetti provenienti dal electron gun.! L effetto di bunching consiste nel trasformare una modulazione nello spazio in una modulazione di velocità (simile alla stabilità di fase ed uguale al principio di funzionamento dei piu potenti generatori RF detti Klystron) Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 26/41

27 Cattura all iniezione ckrf(1-β)= c2π/λrf(1-β) E0 =V0 e il potenziale della RF Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 27/41

28 Pre-buncher (φ0=0) Dopo un ritardo τ la particella compensa la fase iniziale φ(τ)=0=φ0 L=lunghezza del pre-buncher Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 28/41

29 SINCROTONE Principio della stabilità di fase ora dipende dall energia Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 29/41

30 Accelerazione in cavità risonante (SW) La particella a velocità v arriva al tempo t=0 al centro della gap λ/2 0<T<1 typically T~0.6 Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 30/41

31 Dispersione nel sincrotrone Cambiamento relativo del raggio della traiettoria rispetto al cambiamento relativo di momento (accelerazione) α= Momentum compaction dovuto ai campi di bending E la dispersione Cambiamento relativo di frequenza di rotazione rispetto al cambiamento relativo di momento (accelerazione) Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 31/41

32 Energia di transizione - + Finora abbiamo trascurato l aumento di traiettoria dovuto all aumento del momento che a parita di campo magnetico causa un aumento del raggio di curvatura negli archi. A basse energie l accelerazione causa un aumento di velocita con effetti superiori all aumento del momento ed il tempo di rivoluzione si riduce (particella anticipata). Stabilita di fase -π/2<φ<π/2 Ad energie relativistiche la velocita raggiunge la velocita della luce e non puo piu aumentare mentre il momento continua ad aumentare. La particella compiera traiettorie piu ampie ed il + tempo di rivoluzione aumenta (particella ritardata). - Stabilita di fase π/2<φ<3/2π Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 32/41

33 Stabilità di fase in un sincrotrone π/2<φ0<π Stabilità di fase +accelerazione 0<φ0<π/2 Stabilità di fase +accelerazione Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 33/41

34 Equazioni w-ψ di sincrotone (moto di sincrotrone) Tasso di variazione della fase Tasso di variazione della fase rispetto particella sincrona I eq energia-fase Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 34/41

35 Equazioni w-ψ di sincrotone (moto di sincrotrone) Tasso di incremento energia cinetica II eq energia-fase Tasso di incremento energia cinetica rispetto particella sincrona Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 35/41

36 Moto longitudinale I) II) Combinando le due eq. del I ordine ottengo una eq. del II ordine non lineare Cambiano lentamente nel tempo Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 36/41

37 Oscillazioni piccoli angoli Dove R0,p0,ω0,η si considerano costanti Stabilità di fase Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 37/41

38 Oscillazioni grandi angoli Quando φ raggiunge π-φ0, la forza di richiamo si annulla e oltre quel punto la forza diventa di allontanamento. Nel piano :([dψ/dt]/ω0,φ) il punto π-φ0 è un punto estremo per orbite chiuse e stabili, oltre il quale non c e più stabilità. Invariante del moto φ=π-φ0= ψ Traiettoria sulle separatrici per ψm=π-φ0 Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 38/41

39 Accettanza in energia della RF Traiettoria sulle separatrici per ψ=π-φ0 Al punto estremo sulle separatrici dψ/dt ha un massimo e A questo massimo corrisponde una energia massima dalla II eq. energia-fase L accettanza in E dipende fortemente da φ0 (fase della RF) e V0 (intensità della RF) ed ha un forte impatto all iniezione e per la vita media dei fasci Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 39/41

40 Accettanza RF e fase sincrona Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 40/41

41 Principio della stabilità di fase Sommario Shrinking adiabatico dell emittanza Guadagno di energia nell accelerazione LINAC Oscillazioni di sincrotrone Pre-buncher SINCROTRONE Energia di transizione Oscillazioni di sincrotrone Accettanza RF Ω0 2 =ee0cos(φ0)ωrf/(mv0 3 γ0 3 ) Corso acceleratori e applicazioni - Parte 1II: dinamica longitudinale 41/41