Introduzione. Piattaforma petrolifera Alexander Kielland 27 Marzo morti. SS John P. Gaines 24 Novembre morti

Transcript

1 La fatica

2 Introduzione Piattaforma petrolifera Alexander Kielland 27 Marzo morti SS John P. Gaines 24 Novembre morti Boston 15 Gennaio morti

3 Fatica nei dispositivi medici Fratture dello stelo femorale originate da fenomeni di fatica (N.B. per fortuna la percentuale è bassa rispetto ad altri tipi di fallimento)

4 Fatica nei dispositivi medici Perchè uno stelo femorale è a rischio di rottura per fatica?

5 Fatica nei dispositivi medici

6 Introduzione Fattori comuni a queste catastrofi: la rottura IMPROVVISA e l esistenza di sollecitazioni in qualche modo CICLICHE Di fatto, si è acquisita consapevolezza dell importanza dei fenomeni di fatica solo quando il metallo ha iniziato ad essere impiegato diffusamente per realizzare elementi strutturali. I primi studi sul fenomeno della fatica sono stati fatti in Germania, dove nel 1829 un ingegnere minerario tedesco, W.A.J. Albert, effettuò alcuni esperimenti di carico ripetuto su catene di acciaio. Tra il 1852 ed il 1870 un ingegnere ferroviario tedesco, August Wöhler, condusse i primi studi sistematici sul fenomeno della fatica, per indagare su alcune inspiegabili rotture in esercizio di assili ferroviari. Appariva sorprendente, infatti, che tali rotture avvenissero ben al di sotto del limite elastico del materiale.

7 Introduzione La fatica può essere definita come un fenomeno di danneggiamento progressivo del materiale che ha origine in una fenditura microscopica (cricca o microcricca) e che procede con una fase di propagazione del difetto fino a dimensioni critiche, tali da provocare la rottura di schianto. Alcuni autori sostengono che l'80-90% dei cedimenti nei componenti strutturali è dovuto a questo fenomeno.

8 Introduzione Gli aspetti tipici di una rottura a fatica evidenziano tre stadi di sviluppo: 1. Origine da una o più microcrepe localizzate in regioni nelle quali sono presenti irregolarità superficiali (superficie esterna, cavità interna, inclusioni del materiale, diversi pezzi a contatto ecc.) 2. Le microcrepe diventano macrocrepe che formano superfici di frattura simili ad altopiani, separati da creste longitudinali. Di solito gli altopiani sono lisci e normali alla direzione della tensione principale massima. Queste superfici vengono chiamate linee di spiaggia e, durante il ciclo di carico, si aprono e si chiudono sfregando tra loro 3. La sezione restante del pezzo non riesce più a sopportare il carico e si ha il cedimento di schianto

9 Introduzione

10 Introduzione 633 rotture su impianti (0.7%) quasi sempre mortali

11 La progettazione a fatica Come si progetta/verifica un componente a fatica? Esistono diversi possibili modi di procedere: 1. L approccio più semplice e antico, che si potrebbe definire classico e che non si discosta molto concettualmente dalla prima impostazione che Wöhler diede al problema, consiste nel mettere in relazione la durata del componente, intesa come numero di cicli sopportabili, prima di giungere alla rottura, con lo stato di sollecitazione agente sul componente stesso, basandosi sull utilizzo di particolari curve ottenute sulla base di dati sperimentali (curve di Wöhler). 2. Le teorie più recenti, che definiscono una sorta di approccio locale al problema, focalizzano l attenzione sul difetto e sulle condizioni al contorno che ne determinano l accrescimento fino alle dimensioni critiche, mettendole in relazione con i carichi agenti e le caratteristiche di resistenza a frattura del materiale (meccanica della frattura)

12 La progettazione a fatica Alterna Media

13 Ciclo alterno simmetrico

14 Ciclo dallo zero

15 Ciclo ondulato (generico)

16 Esempi in biomeccanica Impianto dentale (masticazione) Ciclo pulsante dallo zero Protesi valvolari cardiache Ciclo alternato non simmetrico Protesi vascolari Ciclo ondulato (pressione arteriosa mm Hg) Protesi d anca Ciclo ondulato (azione muscolare)

17 La progettazione a fatica Come si ottengono i dati del materiale necessari per eseguire il dimensionamento/verifica a fatica? Eseguendo prove di rottura a fatica in base alle quali si traccia la curva di Wöhler. Per ottenere sperimentalmente la curva di Wöhler è necessario eseguire una serie di prove di fatica su provini normalizzati. I provini vengono sollecitati con un carico ciclico, generalmente alterno simmetrico e portati a rottura. Per ogni provino sottoposto a test si misura il carico ciclico imposto e si registra il numero di cicli trascorsi al momento della rottura.

18 La progettazione a fatica

19 La progettazione a fatica

20 La progettazione a fatica

21 La progettazione a fatica

22 La progettazione a fatica

23 La progettazione a fatica

24 La curva di Wöhler

25 La progettazione a fatica

26 La curva di Wöhler La curva di Wohler, ottenuta dall interpolazione dei dati sperimentali (nuvola di punti) delimita un dominio nel quale il componente non va incontro a cedimento (punti sottostanti la curva). Per quanto riguarda i punti sulla curva, in essi esiste il 50% di rischio di rottura. Per un dato livello di sollecitazione, l ascissa dell intersezione tra valore di sollecitazione e curva di Wohler fornisce il numero massimo di cicli sopportabili

27 I tipi di fatica

28 Diagramma semplificato Dispositivi per osteosintesi Endoprotesi Nel caso non sia disponibile la curva di Wöhler per il particolare materiale che si intende utilizzare è possibile, in via approssimata, costruire la curva in modo semplificato partendo dal valore della sollecitazione di rottura e fissando due punti nei quali si rileva una variazione della pendenza. Il primo corrisponde ad un valore pari a 0.8 volte la sollecitazione di rottura Il secondo valore (definito genericamente «limite di fatica») dipende dal tipo di materiale. Per gli acciai il valore tipico è 0.5 ma in generale si possono avere anche limiti inferiori (fino a 0.3) Il diagramma può essere semilogaritmico o bilogaritmico (si evidenzia in tal modo la presenza del «ginocchio» della curva)

29 Alcune considerazioni La rottura per fatica è un fenomeno di tipo probabilistico in quanto, oltre che dalle proprietà del materiale, dipende anche dai difetti indotti dai processi tecnologici un fenomeno prettamente locale ben diverso, per es., dallo snervamento causato da carico statico nel quale porzioni significative della sezione (se non la totalità) sono interessate dal fenomeno Un altro aspetto importante è rappresentato dall eterogeneità del materiale. Sia lo sviluppo che l accumulo del danno sono processi casuali che dipendono dalla probabilità di trovare dei cristalli più deboli nelle zone di sforzo più elevato. Nella superficie libera (esterna) l esistenza di sollecitazioni elevate, sommata alla inevitabile presenza di imperfezioni della struttura, aumenta la probabilità di innesco del danno Il grado di casualità del processo è così significativo e così ampia è la dispersione dei dati sperimentali (anche su provini apparentemente identici ) che è molto difficile effettuare previsioni sicure sulla durata di un pezzo. Da qui la necessità di progettare con coefficienti di sicurezza elevati per conseguire la necessaria affidabilità

30 Alcune considerazioni Il rischio di rottura per fatica può essere ridotto con opportune tecnologie meccaniche (finitura superficiale, trattamenti superficiali, ecc.). Nel caso di dispositivi impiantabili la fatica è sempre presente: una protesi ortopedica compie 10 6 cicli in 1 anno una protesi valvolare cardiaca, compie 10 6 cicli in 5 giorni Nel caso di metalli e ceramici la frequenza di sollecitazione non influenza il comportamento a fatica (almeno fino a 150 Hz). Nel caso dei polimeri la frequenza di sollecitazione può modificare la temperatura influenzando le proprietà meccaniche e, di conseguenza, la resistenza a fatica. Inoltre la variazione di frequenza varia la velocità di sollecitazione e quindi la risposta di materiali con componente viscosa.

31 La progettazione a fatica Quali sono i fattori che influenzano la vita a fatica di una struttura?

32 Materiale Non tutti i materiali presentano un limite di fatica La curva di Woehler presenta un asintoto orizzontale solo per gli acciai e le leghe di titanio. Tale livello di carico rappresenta una soglia al di sotto della quale questi materiali possono sopportare qualsiasi numero di cicli (vita infinita). Le leghe di alluminio, rame, nickel e magnesio hanno un comportamento che non cambia al diminuire della sollecitazione, per cui la progettazione di componenti realizzati con questi materiali va eseguita a vita finita per qualsiasi livello di carico.

33 Materiale Acciaio e Alluminio Leghe di Titanio per applicazioni biomediche

34 Tipo di sollecitazione Le curve di Wohler sono generalmente ottenute da prove di flessione rotante Questo significa che il diagramma fornisce un limite di fatica utile solo quando il componente esaminato è anch esso soggetto allo stesso tipo di sollecitazione alterna Per analizzare componenti sottoposti a sollecitazioni differenti (torsione alterna, trazione-compressione) occorrerebbe realizzare campagne di test sprimentali ad hoc Tuttavia, sono stati calcolati dei coefficienti capaci di mettere in relazione il risultato delle prove di flessione con quelle delle altre casistiche. Si osservi che, rispetto al caso della flessione, il limite di fatica per le altre sollecitazioni risulta essere sempre inferiore 1 k s = flessione trazione compressione torsione

35 La progettazione a fatica: il metodo dello sforzo Il provino di laboratorio utilizzato per le prove a flessione rotante (che consentono di stabilire il limite di fatica) è preparato molto accuratamente e sottoposto alla prova in condizioni controllate È irrealistico aspettarsi che il limite di fatica di un componente reale sia lo stesso del provino Sono stati dunque identificati alcuni fattori che possiedono un influenza significativa sul limite di fatica. La filosofia è quella di RIDURRE il limite di fatica mediante il prodotto del limite determinato in laboratorio con alcuni coefficienti che si riferiscono ai diversi aspetti geometrici, ambientali ed operativi nei quali si trova ad operare il componente reale S ' F = S F k a k b k c k d k e k g ' S F < S F S S F ' F = limite di fatica"ideale"(provino) = limite di fatica"corretto"(componente reale)

36 La progettazione a fatica I coefficienti tipicamente impiegati per ridurre il limite di fatica sono quelli sottoelencati. Essi assumono generalmente valore minore od uguale a 1 (1=ininfluenti). Sotto particolari condizioni, esistono anche dei fattori maggiori di 1. k k k k k k a b c d e g condizioni fattore fattore fattore fattore di di di ambiente, superficiali dimensionale affidabilità temperatura intaglio trattamenti superficiali, altre variabili Di essi, in realtà, il fattore generico kg può anche essere >1 e quindi incrementare il limite di fatica.

37 Finitura superficiale (ka) Tutte le prove di caratterizzazione a fatica dei materiali vengono effettuate utilizzando provini lucidati a specchio per limitare al massimo la presenza di discontinuità superficiali che possano accelerare il meccanismo di nucleazione delle cricche di fatica. Quindi, i dati raccolti sui provini lucidati a specchio, per poter essere applicati alla verifica di componenti reali, devono essere scalati verso il basso attraverso un coefficiente (<1) che rende conto della effettiva finitura superficiale.

38 Effetto dimensionale (kb) Effetto della dimensione del componente sulla durata a fatica. Nei componenti di maggiori dimensioni aumenta la probabilità che un difetto si trovi in una zona con tensione sufficientemente elevata da consentirne la propagazione stabile per fatica. L effetto della dimensione sulla durata a fatica di un componente di dimensioni superiori a quella dei provini viene valutato attraverso il coefficiente di riduzione delle prestazioni del materiale Questo fattore deve essere impiegato solo nei casi di flessione e torsione ma non di trazionecompressione (perchè????) Sezioni circolari per d 8mm per 8 d 250 mm Sezioni non circolari ( diametro rettangolo d = b h k k b b = 1 = d equivalente)

39 Affidabilità (kc) Il concetto di affidabilità implica la conoscenza delle distribuzioni statistiche sia della resistenza a fatica e sia degli sforzi applicati. Tuttavia si può tener conto (in prima approssimazione) solo della variabilità insita nella resistenza a fatica mediante un coefficiente di affidabilità, il cui valore unitario corrisponde alla probabilità di sopravvivenza pari al 50%. Questo deriva dal fatto che la resistenza a fatica per un determinato numero di cicli viene assunta uguale al valor medio dei valori rilevati Affidabilità kc 50% 1 90% % % % 0.753

40 Fattore di temperatura (kd) Della variabilità della resistenza a fatica con la temperatura si dovrebbe tener conto con diagrammi come quello riportato in figura. Tuttavia, in mancanza di dati precisi, è possibile impiegare delle espressioni semplificate (valide per gli acciai) del tipo: T 350 C per 350 T 500 C k k d d = 1 = 0.5

41 Presenza di intagli Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionale

42 Fattore d intaglio L effetto della presenza di intagli viene computato attraverso un coefficiente riduttivo del limite di fatica Ke espresso come K e 1 K = dove: f K f = t ( K ) 1+ q 1 (metodo di sensibilità all intaglio)

43 Fattore d intaglio

44 Fattori generici (Kg): Tensioni residue L effetto dei trattamenti superficiali sul comportamento a fatica dipende dallo stato di tensione residuo che questi trattamenti sono in grado di generare. Gli sforzi residui sono sforzi di trazione o di compressione a risultante nulla che esistono indipendentemente dall azione di carichi esterni (forze o gradienti termici) in un componente che risulta, quindi in equilibrio; solitamente essi sono presenti in zone ben delimitate ed hanno il loro massimo in superficie. Generalmente gli sforzi residui si generano a causa di una deformazione plastica non omogenea che può derivare, oltre che dall applicazione di un carico, anche da una contrazione o dilatazione termica o da una trasformazione di fase avvenuta durante il processo di produzione del componente. In generale le tensioni residue possono migliorare o peggiorare il limite di fatica, ma poiché le rotture per fatica sono tipicamente associate a tensioni di trazione, è chiaro che tutto ciò che tende a ridurre le tensioni di trazione, riduce conseguentemente anche la probabilità di rottura.

45 Trattamenti superficiali Lavorazioni e trattamenti meccanici. La rettifica e le lavorazioni alle macchine utensili possono indurre tensioni residue di trazione. Mentre, la rullatura, la pallinatura e la sabbiatura generano un positivo sistema di tensioni residuo di compressione. Trattamenti termici superficiali. La nitrurazione, la tempra superficiale e la carbocementazione portano, nell ordine, a comportamenti a fatica migliori. Pallinatura (shot peening) Consiste nel martellamento superficiale eseguito a freddo mediante un violento getto di pallini sferici, oppure di cilindretti ottenuti tagliando un filo

46 Trattamenti superficiali Nitrurazione Il procedimento consiste nel portare il metallo gradualmente a 550 C circa (il tempo di trattamento è quindi lungo) per introdurvi azoto atomico, il quale viene assorbito dalla ferrite superficiale del metallo e forma nitruri, prevalentemente Fe 4 N, molto duri e che distorcono il reticolo cristallino. Carbocementazione L'arricchimento superficiale in carbonio, e la conseguente formazione di carburi, è utile per conferire resistenza all'usura e rafforzamento unite a tenacità interna (per esempio per denti di ingranaggi). Tempra Consiste nel riscaldare rapidamente i pezzi da trattare in modo da fare superare la temperatura di circa 900 C solo ad un sottile strato di metallo immediatamente adiacente alla superficie e nel procedere subito dopo ad un brusco raffreddamento.

47 Altri fattori esterni Alcuni fattori esterni possono modificare notevolmente le prestazioni a fatica di un materiale. Tra tutti i possibili fattori ambientali quelli che hanno maggior rilevanza nella progettazione di organi meccanici sono: Presenza di rivestimenti metallici Alcuni rivestimenti metallici (cromatura, nichelatura, cadmiatura) riducono la resistenza a fatica di quasi il 50%. La zincatura non modifica il limite di fatica, l ossidazione delle leghe leggere riduce il limite di resistenza a fatica a flessione di circa il 39% ma non quello a torsione. Frequenza del ciclo di tensione + corrosione Se per qualche ragione il processo di fatica diventa tempo-dipendente, diventa anche frequenza-dipendente. In condizioni normali la frequenza ha scarsa (o nulla) influenza sul limite di fatica, ma in presenza di corrosione e gradienti termici anche la frequenza può avere la sua importanza. Basse frequenze ed alte temperature danno luogo, sotto certe condizioni di carico, a veloci propagazioni delle cricche. Corrosione. Il fenomeno della fatica e quello della corrosione si esaltano reciprocamente, producendo un effetto sinergico nel danneggiamento del materiale che ne riduce di molto la durata.

48 Verifica a fatica (cicli alterni simmetrici) S u S F = 0.5 S u S F 6 L effetto complessivo dei fattori precedentemente analizzati è quello di ridurre il limite di fatica. La verifica, quindi, si esplica nelle seguenti relazioni dove: nom max S ' F amm fat = SF ka kb =... ' SF ξ

49 Il danneggiamento cumulativo Spesso i componenti strutturali sono soggetti a storie di carico nelle quali i cicli di fatica hanno ampiezza variabile ad esempio n1 cicli con tensione alternata 1, n2 cicli a 2 etc. Il problema della stima della vita a fatica in queste condizioni non è stato risolto completamente e i risultati ottenuti usando gli approcci presentati sono indicativi; valori precisi possono essere ricavati solo da dati sperimentali. Le difficoltà principali sono dovute al fatto che la curva di Wohler viene ricavata utilizzando per ciascuna ampiezza di ciclo costante un provino diverso (vergine). In realtà l'applicazione di alcuni cicli di ampiezza elevata modifica le proprietà di resistenza a fatica del componente (in senso positivo o negativo a seconda del livello di carico) che dovrebbero essere caratterizzate da un nuovo diagramma di Wohler.

50 L approccio di Miner-Palmgren Una teoria semplice che descrive in modo approssimato il danneggiamento cumulativo a fatica è quella di Miner-Palmgren (MP). Nella teoria di MP la frazione di danno D (ai) imputabile all azione di ni cicli di ampiezza ai applicati al provino è espresso matematicamente dalla seguente equazione: ( ) D = ai N ( ) nella quale N(ai) è il numero di cicli di vita corrispondente all'ampiezza ai letto sul diagramma di Wohler. In base alla teoria di MP si verifica il cedimento quando: D n n i 1 + D Dn = D( ai ) = i= 1 i= 1 N( ai ) L'esperienza mostra che la combinazione lineare dei danneggiamenti parziali è una semplificazione a volte eccessiva della realtà; in particolare, questo approccio non tiene conto della sequenza secondo la quale i diversi livelli di deformazione vengono raggiunti dal materiale. Inoltre, il danneggiamento si accumula sempre nella stessa maniera, senza riguardo alla storia temporale delle deformazioni subite fino a quel momento. Per tenere conto di questo fatto si potrebbe modificare il valore di D: valori tipici utilizzati sono D= n i ai n 1

51 Un esempio Una placca per osteosintesi in materiale polimerico (acido polilattico, PLA, resistenza a trazione 48 MPa) è stata applicata su una frattura di ulna. Nel corso di alcune attività fisiologiche, l osso si trova ad essere sollecitato alternativamente a trazione e compressione. Si supponga, per semplicità, che in un certo intervallo temporale (per esempio 230 secondi) l andamento dello spettro di carico sia il seguente: 10 cicli a ±34 MPa 20 cicli a ± 20 MPa 7 cicli a ± 26 MPa

52 Un esempio È necessario disporre del diagramma di Wohler del materiale per determinare il valore del numero massimo di cicli Ni sopportabili per un dato livello di sollecitazione i Stress (MPa) Number of cycles (N) Per ognuno dei valori di sollecitazione dati (ordinate) ci si sposta fino ad incontrare la curva e si legge il valore dell ascissa Es: per = 34 MPa, N = 10 4 cicli per = 26 MPa, N = cicli e per = 20 MPa????

53 Un esempio D n n ni = D1 + D Dn = D( ai ) = 1 N i= 1 i= 1 ( ) ai D = D1 + D2 + D3 = + + = Nei 230 secondi considerati, viene consumata una frazione di resistenza a fatica pari a (ricordiamo che il limite è 1) Quante ore può resistere la placca senza che avvenga la rottura?? 230 : ( ) = x :1 x = 230 ( ) x = s = h

54 Effetto della sollecitazione media Nei cicli di sollecitazione diversi da quelli alternati simmetrici (a media nulla), la presenza di un valor medio diverso da zero influisce significativamente sulla resistenza a fatica. Sperimentalmente si osserva che il valore di f corrispondente ad un determinato numero di cicli Nf diminuisce al crescere di una m positiva. Il valor medio aumenta Una m negativa è di norma ininfluente poichè le zone di discontinuità nel materiale possono reagire a compressione e non generano zone di concentrazione di tensione. Per affrontare il problema in teoria si dovrebbe poter disporre delle curve di Wohler per diversi valori della tensione media, ma ciò comporterebbe una notevole mole di dati sperimentali da ricavare. Si ricorre, quindi a diagrammi semplificati che agevolano la verifica a fatica.

55 Effetto della sollecitazione media A questo scopo si effettuano prove per indagare l'effetto sulla rottura del materiale delle diverse combinazioni di sforzo medio (in trazione o in compressione) e sforzo alternato. In un diagramma che riporta in ascisse la sollecitazione media ed in ordinata quella alternata, si riportano le coppie di valori sperimentali che provocano la rottura a fatica in un numero prefissato N di cicli Questo viene chiamato diagramma di Haigh.

56 Il diagramma di Haigh (costruzione) La costruzione del diagramma di Haigh richiede una notevole mole di dati sperimentali, di conseguenza sono state proposte delle rappresentazioni alternative approssimate 1. sull'asse media si riportano la tensione di snervamento per trazione s e compressione sc e la tensione di rottura r, sull'asse alternata si riportano la s e il limite di resistenza a fatica l, 2. si traccia una linea (1) da alternata = s a media = s per tensioni medie di compressione, 3. si traccia una linea (2) da alternata = s a media = s, per tensioni medie di trazione, 4. si traccia una linea orizzontale (3) da alternata = f per tensioni medie di compressione, 5. si traccia una linea (4) da alternata = f a media = r per tensioni medie di trazione.

57 Diagramma di Haigh

58 Il diagramma di Haigh (significato) Langer Le linee (1) e (2) delimitano le coppie di valori m, a per le quali la tensione massima del ciclo si mantiene al di sotto di quella di snervamento. Nella parte delle media>0 la retta di snervamento (2), detta retta di Langer, è descritta dalle seguenti equazioni: m a + = 1 s s a = s Le linee (3) e (4) costituiscono una semplificazione delle curve di fatica per tensione media variabile e delimitano i valori m, a per i quali la vita a fatica è maggiore o uguale a quella corrispondente a f, cioè: N Nf. Nella parte delle media>0 la retta (4), detta retta di Goodman, è rappresentata dalle equazioni: m a + = 1 r f f a = f r Goodman m m y = x + q ( m = 1)

59 Il diagramma di Haigh (significato) a Dal punto di lavoro P il sistema può raggiungere la rottura in infiniti modi, a seconda delle modalità di crescita del carico (m, a). Per esempio: 1. Resta costante la tensione alterna e aumenta la media (si finisce su P3) 2. Resta costante la tensione media e aumenta quella alterna (si finisce su P2) 3. Resta costante il rapporto tra tensione media e alterna (si finisce su P1) Per il punto P passano infinite rette che individuano possibili combinazioni di sollecitazione media e alterna m Si possono calcolare infiniti coefficienti di sicurezza

60 Eseguire una verifica Per la verifica a fatica nel caso di presenza di valor medio non nullo, considereremo solo la condizione nella quale le sollecitazioni medie e alterne variano in modo tale che il rapporto media/alterna si mantenga costante Il luogo dei punti che rappresenta le coppie a, m al variare del carico esterno è una retta passante per l origine di inclinazione differente a seconda del caso, definita retta di carico. Il punto limite P di coordinate a, m, corrispondente alla situazione assegnata, può essere ottenuto dall intersezione tra la retta di carico e la retta di Goodman Il coefficiente di sicurezza, a sua volta, può essere ottenuto come rapporto tra i segmenti della retta di carico compresi tra il punto O e i punti P e P rispettivamente, cioè: ξ = O' P' O' P

61 Eseguire una verifica m m a a O P O P ξ ' ' ' ' ' = = = + = + = f a r m r a f m r f ξ 1 = = + m r f f a f a r m 1 ξ ξ = = m m a a ' ' sostituendo + = ' 1 F a u m S S ξ

62 Flesso-torsione materiali duttili Quando sono presenti contemporaneamente ed in fase 1.Sollecitazioni normali alterne (a) 2.Sollecitazioni normali medie (m) 3.Sollecitazioni torsionali alterne (τa) 4.Sollecitazioni torsionali medie (τm) La verifica, ed il relativo calcolo del coefficiente di sicurezza, possono essere eseguite utilizzando il Criterio di Gough-Pollard 1 = ξ Sr m + S a ' f 2 τ m + τ r τ + τ a ' f 2 Limite di rottura Limite di fatica (corretto) Limite di fatica a torsione (approx 0.5 S f)