Fondamenti di Automatica

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1 Fondamenti di Automatica Prof. Bruno Picasso Eserc. Ing. Stefano Bottelli Thanks to Prof. S. Strada Introduzione a Matlab, Vettori, Matrici, Polinomi, Sistemi dinamici nel tempo, Rappresentazione grafica

2 A cosa serve questa presentazione Scopi di questo materiale: fornire le informazioni di base necessarie per l uso di Matlab in relazione ai contenuti del corso di Fondamenti di Automatica dare una panoramica generale (tutt altro che esauriente, delle potenzialità di Matlab per la formulazione e la soluzione di alcuni problemi. 2

3 Dove trovare altre informazioni? Sito Web di Mathworks: seguendo il link alla voce support è possibile trovare i manuali di Matlab in formato.pdf. 3

4 Indice del materiale Descrizione generale di Matlab Alcune funzioni predefinite Definizione di matrici e vettori Definizione di polinomi Rappresentazione di sistemi dinamici lineari Rappresentazione grafica dei dati 4

5 Descrizione generale di Matlab MATLAB ( = MATrix LABoratory) un linguaggio di programmazione per applicazioni scientifiche e numeriche vasto insieme di funzioni predefinite interprete di comandi possibilità di definire nuove funzioni libreria di TOOLBOX per svariate applicazioni (ad es. analisi di sistemi e segnali, analisi e sintesi di sistemi di controllo, ecc.) 5

6 L interfaccia di Matlab Interfaccia utente: la Command Window dà accesso all interprete mediante scrittura diretta dei comandi al prompt» 6

7 Matlab come calcolatrice La modalità di impiego più semplice : per valutare espressioni numeriche Esempio: per calcolare sin( 0. 2 π ) + e 2 2 è sufficiente scrivere al prompt >>» 4 + sqrt(2) - sin(0.2*pi)^2 + exp(2) ans = Il risultato viene scritto nella variabile ans Aggiungendo ; alla fine del comando non viene visualizzato il risultato 7

8 Definizione di variabili E possibile definire variabili e calcolare espressioni piu complesse. Esempio» a=4; b=2;» c=a*b c = 8 il risultato viene ora assegnato alla variabile c Per cancellare una variabile (ad esempio a)» clear a Per cancellare tutte le variabili» clear all 8

9 Il Workspace Ogni variabile definita in questo modo viene conservata in memoria, nel Workspace Il comando whos mostra una lista delle variabili definite, con dimensioni e tipo» whos Name Size Bytes Class a 1x1 8 double array x 1x1 8 double array b 1x1 8 double array Grand total is 3 elements using 24 bytes 9

10 Funzioni Esiste un insieme molto vasto di funzioni predefinite (come sin, exp e sqrt nell esempio precedente) A differenza di altri linguaggi (C, ) non occorre dichiarare le variabili (l assegnazione coincide con la dichiarazione) 10

11 Esempi di funzioni predefinite (di uso comune) Funzioni trigonometriche (sin, cos, tan, acos, asin, atan, ) Esponenziale e logaritmo (exp, log, log10, ) Radice quadrata (sqrt) Numeri complessi: L unità immaginaria è indicata con i oppure j abs modulo, angle fase, real parte reale, imag parte immaginaria, 11

12 Alcuni esempi semplici» x=abs(2+3*i) x = » y=20*log10(200) y = » z=sqrt(-4) z = i 12

13 Inf e Nan Alcune operazioni numeriche possono dare luogo a dei problemi, che vengono segnalati da Matlab scrivendo come risultato le variabili Inf e Nan >> 5/0 Warning: Divide by zero. ans = Inf >> 0/0 Warning: Divide by zero. ans = NaN 13

14 help Una funzione fondamentale seguito dal nome di una funzione restituisce una sintetica descrizione e la sintassi d uso da solo restituisce l elenco di TUTTE le funzioni di Matlab, ordinate per categorie e una funzione utile: clc per pulire lo schermo (ma le variabili restano memorizzate) 14

15 Definizione di matrici Come si definisce una matrice in Matlab? Esempio» A=[1, 2 ; 3, 4] A = A = 3 Come si accede agli elementi di una matrice?» x=a(2,1) x = indici (riga e colonna) dell elemento di interesse 15

16 La wildcard : Per accedere a intere righe o colonne di una matrice, si usa la wildcard : Es.: selezionare la prima riga di A» A(1,:) ans = 1 2 Es.: selezionare la seconda colonna di A» y=a(:,2) y =

17 Selezionare sottomatrici Se definiamo» B=[1,2,3;4,5,6] B = Abbiamo che» B(1:2,2:3) ans = indici sottomatrice di interesse 17

18 Operazioni elementari sulle matrici (1) Sono definiti gli operatori +,-,*,^ Esempio: prodotto di matrici» A=[1, 2 ; 3, 4];» B=[1, 2, 3 ; 4, 5, 6];» C=A*B C = Esempio: potenza di matrice» A2=A^2 A2 =

19 Operazioni elementari sulle matrici (2) Matrice trasposta» Atrasp=A Atrasp = Matrice inversa» Ainv=inv(A) Ainv =

20 Operazioni elementari sulle matrici (3) Determinante:» da=det(a) da = -2 Traccia:» ta=trace(a) ta = 5 Rango:» ra=rank(a); 20

21 Operazioni elementari sulle matrici (4) Per conoscere le dimensioni di una matrice» size(a) 2 2 Matrice con elementi unitari» A1=ones(size(A)) A1 =

22 Alcune matrici speciali eye(n) matrice identità nxn zeros(n,m) matrice di zeri nxm ones(n,m) matrice di uni nxm rand(n,m) matrice nxm con elementi casuali distribuiti uniformemente tra 0 e 1. 22

23 Autovalori e autovettori Autovalori» lambda=eig(a) lambda = Autovalori e autovettori» [M,D]=eig(A) M = D = Polinomio caratteristico di A» pc=poly(a); 23

24 Vettori I vettori hanno due funzioni fondamentali in Matlab: rappresentazione dei polinomi (un polinomio è descritto dal vettore dei suoi coefficienti) rappresentazione di segnali (un segnale è rappresentato mediante la sequenza dei valori che assume in un insieme di istanti di tempo, quindi mediante un vettore) u(t) t t = [ ] u = [ ] 24

25 Definizione di vettori (1) Come matrici riga o colonna» v=[ ] v = In modo automatico» v=0:10 v = valore iniziale» v=1 : 0.5 : 3 valore finale v = passo

26 Definizione di vettori (2) I polinomi sono rappresentati come vettori» p=[3 2 1] p = s 2 +2s+1 26

27 Operazioni sui polinomi Valutazione del polinomio in un punto x:» y=polyval(p,x); Radici:» r=roots(p); Prodotto di polinomi conv esempio: (s+1)(s+1)=s 2 +2s+1» pol1=[1 1]; pol2=[1 1];» polprod=conv(pol1,pol2) polprod=

28 L editor (1) Invece di inserire direttamente il codice al prompt di MATLAB si può editarlo in una finestra separata: l Editor; Il file che contiene il codice può essere salvato come file di testo ed avrà estensione *.m; 28

29 L editor (2) 29

30 Lettura e scrittura su file mediante i comandi load e save è possibile salvare su file le variabili del workspace load nomefile var1 var2 carica dal file nomefile.mat le variabili elencate save nomefile var1 var2 scrive nel file nomefile.mat le variabili elencate load nomefile carica tutte le variabili in nomefile save nomefile salva tutto il workspace in nomefile.mat 30

31 Sistemi dinamici lineari Un sistema dinamico lineare invariante può essere descritto : in forma di variabili di stato mediante quattro matrici A,B,C,D in forma di funzione di trasferimento mediante due polinomi N(s) e D(s) [lo vedremo prossimamente!] Quindi in Matlab è possibile definire i sistemi lineari come oggetti a partire da entrambe le descrizioni precedenti 31

32 Definizione di sistemi lineari (a tempo continuo) Dalla forma di stato definire matrici A,B,C,D nel workspace» sistc=ss(a,b,c,d); Dalla funzione di trasferimento definire polinomi num e den nel workspace» sistc=tf(num,den); Dalla forma di stato alla funzione di trasferimento» G=tf(sistc); Sulla definizione di sistemi lineari mediante funzione di trasferimento e analisi delle caratteristiche di tale funzione vedi Laboratorio n

33 Esempio (1) Definizione del sistema x& ( t ) = x ( t ) + 3 u ( t ) y( t) = 4x( t) + 2u( t)» A=-1;B=3;C=4;D=2;» sistema=ss(a,b,c,d) a = x1 x1-1 b = u1 x1 3 c = x1 y1 4 d = u1 y1 2 Continuous-time model. 33

34 Simulazione di sistemi lineari Funzioni disponibili per la simulazione impulse -> simulazione risposta all impulso step -> simulazione risposta allo scalino initial -> simulazione movimento libero lsim -> simulazione con ingresso qualsiasi e stato iniziale qualsiasi Sintassi vettore segnale d ingresso» y=step(sistema,t);» [y,t,x]=initial(sistema,x0);» initial(sistema,x0,t); (solo grafico di y L ) vettore dei tempi» [y,t,x]=lsim(sistema,u,t,x0); condizione iniziale» [y,t,x]=lsim(sistema,u,t); (movimento forzato) 34

35 Esempio» sistema=ss(-1,1,1,0);» t=(0:0.01:5);» u=sin(4*pi*t);» y=lsim(sistema,u,t);» plot(t,y) (vedi seguito) Chiamando le funzioni di simulazione senza output si ottiene direttamente il grafico 35

36 Rappresentazione grafica GRAFICI 2D in scala lineare plot traccia il grafico dei punti che hanno come ascisse e come ordinate gli elementi dei vettori x e y in scala logaritmica o semilogaritmica semilogx, semilogy, loglog (vedi Laboratorio 3) stessa sintassi di plot diagrammi polari polar (vedi Laboratorio 3) 36

37 Rappresentazione grafica - esempio plot(x,y) Esempio» x=0:0.01:5;» y=sin(2*pi*x);» plot(x,y);» z=sqrt(x);» plot(x,y, r,x,z, b ); grid; griglia colore (r=rosso, b=blu) 37

38 Rappresentazione grafica- altre funzioni ALCUNE FUNZIONI UTILI cambiamenti di scala axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) sovrapposizione di più plot hold aggiunta di grigliatura al plot grid titolo ed etichette assi title(.. ), xlabel(.. ), ylabel(.. ) più grafici su una finestra subplot inserimento testo in una figura gtext Grafici 3D, animazioni, ecc. vedere manuali Matlab 38