TECNICHE DI CALIBRAZIONE DEI MODELLI

Transcript

1 TECICHE DI CALIBRAZIOE DEI MODELLI Calibrare un modello significa semplicemente sistemare un modello matematico o altro in maniera tale da ottenere un risultato simile a quello da noi desiderato. Qualsiasi sia la cosa che vogliamo calibrare la relazione fondamentale, secondo Rouphail e Sacks (2003), risulta sempre: P{ realtà simulato d} > α Dove d è la soglia di differenza tollerabile indicante quanto il modello è vicino alla realtà, ed α è il livello di importanza che indica la certezza del risultato. Tra le misure più utilizzate, se x i e y i sono rispettivamente i valori i esimi misurati e osservati, si può evidenziare quanto segue: La radice dell'errore quadratico medio, che quantifica l'errore complessivo: RMSE = 1 (x i y i ) 2 La radice dell errore quadratico medio normalizzato, che fornisce informazioni sulla grandezza degli errori relativi alle misurazioni medie: RMSE = 1 (x i y 2 i ) y i Due altre misure utilizzate per il grado di accostamento (Toledo e Koutsopoulos, 2004) sono: L errore medio: ME = 1 (x i y i ) E l errore medio normalizzato: ME = 1 (x i y i ) y i onostante il riconoscimento del significato delle misurazioni singole, molti analisti considerano più utile utilizzare misure d insieme che forniscono una visione complessiva come la statistica GEH di Geoffrey E. Haver (Highways Agency, 1996), che calcola l indice per ognuna stazione di conteggio come: GEH i = 2(x i y i ) 2 x i + y i Alla fine i passi per effettuare un processo di calibrazione si riducono ai seguenti: Valutazione dell influenza dei singoli parametri, del modello da calibrare, sul risultato Scelta delle variabili da calibrare Scelta della metodologia da utilizzare Metodi semplici Algoritmi genetici Metodi statistici Scelta di una funzione di Fitness Simulazioni iterative che riproducono lo scenario oggetto di studio

2 Valutazione del modello in funzione dei risultati ottenuti CALIBRAZIOE CO METODI SEMPLICI PER LA RICERCA DEL MIIMO ERRORE Il metodo più semplice per calibrare un qualsiasi modello è sicuramente quello di far variare le sue variabili per tutti i valori possibili di specifici intervalli prefissati. Ciò risulta estremamente semplice per i modelli che utilizzano un solo parametro di calibrazione e restituisce un idea completa dell influenza della variabile sul modello. L algoritmo si compone dei seguenti passi iterativi: A ogni iterazione viene incrementato un contatore del numero dell iterazione Si controlla se il numero di iterazioni ha raggiunto il numero massimo imposto o se il numero dei successi ha superato il numero massimo imposto. Se si è in questo caso: a. Se il coefficiente temporale è minore di quello minimo imposto o se il numero degli insuccessi ha superato il numero massimo imposto, si interrompe la procedura di calibrazione, perché questa non convergerà. b. Altrimenti si riduce il coefficiente temporale del 20% è si azzera il contatore del numero di iterazioni. Viene scelto casualmente il parametro da incrementare o decrementare fra quelli da calibrare. Si incrementa o decrementa il parametro scelto di un valore casuale distribuito secondo una distribuzione normale con media 0 e deviazione 1. V i = V ultimo accettato + δ casuale (μ = 0; σ = 1) Viene impostato il set di parametri appena aggiornato per la simulazione sulla base dai dati di traffico noti per la calibrazione Viene effettuata la simulazione Si calcolano gli errori rispetto ai valori osservati in campo ε sim = (V reale V simulato ) 2 2 V reale Viene impostato il set di parametri appena aggiornato per la simulazione sulla base dai dati di traffico noti per la validazione Viene effettuata la simulazione Si calcolano gli errori rispetto ai valori osservati in campo con la stessa formulazione utilizzata per i dati ottenuti dalla calibrazione Se la differenza fra l ultimo errore ritenuto valido Ɛ uv e l errore attuale Ɛ sim dovesse essere inferiore a - 1e+10 si interrompe la procedura di calibrazione, perché questa non convergerà. Se l errore attuale Ɛ sim dovesse essere inferiore a quello minimo richiesto, si interrompe la procedura di calibrazione, perché si è raggiunto lo scopo prefissato. Si valuta poi se accettare o meno il set di parametri appena ricavato tramite un semplice controllo sugli errori: c. Se la differenza fra l ultimo errore ritenuto valido Ɛ uv e l errore attuale Ɛ sim è superiore a 1e-6, il set di parametri attuali viene ritenuto accettabile, incrementato in numero di successi e aggiornato il set di parametri per il confronto degli errori. d. Altrimenti si procede probabilisticamente: i. Viene calcolata la probabilità minima di accettare il set di parametri attuali P min = e ε uv ε sim k T Dove k = 1 e T è il coefficiente temporale ii. Si genera una probabilità casuale iii. Se questa probabilità casuale è minore di quella minima P rnd < P min allora, il set di parametri attuali viene ritenuto accettabile, incrementato in numero di successi e aggiornato il set di parametri per il confronto degli errori. iv. Altrimenti il set di parametri attuale viene rifiutato e si incrementa il contatore degli insuccessi. Si ricomincia dal punto 1 finché l algoritmo non converge su una soluzione che minimizza l errore in maniera costante.

3 Tale algoritmo serve a risolvere un problema di ottimizzazione per la ricerca del minimo globale di una funzione, evitando di ricadere in vari possibili minimi locali. Risulta evidente però che se ache l algoritmo è ben strutturato e affermato, richiede ingenti risorse in termini di tempo per giungere alla soluzione, in quanto tende ad aumentare piano piano tutte le variabili del modello. CALIBRAZIOE CO GLI ALGORITMI GEETICI La teoria dell evoluzione di Darwin spiega come gli individui possano sopravvivere e svilupparsi adattandosi progressivamente all ambiente che li circonda. Gli Algoritmi Genetici (AG), partendo da questa teoria, simulano, attraverso processi computazionali, la selezione naturale considerando, anziché esseri viventi, sistemi software. Le operazioni eseguite sui cromosomi usate per creare nuove generazioni sono (Lacagnina): Crossover: il materiale genetico dei due genitori viene in parte scambiato per produrre stringhe figlie. Dopo la selezione dei genitori viene scelto un punto di taglio detto punto di crossover: le porzioni di genotipo alla destra del punto di crossover sono scambiate generando due discendenti. Single Point Crossover. L algoritmo genetico tradizionale, come è stato già descritto prima, usa il single point crossover in cui i due cromosomi che si accoppiano sono entrambi tagliati in punti corrispondenti e la sezione dopo i tagli è cambiata. Comunque, sono stati inventati molti diversi algoritmi di crossover, che spesso coinvolgono più di un punto di taglio. DeJong ha studiato l efficienza del crossover multipoint ed è arrivato alla conclusione che il two-point crossover genera un miglioramento; invece aggiungere più punti crossover riduce le prestazioni dell algoritmo. Il problema, con l aggiunta di più punti crossover è che i building blocks sono più facili da spezzare. Comunque, un vantaggio di avere molti punti crossover è che nello spazio del problema si può fare una ricerca più accurata. Figura Single Point Crossover Mutazione: riguarda un singolo bit il cui valore viene cambiato con una probabilità prefissata. La mutazione è tradizionalmente vista come un operatore secondario, responsabile di una reintroduzione inaspettata di valori di geni perduti, ad esempio alleli recessivi, che prevengono la deriva genetica e forniscono un piccolo elemento di ricerca casuale nella vicinanza della popolazione dove essa è largamente convergente. Figura Mutazione Inversione: inverte l ordine dei bit compresi tra uno o due punti d inversione della stringa. Questa tecnica lavora invertendo l ordine dei geni tra due posizioni scelte casualmente all interno del cromosoma. Quando vengono utilizzate queste tecniche, i geni devono trasportare con loro alcuni tipi di etichette in modo che possano essere identificati correttamente, non curandosi quindi delle altre posizioni all interno del cromosoma. Tutto ciò può essere esportato al caso delle calibrazioni di modelli di car following dove i cromosomi rappresentano le variabili del modello da calibrare e la popolazione tanti set di parametri. L algoritmo può quindi essere modificato come segue:

4 a. Definizione del numero di variabili da calibrare del modello e quindi dei cromosomi del singolo modello. b. Inizializzazione casuale di una popolazione di M variabili tramite la generazione di M set di variabili del modello. c. Avvio di una simulazione per ogni set di variabili della popolazione d. Valutazione della funzione di fitness per ogni set di variabili della popolazione. e. Selezione di una coppia di set di variabili che avranno funzione di genitori. f. Incrocio della coppia in un punto scelto a caso per generare due nuovi set di variabili, e se il crossover non avviene i due figli sono la copia identica dei genitori. g. Eventuale mutazione di una variabile nei set di variabili figli appena creati. h. Ripetizione dei passi e, f e g fino a creare M set di variabili discendenti. i. La nuova popolazione sostituisce la vecchia in egual numero. j. Ripetizione dei passi a partire dal punto c L algoritmo naturalmente tende a fermarsi quando i valori delle variabili di tutti i set di parametri sono simili tra loro, in quanto rappresentano la soluzione geneticamente migliore. E evidente però che essendo ogni simulazione differente dall altra, anche se i dati in input sono uguali, non si potrà mai giungere a dei valori univoci, ma bisognerà considerare uno scarto e un errore minimo per fermare l algoritmo CALIBRAZIOE CO IL METODO STATISTICO SPSA Un metodo che ha già riscontrato successo tra i modelli di simulazione è l algoritmo Simultaneous perturbation stochastic approximation (SPSA) sviluppato da Spall (1998, 2003). L algoritmo base SPSA può descriversi nella seguente forma (Spall, 2003): a. Impostare i l vettore iniziale dei parametri da calibrare P i θ 0 = [P 1, P 2,, P n ] b. Generazione il vettore della distribuzione di Bernoulli i dove ogni valore può essere o -1 o 1, e viene calcolato con: i = 2 Round[Casuale(0,1)] 1 c. Conoscendo il contatore delle iterazioni k (che parte da 1), si calcola il coefficiente c k con: c k = c k γ di solito si usa c k = 0,19 k 0,101 d. Si creano due vettori distinti dei parametri di calibrazione perturbati θ k + = [P 1 +, P 2 +,, P n + ] θ k = [P 1, P 2,, P n ] dove P i ± = θ i 1 ± c k i e. Si effettuano due simulazioni con i due diversi set di parametri presenti dei due vettori ϑ ottenendo come risultato due funzioni di fitness che possono essere scritte nella seguente forma in funzione dell errore RMSE: Gof ± = m 1 RMSE(V 1,reale, V 1,sim ) + + m n RMSE(V n,reale, V n,sim ) dove i coefficienti m sono dei pesi la cui somma fa 1 e V i valori di confronto f. Ottenute le due funzioni di fitness si può calcolare il vettore dell approssimazione del gradiente come: 1 g k (θ k ) = Gof+ Gof 2 c k g. Calcolo della direzione di spostamento nel dominio 1 1 [ n ] a k = a (k + A) α di solito si usa a 0,15 k = (k + 75) 0,602

5 Figura Spostamento nel dominio h. Dal gradiente è possibile calcolare i nuovi valori base dei parametri da calibrare con : θ k+1 = θ k a k g k (θ k ) i. Si ritorna al punto b finchè ad esempio lo scarto tra le due funzioni di fitness o tra i parametri all istante k+1 e quelli all istante k, o altro, è sotto un errore minimo accettabile.