Osservazioni in Cosmologia

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1 Capitolo 4 Osservazioni in Cosmologia Molti dei più importanti risultati che permettono di collegare le proprietà intrinseche degli oggetti distanti a quelli osservati sono indipendenti dallo specifico modello cosmologico da 4.1 Il edshift Cosmologico Se e è la lunghezza d onda di emissione e o è la lunghezze d onda osservata, il redshift cosmologico è dato da z o e e (4.1) interpretato in termini di e etto Doppler come velocità di recessione di una galassia si avrebbe ˆ o v c 1 (4.2) da cui la legge di Hubble v H r.sez 1allorav c ma in questo caso non è c o r r e t t o usare la formula relativistica dell e etto Doppler perché v 9 r si applica sempre: v non è una velocità vera con cui si possa trasmettere il segnale ma è il risultato dell espansione dell universo. Consideriamo un pacchetto d onda di frequenza 1 che è stato emesso nell intervallo di tempo cosmico compreso tra e ` ; lo stesso pacchetto verrà osservato a frequenza nell intervallo di tempo cosmico compreso tra t e t ` t. Poichè il segnale si propaga lungo il cono luce allora ds 2 ; inoltre la propagazione è radiale lungo la geodetica che ci unisce al luogo di emissione, pertanto d, d. Dalla metrica di W si ottiene allora ds 2 dt 2 2 r 2 ı dr 2 ` 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 e dt 2 2 c 2 dr 2 (4.3) dt dr Ñ dr c (4.4) dove si deve notare che il segno - deriva dal fatto che durante il viaggio dei fotoni dt deve aumentare (scorrere del tempo) e dr deve diminuire (i fotoni si avvicinano a noi

2 46 Osservazioni in Cosmologia che siamo nell origine del riferimento per t t ); dr è s e m p l i c e m e n t e l i n t e r v a l l o d i distanza propria al tempo cosmico t elarelazioneappenatrovatacidicecheifotonila percorrono a velocità c come deve essere. L inizio del pacchetto d onda parte per t, percorre un tratto r ed arriva per t t per cui deve valere ª r dr (4.5) Analogamente la fine del pacchetto d onda parte per t `, percorre lo stesso tratto r ed arriva per t t ` t con t che indica le durate del pacchetto emesso e del pacchetto osservato: ª ` t dr (4.6) r ` Iprimimembridelledueespressionisonougualipercuidevevalere ` t ª t ` (4.7), considerando gli estremi di integrazione Z ª ZZ t` t ` ZZ t ª t1` Z Z ZZ Z (4.8) Poichè la durata del pacchetto d onda è trascurabile rispetto al tempo cosmico (!, t! t )sipuòscrivere c t apt q c ap q (4.9) ed alla fine, dato che apt q 1, si ottiene t ap q (4.1) questa è l espressione cosmologica del fenomeno della dilatazione dei tempi; un fenomeno avvenuto su tempo scala in una galassia distante, viene osservato avvenire su un tempo scala t più lungo poichè ap q 1. Questo è lo stesso fenomeno della dilatazione dei tempi nella elatività Speciale. Adesso possiamo ottenere il legame tra redshift e fattore di scala, infatti, la durata del pacchetto d onda è legata alla frequenza da cui risulta 1 1 ; t 1 (4.11) 1 ap q; 1 ap q (4.12) Confrontandolo con la (4.1) ericordandoche o, 1 e, si ottiene z apt q z ` 1 (4.13) questa è una delle più importanti relazioni in cosmologia e mostra il vero significato fisico di z: il redshift è una misura del fattore di scala al momento dell emissione del fotone.

3 4.1 Il edshift Cosmologico 47 L(t) LMAX LMAX/2 w Figura 4.1: Curva di luce media delle supernovae di tipo Ia. Per esempio, osservare una galassia a z 3significaosservarlaquandol universoaveva 1{4 e le distanze tra gli osservatori fondamentali erano un fattore 4 più piccole di quelle attuali. E importante notare come la conoscenza di z porti a conoscere ma non il tempo t a cui questo corrisponde. Se potessimo conoscere t potremmo ricavare la funzione direttamente dalla osservazioni e non dai modelli. Un altra conseguenza importante di quanto visto fino ad ora è l espressione per la distanza radiale comovente di una galassia osservata a tempo : r c dt (4.14) r è u n a d i s t a n z a artificiale che dipende da come si è espanso l universo. L espressione per la dilatazione dei tempi t {ap q t p1 ` zq (4.15) fornisce la possibilità di un test osservativo per la metrica W. Le supernovae di tipo Ia si originano per l esplosione di nane bianche in sistemi binari, dopo che l accrescimento di massa della compagna le ha portate oltre il limite di Chandrasekhar: il collasso che si genera porta all accensione delle reazioni di bruciamento del Carbonio in un ambiente dominato dalla pressione di degenerazione degli elettroni, che è quindi indipendente dalla temperatura. Si innesta quindi una reazione a catena (runaway process) cheportainfineall esplosionedellasupernova. Poichèilprocessofisico è s e m p r e l o s t e s s o ( e s p l o s i o n e d i n a n a b i a n c a c o n m a s s a d i p o c o s u p e r i o r e a l l i m i t e d i Chandrasekhar), le supernovae di tipo Ia sono candele standard: hanno curve di luce con la stessa forma (con solo una piccola dispersione) e la stessa luminosità al picco. La figura

4 48 Osservazioni in Cosmologia 4.1 mostra la curva di luce di una supernova di tipo Ia; sia w la sua larghezza a metà altezza. w osservata s = w/(1+z) (1+z) A. Marconi Cosmologia (213/214) Figura 4.2: In alto: durata (stretch) w delle curve di luce di supernovae a distanze cosmologiche. In basso: le durate del pannello alto sono state divise per p1 ` zq e, come atteso, sono diventate costanti. Posso misurare la durata w delle curve di luce delle supernovae di tipo Ia a vari redshift cosmologici; queste durate dovrebbero essere allungate di un fattore p1 ` zq. La figura 4.2 mostra le larghezze osservate w delle supernovae di tipo Ia (alto) e dopo che sono stati corrette per la dilatazione cosmologica dei tempi, divise per p1 ` zq. Come si vede dalle figure in alto ed in basso, le durate delle supernovae sono state allungate dall espansione cosmologica dei tempi e dopo la correzione per questo e etto sono diventate praticamente costanti entro gli errori di misura, come ci aspettavamo dall essere candele standard. In e etti, la curva di luce in figura 4.1 è stata ottenuta mettendo insieme le curve di luce di supernovae a vari z ma sempre dopo aver corretto per la dilatazione cosmologica dei tempi. 4.2 La legge di Hubble La legge di Hubble è v H D (4.16) con D distanza della galassia. Per quanto detto fino ad ora, la distanza della galassia D deve corrispondere alla distanza propria alla distanza misurata lungo la geodetica

5 4.3 Diametri angolari 49 che unisce noi alla galassia osservata; v è p r o p r i o l a v a r i a z i o n e c o n i l t e m p o d i q u e s t a distanza propria. Poichè la legge di Hubble deve valere per qualsiasi osservatore a qualsiasi tempo, detta la distanza propria, possiamo scrivere che al tempo t si ha d dt Hptq ptq (4.17) ovviamente H Hptq per t t si ottiene H Hpt q H. Passando alle coordinate comoventi ptq r (4.18) si ottiene Ar d dt Hptq A r (4.19) Hptq 9 Dal momento che H è m i s u r a t a a l l e p o c a a t t u a l e i n c u i apt q 1, risulta che H è i l t a s s o d i e s p a n s i o n e a t t u a l e d e l l u n i v e r s o. (4.2) H 9apt q (4.21) 4.3 Diametri angolari La metrica W scritta con la coordinata comovente r ds 2 dt 2 2 r 2 ı dr 2 ` 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 tale che ptq r, ci permette di trovare facilmente le dimensioni di un oggetto di lunghezza propria d perpendicolare alla coordinata radiale al redshift z. Supponiamo,per semplicità, che le geodetiche passanti per l origine ( per l osservatore) e delimitanti l oggetto formino un angolo con d =. La lunghezza propria d dell oggetto si ottiene dalla metrica per la sola variazione di di un angolo pari a r d sin D D 1 ` z (4.22) dove si è sfruttato che 1{pz ` 1q. L angolo sotto cui l osservatore vede la lunghezza propria d è pertanto dp1 ` zq D (4.23) con D misura di distanza r D sin (4.24) Per piccoli redshift, z! 1, si ha r! ( Ñ8perché la geometria tende ad essere Euclidea, cioè piatta) e pertanto» dp1 ` zq pr{q» d r (4.25)

6 5 Osservazioni in Cosmologia che non è altro che la relazione Euclidea tra raggio, angolo ed arco sotteso. icordiamo che per z! 1siha»1equindi r» r. In conclusione si può scrivere d (4.26) D A con D A D 1 ` z sinpr{q 1 ` z (4.27) distanza angolare, definita proprio per avere una relazione tra e d simile alla relazione Euclidea. E utile calcolare il diametro angolare di un oggetto che continua a far parte dell espansione dell universo, che continua ad espandersi con esso. Questo è proprio il caso delle perturbazioni infinitesime di densità che si osservano sulla CMB, oppure è il diametro angolare che le strutture su grande scala esistenti oggi avrebbero avuto ad un epoca precedente, se si fossero espanse con l universo. Questo calcolo ci servirà per poter calcolare le dimensioni che hanno oggi le strutture che osserviamo sulla CMB, determinate scale angolari di oggetti a z 15. Un oggetto la cui scala fisica oggi è dpt q echesièespansoconl universo,avràavuto una scala a z pari a dptq dpt q dpt q (4.28) 1 ` z L angolo sotto cui la scala dptq è v i s t a o g g i è dptqp1 ` zq D dpt q 1 ` z 1 ` z D dpt q D notare come in questo caso sia sparito il fattore 1 ` z. dpt q D 4.4 Intensità apparente, flusso e luminosità (4.29) (4.3) Consideriamo una sorgente a redshift z con luminosità specifica Lp q alla frequenza 1 [Lp q E t 1 1 ]. Vogliamo trovare il flusso osservato Sp q alla frequenza ap q 1 1 {pz ` 1q che un osservatore misura per t t [Sp q E A 1 t 1 1 ]. La sorgente emette Np 1 q fotoni di energia h 1 nella banda 1, 1 ` 1 nel tempo proprio, : Lp 1 q Np 1q h 1 1 (4.31) I fotoni emessi dalla sorgente sono distribuiti isotropicamente su una sfera centrata sulla sorgente a e, quando arrivano all osservatore a t, solo una frazione di essi è intercettata dal telescopio. I fotoni giunti a t hanno una frequenza: esonoosservatiperuntempoproprio 1 z ` 1 (4.32) t ap q p1 ` zq (4.33)

7 4.4 Intensità apparente, flusso e luminosità 51 nella banda di frequenza 1 z ` 1 (4.34) Se il telescopio ha diametro l esottendeunangolosolido come visto dalla sorgente a si ha Sp q Np ˆ q h 1 ˆ ˆ t 4 p l{2q 2 (4.35) dove p {4 q è la frazione dei fotoni emessi dalla sorgente ed intercettati dal telescopio, p l{2q 2 è l a r e a d e l t e l e s c o p i o. Galassia t = t1!"!l Osservatore t = to Diametro telescopio Figura 4.3: Traiettorie geodetiche dei fotoni che intercettano i bordi del telescopio. Per trovare bisogna innanzitutto considerare che il telescopio non partecipa all espansione dell universo perché le forze di legame che tengono insieme gli atomi/molecole del materiale che lo costituiscono sono molto maggiori della gravità. Inoltre l angolo è d a t o d a ˆ 2 (4.36) 2 L angolo è quello formato dalle due geodetiche che partono dalla galassia a eportano ai punti diametralmente opposti dello specchio del telescopio di diametro l: tutte le geodetiche dei fotoni intercettati dal telescopio saranno comprese tra queste due geodetiche limite (figura 4.3). Pertanto l angolo è proprio quello che sottende il diametro del telescopio come visto dalla galassia al tempo di arrivo dei fotoni t. Per determinare si può ricorrere alla metrica W ds 2 dt 2 2 r 2 ı dr 2 ` 2 sin `d 2 2 ` sin 2 d c 2 tenendo presente che la distanza x perpendicolare alla geodetica è data da r x sin (4.37) Per avere il diametro del telescopio l sotteso dall angolo basta imporre che x l e t t, tempo cosmico a cui si trova il telescopio. Ovvero si ottiene r l sin D (4.38)

8 52 Osservazioni in Cosmologia con D misura di distanza e pertanto ˆ 2 ˆ 2 l 2D 2 (4.39) Infine, sostituendo nella (4.35), si ottiene Sp q Np 1q h 1 { p1 ` zq 1 { p1 ` zq p1 ` zq ˆ 1 ˆ l 2 1 ˆ (4.4) 4 4D 2 {4 l 2 dove si può facilmente riconoscere che Sp q Lp 1 q 4 D 2 p1 ` zq (4.41) Se ripetiamo l analisi con le quantità bolometriche, integrate su, possiamo scrivere sfruttando la formula appena trovata L bol da cui si ottiene infine ª `8 Lp 1 qˆd 1 ª `8 4 D 2 p1 ` zqsp qˆp1 ` zqd (4.42) ª `8 L bol 4 D 2 p1 ` zq 2 Sp qˆd 4 D 2 p1 ` zq 2 S bol (4.43) S bol L bol 4 D 2 p1 ` zq 2 avendo definito la distanza di luminosità D L pari a L bol 4 D 2 L (4.44) D L p1 ` zq D (4.45) per avere un espressione analoga alla legge dell inverso del quadrato (S L{4 D 2 )inuno spazio piatto. Si noti come il fattore p1 ` zq 2 determini una diminuzione della brillanza superficiale all aumentare del redshift ( dimming cosmologico ). icordando l espressione per la distanza angolare, D A D{p1 ` zq, se ne deduce infine la relazione tra le distanze angolari e di luminosità D L p1 ` zq 2 D A (4.46) icordando la (4.44) èanchepossibilescrivere Sp q Lp q Lp 1 q p1 ` zq (4.47) 4 DL 2 Lp q che permette di mettere in collegamento diretto la luminosità ed il flusso a. Questa però richiede la conoscenza dello spettro della sorgente ed il termine tra r...s è d e t t o k-correction. Questo termine era stato introdotto negli anni 3 per correggere l e etto cosmologico sui flussi. Infatti possiamo scrivere in magnitudini assolute M erelativem: M 2.5logLp q`cost. m 2.5logSp q`cost. 1 M m 5logD L kpzq 2.5logp4 q (4.48) con Lp 1 q kpzq 2.5log p1 ` zq (4.49) Lp q k-correction utilizzata per correggere le magnitudini i flussi monocromatici.

9 4.5 Densità numerica di sorgenti Densità numerica di sorgenti Spesso è necessario conoscere il numero di oggetti in un particolare intervallo di redshift z,z ` dz. Poichè c è una relazione biunivoca tra r e z r ª t cr1 ` zptqsdt (4.5) il problema è semplice perché, per definizione, r è la distanza radiale propria definita all epoca attuale e pertanto possiamo lavorare interamente in termini di volumi comoventi all epoca attuale, in cui il raggio di curvatura è. Il volume di una shell sferica di spessore dr eraggior (entrambe grandezze comoventi) è pertanto r dv da ˆ dr 4 2 sin 2 dr 4 D 2 dr (4.51) con da ottenuto ovviamente tramite le lunghezze perpendicolari alla linea di vista. Se N è la densità di sorgenti all epoca attuale ed il loro numero si conserva durante l espansione dell universo possiamo scrivere dn Npzqdz N 4 D 2 dr (4.52) questa relazione permette di ottenere Npzq, numero di oggetti tra z e z ` dz, assumendo che resti costante e che quindi la densità comovente N resti invariata durante l espansione dell universo. Se ci fosse una variazione, potremmo considerare la funzione f pzq tale che la densità comovente sia fpzqn epertanto dn Npzqdz N fpzq4 D 2 dr (4.53) 4.6 L età dell universo Come abbiamo visto precedentemente, dalla metrica di W con ds 2, d d (propagazione radiale dei fotoni) abbiamo possiamo ottenere l età attuale dell universo dt dr (4.54) c T dt ª rmax dr c (4.55) dove r max è l a c o o r d i n a t a r a d i a l e c o m o v e n t e c h e c o r r i s p o n d e a apq, a z Misura di tempi e distanze cosmologiche Quanto visto fino ad ora può essere utilizzato per collegare le osservazioni alle proprietà intrinseche degli oggetti. In sintesi si deve:

10 1. ricavare da un modello cosmologico elacurvaturaall epocaattualek 2 ; nota possiamo anche ottenere la relazione t tpzq la relazione tra redshift e tempo cosmico; generalizzando la (4.55) siottieneinfatti tpzq ª t d ª r ap qdr c con r distanza comovente della galassia osservata al tempo t. (4.56) 2. ricavare la coordinata radiale comovente dalla relazione rpzq equestasignificachedl, la distanza propria all epoca t, è trasformata di un fattore all epoca presente; questa relazione fornisce r rpzq; 3. ricavare la misura di distanza dalla relazione ˆrpzq Dpzq sin 4. ricavare la distanza angolare e la distanza di luminosità D A Dpzq 1 ` z D L Dpzqp1 ` zq 5. ricavare il numero di oggetti dn osservati tra z, z ` dz nell angolo solido d dn N D 2 dr (4.57) con N densità comovente nell ipotesi che sia costante col redshift, altrimenti si introduce il fattore correttivo f pzq.