FISICA APPLICATA 2 FENOMENI ONDULATORI - 3
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- Giustina Magni
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1 FISICA APPLICATA 2 FENOMENI ONDULATORI - 3 DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (onde3.pdf) è scaricabile dal sito calvini/tsrm/ 16/10/2017
2 PRINCIPIO DI HUYGENS La descrizione della propagazione ondulatoria mediante i raggi (leggi dell ottica geometrica) fornisce risultati corretti quando la lunghezza d onda è piccola rispetto alle dimensioni lineari degli oggetti che l onda incontra nel suo propagarsi. Se non si può trascurare la lunghezza d onda rispetto alle altre dimensioni in gioco, entrano in gioco nuovi fenomeni, non spiegabili con l ottica geometrica e le sue leggi. Esiste un principio, detto Principio di Huygens, il quale fornisce le stesse previsioni dell ottica geometrica (vedi figura per la rifrazione in onde2.pdf) ed in più è in grado di prevedere e spiegare i fenomeni che entrano in gioco quando non si può trascurare la lunghezza d onda. 2
3 Enunciato del Principio di Huygens: Tutti i punti di un fronte d onda fungono da sorgenti puntiformi di onde sferiche e- lementari con modulazione dell intensità in avanti. Dopo un breve intervallo di tempo t le onde elementari sferiche avranno un raggio r = c t e la nuova posizione del fronte d onda sarà data dall inviluppo di queste onde elementari. Nella slide successiva si vede la costruzione con cui il principio appena enunciato prevede che in un mezzo isotropo ed omogeneo un fronte d onda piano continua a propagarsi come fronte d onda piano. 3
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5 La trattazione matematica completa del principio è piuttosto complessa e in questi appunti viene ovviamente o- messa. Tuttavia si presenta almeno l enunciato del principio in quanto esistono molte applicazioni tecnologicamente avanzate che lo utilizzano. Citiamo, ad esempio, l uso degli phased arrays negli ultrasuoni, il quale rappresenta un elegante soluzione per generare fronti d onda complessi con focheggiamento dinamico, tanto in trasmissione quanto in ricezione. Nella slide successiva si mostra la diffrazione di un onda piana di un liquido attraverso una fenditura. La curvatura dell onda al di là della fenditura (e conseguente divergenza dei raggi) è spiegabile con il principio di Huygens. 5
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7 DIFFERENZE DI FASE Consideriamo un onda piana sinusoidale progressiva che si propaga nella direzione dell asse x. La sua espressione può essere scritta come a(x, t) = a cos [ 2π λ ] (x c t) = a cos [ 2π ( t T x λ )], (1) dove l espressione più a destra è stata ottenuta usando la relazione intercorrente tra λ, c e T ed utilizzando la parità del coseno. Per semplicità si è posto φ = 0 per la fase addizionale, senza con questo perdere in generalità. 7
8 Si considerino 5 piani A, B, C, D e E perpendicolari all asse x ed individuati nell ordine dalle intercette x = 0, x = λ 4, x = λ 2, x = 3 4 λ e x = λ, come illustrato nella slide successiva. Usando la (1) si vuole determinare la dipendenza temporale dell onda in corrispondenza di ciascuno di questi piani. tratterà di dipendenze temporali di tipo oscillatorio armonico. L obiettivo del calcolo è in particolare lo stabilire che relazione di fase esiste tra queste oscillazioni. Questo può essere ottenuto, ad esempio, calcolando le differenze Φ k = Φ k Φ A (k = A, B,..., E) (2) tra le fasi totali delle oscillazioni in ciascun piano meno la fase totale del moto in A, considerato come riferimento. 8 Si
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10 Si esegue il calcolo sostituendo nella (1) i 5 valori di x corrispondenti ai vari piani e, poi, facendo le differenze tra gli argomenti del coseno ottenuti di volta in volta e l argomento del coseno per x = 0 (piano A). Nella slide successiva sono mostrati i risultati del calcolo. Nella presentazione dei valori delle differenze di fase Φ k si può tenere conto della proprietà che ad una (differenza di) fase si può aggiungere (o togliere) un numero intero di 2 π senza cambiare il significato del risultato sull onda (1). Questa proprietà è stata indicata con il segno. 10
11 A x = 0 a cos ( 2πt T ) ) 0 in fase B x = 4 λ a cos ( 2πt T π 2 π 2 3π 2 C x = 2 λ a cos ( 2πt T π) π π in controfase D x = 3λ 4 a cos ( 2πt T 3π ) 2 3π 2 π 2 E x = λ a cos ( 2πt T 2π) 2π 0 in fase in quadratura in quadratura + Prima colonna: fronti d onda; seconda colonna: corrispondenti posizioni sull asse x; terza colonna: dipendenza temporale dell onda sul fronte d onda corrispondente; quarta colonna: differenze di fase Φ k dei fronti d onda rispetto al fronte A. I valori di Φ possono essere riportati nell intervallo [0, 2π). Quadratura + = anticipa di π 2, quadratura = ritarda di π 2. 11
12 Nella slide successiva sono mostrati gli andamenti temporali dell onda in corrispondenza dei 5 piani. Il grafico del piano E coincide con il grafico del piano A poiché le corrispondenti oscillazioni sono in fase ( Φ E = 0). Quando (caso C) la differenza di fase è π si dice che le oscillazioni sono in controfase (o in opposizione di fase). Quando la differenza di fase è π 2 o 3 2 π si dice che le oscillazioni sono in quadratura. Come risulta evidente dal grafico, nel caso Φ B = 3 2 π si tratta di quadratura in ritardo in quanto si deve aspettare un tempo T 4 per vedere l andamento che si ha in A. Invece nel caso Φ D = π 2 si tratta di quadratura in anticipo in quanto, a parità di tempo, il grafico di D anticipa di un quarto di periodo quello di A. 12
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14 Quanto mostrato finora coinvolge punti differenti dello spazio e indica che in punti differenti le fasi dell oscillazione sono in generale diverse. Se però con qualche espediente si riescono a sommare nello stesso punto oscillazioni con fasi diverse, si possono ottenere risultati interessanti (e questo avviene poiché il periodo T delle oscillazioni è lo stesso!). Se potessi sommare in un unico punto le oscillazioni di A e E, avrei oscillazioni di ampiezza doppia (ed intensità quadrupla). Invece, se sommassi ad A l oscillazione di C otterrei ampiezza zero (ed intensità zero) in quanto i due moti sono algebricamente opposti. Infine, la somma del moto di A più il moto di B (o di D) darebbe un moto con ampiezza a 2 (e intensità doppia). 14
15 I risultati appena descritti possono essere ricavati usando la seguente formula di prostaferesi ( α + β cos(α) + cos(β) = 2 cos 2 ) ( α β cos 2 ). (3) In particolare la somma del moto in A più il moto in B dà ( ) ( 2π t 2π t a cos +a cos T T π ) 2 ( 2π t = 2a cos T π 4 ) cos ( ) π 4 (4) ( che dà infatti a 2 cos 2π t T π ) 4. Nella slide successiva la situazione trattata in queste slides viene descritta con la grafica dei vettori rotanti. 15
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17 CAMPO D ONDA - DENSITÀ DI ENERGIA Le grandezze fisiche che possono dare origine a propagazione ondulatoria sono campi. In fisica si dice che in una determinata regione esiste un campo se ivi sussistono determinate proprietà sperimentalmente accertabili e che altrove sono assenti. Come esempio si può proporre il campo elettrico: in una regione dello spazio esiste campo elettrico E se ivi una carica di prova q subisce l azione di una forza F data da F = q E. (5) Alla presenza di un campo in una determinata regione dello spazio si può in generale associare la presenza di una densità di energia w. Si ha [w] = J m 3. Pertanto un volumetto V ol conterrà l energia W = w V ol. 17
18 RELAZIONE TRA w E L INTENSITÀ Quando il campo va incontro a propagazione ondulatoria, la sua densità di energia w viaggia con l onda, spostandosi con velocità c. Si consideri un volumetto V ol di sezione S (disposta perpendicolarmente alla direzione di propagazione) e lato l = c t. Esso contiene un energia W = w V ol = w S c t. Come mostrato nella figura della slide successiva, il volumetto e l energia W in esso contenuta attraverseranno nel tempo t il piano A (fisso). Il calcolo dell intensità I attraverso A dà I = W S t = w S c t S t = w c. (6) 18
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