Nel mondo dei numeri e delle operazioni

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1 Carla Alberti, Maria Elisabetta Bracchi e Stefania Portieri Nel mondo dei numeri e delle operazioni Programma per esercitarsi con le frazioni e i numeri decimali Guida

2 Editing e progettazione Serena Larentis Sviluppo software Michele Linardi Walter Eccher Coordinamento tecnico Matteo Adami Grafica, illustrazioni e animazioni Cristian Stenico Riccardo Beatrici Elaborazione grafica Tania Osele Testing Sonia Arw Susanna Tassinari Audio Jinglebell Communication Musiche Simone Bordin Immagine di copertina Cristian Stenico Fotocomposizione e packaging Tania Osele 2013 Edizioni Erickson Via del Pioppeto Trento tel fax info@erickson.it Tutti i diritti riservati. Vietata la riproduzione con qualsiasi mezzo effettuata, se non previa autorizzazione dell Editore.

3 Carla Alberti, Maria Elisabetta Bracchi e Stefania Portieri Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4 Programma per esercitarsi con le frazioni e i numeri decimali

4 C a r l a A l b e r t i Laureata in matematica presso l Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia, è insegnante di ruolo di matematica nella scuola secondaria superiore ed è incaricata degli «Insegnamenti di Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore (I e II)» e di «Didattica della Matematica» presso il Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria dell Università Cattolica di Brescia. Svolge attività di aggiornamento e formazione per insegnanti e ha collaborato per riviste di didattica. M a r i a E l i s a b e t t a B r a c c h i È insegnante di ruolo nella scuola primaria. È membro del Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica per la Scuola Primaria dell Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia. Ha svolto attività come formatore in scuole di diverse province italiane e come docente di laboratorio di «Didattica della matematica» presso il corso di laurea di Scienze della Formazione Primaria dell Università Cattolica di Brescia. S t e f a n i a P o r t i e r i È stata insegnante di ruolo nella scuola primaria. Ha conseguito il Diploma di abilitazione all insegnamento per gli alunni in difficoltà. È membro del Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica per la Scuola Primaria dell Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia. Ha svolto attività come formatore in scuole di diverse province italiane e con enti quali l IRRE Lombardia.

5 INDICE Installazione e avvio del CD-ROM p. 6 Introduzione a cura delle autrici p. 7 Guida alla navigazione p. 8 Login p. 8 Menu p. 8 Tasti di scelta rapida p. 10 Sezione 1 Frazioni p. 11 Sezione 2 Numeri decimali p. 16 Sezione 3 Giochi aritmetici p. 21 Guida al gestionale p. 24 Menu p. 24 Esportazione dei dati in formato Excel p. 25 Statistiche p. 25 Opzioni p. 26

6 Installazione e avvio del CD-ROM Per usare il CD-ROM su computer Windows, assicurarsi che la propria macchina soddisfi i requisiti di sistema riportati in copertina. Avvio automatico 1. Inserite il CD-ROM nell apposito lettore. 2. Non premete nessun tasto. Il programma partirà automaticamente (il tempo medio è di 25 secondi). Avvio manuale 1. Inserite il CD-ROM nell apposito lettore. 2. Cliccate su Start/Avvio. 3. Cliccate su Esegui. 4. Digitate D:\AVVIOCD.EXE (dove D indica la lettera dell unità CD- ROM) e premete «Ok». In alternativa, premete il pulsante «Sfoglia», scegliete l unità CD-ROM nel campo «Cerca in» e fate doppio clic sul file «AvvioCD». 5. Passate alle voce «Installazione del programma». Installazione del programma Con i sistemi operativi Windows è possibile installare l applicazione in due modalità: 1. L applicazione può essere installata e utilizzata da tutti gli utenti che accedono al computer. Per poter fare questo tipo di installazione, l utente deve avere i diritti di amministratore. 2. L applicazione può essere installata e utilizzata da un solo utente. L installazione del programma può essere di due tipi: installazione automatica, ovvero il programma si autoinstalla; installazione personalizzata, in cui l utente può scegliere la cartella in cui installare il programma. Con alcuni sistemi operativi all inserimento del CD-ROM potrebbe comparire una finestra denominata «Controllo dell account utente» che chiede conferma prima di installare il programma. Selezionare l opzione «Consenti». A questo punto partirà l installazione Erickson. Se non disponete di un account utente con privilegi di amministratore prima di proseguire verrà chiesto di inserire la password di amministratore. Se non disponete di questa password non sarà possibile proseguire con l installazione. Leggimi Per ulteriori informazioni, consultare il file «Leggimi» presente nella finestra di avvio o visualizzarlo, cliccando su «Risorse del computer», cliccare l icona CD-ROM, dal menu «File», selezionare la voce «Esplora», fare doppio clic sul file «Leggimi» , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

7 Introduzione a cura delle autrici Questo software è il quarto di una serie pensata per supportare le proposte didattiche presenti in forma di approfondimenti concettuali, itinerari didattici e schede fotocopiabili nei volumi della collana Ricostruiamo la matematica Nel mondo dei numeri e delle operazioni (a cura di Colombo Bozzolo, C. Costa A., Alberti C.). Esso, quindi, è stato elaborato in coerenza con la visione della matematica, del suo insegnamento e del suo apprendimento esplicitata nei suddetti volumi e riconducibile agli studi di H. Freudenthal. Questi sottolinea come la matematica sia prima di tutto un fatto culturale, in quanto è un attività mentale che, a partire da contesti ricchi, come quelli reali, porta a indagare ragioni, a cercare e creare certezze logiche, strumenti linguistici e logici per leggere, interpretare e rappresentare la realtà. Un apprendimento della matematica che voglia essere in sintonia con la natura stessa della disciplina e, al medesimo tempo, rispettoso della libertà del soggetto di tale apprendimento e del suo mondo cognitivo, deve essere inteso come reinvenzione, ossia ricostruzione attiva del sapere matematico da parte del soggetto. Tale ricostruzione deve essere guidata dall insegnante, per cui l insegnamento viene inteso come regia, predisposizione accurata di situazioni, contesti, materiali atti a sollecitare la reinvenzione, guida consapevole dei concetti da reinventare, dei loro legami, della loro complessità e attenta ai processi, non solo ai prodotti. In particolare, il software qui presentato integra con esercizi che sfruttano le potenzialità del mezzo informatico le proposte didattiche del volume 5 di Nel mondo dei numeri e delle operazioni. 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 7

8 Guida alla navigazione Login Per accedere al programma è necessario scrivere il proprio nome nel riquadro o selezionarlo dalla lista dei nomi. Per scorrerla si possono usare le due frecce poste alla base del cartellone. Quindi si deve cliccare il cartello «Vai» per entrare nel menu e iniziare le attività. Per attivare i fumetti contenenti le istruzioni scritte, basta cliccare il pulsante «Attiva istruzioni scritte» e per disattivarli è sufficiente ricliccarlo. Per continuare la lettura dei testi, si clicca sui fumetti. Per accedere alla parte gestionale contenente le statistiche e le opzioni del programma si deve cliccare il pulsante con l ingranaggio o i tasti «Ctrl+o» sulla tastiera. Login: registrazione di un nuovo utente Clicca qui per vedere le istruzioni scritte Digita il tuo nome o selezionalo dalla lista Clicca «Vai» per entrare nel menu Menu Dopo aver inserito il nome nel login e cliccato «Vai», si accede al menu principale, dove sono presenti gli elementi di accesso alle varie sezioni: , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

9 a) Le 3 sezioni corrispondenti ai diversi argomenti Sezione 1: Frazioni Sezione 2: Numeri decimali Sezione 3: Giochi aritmetici b) Ultimo svolto Al clic sulla freccia a spirale l alunno può riprendere l attività dall ultimo esercizio svolto nella sessione di lavoro precedente. c) Spiegapulsanti (La lampada a olio) Al clic sulla lampada a olio l alunno può visualizzare le funzioni dei pulsanti usati nel programma. La videata è stampabile. d) Suoni e audio (La nota musicale) Questa funzione consente all adulto o all alunno di impostare il volume dell audio generale e quello della voce del personaggio; di abilitare/ disabilitare l audio delle istruzioni generiche, l audio degli esercizi e quello dei feedback. Menu: scelta delle attività Attestato Spiegapulsanti Ultimo svolto Sezioni Suoni e audio 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 9

10 e) Attestato Il rotolo di pergamena viene sbloccato al superamento del 100% degli esercizi. Nella parte gestionale è possibile selezionare l opzione che lo rende liberamente accessibile in qualunque momento della navigazione. L attestato è personalizzato per ogni utente e può essere stampato. f) Pulsante «X» Al clic sul pulsante «X» in alto a destra si ritorna alla videata del login. Tasti di scelta rapida Il programma consente agli utenti di utilizzare una combinazione di tasti in alternativa al clic del mouse sui pulsanti presenti nelle videate. FUNZIONI DEL PROGRAMMA/PULSANTI Generali Audio istruzioni Esci/Chiudi Stampa Guida/informazioni utili Attiva/disattiva istruzioni scritte Gestione volumi Login Entra Esci dal software sì/no Seleziona utente Gestionale Menu Scorri menu Ultimo svolto Attestato Lista esercizi Scrolla lista su/giù Esercizi Ho finito Scorri videata Annulla Tastierino numerico Gestionale Stampa Guida/informazioni utili Esci/chiudi COMBINAZIONE DI TASTI Ctrl + Barra spaziatrice Ctrl + x F10 F1 Ctrl + i Ctrl + v Invio s/n Frecce alto/basso Ctrl + o Frecce avanti/indietro Ctrl + u Ctrl + a Frecce alto/basso Ctrl + invio Ctrl + Frecce avanti/indietro Ctrl + a Ctrl + t F10 F1 Ctrl + x , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

11 FUNZIONI DEL PROGRAMMA/PULSANTI Scrolla testo su/giù Esporta file excel Aumenta/diminuisci carattere Ok/sì Annulla/no COMBINAZIONE DI TASTI Frecce alto/basso Ctrl + e Ctrl + +/- Invio Ctrl + x Sezione 1 Frazioni Il concetto di frazione è molto complesso per molti motivi. In primo luogo, la sua scrittura formale comporta l utilizzo contemporaneo di due numeri naturali i quali hanno, però, ciascuno un ruolo distinto, come evidenziato dalla diversa posizione dei due numeri naturali rispetto alla linea di frazione e dalla loro diversa denominazione e lettura; per esempio, nella frazione 3 il numero 3 è il numeratore e si legge come 5 cardinale (tre), il numero 5 è il denominatore e si legge come ordinale (quinti). Inoltre, una frazione assume molteplici significati, ossia dà forma matematica, sintetica e oggettiva a situazioni molto diverse tra loro, alcune presentate nei successivi due paragrafi. Svuotato poi di ogni significato con riferimento concreto, essa diviene il rappresentante, uno tra i possibili infiniti equivalenti, di un numero razionale assoluto. Nei paragrafi che seguono si danno alcune indicazioni essenziali in merito agli aspetti delle frazioni sui quali sono proposte le attività della sezione 1 del software. 1. Frazione, alcuni significati: Frazione o non frazione?, Frazione come parte di un intero, Frazione come operatore La prima operazione associata a una frazione applicata a un intero è quella di suddivisione in parti uguali. Quanto ora affermato appare quasi ovvio, ma richiede però particolare attenzione a livello didattico. Innanzi tutto l intero di riferimento può essere di tipo diverso: un ente geometrico una linea, in particolare un segmento, oppure una figura geometrica piana limitata (ad esempio, un cerchio o un poligono), ecc., un insieme di oggetti, un numero, ecc. In relazione al tipo di intero assume significato l aggettivo «uguali» attribuito alle parti: nel caso di un ente geometrico, l uguaglianza è rispetto alla grandezza associata all ente, la lunghezza nel caso di una linea, in particolare un segmento, l area nel caso di una figura piana limitata, ecc.; nel caso di un insieme di oggetti, l uguaglianza è rispetto alla quantità di elementi. Nel caso specifico di una frazione applicata a una figura piana limitata, caso frequentemente presentato alla scuola primaria, si è detto che l uguaglianza delle parti è da intendere come uguaglianza rispetto all area; non è quindi richiesta la congruenza, 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 11

12 ossia la sovrapponibilità delle parti, anche se in prima istanza la congruenza rende immediata la percezione anche solo visiva della equiestensione. Tuttavia si consiglia di non presentare esclusivamente figure geometriche uguali suddivise in parti congruenti per non indurre negli alunni l errata convinzione che tale congruenza sia necessaria ai fini del frazionamento. Negli esercizi presentati nel software nella sezione 1.1. Frazione o non frazione? le figure geometriche piane sono assegnate su fogli reticolati a maglia non quadrata sia per proporre figure non standard rispetto a quelle di solito presenti nei testi scolastici sia per favorire la rilevazione dell uguaglianza di area data dal numero di maglie pure in parti di forma diversa e la non equiestensione di figure con uguale forma. Inoltre, l uso del foglio reticolato favorisce il passaggio da un intero «continuo» la figura è formata da maglie contigue a un intero discreto, nel quale le parti sono distinguibili, separabili le une dalle altre, dato che su un reticolo la misura dell area si determina per conteggio delle maglie. Il fatto che un intero discreto è costituito da elementi tra loro separati può rendere difficoltosa la percezione dell intero stesso e favorire la confusione tra numero di parti determinate dalla frazione e numero di elementi di ogni parte. Per tale ragione, negli esercizi del software ogni intero discreto è racchiuso in una cornice rettangolare, con la quale si intende facilitare la percezione dell intero stesso. Sezione 1 Frazione o non frazione? , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

13 Considerata la complessità formale della scrittura frazionaria, nel software si propone tale scrittura in modo graduale, passando attraverso forme «miste» numeriche e letterali, per mettere in evidenza la specificità del numeratore e del denominatore. Il denominatore denomina, dà il nome al tipo di parti ottenute, pertanto esprime una qualità, una sorta di marca come nelle misure, come prova il fatto che lo si legge come ordinale e assume sia la forma singolare (1 quinto) sia quella plurale (4 quinti). Il numeratore numera le parti da considerare, quindi è la misura, rispetto al denominatore, per cui si legge come cardinale. Il primo significato della frazione che alla scuola primaria consente di mettere in atto il ruolo di denominatore e numeratore è quello di frazione come espressione di una parte rispetto al tutto: dato un intero, il denominatore indica in quante parti uguali esso è da dividere e il numeratore quante di queste parti sono da prendere (colorare, ritagliare, ecc.), ossia il numeratore è la misura, rispetto al denominatore, del sottoinsieme da considerare nell intero. Ne segue che possono essere interpretate in questo modo soltanto le frazioni proprie, ossia con numeratore minore del denominatore, o al massimo frazioni improprie con numeratore uguale al denominatore. Per porre l attenzione su tutte le frazioni, proprie o improprie che siano, è necessario ricorrere ad altri significati di frazione, come quello di operatore: in quanto tale, essa consente di costruire una nuova grandezza a partire da una data omogenea, ma non inclusa in questa. Il numeratore, in questo caso, dà la misura non di un sottoinsieme dell intero assegnato, ma di un altro intero, disgiunto da quello dato, costruito utilizzando come unità di misura quella determinata dal denominatore nell intero assegnato. 2. Relazioni tra frazioni: Frazioni complementari, Confronto tra frazioni, Frazioni equivalenti Nell insieme delle frazioni si possono definire alcune relazioni significative. Una prima relazione è quella individuata dal predicato «è complementare di» dove una frazione a b è complementare di b c se a + c = b. Dalla definizione segue che la relazione di complementarietà è definita soltanto per frazioni proprie se si esclude il caso di 0 b con b e che per essa valgono: b 1. la proprietà simmetrica, per la quale se a b è complementare di b c allora b c è complementare di a ; in forza della simmetria, nella b rappresentazione sagittale si può utilizzare la freccia con la doppia punta; 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 13

14 2. la proprietà transitiva, per la quale se a b è complementare di c b e c b è complementare di d b, allora a b è complementare di d b. Se le frazioni proprie sono interpretate come espressione della parte di un intero, allora due frazioni sono tra loro complementari quando insieme considerano tutto l intero. Sezione 1 Frazioni complementari Tra le frazioni è poi definibile una relazione d ordine, che in prima istanza riguarda soltanto coppie di frazioni aventi o uguale denominatore o uguale numeratore: tra due frazioni aventi uguale denominatore è minore quella con numeratore minore; tra due frazioni aventi uguale numeratore è minore quella con denominatore maggiore. Un utile supporto per guidare gli alunni all intuizione della regola di ordinamento è la linea dei numeri: sulla semiretta dei numeri naturali si considerano le frazioni riferite al segmento unitario delimitato dai numeri 0 e 1 e si associa a ciascuna frazione il punto individuato applicando tale frazione. Date due frazioni, dopo avere collocato ciascuna sulla linea, è minore quella che precede l altra nel verso della linea. Il ricorso alla semiretta numerica consente di utilizzare sia frazioni proprie sia frazioni improprie e dà una prima intuizione del fatto che una frazione è la scrittura di un numero, dato che trova collocazione su una linea di numeri. Questa prima intuizione trova ulteriore sviluppo con la relazione di equivalenza tra frazioni. Tale relazione può essere introdotta ricorrendo ai significati delle frazioni; per esempio, se si interpretano le frazioni , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

15 (proprie) come parte di un intero, allora due frazioni sono equivalenti se portano a considerare parti uguali applicate allo stesso intero. Con riferimento alla linea dei numeri, due frazioni sono equivalenti quando individuano lo stesso punto della linea; è abbastanza logico pensare, allora, che due frazioni equivalenti siano scritture diverse dello stesso numero, non noto esplicitamente, ma esistente, dato che c è il punto sulla linea. Sul piano formale, a b è equivalente a d c se a d = b c. Si tratta di una vera e propria relazione di equivalenza, in quanto dotata della: 1. proprietà riflessiva, per la quale ogni frazione è equivalente a se stessa; 2. proprietà simmetrica, per cui se a b è equivalente a d c, allora d c è equivalente a a b ; 3. la proprietà transitiva, per la quale se a b è equivalente a d c e d c è equivalente a e f, allora a b è equivalente a e f. La rappresentazione sagittale della relazione di equivalenza consente di intuire e leggere queste proprietà. Una classe di frazioni tra loro equivalenti individua un numero razionale assoluto che può essere rappresentato, descritto, comunicato con una qualunque delle frazioni della classe. Sezione 1 Frazioni equivalenti La comparazione di numeratore e denominatore di frazioni equivalenti consente di esplicitare la regola generativa: data una frazione, sono 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 15

16 ad essa equivalenti tutte quelle ottenute moltiplicando o dividendo il suo numeratore e il suo denominatore per uno stesso numero diverso da zero. La possibilità di cambiare la frazione rappresentante di un numero razionale consente di estendere l ordinamento anche a frazioni che non hanno uguale o il numeratore o il denominatore, perché in realtà l ordinamento non è delle frazioni in se stesse, ma dei numeri razionali assoluti da esse rappresentati. Sezione 2 Numeri decimali 1. Frazioni decimali e numeri decimali Si chiamano usualmente numeri decimali quei numeri razionali assoluti che ammettono come rappresentante una frazione avente al denominatore una potenza di 10. Questi numeri formano un sottoinsieme proprio D dell insieme Q a dei numeri razionali assoluti (D Q a ), perché vi sono numeri razionali che non sono numeri decimali, cioè non esiste nella loro classe di equivalenza alcuna frazione avente al denominatore una potenza di 10. Sezione 2 Frazioni decimali e numeri decimali Esempio Il numero razionale dato dalla frazione 13 è decimale perché tra le frazioni equivalenti a quella data ce n è almeno una con al 20 denominatore , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

17 una potenza di 10, per esempio Il numero razionale dato dalla frazione 5 non è decimale perché tra le 7 frazioni equivalenti a quella data non ce n è alcuna con al denominatore una potenza di 10. I numeri decimali possono, inoltre, essere scritti come allineamento di cifre quando nel sistema di numerazione posizionale decimale si introducono le unità di ordine inferiore rispetto alle unità semplici, ossia si considerano unità, dette frazionarie decimali, quelle che si ottengono dividendo l unità semplice in 10 parti uguali, anche ripetutamente. Esempio 1/10 è l unità frazionaria di un ordine inferiore rispetto all unità semplice ed è detta decimo (simbolo d); 1/100 è l unità frazionaria di due ordini inferiore rispetto all unità semplice ed è detta centesimo (simbolo c); 1/1000 è l unità frazionaria di tre ordini inferiore rispetto all unità semplice ed è detta millesimo (simbolo m). Si dimostra che ogni numero decimale può essere scritto come successione di cifre, poste da sinistra a destra in modo decrescente rispetto all ordine di grandezza della relativa unità; in tale successione il segno grafico che separa le unità semplici da quelle frazionarie è, comunemente, una virgola. Esempio Il numero decimale 3465 può essere scomposto come = = = 3da 4u 6d 5c = 34, La virgola separa, dunque, due numeri naturali: quello che, da sinistra, precede la virgola è il numero di unità intere, quello che segue la virgola è il numero di unità frazionarie. 2. Composizione e scomposizione di numeri decimali La scrittura dei numeri razionali assoluti con virgola richiede, come specificato nel paragrafo precedente, l estensione del sistema di numerazione posizionale alle unità frazionarie decimali. In particolare, si ripropone anche per i numeri razionali l uso dello 0 (zero) come cifra segnaposto. 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 17

18 Nella scrittura in cifre dei numeri naturali, lo zero è necessario nella successione delle cifre nei posti che corrispondono alle unità, comprese tra le unità semplici e quelle di valenza maggiore, non presenti nel numero. Nella scrittura con virgola la cifra 0 è necessaria nelle posizioni che corrispondono alle unità, intere o frazionarie, comprese tra l ordine minore e quello maggiore rappresentati, non presenti nel numero; inoltre, la cifra relativa all unità considerata fondamentale deve essere sempre esplicitata. Esempio 1. Rispetto alle unità semplici, il numero in forma frazionaria 5302/100 corrisponde a 5 decine, 3 unità semplici, 0 decimi di unità semplice e 2 centesimi di unità semplice (5da, 3u, 0d e 2c), quindi può essere scritto come 53, Rispetto alle unità semplici, il numero in forma frazionaria 6/1000 corrisponde a 0 unità semplici, 0 decimi di unità semplice, 0 centesimi di unità semplici e 6 millesimi di unità semplice (0u, 0d, 0c e 6m), quindi può essere scritto come 0,006. Dal punto di vista teorico non è necessaria l indicazione con la cifra 0 della mancanza di unità frazionarie di ordine inferiore rispetto all ultimo presente nel numero. Per esempio, 4,82 e 4,820 sono due scritture identiche dal punto di vista numerico. Questa considerazione non è più valida nelle applicazioni reali, in quanto la presenza dello zero in «coda» consente di dedurre il grado di precisione di una misura. Sezione 2 Composizione e scomposizione di numeri decimali , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

19 Esempio 1. Se una lunghezza viene scritta come 2,3m si intende che la misurazione è avvenuta con la precisione al decimo di metro, per cui la lunghezza è esatta fino alla cifra dei decimetri. La scrittura 2,30m indica, invece, che la misurazione è precisa fino al centesimo di metro, quindi la lunghezza è esatta fino alla cifra dei centimetri. Dal punto di vista metrico è, dunque, errata la conversione 2,3m = 230cm, mentre è corretta 2,30m = 230cm. 2. Nella scrittura in cifre di un valore in euro è necessario esprimere fino ai centesimi di euro, dato che il sistema monetario prevede sottomultipli dell unità fondamentale, l euro appunto, sino ai centesimi. Son dunque errate scritture come 52 e 8,1 da correggersi con 52,00 e con 8,10. Se non diversamente specificato, l unità considerata fondamentale nel frazionamento è l unità semplice, ma la presenza o la posizione della virgola può cambiare in base all unità rispetto alla quale si decide di esprimere il numero. Esempio Si consideri il numero decimale rappresentato dalla frazione 456/10: esso corrisponde a 4 decine di unità semplici, 5 unità semplici e 6 decimi di unità semplice. Se lo si vuole scrivere in cifre: se si sceglie come unità fondamentale l unità semplice il numero dato corrisponde alla scrittura 45,6; se si esprime il numero dato rispetto ai decimi di unità semplici si ha 456d; se si considera fondamentale la decina, allora le unità semplici sono rispetto ad essa unità frazionarie, quindi la cifra corrispondente va posta dopo la virgola: 4,56da. 3. Confronto tra numeri decimali Spesso nel linguaggio comune la marca che si riferisce all unità frazionaria non viene letta esplicitamente, ciò può dare adito ad ambiguità, in particolare nell operare con i numeri decimali, sin dal loro ordinamento. Infatti, in genere gli alunni tendono a estendere ai numeri decimali i criteri utilizzati per i numeri naturali, in particolare quello relativo alla lunghezza della successione delle cifre. Se per i numeri naturali è vero che è maggiore il numero con più cifre, ciò non accade per i numeri con virgola, dato che le cifre possono essere riferite anche a unità frazionarie. 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 19

20 Esempio Siano da confrontare i numeri 0,3 e 0,16. Leggendoli rispettivamente come «zero virgola tre» e «zero virgola sedici» si può indurre a credere che, siccome 3 è minore di 16, allora 0,3 sia minore di 0,16. In realtà, 3 e 16 sono quantità di unità frazionarie diverse, come emerge dalle lettura completa «zero virgola tre decimi» e «zero virgola sedici centesimi», quindi non sono due numeri direttamente confrontabili tra loro. Se si trasformano i decimi in centesimi (pareggio delle cifre), si ha 0,30 e 0,16: 30 e 16 si riferiscono alla stessa unità frazionaria, quindi si può affermare che 30 è maggiore di 16 e concludere che 0,3 è maggiore di 0,16, nonostante abbia meno cifre. Sezione 2 Confronto tra numeri decimali 4. Operazioni con numeri decimali: Operatori additivi e moltiplicativi, Approssimare e dedurre il risultato Nel software non vengono proposti esercizi per costruire o consolidare la tecnica delle operazioni con i numeri decimali, ma attività che mirano a potenziare il calcolo a mente, l approssimazione dei risultati e la loro deduzione, per valorizzare in un contesto significativo l applicazione delle proprietà delle operazioni. In particolare, si pongono all attenzione dell alunno casi che contrastano con quanto acquisito operando con i numeri naturali. Capita, infatti, che si tenda ad estendere alle operazioni con i numeri decimali alcune proprietà e significati tipici invece delle operazioni con i numeri naturali; per , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

21 esempio, la convinzione che una moltiplicazione «aumenta» i fattori trova controesempi con i numeri decimali (4 0,5 = 2), lo stesso dicasi per la convinzione che una divisione «diminuisca» il dividendo (4 0,5 = 8). Si ritiene importante affrontare questi casi con gli alunni, per evitare che le convinzioni errate lasciate implicite costituiscano ostacoli all apprendimento. Sezione 2 Operatori additivi e moltiplicativi Sezione 3 Giochi aritmetici I giochi proposti hanno lo scopo di far mettere in campo le conoscenze e le abilità consolidate nelle sezioni precedenti con attività di tipo ludico. Il carattere della ludicità è connesso alla casualità dei dati (siano essi tessere da abbinare, regole di abbinamento, ), alla componente di sfida (del personaggio guida o di se stessi) e al procedere strategico richiesto dalla maggior parte delle proposte. In coerenza con tale carattere, è previsto che le partite possano chiudersi in parità o con un vincitore, per il quale è premio la stessa soddisfazione della vittoria. Investiganumero Si tratta di un gioco logico, nel senso che in un insieme dato, si deve individuare il numero decimale che corrisponde agli indizi assegnati; si mettono, dunque, in atto processi di tipo deduttivo, a partire da 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 21

22 informazioni relative ad aspetti dei numeri decimali come relazioni d ordine, valore posizionale delle cifre. Solitario Il gioco del solitario consiste nell abbinare a una carta pescata una delle carte in possesso del giocatore, nel rispetto della regola di abbinamento che di volta in volta appare in modo casuale. Dal punto di vista aritmetico, il gioco ha come contenuti le frazioni con le relazioni fondamentali affrontate nella prima sezione e i numeri decimali nel loro aspetto formale (scrittura in cifre, valore posizionale delle cifre, denominazione) e alcune relazioni fondamentali. Sezione 3 Solitario Solitario triangolare Si tratta di una sorta di puzzle, in cui con le tessere assegnate, tutte di uguale forma, si deve ricoprire una forma simile a quella delle tessere, ma più grande, in modo che due tessere accostate tramite un lato rispettino una regola data. Tale regola fissa la somma, la differenza, il prodotto o il quoziente tra i numeri decimali disposti sui lati comuni. Con le tessere assegnate, che possono anche essere ruotate, è possibile almeno un ricoprimento dello schema. Ogni numero è scritto con le cifre orientate facendo riferimento al lato della tessera su cui è collocato; è quindi necessario riconoscere i numeri anche se scritti in posizione diversa rispetto a quella usuale , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

23 Dal punto di vista aritmetico, i solitari sono costruiti sulle cosiddette coppie di numeri amici di un numero dato rispetto all addizione o alla sottrazione, ossia sulle coppie di numeri la cui somma o la cui differenza è un numero fissato. Sezione 3 Solitario triangolare Bibliografia Colombo Bozzolo C. e Costa A. (2003), Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol. 5 Frazioni. Numeri decimali, Trento, Erickson. Baruk S. (1998), Dizionario di matematica elementare (a cura di F. Speranza e L. Grugnetti), Bologna, Zanichelli. 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 23

24 Guida al gestionale Vi si può accedere dal pulsante «Gestionale» nel login o digitando contemporaneamente la combinazione di tasti «Ctrl + o» (nel login). Menu Comprende l elenco degli utenti e i pulsanti per accedere alla videata delle statistiche e a quella delle opzioni. Utenti: viene visualizzato l elenco degli utenti, che si può scorrere con la barra o le frecce verticali a lato. Per aggiungere un nuovo utente alla lista, si clicca il tasto «+» e si digita il nuovo nome. Per cancellarlo, si seleziona il nome e si clicca il tasto «-», confermando poi l eliminazione. Archivia: questo pulsante permette di fare il backup del database utenti, ovvero di salvare tutti i dati (punteggi, statistiche, personalizzati) relativi agli utenti, nella cartella di installazione del programma (normalmente C:\Programmi\Erickson\). Ripristina: questo pulsante permette di recuperare i dati relativi agli utenti salvati precedentemente tramite il pulsante «Archivia». I dati del database ripristinato sostituiranno quelli presenti nel programma. La cartella viene proposta automaticamente dal programma, ma è possibile anche selezionare una cartella qualsiasi. Menu del gestionale , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

25 Password: per proteggere l accesso ai dati è opportuno inserire una password cliccando sul pulsante «Inserisci password». Dopo aver digitato una password, viene richiesto di riscriverla per confermarla. Al successivo rientro nella parte gestionale, il programma chiederà automaticamente di inserire la password. Dopo 5 tentativi sbagliati, la videata si chiude e si ritorna al login. Si consiglia di scrivere la password su un foglio per non rischiare di dimenticarla. Per cambiare password bisogna cliccare sul pulsante «Cambia password» e scriverne una nuova. Statistiche, Opzioni: per visualizzare le statistiche relative a ogni singolo alunno oppure scegliere le opzioni si deve selezionare il nome dell utente e cliccare il rispettivo pulsante («Statistiche», «Opzioni»). Pulsante X: cliccare la «X» in alto a destra per uscire dalla parte gestionale e tornare al login. Esportazione dei dati in formato Excel È possibile esportare i dati relativi alle statistiche globali, cioè di tutti gli utenti che hanno effettuato il login, cliccando sul pulsante con il simbolo del foglio excel e la freccia. Al clic il file verrà esportato di default nella cartella con il titolo del CD-ROM contenuta in «Documenti Erickson_Statistiche» del PC. Statistiche La parte relativa alle statistiche contiene: il nome dello studente selezionato; l elenco delle 3 sezioni presenti nel CD-ROM. Per ciascuna unità vengono visualizzati: i titoli degli esercizi svolti: se il titolo è scritto in azzurro significa che al clic su di esso appaiono le registrazioni fino alle 5 prove precedenti, partendo dalla più recente; la data di svolgimento; il numero delle videate svolte sul totale; la percentuale delle risposte corrette. Esportazione dei dati in formato Excel: anche da qui è possibile esportare i dati relativi alle statistiche dell utente cliccando sul pulsante con il simbolo del foglio excel e la freccia. Al clic il file verrà esportato di default nella cartella con il titolo del CD-ROM contenuta in «Documenti Erickson_Statistiche» del PC. Stampa: il pulsante nella barra in alto permette di stampare la videata delle statistiche per ogni sezione selezionata in cui siano stati svolti degli esercizi. 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 25

26 La videata con le statistiche Opzioni Nella parte relativa alle opzioni sono disponibili le seguenti funzioni (clic con il mouse sul quadratino corrispondente): Mostra attestato: per mostrare l attestato indipendentemente dal totale svolgimento degli esercizi (l attestato risulterà pertanto sempre cliccabile e stampabile). Risposta corretta automatica dopo 3 tentativi: già attiva di default, può essere deselezionata cliccando sul quadratino con la crocetta. Attiva istruzioni scritte: consente di attivare, in particolare per gli utenti con problemi di ipoacusia o sordità, le vignette con le istruzioni e i feedback scritti, pur mantenendo l audio di default; per iniziare e procedere in ogni attività, la nuvoletta presente nella videata deve essere fatta scomparire cliccandoci sopra; per proseguire la lettura del testo nelle nuvolette si deve cliccare con il mouse sulle stesse; per richiamare la nuvoletta basta cliccare sul personaggio. Abilita audio istruzioni generiche: attivo di default, al clic viene disattivato l audio delle istruzioni che vengono date nel menu, nello spiega pulsanti, ecc. Abilita audio istruzioni esercizi: attivo di default, al clic viene disattivato l audio delle istruzioni che vengono date negli esercizi , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson

27 Abilita audio feedback: attivo di default, al clic viene disattivato l audio dei feedback positivi e negativi. È possibile disattivare tutti gli audio deselezionando tutti i quadratini. Opzioni 2013, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 4, Erickson 27

28 2013 Edizioni Erickson.Tutti i diritti riservati. Via del Pioppeto TRENTO tel fax info@erickson.it