Detto A l evento Romeo supera l esame si vede che è P(A) = = 0.78.

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1 Romeo, studente di Matematica a Bologna, deve sostenere l esame di Analisi 1; il giorno precedente l esame, Romeo valuta 70% la probabilità di superare l esame con la preparazione acquisita fino a quel momento, e ritiene che questa probabilità diventerà 90% se egli passerà la giornata a ripassare la materia, cosa che intende fare. Tuttavia, con probabilità 60% la sua amica Giulietta verrà proprio oggi da Verona a fargli visita; se ciò accadrà, Romeo trascorrerà la giornata in sua compagnia, e non potrà studiare. a) Calcolare la probabilità che Romeo superi l esame. b) Qualche giorno dopo impariamo che Romeo non ha superato l esame. Qual è la probabilità che Giulietta gli abbia fatto visita il giorno precedente l esame? a) Il seguente grafo mostra le diverse alternative riguardo alla visita di Giulietta e al superamento dell esame: Detto A l evento Romeo supera l esame si vede che è P(A) = = b) Detto G l evento Giulietta viene a trovare Romeo, la probabilità che si deve calcolare è PG A, in cui A rappresenta l evento contrario di A. Si ha PG A = PG A P(A) = = Tra Perry e Della si svolge un gioco con le seguenti regole: Perry lancia un dado e prende nota dell esito, senza mostrarlo. Della cerca di indovinarlo; il gioco prosegue con un nuovo lancio di Perry e tentativo di indovinare da parte di Della, fino a quando Della avrà indovinato per due volte consecutive, oppure avrà sbagliato per due volte consecutive; in tali casi il gioco si concluderà con la vittoria rispettivamente di Della o di Perry. Nel corso del gioco Della può essere nelle seguenti situazioni, che definiamo stati : 1) Della ha commesso due errori consecutivi (quindi ha perso); ) Della ha commesso un errore nell ultimo tentativo, ma aveva indovinato il precedente; 3) Della ha indovinato nell ultimo tentativo, ma aveva sbagliato il precedente. 4) Della ha indovinato in due tentativi consecutivi (quindi ha vinto). a) Descrivere il problema attraverso una catena di Markov con quattro stati, definiti come sopra. Scrivere la matrice di transizione, classificare gli stati (transitori, ricorrenti, assorbenti); dire se la catena è irriducibile e se è regolare. b) Calcolare il tempo medio occorrente per la conclusione del gioco, se Della si trova nello stato 3. a) Le regole del gioco conducono immediatamente alla seguente matrice di transizione

2 Probab nb = Gli stati 1 e 4 sono assorbenti (quindi ricorrenti); gli stati e 3 sono transitori, in quanto ciascuno di essi comunica (per esempio) con 4, il quale non comunica con né con 3. La catena non è regolare né irriducibile. b) Ciò che dobbiamo calcolare è τ 3, tempo medio di assorbimento nella classe {1, 4}, partendo dallo stato 3. Questo valore si calcola insieme con τ, che ha lo stesso significato quando si parte dallo stato ; valgono infatti le relazioni τ = τ 3 = le quali, con i dati attuali, danno luogo al sistema che fornisce i seguenti risultati: 1 + p, τ + p,3 τ p 3, τ + p 3,3 τ 3 τ = τ 3 = τ τ τ + τ τ + τ {τ τ } τ τ Donald (7 anni) è molto ricco, il suo patrimonio ammonta a $. Donald ha fatto testamento a favore della figlia Ivanka (37), che alla morte del padre erediterà l intero patrimonio paterno. Donald è abile negli affari, cosicché riesce ogni anno a incrementare del 0% il suo patrimonio. a) Calcolare la probabilità che Ivanka possa ricevere l eredità del padre, ossia che gli sopravviva. b) Ivanka ha bisogno di denaro, a causa di alcuni incauti investimenti. Decide perciò di rinunciare all eredità cedendo il suo diritto ereditario a una Banca, in cambio di un importo che quest ultima le corrisponde subito in unica soluzione. La Banca riceverà quindi l eredità di Donald alla morte di quest ultimo, ma non riceverà nulla se Ivanka sarà deceduta prima di suo padre. L importo S che Ivanka riceve è calcolato come speranza matematica del valore attuale al tasso 0.05 di ciò che la Banca riceverà alla morte di Donald. Calcolare S. Per semplicità, si considerino simultanei gli eventi che accadono in uno stesso anno, e che l eventuale acquisizione dell eredità abbia luogo alla fine dell anno in cui muore Donald, solo se alla fine di quell anno Ivanka è ancora in vita. a) Come al solito ragioniamo nell ipotesi che le età indicate per i due soggetti siano entrambe compiute oggi. Ivanka riceverà l eredità nel suo compleanno 37 + x se sarà in vita per tale ricorrenza, mentre Donald sarà deceduto in età 7 + x. Per un generico x tra 0 e ω - 7 la probabilità che si verifichimo entrambi questi eventi è ω-7 l ' p = 37+x x=0 l 7 b) Allo scadere di x anni da oggi la Banca riceverà un importo aleatorio, che può valere: La speranza matematica di questa variabile è x +x l 7 ; x con probabilità +x 0 con probabilità 1 - +x l 7 ; l 7.

3 Probab nb 3 il corrispondente valore attuale è x x +x l 7 cosicché la somma che la Banca anticipa oggi a Ivanka è S = ω-7 x= x +x. l 7 Un cartolaio vende cartucce per un modello di stampante molto diffuso; negli ultimi 101 giorni il numero medio giornaliero di cartucce vendute è stato 33, con una varianza corretta S = 81. a) Calcolare un intervallo di confidenza inferiormente illimitato per μ, valore medio della variabile numero di cartucce vendute ogni giorno, al livello 95% (data la natura della variabile studiata, l intervallo sarà in effetti della forma [0, h], perché questa variabile non può assumere valori negativi), e un intervallo di confidenza della forma [0, k] per la varianza, ancora al livello 95%. b) Il fornitore consegna ogni 30 giorni al cartolaio ciò che egli ha ordinato. Calcolare quante cartucce si debbono ordinare, come minimo, per avere probabilità non inferiore all 80% di poter soddisfare tutti i clienti nei 30 giorni successivi, supponendo che non ci sia rimanenza dal mese precedente, e che il negozio sia aperto ogni giorno. a) Il testo fornisce = = = L intervallo di confidenza per μ, nei termini richiesti, è 0, x + s n t 0.95 (n - 1); il quantile t 0.95 (n - 1) vale = [[ - ]] quindi l'estremo di destra dell'intervallo di confidenza cercato per la media è = + L'intervallo di confidenza per la varianza è [0, k] con k = χ = [[ - ]] (n-1) s. Il quantile χ (n-1) 0.05(n - 1) vale χ 0.05 quindi l'estremo k dell'intervallo di confidenza per la varianza è = ( - ) χ b) Sia X la variabile aleatoria numero di cartucce vendute ogni giorno, la cui media μ e varianza σ non sono note. Per il Teorema Limite Centrale, la variabile Y numero di cartucce vendite nei prossimi 30 giorni, somma di 30 esemplari di X indipendenti ed equidistribuiti ha approssimativamente distribuzione N30 μ, 30 σ, e la variabile Z = Y-30 μ valore è 30 σ ha approssimativamente distribuzione N(0, 1). Con probabilità 0.90 sarà Z ϕ 0.90, il cui ϕ = [[]][ϕ ]

4 4 Probab nb Z ϕ 0.90 equivale a Y 30 μ + 30 σ *ϕ I valori di μ e σ sono sconosciuti; tuttavia i dati raccolti ci hanno permesso di stabilire che vi è probabilità 0.95 che sia μ , e ancora probabilità 0.95 che sia σ ; con probabilità 0.95 = sono vere entrambe queste disuguaglianze. Allora, con probabilità 0.905*0.90 = il valore di Y sarà inferiore a * + * *ϕ quindi l ordine di 1107 cartucce di quel tipo darà una probabilità dell 81% di soddisfare tutti i clienti dei successivi 30 giorni. La società di basket Aquile biancoblu, qualche tempo fa ha esonerato l allenatore, assumendone un altro. Con il nuovo allenatore le Aquile hanno giocato 80 partite, vincendone 50; con il precedente allenatore ne avevano giocate 150, vincendone 84. a) Stabilire con test bilaterale al livello 5% se si può ritenere che il cambio di allenatore abbia dato variazioni significative alla prestazione della squadra, cioè se sia da respingere l ipotesi p 1 = p, essendo p 1 e p le probabilità di vittoria delle Aquile in ciascuna partita, rispettivamente con il vecchio e il nuovo allenatore. b) Determinare il livello di significatività del test. Gli stimatori di p 1 e p che si ottengono con i dati assegnati sono = = {} Se si suppone p 1 = p, allora la quantità = (-) - + (-) [] ha aprossimativamente distribuzione N(0, 1). Una regione di rigetto dell'ipotesi p 1 = p, al livello α relativamente al valore sperimentale di t, è D =] -, -ϕ α 1- [ ] ϕ α 1-, + [ dove è α = ϕ α = [] - α Il valore osservato di t è che non appartiene a D. Al livello del 5% l ipotesi p 1 = p non può essere respinta, vale a dire che non ci sono elementi sufficienti per stabilire se il cambio dell allenatore abbia migliorato l efficienza della squadra. b) Il livello di significatività del test, con questi valori sperimentali, è il minimo α per il quale t calcolato sopra appartiene alla regione di rigetto; quindi è α tale che ϕ α 1- = t; pertanto, detta Φ la funzione ripartizione di N(0, 1), dovrà essere 1 - α = Φ(t) ; da questa relazione si calcola α come segue: [[]] (questo è il valore di Φ(t));

5 Probab nb 5 [α] - α [[]] α {{α }} Il livello di significatività è dunque 33.64%. (Se per i calcoli si utilizzano le tavole dei quantili di N(0, 1) è possibile che nei risultati ci sia qualche piccola differenza). 00 studenti universitari triennali vengono intervistati a proposito dell anno di corso frequentato e del mezzo di trasporto che utilizzano per andare alle lezioni, ottenendo le risposte sintetizzate nella seguente tabella a) Stabilire se, al livello 5%, si può ritenere che la scelta del mezzo di trasporto sia indipendente dall anno di corso frequentato. b) Qual è il minimo numero m di intervistati con il quale, ottenendo le stesse frequenze relative di risposte, si dovrebbe, al livello 5%, rifiutare l ipotesi di indipendenza? La seguente matrice aggiunge ai dati del problema le distribuzioni marginali relative a "secondo" e "contorno": Questa corrisponde alle seguenti frequenze relative (accoppiate e marginali) [[]] Invece la matrice con le frequenze relative accoppiate teoriche in caso di indipendenza, cioè i prodotti delle distribuzioni marginali è [[]] La statistica-test per l'indipendenza delle due variabili "secondo" e "contorno" è [[]][[]] - [[]][[]] = * [[]][[]] == Se le due variabili considerate sono indipendenti, t ha aprossimativamente distribuzione χ (4) (i gradi di libertà sono (3-1) (3-1)). Il quantile che limita inferiormente la regione di rifiuto del'ipotesi di indipendenza è = [[]] L'ipotesi non viene rifiutata. b) Se il numero di intervistati è m, lasciando invariate le frequenze relative delle risposte, il solo cambiamento

6 6 Probab nb b), frequenze risposte, nel calcolo del valore sperimentale della statistica t è appunto il fattore m; si ottiene in questo caso [[]][[]] - [[]][[]] = * [[]][[]] == L ipotesi viene rifiutata se il valore di t è superiore a q = χ 0.95 (4). [ ] {{ }} Quindi le stesse frequenze relative conducono al rifiuto dell ipotesi di indipendenza, al livello del 5%, se il campione è formato da almeno 55 persone.