Invece, la probabilità che nei giorni osservati piova una sola volta a Berlino, e mai a Fanano è: A) = P(B A)

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1 Elisa trascorrerà nel prossimo mese di agosto 15 giorni a Fanano (MO) in vacanza e 10 giorni a Berlino per motivi di studio. In base ai dati storici, la probabilità di pioggia a Fanano in ciascun giorno di agosto è 1 10 ; a Berlino è invece 1 4. a) Qual è la probabilità che almeno una volta nei 5 giorni in oggetto Elisa "prenda l'acqua"? b) Qual è la probabilità che ciò accada esattamente una volta? c) Se accadrà una sola volta che Elisa si bagni, qual è la probabilità che ciò accada a Berlino? (cfr es.1) a) Conviene calcolare la probabilità dell evento contrario, ossia che in nessuno dei 5 giorni osservati piova; la probabilità che ciò avvenga è: = * quindi la probabilità che almeno una volta piova è: - b) Bisogna distinguere i due casi: l'unico giorno piovoso si verifica a Fanano, oppure l'unico giorno piovoso si verifica a Berlino. La probabilità che nei giorni osservati piova una sola volta a Fanano, e mai a Berlino è: = * * * Invece, la probabilità che nei giorni osservati piova una sola volta a Berlino, e mai a Fanano è: = * * * La probabilità che Elisa subisca una sola giornata piovosa è: = + c) Sia A l evento Un solo giorno piovoso tra i 5 giorni osservati ; sia poi B l evento: Un solo giorno piovoso a Berlino, nessuno a Fanano". Desideriamo calcolare P(B A). Questa vale: P(B A) = P(B A) P(A) = P(B) P(A) = p p4 Jeff viaggia molto per lavoro; ogni volta alloggia in qualche albergo di categoria da 1 a 4 stelle. Quando soggiorna in un albergo *, con proabilità uguale a 1 giudicherà l'alloggio confortevole e 3

2 Probab nb sceglierà la stessa categoria per il prossimo soggiorno; altrimenti la prossima volta alloggerà in un albergo **. Da un **, con uguale probabilità deciderà di mantenere la categoria, o aumentare di una stella, o di diminuire di una. Da ***, con proabilità uguale a 1 manterrà la categoria; altrimenti 3 scenderà o salirà di una stella, e la probabilità di diminuire è tripla di quella di aumentare. Infine, da un ****, Jeff sicuramente scenderà di una o due stelle per abbassare il costo; la probabilità di passare a *** è doppia di quella di passare a **. a) Compilare la matrice di transizione della catena di Markov nella quale ciascuno degli stati 1,, 3, 4 rappresenta la categoria dell'albergo in cui Jeff alloggia ogni volta; classificare gli stati. (transitori, ricorrenti, assorbenti); stabilire se la catena è irriducibile e se è regolare, se esiste una distribuzione stazionaria, se questa è unica e, in caso affermativo, determinarla. b) Calcolare il valore medio del tempo che trascorre tra due sucessivi soggiorni in alberghi ****. a) La matrice di transizione è: = Si vede subito che tutti gli stati comunicano tra loro, quindi la matrice è irriducibile; inoltre, poiché qualche termine della diagonale principale e diverso da 0, la matrice è regolare. La distribuzione stazionaria (x 1, x, x 3, x 4 ) si trova risolvendo il seguente sistema: [{ { } { } } { }] b) Ciò che viene chiesto è τ 4,4, tempo medio di ritorno allo stato 4. Per un Teorema specifico, τ 4,4 è il reciproco della quarta componente della distribuzione invariante; nel caso attuale è quindi τ 4,4 = 1 x 4 =, ossia, quando Jeff lascia un albergo ****, passeranno in media trasferte prima che si trovi nuovamente a soggiornare in un albergo di quella categoria. Leo (3 anni) è un calciatore, e tra qualche anno abbandonerà lo sport professionistico; per garantirsi una serena vecchiaia sottoscrive una polizza con una Compagnia di assicurazioni, impegnandosi a pagare ogni anno, per 5 anni, il primo pagamento oggi. Ciascun pagamento sarà dovuto solo se Leo sarà in vita alla relativa scadenza. La Compagnia trattiene il 50% dei premi per proprio guadagno e a copertura di spese e tasse; la parte rimanente finanzia una rendita vitalizia che Leo e sua moglie Antonella (31 anni) percepiranno in rate annuali, la prima alla ricorrenza del 50 compleanno di Leo. La rendita sarà pagata fino a quando almeno uno tra Leo e Antonella sarà in vita. a) Calcolare, esprimendola in funzione dei coefficienti demografici, la probabilità che la compagnia debba pagare esattamente 8 rate della rendita dovuta. b) Esprimere in funzione dei coefficienti demografici e del tasso di mercato i, che si suppone costante nel tempo, l'importo di ciascuna rata annuale che sarà pagata a Leo o a sua moglie. a) Come di consueto, con gli apici indichiamo i dati demografici relativi alla popolazione femminile. L'obbligo della Compagnia ai pagamenti verrà meno dalla prima scadenza annuale nella quale né

3 Probab nb 3 L'obbligo Compagnia pagamenti prima quale Leo né Antonella saranno in vita. Bisogna allora che alla ricorrenza del 57 compleanno di Leo (56 di Antonella) almeno uno dei due coniugi sia in vita, e un anno dopo siano entrambi deceduti. Questo evento si può vedere come unione di tre eventi incompatibili A, B, C: A : "Leo e Antonella muoiono entrambi nell'anno successivo all'ottavo pagamento". Allora è P(A) = 57 ' 56. B : "Leo muore nell'anno successivo all'ottavo pagamento, Antonella in un anno precedente". Allora è P(B) = l ' 56. C : "Antonella muore nell'anno successivo all'ottavo pagamento, Leo in un anno precedente". Allora è P(C) = 1 - l 57 ' 56. Quindi la probabilità che la Compagnia debba pagare esattamente 8 annualità è: P(A) + P(B) + P(C) = 57 ' l ' l 57 ' 56 b) La speranza matematica del valore attuale della parte investita delle rate che Leo deve pagare vale: 4 1 V = k=0 l3+k (1+i) k Detto R l'importo di ciascuna rata che la Compagnia pagherà a Leo e Antonella, deve essere uguale a V la speranza matematica del valore attuale del complesso delle rate che saranno corrisposte. La rata che scade nella ricorrenza del compleanno 50 + h di Leo è dovuta se in quella data è in vita almeno uno tra Leo e Antonella; la probabilità che il pagamento avvenga è quindi: Bisogna quindi che sia: da cui si ricava R = V h=0 ω-49 ( ) l 50+h + l ' 49+h - l 50+h l ' 49+h ω-49 1 V = R h=0 l 50+h + l ' 49+h - l 50+h (1+i) h, con V definito precedentemente. l ' 49+h Il professore del corso di lingua Turca prende nota dei voti assegnati nei più recenti esami sostenuti con lui dai suoi studenti: = { } Assumiamo che i voti assegnati si possano rappresentare con una distribuzione normale, con media μ e varianza σ sconosciute. a) Determinare al livello del 95% un intervallo di confidenza per la media μ e uno per lo scarto quadratico medio σ, il primo centrato nel valore rilevato della media campionaria, il secondo del tipo [0,b]. b) Ora supponiamo note μ = 4 e σ = 5 ; calcolare la probabilità che il prossimo candidato riceva un voto 5. (cfr es.4) La media campionaria per i dati elencati è: = = [[]] La stima corretta della varianza è:

4 4 Probab nb = [[]] - [{ []}] = = L intervallo di confidenza al livello del 95% (ossia 1-α con α=0.05) è x - s 8 t α 1-, x + s 8 t α 1- ] con t α 1- quantile di livello 1 - α = per la distribuzione di Student con 7 gradi di libertà. Il risultato è il seguente: = [[] ] - + { } Un intervallo di confidenza al livello 1-α per σ (n-1) s è 0, con n taglia del campione e χ χ α (n-1) α (n - 1) quantile di livello α per χ con n - 1 gradi di libertà. Qui ci serve q = χ 0.05 (7) che vale: = [[] ] e quindi il secondo estremo dell'intervallo di confidenza per σ è: che corrisponde a un maggiorante dello scarto quadratico medio uguale a: b) Detta X la variabile voto, che ora supponiamo avere distribuzione N(4, 5) e Z = X-4, abbiamo 5 che la distribuzione di Z è N(0, 1). La disuguaglianza che ci interessa è X 5 ; questa però equivale a X > 4, perché X assume in realtà soltanto valori interi; perciò otteniamo una stima migliore chiedendo alla distribuzione normale teorica X di essere 4.5. La disuguaglianza X 4.5 equivale a Z 0.1. Nelle tavole dei valori della funzione ripartizione di N(0,1) si legge il valore di P(Z 0.1), cioè P(X 4.5) : [[] ] La probabilità che interessa a noi è il complemento a 1 di questo valore, cioè: - %

5 Probab nb 5 Nota: questo tipo di previsione è ragionevole dal punto di vista del professore o di un osservatore estraneo, il quale non sa quale studente o studentessa si presenterà per sostenere l'esame, quindi non ha alcun elemento per pronosticare la sua prestazione; non è adeguata invece da parte di un candidato, perché egli sa quanto e come ha studiato, e possiede quindi informazioni decisive per valutare soggettivamente quale esito ritiene più probabile per il suo esame. Il professore di Turco ha annotato i voti di otto studenti maschi, quelli dell esercizio 4 e di sette studentesse: = { } = { } a) Stabilire con test bilaterale se si può ritenere, al livello 5%, che ci sia differenza significativa tra il voto medio dei maschi e delle femmine all esame di Turco; cioè se sia da respingere l ipotesi μ = μ 1, essendo μ e μ 1 le medie delle variabili X, Y voto nell esame di turco rispettivamente per studenti maschi e femmine. b) Supponiamo ora che gli stessi risultati per gli stimatori x, s, y, s 1 di media e scarto quadratico medio di X e Y si ottengano da un campione di 16 maschi e uno di 14 femmine (anziché 8 e 7). Vedere se questo cambia l esito del test oppure no. a) Gli stimatori di μ e σ, media e scarto quadratico medio della variabile X voto degli studenti maschi nell esame di turco sono stati calcolati nella risoluzione dell'esercizio 4, e valgono: { } Analogamente si calcolano gli stimatori di μ 1 e σ 1, media e scarto quadratico medio della variabile Y voto delle studentesse nell esame di turco ; i valori sono rispettivamente: = [] = [] Lo stimatore congiunto della varianza di X e di Y (che si deve supporre essere la stessa per X e per Y) è: = + - ( - ) + ( - ) La statistica-test per la verifica dell ipotesi μ = μ 1 è: = * t ha distribuzione di Student con = 13 gradi di libertà; l insieme di rigetto dell ipotesi «μ = μ 1» al livello del 5% è D =] -, -t (13)] [t (13), + [; è:

6 6 Probab nb [[] ] Il valore di t non appartiene all insieme di rigetto, quindi l ipotesi non viene respinta, vale a dire che al livello del 5% i dati raccolti non sono sufficienti per affermare che il voto medio delle studentesse è differente da quello dei loro colleghi maschi. b) Rispetto al caso dei campioni di 8 e 7 individui cambia (non di molto) lo stimatore congiunto dello scarto quadratico medio comune a X e Y: = + - ( - ) + ( - ) La statistica-test per la verifica dell ipotesi μ = μ 1 è questa volta: = * valore da confrontare con l insieme di rigetto D =] -, -t (8)] [t (8), + [; il quantile di riferimento vale [[] ] quindi neppure in questo caso abbiamo elementi sufficienti per respingere l ipotesi di uguaglianza delle due medie; vale a dire che, supponendo le due medie uguali tra loro, permane un ragionevole dubbio, al livello del 5%, che la migliore prestazione delle 14 ragazze si sia verifiacta per caso, nel senso che quelle ragazze sono state in media più brave di quei ragazzi, ma non è detto che sia così per l intera popolazione studentesca. Osservando i quantili di t di Student con 8 gradi di libertà si nota t (8) = Il test al livello 0% avrebbe quindi (per poco) respinto l ipotesi; si tratta di un livello molto scadente, potremmo definirlo giustizia sommaria. Un generatore di numeri casuali dà ad ogni richiesta un numero che può essere 0, 1,, 3. In 500 esecuzioni le frequenze dei quattro risultati sono state: = Osservando questi numeri, un giovane matematico sostiene che il generatore simula il lancio di due dadi regolari, e restituisce il resto modulo 4 del punteggio ottenuto. a) Stabilire se al livello del 5% questa ipotesi può essere ritenuta valida. b) Se le stesse frequenze relative delle uscite di 0, 1,, 3 si fossero riscontrate in un un numero n di risultati diverso da 500, la decisione conseguente al test sarebbe potuta essere diversa. Determinare quali valori di n avrebbero condotto al rifiuto dell ipotesi e quali no. La seguente tabella contiene i punteggi da a 1 che si possono realizzare lanciando due dadi regolari, i rispettivi resti modulo 4 e le probabilità di uscita.

7 Probab nb 7 = [ { }] [[ { }] ] -[ - ] + { } [] La prossima tabella raggruppa le probabilità di uscita dei quattro possibili resti, indicandone le rispettive probabilità, nella seconda riga in forma di frazione, nella terza in forma decimale. = { } = {[[ ]] + [[ ]] + [[ ]] [[ ]] + [[ ]] [[ ]] + [[ ]] + [[ ]] [[ ]] + [[ ]] + [[ ]]} = [] = { } [] Queste probabilità vanno confrontate con le loro stime sperimentali, ossia con le frequenze relative delle uscite di 0, 1,, 3; queste sono calcolate qui sotto = [[]] { } La statistica-test per la verifica dell ipotesi specificata è [[ ]] - [[]] = * = [[ ]] Se l ipotesi è vera, t ha approssimativamente distribuzione χ (3); l intervallo di rifiuto dell ipotesi al livello 5% è χ 0.95 (3), + =] , + ]. Il valore osservato di T non appartiene all intervallo di rifiuto; l ipotesi non può essere respinta. b) Se il test viene effettuato su n rilevazioni e le frequenze relative che si ottengono sono le stesse, il valore di t cambia soltanto per il fattore n al posto di 500: = * = [[ ]] - [[]] [[ ]] L intervallo di rifiuto dell ipotesi rimane lo stesso; perciò l ipotesi verrà rifiutata se troveremo t > χ 0.95 (3). [ > ] > Pertanto queste frequenze relative condurranno al rifiuto dell ipotesi al livello 5%, se il campione sarà di almeno 1008 valori osservati.