ECM/Applicazioni Numeriche e Teoriche per la Costruzione di Macchine

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1 ESERCIZIO 1 Si consideri una lastra del ponte di una nave, in acciaio di 30 mm, larga 12 m e caricata in trazione uniassiale a 50 MPa. Le temperatura di esercizio è inferiore alla temperatura di transizione duttile-fragile, con K Ic = 28.3 MPa m. Nell ipotesi che al centro della lastra sia presente una fessura trasversale lunga 65 mm, si calcoli la tensione di trazione necessaria a portare la lastra alla rottura catastrofica. Si confronti tale valore ottenuto con la resistenza a snervamento di 240 MPa per questo acciaio. In base ai dati, abbiamo: d = b 2a = 65 mm 2b = 12 m a d = d b = 1 Dal grafico seguente possiamo ricavare il valore del coefficiente di adattamento dell intensificazione degli sforzi β. Da cui β è circa 1. 1

2 Per cui il fattore di intensificazione degli sforzi è: K I = βσ πa = 1 50 MPa π m = MPa m Il fattore di sicurezza nel caso di frattura fragile è: n = K Ic K I = 1.77 La tensione alla quale si verifica la frattura fragile invece sarà: σ c = n σ = MPa La tensione di snervamento vale 240 MPa, mentre la rottura fragile si verifica al 36.9% dello snervamento (88.57 / 240). Il fattore di sicurezza in queste condizioni è ben inferiore a quello nel caso statico che è pari a 240/50 =

3 ESERCIZIO 2 Un cilindro soggetto a pressione interna p i ha un diametro esterno di 350 mm ed uno spessore di 25 mm. Il materiale presenta le seguenti caratteristiche di resistenza: K Ic = 80 MPa m, con S y = 1200 MPa e con S ut = 1350 MPa. Nel cilindro è presente una cricca longitudinale passante, di lunghezza pari a 12.5 mm. Determinare il valore della pressione che innesca la propagazione instabile del difetto. Per prima cosa si deve ricavare il valore del coefficiente di adattamento dell intensificazione degli sforzi β dal seguente grafico. r o = 175 mm r i = r o t = 150 mm r = 25 mm Da cui β 2.5 a r = 0.5 r i r o =

4 A questo punto possiamo calcolare lo sforzo critico σ c = K Ic = MPa β πa La tensione che tende ad aprire la cricca è quella trasversale. Per un disco forato è pari a: Per r=r e abbiamo: σ t = p i r i 2 r e 2 r i 2 (r2 r e 2 + 1) r i 2 σ t = 2 p i r 2 2 e r i Da cui possiamo ricavare il valore della pressione che innesca l avanzamento della frattura. p i = σ c r o 2 r i 2 2 r i 2 = 29.2 MPa 4

5 ESERCIZIO 3 L albero mostrato nella successiva figura ha diametro D = 50 mm, diametro d = 25 mm e raggio di raccordo pari a 2.5 mm. Considerando che il materiale è un acciaio AISI con durezza Brinnel pari a 250 Bhn, disegnare il diagramma di Wöhler. È noto inoltre che l albero è soggetto ad un carico torsionale alterno-simmetrico.. Assumere tutti le entità mancanti. Si calcolino inoltre i valori dello stress che causano rottura a fatica per cicli, cicli e cicli. Come prima cosa bisogna dire che il ciclo alterno-simmetrico (figura successiva) ha una tensione alternata pari alla tensione massima ed una tensione media nulla. Ciò significa che nel diagramma σ a σ m ci troviamo lungo l asse delle ordinate. In altre parole la vita a fatica non è influenzata dalla tensione media, ma solo da quella alternata. 5

6 Calcoliamo ora i fattori di concentrazione delle tensioni K t e K f per il caso statico e quello di fatica rispettivamente, mediante i due successivi grafici. Considerando che i parametri del nostro problema sono: r d = 0.1 D d = 2 6

7 Dal primo grafico possiamo ricavare il fattore di concentrazione nel caso statico: K t 1.45 Dal secondo grafico possiamo invece estrarre il fattore di correzione delle tensioni q, il quale dipende dal raggio del raccordo e dalla resistenza a rottura del materiale. Considerando le curve relative alla torsione abbiamo: q 0.9 Il fattore di concentrazione delle tensione nel caso di fatica è pari a: K f = 1 + (K t 1) q = 1.4 Per disegnare il digramma di Wöhler abbiamo bisogno di calcolare il valore della tensione al ginocchio, tramite i fattori di correzione della tensione, che tengono conto delle condizioni di funzionamento effettive dell albero (rispetto a quelle ideali in cui del provino). In particolare si ha: S n = S n C L C G C T C R C S Tali coefficienti possono essere ricavati dalla tabella successiva (i quali possono essere anche ricavati normativa UNI). 7

8 Da cui possiamo estrarre: C L = 0.58 C G = 0.9 C T = 1 C R = Il fattore di carico è funzione del carico applicato, nel nostro caso torsione Il fattore di gradiente è funzione del tipo di carico applicato e delle dimensioni, nel nostro caso torsione e d=25 mm Il fattore relativo alla temperatura dipende dalla temperatura di esercizio, nel nostro caso non avendo indicazioni possiamo assumere che T<450 C Il fattore di affidabilità dipende dal grado di affidabilità richiesto per il componente, nel nostro caso assumiamo 99% Manca il fattore relativo alla finitura superficiale, il quale è funzione della resistenza a rottura e del tipo di lavorazione effettuato; nel nostro caso sappiamo che la finitura è una rettifica fine e che la resistenza a rottura è pari a: S u = 0.5 ksi DB = MPa 250 = MPa Da cui C s = 0.9. Possiamo quindi calcolare S n, sapendo che S n = 0.5 S u 8

9 S n = MPa = MPa Ci manca di ricavare il valore corretto della tensione di rottura, come indicato nella tabella precedente. S f = 0.9 S us C T = S u 1 = 0.72 S u = MPa Possiamo quindi disegnare il diagramma bi-logaritmico, ed anche gli esponenti delle due curve del diagramma mediante le seguenti equazioni: m = log(106 ) log (10 3 ) log(s f ) log(s n ) = 5.21 m = m m 2 = Per valutare la tensione massima per avere un vita infinita a fatica ad un determinato numero di giri, si può sfruttare la seguente equazione: Dunque per N 1 = cicli abbiamo: σ m N = cost. 9

10 σ 1 = S f ( m ) N 1 = MPa Allo stesso modo per N 2 = cicli e N 3 = cicli abbiamo: σ 2 = S f ( m ) N 2 σ 3 = S f ( m ) N 3 = MPa = MPa 10

11 ESERCIZIO 4 Si consideri la barra della figura successiva, con H = 35 mm, h = 25 mm, b = 20 mm e r = 2 mm. Il materiale è in acciaio con una durezza Brinnel pari a 160 Bhn. Considerando che tutte le superfici hanno una finitura da lavorazione con macchina utensile, che il ciclo di carico è dall origine e che l affidabilità desiderata è del 95%, stimare il valore del massimo momento flettente che può essere applicato per garantire una vita a fatica infinita. Il ciclo di carico è come quello illustrato nella figura successiva In cui la σ m = σ a e sono pari alla metà della tensione massima. Per stimare il valore del momento flettente massimo che può essere applicato, garantendo una vita a fatica infinita, si deve disegnare il diagramma σ a σ m. Per tale scopo abbiamo bisogno di calcolare il valore al ginocchio del diagramma di Wöhler. S n = S n C L C G C T C R C S 11

12 Essendo e S u = 0.5 ksi DB = MPa 250 = MPa S n = 0.5 S u = MPa I fattori di correzione della tensione invece valgono C L = 1 C T = 1 C R = Il fattore di carico è funzione del carico applicato, nel nostro caso flessione Il fattore relativo alla temperatura dipende dalla temperatura di esercizio, nel nostro caso non avendo indicazioni possiamo assumere che T<450 C Il fattore di affidabilità dipende dal grado di affidabilità richiesto per il componente, nel nostro caso assumiamo 95% Per il calcolo di C G è necessario calcolare il diametro equivalente, essendo la sezione rettangolare. Il diametro equivalente vale: d eq = 4S P = 4bh = 22.2 mm 2(b + h) Da cui C G è pari a 0.9. Per quanto riguarda il fattore superficiale, con una tensione di rottura di 552 MPa e superfici lavorate a macchina, questo sarà pari a circa Dunque S n sarà: S n = MPa = MPa Possiamo quindi disegnare il diagramma σ a σ m 12

13 Da questo grafico possiamo ricavare il valore della tensione massima, trovando il punto di intersezione delle due rette. Per la retta della vita infinita abbiamo: Per quella di carico y = S n S u x + S n y C = x Essendo la tensione media uguale a quella alternata la retta presenta coefficiente angolare unitario. Dall intersezione otteniamo: σ = S n (1 + S n S u ) = MPa Da cui la tensione massima è pari al doppio della tensione media (od alternata): σ max = 2 σ = MPa Il momento flettente può essere calcolato mediante la relazione tra tensione e momento stesso: M c σ = K I f In cui sono ancora incognite il momento d inerzia e il fattore di concentrazione delle tensioni. Considerando che i parametri del nostro problema sono: H h = 1.4 r h = 0.08 Dal grafico ricaviamo che K t

14 Il fattore di correzione delle tensioni q invece, considerando le curve relative alle flessione, è pari a q 0.9 da cui K f = 1 + (K t 1) q = 1.66 Il momento d inerzia in questo caso è pari a: I = bh3 12 Mentre c è uguale ad h/2. Dunque il valore del massimo momento flettente sarà: M = σ max I c K f = σ max bh 2 6 K f = kn mm 14

15 ESERCIZIO 5 Un albero è supportato da due cuscinetti, in A ed in B, e caricato da una forza verso il basso di N. Sapendo che i raccordi distano 70 mm dai supporti, determinare il valore e la posizione della tensione massima, e stimare il fattore di sicurezza rispetto allo snervamento, sapendo che l acciaio è un AISI C45 CD con snervamento pari a 530 MPa e una rottura di 630 MPa Prima di tutto ricaviamo le reazioni sui cuscinetti nel piano frontale. Da cui: R A N + R B = 0 { N 500 mm R B 750 mm = 0 R A = 3333 N { R Bv = 6667 N 15

16 Dai precedenti grafici si evince che il punto più sollecitato è il punto di applicazione del carico, con M = 1667 kn mm. Considerando il taglio trascurabile rispetto al momento flettente, si ha che: σ nom = 32M kn mm = πd3 π(80 mm) 3 = 33.2 MPa Tuttavia in corrispondenza del raccordo vicino al supporto B, essendo il diametro la metà, si ha: σ nom = 32M πd kn mm = π(40 mm) 3 = 74.3 MPa In corrispondenza del raccordo inoltre si ha una concentrazione di tensione, per cui la tensione è maggiore di quella nominale. In particolare occorre ricavare il fattore di concentrazione delle tensioni K t da grafico seguente, utilizzando i rapporti: r d = D d = 2 16

17 Dal grafico ricaviamo che K t Per cui: σ max = K t σ nom = MPa Per cui il fattore di sicurezza, rispetto allo snervamento è: SF = S y σ max = 4.25 Ipotizzando ora che l albero sia messo in rotazione a 850 rpm, per 1 anno, 5 giorno/settimana e 8 ore/ giorno, con un affidabilità del 99% stimare il valore del fattore di sicurezza. Il numero di cicli associato ai dati forniti è: n = 1a 52 s a 5 g s 8 h g 60 m h n = cicli Il tipo di ciclo è alterno simmetrico, per cui la tensione alternata è uguale a quella massima e quella media è nulla. La tensione massima in questo caso deve essere moltiplicata per il K f. Il fattore di correzione delle tensioni q invece, considerando le curve relative alle flessione, con S u = 630 MPa e un raccordo di 5 mm, è pari a q 0.65 da cui Dunque la tensione massima è: K f = 1 + (K t 1) q = 1.44 σ max = K f σ nom = MPa Essendo la tensione media nulla per valutare il coefficiente di sicurezza basta ricavare il valore della tensione limite a fatica S n, in quanto ci troviamo sull asse verticale del grafico σ a σ m. Dalla tabella dell esercizio 4 possiamo ricavare i coefficienti del caso attuale C L = 1 C G = 0.9 C T = 1 Il fattore di carico è funzione del carico applicato, nel nostro caso flessione Il fattore di gradiente è funzione del tipo di carico applicato e delle dimensioni, nel nostro caso torsione e d=40 mm Il fattore relativo alla temperatura dipende dalla temperatura di esercizio, nel nostro caso non avendo indicazioni possiamo assumere che T<450 C 17

18 C R = Il fattore di affidabilità dipende dal grado di affidabilità richiesto per il componente, nel nostro caso assumiamo 99% Manca il fattore relativo alla finitura superficiale, il quale è funzione della resistenza a rottura e del tipo di lavorazione effettuato; nel nostro caso sappiamo che la finitura è una rettifica fine e che la resistenza a rottura è 630 MPa, per cui C s = 0.9. Possiamo quindi calcolare S n, ricordando che S n = 0.5 S u S n = MPa = MPa Dunque il fattore di sicurezza sarà: SF = S n = 1.94 σ max Inoltre trovandoci al di sotto del limite di fatica si ha una vita infinita del componente. Se durante il funzionamento l albero subisce sovraccarichi non previsti, in particolare un aumento di 2.5 volte per 2*10 4 cicli e di 2 volte per 5*10 5 cicli, questo arriverà a rottura? In questo caso dobbiamo calcolare il danno cumulato sfruttando la legge di Palmgren- Miner. n i N i = 1 La quale definisce il danno generato su un generico materiale come la frazione di vita spesa (in termini di energia) per quel dato livello di carico. In base a tale ipotesi, la rottura avviene quando la somma delle frazioni di danno, definite solo dai cicli consumati (n i /N i ), ai vari livelli di carico, raggiunge l unità. Dobbiamo quindi calcolare i valori della vita massima a fatica associata ai sovraccarichi, dal diagramma di Wöhler. Prima di tutto occorre ricavare il valore corretto della tensione di rottura per 10 3 cicli nel caso i flessione: Quindi il coefficiente m: S f = 0.9 S u = 567 MPa m = log(106 ) log (10 3 ) log(s u ) log(s f ) = 6.88 Per valutare il numero massimo di cicli si può sfruttare la seguente equazione: σ m N = cost. 18

19 Dunque quando σ 1 = 2.5 σ max = MPa abbiamo: N 1 = 10 6 ( S 1 m n ) σ 1 = cicli Questo significa che se l albero fosse sottoposto a tale numero di cicli arriverebbe a rottura per fatica prima della durata prevista. Allo stesso modo per σ 2 = 2 σ max = MPa abbiamo: N 2 = 10 6 ( S 1 m n ) σ 2 = cicli Il carico di esercizio non viene preso in considerazione per il calcolo della vita cumulata in quanto al di sotto del limite si fatica S n. Per cui applicando la regola di Miner troviamo: n 1 + n = N 1 N = 0.73 Ciò significa che l albero non arriva a rottura per fatica prima della durata stabilita, in quanto il valore del danno cumulato è inferiore all unità. 19