Corso di Meccanica Statistica Proff. A. Crisanti, I. Giardina e M. Grilli Compito del

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1 Corso di Meccanica Statistica Proff. A. Crisanti, I. Giardina e M. Grilli Compito del Si consideri un gas perfetto bidimensionale composto da N molecole biatomiche uguali non interagenti, ciascuna composta da due particelle uguali di massa m, con Hamiltoniana di singola molecola: H(p 1, p, q 1, q ) = 1 m (p 1 + p ) + q 1 q, p 1, = p 1,, dove è una costante positiva. Il gas, contenuto in volume quadrato di lato L, è a contatto con un bagno termico a temperatura T. Si assuma r L, dove r = q 1 q è la distanza tra le due particelle. 1. Assumendo che sia applicabile la statistica classica e che il sistema sia in equilibrio alla temperatura T : 1.a) Calcolare il calore specifico a pressione costante C P (T ) in funzione della temperatura T. 1.b) Calcolare l entropia microcanonica S(E) in funzione dell energia E. 1.c) Calcolare il valore medio r della distanza r = q 1 q tra le due particelle in funzione della temperatura T e determinare per quali temperature la condizione r L è soddisfatta. 1.d) Calcolare il valore medio della funzione f(p 1, q 1, q ) = p 1 r in funzione della temperatura T.. Assumendo che il sistema sia composto da Bosoni di spin :.a) Mostrare l esistenza della condensazione di Bose-Einstein e determinare la temperatura di condensazione T..b) Calcolare l entropia S(T ) in funzione della temperatura per T < T. 3. Assumendo che il sistema sia composto da Fermioni di spin 1/: 3.a) Determinare l energia di Fermi ɛ F in funzione della densità delle molecole 3.b) Calcolare il valore medio p 1, con p 1 = p 1, a T = in funzione dell energia di Fermi. Valutazione risposte: 1.a: 4, 1.b: 4, 1.c: 4, 1.d: 4.a: 4,.b: 3 3.a: 4, 3.b: 3

2 Risposte Nota: La costante di Botzmann B è presa uguale a 1, di conseguenza β 1 = T. 1.a) C P (T ) = 4N. 1.b) S(E) = N ln 4π 3 m e 4 ( ) ] 3 V E h 4. N 3N 1.c) r = πt. T V π, V = L. 1.d) f(p 1, q 1, q ) = 4m T..a) lim µ ɛ e β(ɛ µ) 1 < Esiste condensazione BE. T = 4π 3 m ζ(3) ] 1/3 N V.b) S(T ) = 4N ζ(4) ζ(3) ( ) 3 T = 16π3 m ζ(4) h 4 V T 3, T < T. T 3.a) ɛ F = 3h 4 ] 1/3 4π 3 m ρ, ρ = N/V. 3.b) p 1 = m ɛ F.

3 3 Soluzioni Nota: La costante di Botzmann B è presa uguale a 1, di conseguenza β 1 = T. 1.a) Il calore specifico a pressione costante si ottiene dall entalpia H = E+P V espressa in funzione della temperatura come: come ] C P = H = E + P V. P,N P,N T T Sia l energia E sia il volume V in funzione della temperatura possono essere calcolati a partire dalla funzione di partizione canonica Z N (T, V ). La prima direttamente dalla relazione E = ln Z N (T, V ), β V,N mentre la seconda invertendo la relazione P = β 1 ln Z N (T, V ). V T,N per ottenere V. Per un sistema di N molecole classiche non interagenti si ha Z N = Z1 N /N! dove Z 1 è la funzione di partizione di singola molecola: d p 1 d p d q 1 d q Z 1 = h 4 e βh(p1,p,q1,q). Introducendo la coordinata del baricentro q = (q 1 + q )/ e r = q 1 q, ed osservando che d q 1 d q = d q d r, otteniamo d p 1 d p d q d r Z 1 = h 4 e βh(p1,p,q,r) = 1 h 4 d p 1 d p e β m (p 1 +p V ) d q d r e β r =L Ne segue che: = 1 h 4 = 4π3 m V β 3. ] πm V β E = N ln Z 1 = N ln β 3 ] = 3NT, β V,N β V,N ] π β P = β 1 N ln Z 1 = NT ln V = NT V T,N β T,N V, V = NT P. Di conseguenza, C P = T C P (T ) = 4N. ] E + P V = P,N T ] 3NT + NT = 4N. P,N 1.b) L entropia micocanonica può essere ottenuta mediante la trasformata di Legendre { S(E) = βe βf (β) β βf (β)] = E

4 4 dove F = β 1 ln Z N = β 1 N ln(z 1 e/n) è l energia libera canonica, eliminando β in funzione di E dalla seconda relazione. Utilizzando i risultati del punto precedente otteniamo: E = β βf (β)] = 3N β β = 3N E, e quindi S(E) = 3N + N ln 4π 3 m ev β 3 N ] L entropia microcanonica è quindi: S(E) = N ln β=3n/e 4π 3 m e 4 ( ) ] 3 V E h 4. N 3N = N ln 4π 3 m e 4 ( ) ] 3 V E h 4. N 3N 1.c) Essendo le molecole indipendenti la densità di probabilità che la distanza r = q 1 q tra le due particelle costituenti la molecola abbia un valore r, r + dr) è data da d p 1 d p d q 1 d q P(r) = h 4 e βh(p1,p,q1,q) δ ( q 1 q r ) Z 1 d p 1 d p d q d r = h 4 e βh(p1,p,q,r ) δ(r r). Z 1 Utilizzando il risultato del punto 1.a), ed osservando che la Hamiltoniana è si fattorizza nella la somma della parte cinetica e della parte di interazione, otteniamo (d r = πrdr): ] β P(r) = e β r πr θ(r) = βre β r θ(r). π Quindi r = r = πt. dr r P(r) = β dr r e β r ( ) 3/ 1 + = β dy y 1/ e y β ( ) 1/ = Γ(1 + 1/) β ( ) 1/ π 1/ = β, Di conseguenza la condizione r L è soddisfatta se πt L T L π, T V π, V = L.

5 5 Analogamente r = r = T, dr r P(r) = β ( ) 1 = β β = β Γ(), dr r 3 e β r dy y e y per cui (/) r = T = T/ + T/ (equipartizione). Inoltre r r = 4 π T. 1.d) Essendo le molecole indipendenti il valore medio di f(p 1, q 1, q ) = f(p 1, r) è dato da d p 1 d p d q d r f(p 1, r) = h 4 e βh(p1,p,q,r) f(p 1, r). Z 1 Utilizzando il risultato del punto 1.a), ed osservando che f(p 1, r) = f(p 1, r) = p 1r, otteniamo: f(p 1, r) = β (π) m = β 4π m = p 1 r = m β β, f(p 1, q 1, q ) = 4m T. d p 1 d r e β m p 1 β r f(p 1, r) d p 1 e β m p 1 p 1 d r e β r r.a) Se il sistema è composto da Bosoni il numero di particelle a temperatura T è pari a N = N + Ñ; dove N è il numero di particelle nello stato condensato (ɛ = ɛ min ) ed Ñ il numero di particelle nello stato non-condensato (ɛ > ɛ min ) dato da, Ñ = ɛ min G(ɛ) e β(ɛ µ) 1, dove G(ɛ) è la densità degli stati di singola particella. La condizione affinchè esista la condensazione è: G(ɛ) lim µ ɛ min e β(ɛ µ) 1 <. ɛ min

6 6 Nel problema in questione ɛ min = ed d p 1 d p d q 1 d q G(ɛ) = h 4 δ ( ɛ H(p 1, p, q 1, q ) ) = V h 4 d p 1 d p d r δ ( ɛ (p 1 + p )/m r / ) = V h 4 d p 1 d p d r θ ( ɛ (p 1 + p ɛ )/m r / ). Usando ripetutamente d q θ(ɛ Aq ) = π A ɛ θ(ɛ) otteniamo G(ɛ) = V π = V (π) m d p 1 d p θ ( ɛ (p 1 + p )/m ) d p 1 (ɛ p 1/m ) θ ( ɛ p 1/m ), che usando d p 1 = πp 1 dp 1 = πdp 1 diventa G(ɛ) = V π m h 4 π dp ( 1 ɛ p 1 /m ) θ ( ɛ p 1/m ) = V h 4 π 3 m = V h 4 π 3 m mɛ = V π 3 m h 4 ɛ θ(ɛ), G(ɛ) = π3 m V dp 1 ( ɛ p 1 /m ) θ(ɛ) 1 mɛ dy (1 y) θ(ɛ) ɛ θ(ɛ). Di conseguenza la condizione di condensazione diventa ɛ e βɛ 1 <. La funzione integranda ha una sola singolarità integrabile all estremo inferiore, ɛ e βɛ 1 ɛ β ɛ, ne concludiamo quindi che lim µ ɛ e β(ɛ µ) 1 < Esiste condensazione BE. Alla temperatura di condensazione T si ha N = π3 m V = π3 m V = π3 m V β 3 ɛ e βɛ 1 dy Γ(3)ζ(3) β 3, y e y 1

7 7 dove abbiamo usato: dy yx 1 e y = Γ(x) ζ(x). 1 Di conseguenza T 3 = da cui T = N 4π 3 m ζ(3)v 4π 3 m ζ(3) ] 1/3 N V.b) L entropia può essere calcolata dal calore specifico a volume costante usando la relazione C V = T S(T ) S(T ) = T V,N T dt C V(T ). T Lo stato condensato ha energia ɛ min = e non contribuisce all energia, di conseguenza per T < T l energia del sistema vale E = ɛ min = π3 m V = π3 m V = π3 m V = 1π3 m V Ovvero usando 4π 3 m V G(ɛ) ɛ e βɛ 1 ɛ 3 e βɛ 1 β 4 y 3 dy e y 1 Γ(4)ζ(4) β 4 ζ(4) T 4. = N ζ(3) T 3, E = 3N ζ(4) ζ(3) Di conseguenza C V = E(T ) = 4E(T )/T = 1N ζ(4) T V,N ζ(3) e quindi S(T ) = Ovvero T S(T ) = 4N ζ(4) ζ(3) dt C V(T ) T T T 3 T 3 T 4 T 3 = 1N ζ(4) 1 ζ(3) T 3 dt T = 4N ζ(4) ( ) 3 T. ζ(3) T ( ) 3 T = 16π3 m ζ(4) h 4 V T 3, T < T. T Nota, processo adiabatico V T 3 = const..,.

8 8 3.a) L energia del sistema non dipende dal valore dello spin delle particelle, quindi il numero totale di molecole è: ɛf N = G(ɛ), ɛ min dove G(ɛ) è stata calcolata al punto.a), e come prima ɛ min =. Di conseguenza, N = 4π3 m V Di conseguenza ɛf ɛ = 4π3 m V 3 ɛ 3 F θ(ɛ F ). ɛ 3 F = 3h4 N 4π 3 m V ɛ F = 3h 4 ] 1/3 4π 3 m ρ, ρ = N/V. 3.b) Il valore di p 1, con p 1 = p 1, a T = è dato da p 1 = N ɛf dove, dal punto.a), dp 1 p 1 G(ɛ, p 1 ), G(ɛ, p 1 ) = 4π3 mv Di conseguenza p 1 (ɛ p 1/m ) θ ( ɛ p 1/m ), p 1 = 4π3 mv = 4π3 mv N = 4π3 mv N = 4π3 mv N N ɛf ɛf ɛf (m) 6 = π3 m 3 V 3N ɛ4 F. mɛ dp 1 p 3 1 (ɛ p 1/m ) θ ( ɛ p 1/m ) dp 1 p 1 (ɛ p 1/m ) θ(ɛ) 1 (m) ɛ 3 dy y (1 y ) θ(ɛ) ɛf ɛ 3 Usando ora, vedi punto precedente, V N = otteniamo 3h4 4π 3 m ɛ 3 F p 1 = 3h4 π 3 m 3 4π 3 m ɛ 3 F 3 ɛ4 F Ovvero p 1 = m ɛ F.

9 9 Notiamo che allo stesso modo si ottiene r = 1 ɛ F. Di conseguenza a T = si ha E/N = H(p 1, p, q 1, q 1 ) = 1 ( p m 1 + p ) + r = 1 4 ɛ F ɛ F ɛ F = 3 4 ɛ F. Per confronto i calcolo diretto fornisce E/N = N Ovvero ɛf E/N = 3h4 4π 3 m ɛ 3 F ɛ G(ɛ) = π3 m V π 3 m ɛ4 F = 3 4 ɛ F. N ɛf ɛ 3 = π3 m V N ɛ4 F.