Programma dettagliato a.a , Meccanica:

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1 Programma dettagliato a.a , Meccanica: 1) Insiemi numerici e possibilità di eseguire sempre le operazioni. Numeri reali e misura, vettori in 2D e 3D, sistemi lineari e matrici, sistemi di equazioni 2x2 e regola di Cramer, estensione a 3x3, matrici e determinanti, trasposta. Prodotto righe per colonne. Assi cartesiani e proiezione sugli assi, coordinate. 2) operazioni tra vettori in geometria sintetica ed analitica: prodotto scalare calcolato in modo sintetico ( a b cos) e analitico (Σa ib i), prodotto vettoriale calcolato in modo sintetico ( a b sen) che analitico (det(ijk a i b i)), regola mano destra, non commutatività, cenno al doppio prodotto vettoriale e al prodotto tensoriale. Differenza tra il prodotto di un vettore con una scalare ed una matrice (la direzione può cambiare). Prodotto per uno scalare. Concetto di scalare, vettore e tensore a seconda del comportamento per variazione degli assi di riferimento. Significato geometrico di prodotto vettoriale come area e orientazione delle superfici, normale ad una superficie. Terne destrorse e sinistrorse. 3) Prodotto misto tra vettori per verifica se terna è destra, significato geometrico come volume del parallelepipedo avente per spigoli i vettori. Angoli tra vettori e loro calcolo tramite i prodotti introdotti. Punto, retta e segmento scritti tramite vettori. Retta parallela e perpendicolare. Versori. 4) Equazioni di secondo grado, discriminante, soluzioni reali e complesse. Cenno ai numeri complessi nel piano di Argand-Gauss. Definizione di radiante e steradiante. Sistema Internazionale e grandezze fisiche fondamentali. Unità di misura. Adimensionalità dei versori. 5) Cifre significative. Multipli e sottomultipli. Cinematica del punto materiale: vettore posizione. Significato di funzione y=f(x). Concetto di limite. Pendenza di una curva, rapporto incrementale e significato di derivata, calcolo delle derivate di X e X 2 direttamente dalla definizione. Velocità media ed istantanea come limite del rapporto incrementale. Accelerazione media e istantanea. Derivata di una funzione e di un vettore. Esemplificazione derivata su alcuni casi (polinomi, funzioni seno e coseno, esponenziale e logaritmo). Vettore velocità e tangenza con la traiettoria. Componente tangenziale e radiale dell'accelerazione. 6) Traiettoria nello spazio e componenti funzioni del tempo. Effetto dell'accelerazione tangenziale che modifica solo modulo della velocità e dell'accelerazione radiale che modifica la direzione della velocità. Approssimazione di una traiettoria curva col cerchio osculatore. Classificazione dei moti: uniformi rettilinei e circolari, uniformemente accelerati. Derivazione del modulo dell'accelerazione radiale sia in forma sintetica che analitica per moto circolare uniforme. 7) Moto circolare non uniforme e componenti dell'accelerazione, versori tangenziale e radiale. Definizione operativa di integrale. Non univocità nel processo di integrazione e costante di integrazione. Caso unidimensionale ad accelerazione costante e a velocità costante. Integrali di funzioni polinomiali. 8) Sistemi di riferimento in moto relativo. Velocità di trascinamento. Sistemi di riferimento inerziali e prima legge di Newton. Seconda legge di Newton, forze ed accelerazioni. Massa dei corpi come quantità scalare. Forze come azioni per deformare i corpi. Forze reali ed apparenti in sistemi non inerziali. Terza legge di Newton di azione e reazione. Cenno alla forza debole e nucleare forte. Legge di gravitazione universale e forza peso.

2 9) Forze reali tra corpi e risultante: sorgente della forza e corpo che subisce l'azione. Cenno alla differenza tra massa inerziale e gravitazionale. Dipendenza della forza dal tempo e soluzione della F=ma per integrazione nel tempo. Caso generale di dipendenza anche dalla posizione e velocità e soluzione numerica approssimata, nel limite si ottiene equazione differenziale. Moto in presenza di forza costante, moto del proiettile. Metodo di soluzione di F=ma: diagramma di corpo libero delle forze, scelta assi di riferimento, vincoli. Funi ideali. 10) Forze di contatto: normale e forze di attrito. Lavoro di una forza: definizione per forza constante e generalizzazione a forza qualunque. Lavoro della risultante delle forze e teorema dell'energia cinetica. Lavoro su una molla e contro la forza peso. Lavoro su linea chiusa e concetto di circuitazione. Forze conservative ed energia potenziale. Energia meccanica totale e conservazione dell'energia. Lavoro di forze non conservative. Potenza. Momento angolare e momento di una forza, polo. 11) Sistemi di punti materiali, centro di massa, corpi continui e densità. Densità di volume, superficie e lineare. Velocità ed accelerazione del CM, forze interne ed esterne. Prima equazione cardinale. Quantità di moto, Momento angolare totale e momento delle forze interne ed esterne. Variazione del momento angolare nel tempo e momento delle forze esterne. Corpo rigido e cenni al tensore di inerzia. Seconda equazione cardinale per rotazione attorno ad asse fisso. 12) Dipendenza del momento di inerzia dall'asse. Teorema degli assi paralleli. Calcolo per anello, disco e asta, tabelle dei momenti di inerzia. Metodo di calcolo del momento di inerzia sfruttando la scomposizione in parti. Energia cinetica di rotazione per rotazione attorno ad un asse. Generalizzazione del teorema dell'energia per il corpo rigido. Carrucola ideale a reale. Statica del corpo rigido. Urti e conservazione della q.d.m., urti elastici ed anelastici, totalmente anelastici. Urti con corpo rigido vincolato ad un asse e conservazione del momento angolare. Moto di puro rotolamento, punto di contatto e asse di istantanea rotazione. 13) Statica di un corpo rigido. Moto della massa attaccata ad una molla, equazione armonica, pendolo semplice e fisico: equazione di moto, piccole oscillazioni, pulsazione e periodo di oscillazione. Oscillazioni smorzate da attrito viscoso, oscillazioni forzate e risonanza. Moti orbitali e leggi di Keplero. Programma dettagliato a.a , Elettromagnetismo: 1) Nozione di carica puntiforme. Cariche prodotte per sfregamento. Carica elettrica elementare, cariche positive e negative, cenno alla struttura atomica, materiali isolanti e conduttori. Conservazione della carica. Definizione di campo elettrico E a partire dalla forza di Coulomb tra cariche puntiformi. Carica di prova. Costante dielettrica del vuoto. Linee di forza di E. Principio di sovrapposizione. 2) Circuitazione come estensione del concetto di lavoro di una forza. Campi conservativi. Dimostrazione che il campo elettrostatico e' conservativo. Definizione di potenziale elettrico tra 2 punti. Potenziale di riferimento per cariche puntiformi. Calcolo di E per distribuzioni continue e densita' di carica di volume, superficie e lineare.

3 3) Calcolo di E per una linea di carica, per un anello e per un disco. Campo a grande distanza per una distrbuzione limitata nello spazio (campo simile a quello di una carica puntiforme). Distribuzione neutre e concetto di dipolo elettrico, calcolo del campo di un dipolo elettrico e approssimazione per grande distanza. Lavoro per ruotare un dipolo elettrico in un campo E uniforme ed energia di un dipolo elettrico. 4) Nozioni di flusso attraverso esempi sul moto di liquidi. Area come concetto vettoriale, orientazione della linea di bordo e definizione della normale ad una superficie. Definizione di flusso di un campo vettoriale. Flusso di E per una carica puntiforme. Concetto di flusso come numero di linee di forza che attraversano una superficie. Definizione di angolo solido. Dimostrazione del teorema di Gauss per una carica puntiforme ed estensione ad una distribuzione continua tramite il principio di sovrapposizione. Applicazione del teo. di Gauss per il calcolo di E per una distribuzione di carica piana infinita, sferica e cilindrica infinita, calcolo del potenziale elettrico per tali distribuzioni. 5) Materiali conduttori. Induzione elettrostatica. Equipotenzialita' di un conduttore in equilibrio elettrostatico e carica superficiale. Applicazione del teo. di Gauss per mostrare l'effetto di schermo di un corpo conduttore cavo. Campo di un conduttore piano infinito carico. Campo elettrico nelle immediate vicinanze della superficie di un conduttore. Effetto delle punte (calcolo per sfere conduttrici di diverso diametro connesse con filo conduttore). 6) relazione tra linee di forza e superfici equipotenziali, andamento del campo attorno ad una lastra piana finita, assemblaggio di un condensatore con due lastre piane (chiusura delle linee tra le armature ed effetti di bordo), condensatore ideale senza effetti di bordo, calcolo della capacita' di un condensatore ideale a facce piane e parallele, condensatore cilindrico e sferico, cenno alle modifiche in presenza di un dielettrico (polarizzazione per deformazione degli atomi e per orientamento delle molecole polari (ad es. acqua), costante dielettrica del mezzo, perdite nei dielettrici) e cenno alla scarica nei dielettrici (rigidita' dielettrica). 7) Carica di un condensatore come trasporto di cariche fra le armature, lavoro per trasportare le cariche, energia immagazzinata in un condensatore per generare il campo E, densita' di energia legata al campo elettrico. Circuiti, simbologia per condensatori. Equipotenzialita' dei fili di collegamento. Collegamenti in serie e parallelo di dispositivi. Condensatore equivalente per il parallelo e per la serie di condensatori. 8) Conduttore fuori dall'equilibrio elettrostatico, pile e generatori di tensione ideali. Definizione di corrente elettrica come flusso di cariche che passano attraverso una sezione di un filo per unita' di tempo, richiamo dell'introduzione sui fluidi per la portata in volume e in massa e per analogia introduzione della densita' di corrente J, flusso di J e definizione della corrente, conservazione della carica per il caso stazionario. Modello di un conduttore con libero cammino e collisioni con imperfezioni del reticolo, legge di Ohm microscopica, leggi di Ohm macroscopiche, resistenza e resistivita' di un materiale. 9) Resistore e simbologia del resistore. Resistori in serie e parallelo. Leggi di Kirchhoff alle maglie e ai nodi e loro derivazione dalle leggi di conservazione della carica e dalla circuitazione del campo E. Applicazioni delle leggi di Kirchhoff per la soluzione di circuiti complessi (verso di percorrenza delle

4 correnti nei rami, differenze di potenziale delle resistenze, verso di percorrenza delle maglie). Potenza elettrica, legge di Joule. Circuiti RC: carica e scarica di un condensatore, soluzione dell'equazione per la carica e la scarica del condensatore, costante tempo RC, condizione di regime. 10) Fenomenologia dei magneti permanenti, poli magnetici Nord e Sud, forze tra magneti. Cenno all'ago magnetico e campo terrestre, definizione del campo magnetico B tramite ago magnetico e visualizzazione con limatura di ferro. Andamento simile del campo B attorno ad un magnete col campo di un dipolo elettrico. Indivisibilita' dei poli magnetici e non esistenza di cariche magnetiche: per mancanza sorgenti di B, il teo. di Gauss applicato a B (flusso di B attraverso superficie chiusa) fornisce zero. Principio di sovrapposizione come per il caso elettrico. 11) Azioni meccaniche del campo B su fili percorsi da corrente, forza sul singolo portatore di carica in moto, forza di Lorentz e definizione di B tramite la forza di Lorentz. Formula di Laplace per il campo generato da un elemento infinitesimo di corrente, campo B di un circuito filiforme, somiglianze e differenze con il campo E. Cenno alla formula generale del campo generato da una distribuzione di correnti definita da J. Cenno all effetto Hall e alla misura di B. 12) Calcolo del campo B lungo l'asse di una spira circolare e di un filo infinito. Azioni meccaniche tra 2 fili paralleli percorsi da correnti e definizione dell'ampere nel SI. Spira circolare e definizione di dipolo magnetico. Azioni meccaniche su una spira rettangolare e lavoro necessario a ruotare la spira (dipolo magnetico) in un campo B uniforme. Somiglianze e differenze qualitative fra il campo di un dipolo elettrico e di un dipolo magnetico (spira circolare) a piccola e a grande distanza. Cenno ai motori elettrici in corrente continua. 13) Calcolo della circuitazione di B attorno ad un filo infinito. Dimostrazione della legge di Ampere. Correnti concatenate e legame tra orientazione della linea della circuitazione (e quindi direzione della normale all'area A che ha per bordo la linea) e direzione positiva della corrente (ricordarsi calcolo della corrente come flusso di J attraverso l'area A). Applicazione della legge di Ampere per il calcolo del campo B di un filo con spessore finito. Solenoide: andamento qualitativo del campo di un solenoide, campo del solenoide con spire ravvicinate e di lunghezza che tende all'infinito, solenoide ideale senza flusso disperso. Calcolo del campo di un solenoide ideale tramite la legge di Ampere. Campo di un toroide. 14) Induzione elettromagnetica con la fenomenologia per mostrare i vari modi in cui un flusso del campo magnetico può variare (movimento di un magnete nei pressi di una spira, due avvolgimenti accoppiati, rotazione di una spira in un campo uniforme, modifica della geometria di una spira, moto di un filo e flusso tagliato). F.e.m e legge di Faraday-Neumann e corrente nel circuito che si oppone alle variazioni (Legge di Lenz). Calcolo della f.e.m per una spira circolare in un campo B uniforme e variabile, campo elettrico tangenziale alla spira e sua circuitazione, differenza fra E generato da cariche e E indotto, campo E indotto non conservativo (legge di Maxwell della circuitazione di E in forma integrale completa, cioe' valida anche in condizioni non stazionarie). Campo E indotto nello spazio libero (senza presenza di circuiti). Cenno agli alternatori e alla produzione di energia elettrica in corrente alternata e

5 ai trasformatori (linee alta tensione per ridurre effetto Joule, trasformazione a bassa tensione per le utenze casalinghe). 15) Contraddizioni nell'uso della legge di Ampere nella carica di un condensatore: calcolo della circuitazione di B su una linea piana che circonda il filo e flusso della corrente sulla superficie piana che ha per bordo tale linea (J diverso da zero su tale superficie), flusso della corrente su una superficie (aperta) che passa tra le armature del condensatore (J=0). Calcolo del legame tra carica e campo elettrico per un condensatore a facce piane a parallele (E=sigma/eps0, sigma=q/area), calcolo della corrente dalla carica e legame col flusso di E tra le armature, correzione di Maxwell alla legge di Ampere con la definizione della corrente di spostamento e validità anche in condizioni non stazionarie. Somiglianze tra il campo E e B (equazioni di Maxwell e densità di energia), cariche elettriche e assenza dei monopoli magnetici, cenno alla generazione di campi B (variabili) dovuti a campi E variabili nel tempo e di campi E (variabili) dovuti a campi B variabili nel tempo da cui generazione di onde elettromagnetiche. 16) Corrente variabile in un solenoide e fenomeni di autoinduzione. Legame lineare tra flusso di B e corrente, coefficiente di autoinduzione per il solenoide, induttori ideali ed induttanza, simbolo circuitale. Lavoro per far circolare la corrente in un solenoide ed energia immagazzinata. Energia in un solenoide ideale, densità di energia del campo B. Cenno alle modifiche di un solenoide quando viene riempito con un materiale: diamagnetico, paramagnetico e ferromagnetico, permeabilità magnetica del materiale e difficoltà legate al valore che dipende da storia del materiale (isteresi)). 17) Circuiti RL: equazione alla maglia, soluzione dell'equazione e andamento della corrente partendo da i=0, costante tempo L/R, interruzione della corrente e soluzione dell'equazione. Cenno ai fenomeni di extracorrente di apertura e scarica sui contatti degli interruttori con carichi induttivi. Cenno agli induttori reali che presentano resistenza. Circuito LC: equazione alla maglia, analogia con l'oscillatore armonico (energia elastica-> energia del condensatore, energia cinetica->energia dell'induttore) e equazione armonica, soluzione dell'equazione, oscillatore elettrico. Cenno al circuito RLC, al funzionamento in corrente alternata (effetti di risonanza), uso di valori complessi per risoluzione dei circuiti e introduzione delle reattanze capacitive e induttive.