= = 0.9. e conseguentemente P(F G) = 1 - P(D G) = 0.1.

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1 Lewis deve sostenere l esame di teoria per la patente di guida. L esame consiste in 0 quesiti, ordinati casualmente. Tra questi ce ne sono due difficili, a ciascuno dei quali Lewis risponderà correttamente con probabilità 0.4, otto facili ai quali risponderà correttamente con probabilità 0.9. L esame viene superato se non si commette più di un errore. a) Qual è la probabilità che Lewis dia la risposta corretta al quesito numero 2? b) Qual è la probabilità che Lewis dia la risposta corretta al quesito numero 2, sapendo che ha risposto bene al numero? c) Qual è la probabilità che Lewis superi l esame? a) Non è rilevante che la domanda considerata sia la seconda, se non si hanno informazioni sulle altre: la domanda numero 2 è una qualunque delle dieci domande del testo. Ragioniamo allora nel seguente modo: Perciò la probabilità che Lewis dia la risposta giusta alla domanda n.2 è = 0.8. b) (prima risoluzione)l informazione che Lewis abbia dato la risposta giusta alla prima domanda modifica le probabilità che questa sia facile o difficile ; ci occorre conoscere queste probabilità per poi calcolare le probabilità condizionali che sia facile o difficile la domanda 2. In simboli: siano F, D, G gli eventi: F : la domanda n. è facile D : la domanda n. è difficile G : Lewis risponde correttamente alla domanda n.. Ci servono P(F G) e P(D G). Si ha P(F G) = P(FG) P(G) e conseguentemente P(F G) = - P(D G) = 0.. = P(G F) P(F) P(G) = Si noti che P(G) = 0.8 si calcola nello stesso modo in cui abbiamo risolto (a), e quindi dà lo stesso risultato. Secondo che la domanda sia facile o difficile, sono diverse le probabilità che sia facile o difficile la 2, della quale ci dobbiamo occupare. Abbiamo quindi tre livelli da considerare; le probabilità indicate al primo livello del seguente schema sono quelle condizionate all informazione G. = 0.9

2 2 Probab nb e quindi la probabilità che Lewis risponda bene alla seconda domanda, dopo avere risposto bene alla prima, è b) (seconda risoluzione, più diretta). Sia H l evento: H : Lewis risponde correttamente alla seconda domanda Dobbiamo calcolare P(H G) = P(HG). Come già osservato, P(G) = 0.8, calcolo svolto in (a); ora calcoliamo P(G) P(H G), ossia la probabilità che Lewis risponda correttamente a entrambe le prime due domande. Queste possono essere entrambe facili, entrambe difficili, oppure una facile e una difficile; di ciò dovremo tenere conto nella risoluzione. Si ottengono i risultati schematizzati di seguito: Da qui si calcola P(H G) : * * + * * * * + * * e quindi P(H G) = P(HG) P(G) vale * * + * * * * + * * c) L esame viene superato se accade uno dei seguenti eventi, tra loro disgiunti: A : dieci risposte esatte ; B : un errore in una domanda difficile, risposta esatta alle altre 9 domande ; C : un errore in una domanda facile, risposta esatta alle altre 9 domande. Abbiamo: P(A) = p (vedi sotto): = * P(B) = p 2 : = * * * P(C) = p 3 : = * * * La probabilità che l esame venga superato è p + p 2 + p 3 : + +

3 Probab nb 3 Renzo vuole costruire un castello di carte di quattro piani. Se riuscirà nell intento, non andrà oltre e il gioco avrà fine, come pure se durante la costruzione il castello crollerà interamente. Si suppone che da ciascun livello intermedio vi sia uguale probabilità di realizzare il piano superiore, o di far cadere un piano, oppure due o più, tra quelli già realizzati; per esempio, avendo costruito due piani, riteniamo ugualmente probabile realizzare il terzo, oppure far cadere il secondo piano ma non il primo, oppure far cadere tutto il castello. Descrivere il gioco attraverso una catena di Markov con cinque stati: - stato 0 = castello crollato interamente; - stato = realizzato il piano; - stato 4 = realizzato il 4 piano, ossia costruzione terminata. a) Scrivere la matrice di transizione; classificare gli stati, stabilire se la catena è regolare o irriducibile. b) Calcolare la probabilità che il castello venga terminato, quando Renzo ha realizzato il primo piano. a) Tenendo presente le regole del gioco, si ottiene la seguente matrice di transizione P: () () () () () () () () () () cioè P = Gli stati 0 e 4 sono assorbenti, quindi ricorrenti; gli stati, 2, 3 sono transitori, perché ciascuno comunica per esempio con 0, il quale non comunica con nessuno di essi. La catena perciò non è regolare né irriducibile. b) La probabilità richiesta è λ, convenendo di indicare con λ k la probabilità di raggiungere lo stato 4 partendo dallo stato k (k =, 2, 3). Indicati con p i,j, i, j = 0,, 2, 3, 4 i termini della matrice di transizione, i numeri λ k soddisfano il sistema λ k = p k,4 + 3 j= p k,j λ j, k =, 2, 3 cioè: λ λ λ λ + λ λ + λ + λ {λ λ λ } λ λ λ Quindi vale 7 la probabilità di portare a termine la costruzione, se si parte dal primo piano. Anna (30 anni) è sposata con Karenin (40), ma è l amante di Alessio (35). Ciò nonostante, Karenin ha stipulato una polizza che le assicura una rendita vitalizia di all anno, pagabili alla fine di ogni anno, a partire dalla fine dell anno in cui Karenin sarà deceduto. Per non essere da meno, anche Alessio stipula una polizza a favore di Anna, la quale, se in vita, riceverà alla fine dell anno in cui sarà defunto Alessio.

4 4 Probab nb a) Esprimere in funzione dei valori demografici la probabilità che Anna possa beneficiare di almeno una delle due previdenze sottoscritte a suo favore. b) Esprimere in funzione dei valori demografici e del tasso di mercato i, premi puri pagati da Alessio e da Karenin, se costoro hanno sottoscritto oggi le rispettive polizze. a) Dobbiamo calcolare la probabilità che Anna sopravviva ad almeno uno tra Karenin e Alessio. Se Anna morirà in età 30 + x, ella non avrà potuto ricevere nulla se Karenin e Alessio saranno viventi alle rispettive età 40 + x e 35 + x. Quindi, la probabilità che Anna non riceva nulla è ω-30 d ' 30+x x=0 l40+x l35+x l ' 30 l 40 l 35 ω-30 d ' e perciò la probabilità che riceva qualcosa è - 30+x x=0 l40+x l35+x. l ' 30 l 40 l 35 b) Il premio puro che Alessio deve pagare oggi per sottoscrivere la sua polizza è la speranza matematica del valore attuale di quanto la Compagnia dovrà (eventualmente) pagare ad Anna. Se Alessio morirà in età 35 + x, la Compagnia pagherà tra x + anni se Anna in quel momento sarà in vita, nulla altrimenti. La speranza matematica del valore attuale di quanto la Compagnia dovrà pagare tra x + anni è ( + i) -x- d35+x l ' 3+x l 35 l ' 30 ; il premio unico è ω-35 x=0 ( + i) -x- d35+x l ' 3+x l 35 l ' 30 Se Karenin morirà in età 40 + x, Anna riceverà ad ogni suo compleanno, a partire da quello 3 + x, nel quale ella sarà in vita. La speranza matematica del valore attuale della rata pagabile al compleanno 3 + x + y di Anna è: ( + i) -x-y- l ' 3+x+y ; la speranza matematica di tutte le rate che Anna percepirà, condizionata all informazione della morte di Karenin in età 40 + x, l ' 30 vale ω-x-3 y=0 ( + i) -x-y- l ' 3+x+y l ' 30 Infine, bisogna sommare rispetto a x, relativamente all età in cui morirà Karenin: il premio puro dovuto oggi da quest ultimo è ω-40 d x x=0 l 40 ω-x-3 y=0 ( + i) -x-y- l ' 3+x+y l ' 30 Henry è un bravo fotografo, ma gli affari non vanno molto bene. Da 3 giorni fotografa i bambini che giocano in un parco con una macchina a stampa immediata, e offre le foto in vendita alle mamme. Il ricavo medio giornaliero è stato di 56, con una varianza corretta S 2 = 64. a) Detta X la variabile ricavo giornaliero, assumiamo che X abbia distribuzione normale con media e varianza μ, σ 2 non conosciute. Calcolare un intervallo di confidenza superiormente illimitato per μ, al livello 97.5%, e un intervallo di confidenza della forma [0, k] per σ 2, ancora al livello 97.5%. b) Dare una stima della probabilità che tra 220 giorni, tenendo conto di quanto ha già messo da parte finora, Henry possa realizzare il desiderio di comperare la Leica M0 con obiettivo standard, che costa a) Il testo fornisce = = = L intervallo di confidenza per μ, nei termini richiesti, è x - s n t 0.95 (n - ), + ; il quantile t 0.95 (n - ) vale = [[ - ] ] quindi l'estremo di sinistra dell'intervallo di confidenza cercato per la media è

5 Probab nb 5 = - L'intervallo di confidenza per la varianza è [0, k] con k = χ = [[ - ] ] (n-) s2. Il quantile χ 2 2 (n-) 0.025(n - ) vale χ quindi l'estremo k dell'intervallo di confidenza per la varianza è = ( - ) χ cosicché, con probabilità vale una maggiorazione di σ con b) Henry ha già accantonato 56 3 = 736 ; ne occorrono ancora = 264. In 220 giorni Henry guadagnerà una somma aleatoria Y, somma di 220 variabili indipendenti equidistribuite a X ; dunque Y N 220 μ, 220 σ 2 e, detta Z = Y-220 μ, Z N( 0, ). Perciò, se 0 < α < allora - α = P Y-220 μ σ 220 σ 220 -ϕ -α = P Y 220 μ - ϕ -α σ 220. Abbiamo stabilito in (a) che vi è probabilità che sia μ , e ancora vi è probabilità che sia σ , quindi, tenuto conto dell indipendenza delle due stime, P(A) Sia A l evento Se vale A allora A : «μ e σ » ; 220 μ - ϕ -α σ 220 * - ϕ -α * * - ϕ -α e quindi P(Y ϕ -α ) P((Y ϕ -α ) A) = = P(A) P((Y ϕ -α ) A) P(A) P Y 220 μ - ϕ -α σ 220 = 0.95 ( - α) - α viene ora determinato in modo che ϕ -α = 264 [ - ϕ -α == ϕ -α ] {{ϕ -α }} Quindi - α è Φ(2.5875), con Φ funzione ripartizione di N(0, ) : [[ ] ] Pertanto concludiamo che P(Y 264) è maggiore o uguale di *

6 6 Probab nb Un centro benessere propone un piano di dieta e allenamento di una settimana, nella quale promette che ogni partecipante diminuirà il suo peso almeno di 7 kg. Per controllare se la promessa è sincera viene registrato il peso di otto partecipanti al programma, prima e dopo la cura ; i risultati sono i seguenti = () a) Stabilire se si può ritenere al livello 5% che quanto promesso viene mantenuto, cioè se ; verificare cioè se i dati sperimentali consentono di rifiutare con test unilaterale al livello 5% l ipotesi µ - 7 μ', in cui μ e μ' indicano rispettivamente il peso medio di chi aderisce al programma, quando entra e quando esce (impostare il test per l ipotesi μ'' μ', essendo μ'' la media dei pesi prima diminuiti di 7; nel test si dovranno quindi utilizzare i dati di prima non come assegnati, ma diminuiti di 7. b) Si scopre che a causa di un errore nella taratura della bilancia, tutti i pesi dopo sono errati per eccesso di kg, quindi il primo partecipante pesa dopo la cura 7 kg, non 72, ecc. Stabilire se, dopo questa correzione, la conclusione cambia (non serve ripetere tutti i calcoli!) a) La variabile su cui dobbiamo lavorare è Z = X - Y, essendo X il peso di un partecipante prima della cura, diminuito di 7 kg, Y il valore di "peso dopo la cura". I valori campionari di Z sono le differenze X i - Y i, essendo X i e Y i i pesi prima, diminuiti di 7, e i pesi dopo : = [[[]][[]] - - [[]][[]] { }] { - - } La media campionaria e la varianza corretta corrispondenti a questi valori sperimentali sono = [[]] = [[]] cosicché lo stimatore dello scarto quadratico medio è = Supponiamo X e Y distribuite normalmente; detta μ Z = μ - μ'', (valore sconosciuto!) la variabile distribuzione di Student con 7 gradi di libertà. 8 z-µ Z s ha L ipotesi che si vorrebbe confutare è: µ Z 0. La statistica da usare è il numero T = 8 z. Un intervallo di s rifiuto al livello α per questa ipotesi, relativo alla statistica T, è ] t -α (7), + [. Nel caso attuale abbiamo scelto α = 0.05, quindi -α () = [[] ] Il valore di T corrispondente ai dati sperimentali è = il quale non appartiene all intervallo di rigetto; i valori sperimentali non consentono di rifiutare l ipotesi, quindi non confermano, al livello del 5%, che la promessa venga mamtenuta. b) La correzione di kg in meno a ciascuno dei pesi dopo aumenta di ciascun valore di Z; la media campi-

7 b) kg pesi dopo ; campi onaria aumenta quindi di, e diventa = + mentre la varianza stimata rimane invariata. Il valore della statistica test diventa quindi Probab nb 7 = * il quale appartiene all intervallo di rigetto dell ipotesi (che è lo stesso di (a)); dunque l ipotesi viene respinta, ossia viene confermato vero al livello del 5% ciò che il centro benessere promette. Un azienda di elettronica produce televisoro in tre stabilimenti x, y, z. Per controllare la qualità dei prodotto, sottopone a un controllo n = 000 televisori, 400 provenienti dalla fabbrica x, 250 da y, 350 da z ; il controllo può avere esito perfetto, oppure rilevare difetti lievi oppure difetti gravi ; si ottengono i seguenti risultati: a) Stabilire se, al livello %, si può ritenere che la qualità dei televisori sia indipendente dalla fabbrica di produzione. b) Calcolare il livello di significatività del test a) La seguente matrice aggiunge ai dati del problema le distribuzioni marginali relative a "fabbrica" e "qualità": Questa corrisponde alle seguenti frequenze relative (accoppiate e marginali) [[]] Invece la matrice con le frequenze relative accoppiate teoriche in caso di indipendenza, cioè i prodotti delle distribuzioni marginali è [[]] La statistica-test per l'indipendenza delle due variabili "secondo" e "contorno" è [[]][[]] - [[]][[]] = * [[]][[]] = = Se le due variabili considerate sono indipendenti, t ha aprossimativamente distribuzione χ 2 (4) (i gradi di libertà sono (3-) (3-)). Il quantile che limita inferiormente la regione di rifiuto del'ipotesi di indipendenza è

8 8 Probab nb = [[] ] L'ipotesi di indipendenza non viene rifiutata, al livello %. b) Il livello di significatività del test con questi risultati sperimentali è α tale che il valore ottenuto per t (statistica 2 test) sia il quantile χ -α (4) ; perciò - α = F(t), con F funzione ripartizione della distribuzione χ 2 (4) [ - α [[] ] α] {{α }} cioè il livello è.85 %. Mediante interpolazione lineare dei valori disponibili sulle tavole di calcola per α il seguente valore approssimato: - α - - {{α }} cioè circa 2%. - α -