UN NUOVO MACROMODELLO PER LA VALUTAZIONE DELLA RESISTENZA SISMICA DI EDIFICI IN MURATURA

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1 UNIONE EUROPEA Fondo Sociale Europeo UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA Facoltà di Ingegneria Dipartimento di ingegneria Civile ed Ambientale SEZIONE DI INGEGNERIA STRUTTURALE Bartolomeo Pantò UN NUOVO MACROMODELLO PER LA VALUTAZIONE DELLA RESISTENZA SISMICA DI EDIFICI IN MURATURA TESI DI LAUREA Relatore Ing. Ivo Caliò Correlatori Ing. Massimo Marletta (Università di Catania) Ing. Salvatore Miano (S.T.S. Catania ) Ing. Salvatore Furnari (S.T.S. Catania ) Anno Accademico

2 Indice Capitolo : Aspetti generali sulle murature e inquadramento normativo. Aspetti costruttivi delle strutture in muratura. Comportamento dei pannelli murari soggetti a forze orizzontali.3 Normativa nazionale in materia di murature Bibliografia 9 Capitolo : Modelli non lineari per l analisi di edifici in muratura. Metodo POR 3. Modelli a macro-elementi 4.3 Modelli agli elementi finiti 5.4 Analisi limite 40 Bibliografia 49 Capitolo 3: La modellazione delle murature Mediante l utilizzo di macromodelli 5 3. Macromodello a geometria variabile 5 3. Macromodello di Brencich e Lagomarsino 57 Bibliografia 66

3 Capitolo 4: Il macromodello proposto Descrizione del modello meccanico equivalente Equazioni del moto del sistema Struttura ricorrente nelle equazioni del moto Legami costitutivi 96 Bibliografia 05 Capitolo 5: Sviluppo di un programma di calcolo non lineare che utilizza il macromodello proposto Definizione del modello Organizzazione generale del programma Capitolo 6: Analisi statiche 3 6. Prove su pannelli 3 6. Prove su pareti piane Modellazione di muratura blocchi 65 Bibliografia 69 Conclusioni e sviluppi futuri 7 3

4 Introduzione L importanza che rivestono le strutture in muratura, soprattutto nel nostro paese, può essere giustificata sotto molteplici punti di vista. Innanzitutto gran parte del nostro patrimonio edilizio esistente è rappresentato da strutture in muratura. Inoltre bisogna considerare la valenza assunta da queste dal punto di vista storico culturale. E superfluo ricordare infatti che praticamente tutto il nostro patrimonio monumentale che oltre a costituire motivo di orgoglio, si traduce in un grosso vantaggio economico, è costituito da strutture in muratura. Per i motivi sopra esposti, tali strutture dovrebbero essere oggetto di un interesse che nella realtà, spesso, non viene riscontrato. L interesse a cui si fa riferimento in quest ambito è naturalmente di natura tecnica e in particolare riguarda la valutazione della vulnerabilità sismica di queste opere a salvaguardia delle stesse e soprattutto delle vite umane. Il problema della valutazione della resistenza sismica degli edifici e del costruito in generale sta divenendo sempre più di attualità. Purtroppo gli eventi stessi spesso impongono un accrescimento repentino d interesse. Tale problema tuttavia, anche quando c è la volontà di affrontarlo, è tutt altro che semplice. In particolare, la valutazione della vulnerabilità sismica delle strutture in muratura impone di eseguire analisi in ambito non lineare che, per un materiale caratterizzato da disomogeneità, anisotropia, e forte dipendenza da possibili difetti costruttivi o fenomeni di degrado localizzato, pongono non poche difficoltà. In questi ultimi anni molti autori hanno condotto studi per mettere a punto metodi per la modellazione di edifici in muratura. In particolare, si è cercato di affiancare ai modelli più sofisticati, dei modelli semplificati, più facili da gestire ma che allo stesso tempo fossero in grado di cogliere gli aspetti qualitativamente più rilevanti del comportamento delle murature sottoposte a carichi da sisma. Un ultima osservazione che pare importante fare è che non è affatto detto che una struttura in muratura, in campo sismico, abbia meno risorse rispetto a una struttura in cemento armato o altro. E si vero che tante costruzioni di questo genere sono sorte in periodi in cui non erano ancora maturate le conoscenze tipiche dell analisi strutturale, ma è pur vero che si metteva in atto una regola d arte che spesso sintetizzava una esperienza pratica, accumulata nell arco di parecchie generazioni. 4

5 Nel presente lavoro viene introdotto un nuovo macro-elemento a quattro gradi di libertà, atto a descrivere sia il comportamento non-lineare di un singolo pannello murario che di un blocco lapideo. Ogni singolo macro-elemento interagisce con gli altri adiacenti mediante un letto discreto di molle che possono essere unilatere o non lineari. Inoltre ciascun elemento risulta essere deformabile a taglio e tale deformazione è controllata attraverso una coppia di molle inelastiche. Le proprietà di massa del modello sono state considerate mediante una discretizzazione per masse concentrate in corrispondenza del centro di massa di ogni elemento. L estrema semplificazione utilizzata nella definizione del singolo macroelemento consente anche la schematizzazione di un pannello mediante una mesh di macro-elementi e si presta particolarmente bene nella schematizzazione di strutture costituite dall assemblaggio di blocchi lapidei con presenza o assenza di malta. La validità del modello proposto verrà valutata mediante analisi push-over, condotte su pannelli e pareti murarie che sono state oggetto di ricerca teorica e/o sperimentale. In particolare verranno effettuati alcuni confronti con i risultati ottenuti da altri autori utilizzando macro-modelli già proposti in letteratura con riferimento ad alcune pareti la cui risposta è stata ampiamente indagata nell ambito del progetto Catania []. Infine, per valutare le principale limitazioni del modello proposto, verrà effettuato un confronto con i risultati che si ottengono utilizzando una modellazione agli elementi finiti in ambiente ADINA []. 5

6 Bibliografia [] D. Liberatore (A cura di), Progetto Catania: indagine sulla risposta sismica di due edifici in muratura, CNR-Gruppo Nazionale per la Difesa dai Terremoti - Roma, 000, 75 pp. + CD-ROM allegato. [] ADINA,R&D Inc. Report ARD 0-7, ADINA teory and modeling guide. 6

7 Aspetti generali sulle murature ed inquadramento normativo. Aspetti costruttivi delle strutture in muratura Nello studio di strutture in muratura, più di qualsiasi altra tipologia costruttiva, è fondamentale un attento esame delle caratteristiche meccaniche e costruttive di ciascun elemento che compone la costruzione. Le parti fondamentali cui si può immaginare suddiviso un edificio sono : - Pareti verticali - Orizzontamenti - Fasce di piano Per quanto riguarda le pareti murarie, gli elementi essenziali che determinano la buona fattura o no di una muratura, sono le dimensioni e la organizzazione dei conci e la presenza di elementi disposti ortogonalmente al piano della parete in modo da attraversare la muratura per tutto il suo spessore (diatoni). Una buona muratura deve essere costituita da conci di grandi dimensioni e organizzati in maniera da realizzare ricorsi orizzontali senza l interposizione di spessori rilevanti di malta. Una muratura siffatta presenterà una scarsa attinenza a fenomeni di disgregazione. Nell esaminare le strutture verticali, è di fondamentale importanza assicurarsi se sono stati previsti efficaci ammorsamenti tra le pareti ortogonali. Gli orizzontamenti costituiscono un elemento essenziale perché sono il principale elemento che influenza il comportamento globale della struttura. La presenza di un orizzontamento sufficientemente rigido fa si che la struttura si comporti in maniere scatolare vale a dire che la struttura sopporta i carichi orizzontali sollecitando le pareti nel proprio piano. Chiaramente è inteso che un solaio anche se rigido, per assolvere a tale funzione, deve essere efficacemente ammorsato alle pareti. Ecco che la presenza di cordoli di piano per una struttura in muratura diviene un elemento di importanza primaria. Nelle tipologie costruttive meno recenti è frequente l uso di solai in legno o di orizzontamenti realizzati mediante volte. La prima tipologia si presta bene a ripartire i carichi orizzontali e quindi a garantire la scatolarità della struttura, purché i travetti siano efficacemente ancorati alle pareti, condizione che peraltro 7

8 non è difficile da garantire anche se con opportuni interventi di miglioramento (vedi riferimento 3). La seconda tipologia invece è quella che deve suscitare più preoccupazioni poiché difficilmente può essere in grado di effettuare una efficace distribuzione delle forze orizzontali, inoltre esercita una spinta contro le pareti, sollecitando queste a ribaltamento fuori piano, anche in assenza di sisma. In presenza di orizzontamenti a volta si dovrà senz altro intervenire per migliorarne il comportamento d insieme dell edificio. L intervento più immediato a cui si può pensare è senz altro l inserimento di tiranti. Uno studio, infine, dei particolari costruttivi consentirà di individuare le possibili cause di innesco di meccanismi locali di danno. Esempi di questo tipo possono essere costituiti da architravi insufficienti o scarsamente ammorsati, cambio di sezioni nelle pareti, ecc. La risposta di un edificio è fortemente condizionata dalle fasce di piano. La rigidezza e la resistenza di queste infatti determina le condizioni di vincolo cui sono soggetti i maschi murari. In presenza di fasce rigide, i maschi murari si possono assumere con buona approssimazione nella condizione di vincolo incastro-incastro che gli conferisce una maggiore resistenza all azione di carichi orizzontali. Un altra caratteristica delle fasce che svolge un ruolo importante ai fini del comportamento sismico degli edifici è la duttilità. Entrambe le caratteristiche menzionate, dipendono oltre che dalla larghezza delle fasce stesse, dalla presenza o meno dei cordoli di piano e di architravi sufficientemente ancorati alla muratura.. Comportamento dei pannelli murari soggetti a forze orizzontali Nell esaminare il comportamento delle pareti murarie è importante distinguere il caso di pareti sollecitate nel proprio piano e il caso di pareti sollecitate fuori piano. Nel seguito verrà brevemente descritto il differente comportamento della muratura in relazione della direzione della sollecitazione... Pannelli murari sollecitati fuori dal proprio piano Un pannello murario soggetto a forze fuori dal proprio piano presenta meccanismi di collasso di tipo ribaltante. Si ha cioè una perdita di capacità portante a causa dell apertura di fessure dovute al carattere monolatero della muratura. Le deformazioni plastiche che accompagnano tali meccanismi sono molto contenute pertanto l energia dissipata da una parete sollecitata fuori piano risulta alquanto modesta. Si distinguono tre tipi di collasso (meccanismi di Rondelet) [3]. Il primo tipo è facilmente riscontrabile in pareti isolate o comunque scarsamente vincolate ad altre pareti ortogonali. Questo consiste in un ribaltamento fuori piano intorno a 8

9 una cerniera cilindrica orizzontale che si forma alla base del pannello murario (figura,a). Se è presente un vincolo in sommità, ad esempio un tirante o delle travi di copertura, il meccanismo si modifica come rappresentato nella figura,b e prevede la formazione di tre cerniere. (a) (b) figura : Primo meccanismo di Rondelet: (a) assenza del vincolo in sommità; (b) presenza del vincolo in sommità. Gli altri due meccanismi di Rondelet si attivano in pareti che sono efficacemente ammorsate ad altre pareti ortogonali. In particolare il secondo meccanismo è relativo ad una parete libera da un lato e ben vincolata dall altro; in questo caso la cerniera si forma lungo la diagonale della parete (figura,a). Il terzo meccanismo si verifica quando si ha la contemporanea presenza di due pareti ortogonali che vincolano da entrambi i lati la parete in esame; in questo caso si ha il collasso di una porzione triangolare (o trapezoidale) del pannello murario, come indicato nella figura,b. (a) (b) figura : (a) Secondo meccanismo di Rondelet; (b) terzo meccanismo di Rondelet. 9

10 Una volta individuato il meccanismo di collasso, è possibile determinare il valore del carico ultimo impostando un problema di analisi limite, come sarà ampiamente descritto nel capitolo. Il carico ultimo così ottenuto costituisce una stima attendibile del reale moltiplicatore dei carichi a collasso solo se la qualità della muratura è tale da garantire il comportamento monolitico della parete. Se tale condizione non è verificata (ad esempio nel caso di una parete di mattoni a più teste senza l interposizione di un adeguato numero di diatoni oppure nel caso di una muratura di pietrame composta da materiale di pezzatura modesta con parecchia malta di collegamento) il carico ultimo deve essere adeguatamente ridotto per tenere in conto di altri meccanismi di danno localizzati che possono anticipare l attivarsi dei meccanismi di collasso descritti... Pannelli murari sollecitati nel proprio piano Nello studio di pannelli murari soggetti a forze orizzontali vengono, in genere, presi in considerazione due condizioni di vincolo della sezione di testa: il caso di estremo superiore libero e il caso di estremo superiore impedito di ruotare[]. Questi rappresentano due casi limite della reale condizione di vincolo dei pannelli inseriti in uno schema strutturale complesso. Si distinguono tre principali meccanismi di collasso : - rottura per schiacciamento/ribaltamento - rottura a taglio per fessurazione diagonale - rottura per scorrimento Nel seguito si esporranno alcuni criteri di rottura presenti in letteratura che consentono di valutare la resistenza di pannelli murari isolati. Nel caso che il pannello si trovi inserito in un edificio, oltre all uso di tali criteri di rottura, diviene di fondamentale importanza valutare in maniera corretta il tipo di vincolo che il resto della struttura offre al pannello in esame.... Deformabilità e duttilità Pannelli murari caratterizzati da bassi valori del rapporto B/H (pareti snelle) e soggetti a piccoli carichi assiali presentano una risposta di tipo prevalentemente flessionale [4]. Nel collasso di tali pareti il fenomeno della parzializzazione della sezione ha un ruolo primario e si perviene a un meccanismo di rottura per schiacciamento o ribaltamento. Nel caso di pareti tozze o soggette ad elevati carichi assiali (per esempio i maschi murari dei piani bassi di un edificio) il comportamento è fondamentalmente di tipo tagliante. In questo caso la parzializzazione della sezione è fortemente limitata dalla precompressione dovuta al carico assiale e viene evidenziata la deformabilità a taglio. La risposta di una parete che presenta un comportamento di tipo flessionale è caratterizzata da cicli di isteresi molto stretti. Al limite, se il pannello murario viene schematizzato come un corpo rigido e il suolo come un vincolo rigido unilatero, si ottiene un comportamento elastico non-lineare, caratterizzato da un ciclo di isteresi nullo. 0

11 figura 3 : Comportamento di una parete snella E inoltre possibile osservare come all aumentare del numero di cicli non si ha un sensibile degrado di rigidezza o di resistenza. In una parete in cui nella risposta complessiva la componente a taglio risulta prevalente rispetto a quella flessionale, si riscontrano cicli di isteresi piuttosto contenuti fino al raggiungimento di un valore di picco della forza (V max ), in corrispondenza del quale, come verrà meglio descritto nel paragrafo successivo, avviene la formazione di fessure diagonali. Oltre tale valore si osserva un significativo degrado sia della rigidezza che della resistenza e cicli di isteresi molto ampi. Nella figura 4 è rappresentato un esempio di tale comportamento. figura 4 : Comportamento di una parete tozza Nella pratica la reale curva può essere schematizzata con una bilatera. Nel lavoro di Magenes e Calvi [4] si consiglia di assumere per il ramo elastico, la rigidezza pari alla rigidezza secante in corrispondenza di un valore dello sforzo di taglio pari al 75% di V max. Il taglio ultimo si determina in genere imponendo l equivalenza delle aree sottese dalla curva reale e della bilatera (fig. 5). A tal proposito studi di Tomazevic [5] hanno evidenziato che per pareti che mostrano un comportamento di tipo tagliante è possibile assumere V u =0.9 V max.

12 V Vu δelastico δultimo δ figura 5 : Equivalenza tra la curva reale e la bilatera equivalente. Nel già citato lavoro di Magenes e Calvi [4] viene messo in luce che lo spostamento (δ ultimo ) ultimo può essere espresso in termini di scorrimento ultimo che, per pareti caratterizzate da un comportamento a taglio, risulta essere un parametro stabile, gli autori, a seguito di prove sperimentali, propongono: γ = / H 0. 5% () ultimo δ ultimo Dove con δ ultimo si indica lo spostamento orizzontale ultimo della sezione di sommità della parete(fig.5), con H l altezza della parete.... Descrizione dei meccanismi di rottura e criteri di resistenza Come già accennato, i meccanismi di rottura di una parete muraria, caricata nel proprio piano, possono essere classificati come segue : - meccanismo di schiacciamento/ribaltamento; - meccanismo di rottura per scorrimento; - meccanismo di rottura per taglio per fessurazione diagonale. Meccanismo di schiacciamento/ribaltamento Le forze orizzontali agenti sul pannello murario inducono un momento flettente che varia linearmente lungo l altezza della parete. Questo produce tensioni normali di compressione e di trazione. Tali sollecitazioni risultano massime in corrispondenza delle sezioni di estremità della parete. Se le tensioni di compressione superano la resistenza a compressione della muratura si verifica uno schiacciamento in corrispondenza della parte compressa della sezione trasversale della parete. Pur non pervenendo allo schiacciamento della muratura, può verificarsi il ribaltamento del pannello, o di una porzione di esso, a causa della progressiva parzializzazione della sezione che porta l asse neutro in prossimità del bordo compresso con un progressivo degrado della rigidezza fino all incapacità di sostenere ulteriori incrementi di carico.

13 Per quanto riguarda il meccanismo di schiacciamento, la formulazione di un criterio di rottura risulta abbastanza semplice. A tale scopo si consideri un pannello caricato da uno sforzo assiale costante P eccentrico rispetto all asse geometrico e da una forza di taglio V (fig. 6). V P esup H H0 ησc einf figura 6 : Pannello caricato da sforzo normale eccentrico e forza orizzontale Si immagini di modellare la muratura come un materiale elastico lineare fino alla rottura a compressione e non reagente a trazione. Ammettendo tali ipotesi la condizione di rottura coincide con il raggiungimento della tensione massima ammissibile a compressione (σ c ) in corrispondenza dello spigolo del pannello. La distribuzione di tensioni lineare, per semplicità, viene qui sostituita con una distribuzione uniforme di intensità ridotta, come riportato in figura 6. Imponendo l equilibrio alla rotazione attorno al punto medio della sezione di base, si ha: V H = P e B P B p = 3ησ c max 0 inf, u () essendo: σ c la resistenza a compressione della muratura; H 0 l altezza del punto di nullo del diagramma del momento flettente; P il carico normale agente sul pannello; B,H e t rispettivamente larghezza, altezza e spessore della parete. P la tensione media di compressione p=p/bt e inf,u l eccentricità del risultante dei carichi nella sezione di base del pannello nella condizione limite di schiacciamento. 3

14 Dall espressione () è possibile ricavare il taglio che determina lo schiacciamento: V P p α v 3ησ max = (3) c Nella quale è stato posto α v = H 0 /B. Tale parametro prende il nome di coefficiente di taglio e costituisce una misura del grado di vincolo opposto dal resto della struttura nei confronti del pannello. Tuttavia è possibile prevedere modelli costitutivi più complessi, come ad esempio un legame di tipo parabola-rettangolo a compressione e limitata resistenza a trazione. Il meccanismo di ribaltamento di un pannello può avvenire secondo modalità differenti a seconda della qualità della malta. Nel caso di una muratura realizzata con malta di buone caratteristiche il pannello si comporta come un blocco rigido che ruota intorno a uno spigolo di base (figura 7,a). In presenza di malta di qualità scadente o in totale assenza di questa e nel caso di pannelli tozzi, come mostrato da studi sperimentali [3] su murature di blocchi squadrati, il collasso avviene attraverso il distacco e la rotazione di una porzione di parete delimitata da una direzione inclinata. Gli studi condotti hanno mostrato come l angolo di inclinazione α di tale direzione dipende dalla geometria della parete e dalla tessitura dei mattoni (figura 7,b e figura 7,c). Ovviamente il verificarsi di tali meccanismi parziali riduce il taglio ultimo del pannello murario. α (a) (b) (c) figura 7: Meccanismi di ribaltamento nel piano: (a) globale da blocco rigido; (b) e (c) parziali. Il valore del taglio ultimo per ribaltamento si può calcolare risolvendo un problema di analisi limite. Considerando meccanismi parziali come quelli indicati nelle figure 7,b e 7,c è possibile calcolare il moltiplicatore a collasso al variare dell angolo α. Il minimo di tali moltiplicatori costituisce l effettivo moltiplicatore a collasso. In aggiunta alla rotazione rigida, è possibile tener conto in maniera semplificata di un parziale schiacciamento della muratura considerando come centro di rotazione, rientrato 5 0 cm rispetto allo spigolo [3]. 4

15 Ulteriori dettagli sull approccio tramite l analisi limite ai problemi di modellazione di strutture in muratura saranno discussi nel capitolo seguente. Meccanismo di rottura a taglio per fessurazione diagonale Il meccanismo di rottura a taglio per fessurazione diagonale si realizza quando le sollecitazioni di taglio provocano la formazione di fessure diagonali che partono dalla zona centrale del pannello per poi estendersi. La formazione di tali fessure si determina in corrispondenza delle direzioni principali cui corrispondono le massime tensioni di compressione, in quando alla direzione ortogonale sono associate le trazioni massime. Uno dei criteri presenti in letteratura per valutare la capacità ultima a taglio di una parete è dovuto a Turnsek e Cacovic [7]. Scaturito dall osservazione dei risultati di diverse prove sperimentali [5,6], tale criterio si basa sull assunzione che la rottura avviene quando la tensione principale di trazione, nella zona centrale del pannello, eguaglia la resistenza a trazione della muratura. La formula che esprime tale criterio si ricava facilmente, ammettendo una distribuzione parabolica delle tensioni tangenziali lungo la sezione del pannello, con valore massimo pari a.5*v/a in corrispondenza dell asse baricentrico, da semplici considerazioni sullo stato tensionale, si ricava infatti l espressione della tensione principale di trazione in corrispondenza proprio dell asse del pannello, di seguito riportata: σ P t = p + τ = +. A V 5 A Essendo: σ t la tensione principale di trazione, P lo sforzo normale agente sul pannello, p la pressione media, V il taglio agente, B e t la base e lo spessore del pannello, A=B*t la sezione trasversale. A questo punto eguagliando tale espressione con la resistenza convenzionale a trazione, l espressione del taglio ultimo assume la forma [6,8]: V d σ Bt.5 tu = p + σ tu (4.a) Il termine σ tu rappresenta la resistenza a trazione della muratura, tale parametro in linea teorica è una grandezza locale, in quest ambito tuttavia deve essere interpretato come un parametro di tipo globale, dato che è riferito all intero pannello. Non è detto inoltre che debba coincidere con la resistenza a trazione che si ricaverebbe da una prova a trazione sulla muratura, va piuttosto determinato eseguendo una prova di taglio che permette di ricavare il taglio ultimo e invertendo la (4.a). Per marcare il carattere macroscopico e non locale del parametro σ tu, questo spesso viene indicato come resistenza convenzionale a trazione. 5

16 La (4.a) viene spesso riportata in funzione di τ k che rappresenta la tensione tangenziale media in condizioni ultime (V d /A) in assenza di sforzo normale, e non in termini di σ tu. E facile notare che tali parametri sono legati dalla relazione τ k =σ tu /.5; la formula precedente diviene quindi : V d = τ Bt k p +. 5τ k (4.b) Il parametro τ k presenta il vantaggio di avere un riscontro fisico più immediato rispetto alla tensione convenzionale a trazione. Se ad esempio si esegue una prova di taglio su un campione di muratura (in assenza di sforzo normale), basta dividere il valore del taglio ultimo che si registra per la sezione trasversale del pannello esaminato e si determina τ k. Successivamente fu proposto da Turnsek e Sheppard di sostituire al fattore.5 presente nelle (4) un parametro b dipendente dal rapporto geometrico B/H del pannello [8]. In sostituzione della (4) e (5) si ha: V d σ Bt b p σ tu = + (5.a) tu V d p = τ kbt + (5.b) b τ k Tra tutti i criteri presenti in letteratura per la determinazione del parametro b, qui si cita quello dovuto a Benedetti e Tomazevic [9]: b = per H/B b = H/B per < H/B <.5 b =.5 per H/B.5 ++ Più recentemente, un criterio di rottura alternativo per murature di blocchi squadrati è stato proposto da Magenes e Calvi [4]. In tale formulazione viene distinto il caso di fessurazione diagonale dovuta al cedimento dei giunti di malta (taglio ultimo V ) e il caso di fessurazione diagonale per rottura dei mattoni (taglio ultimo V ) : c + μσ V = B t (6,a) + α v 6

17 bt = B t β( + α v) V f σ + f bt (6,b) Nelle quali: f bt indica la resistenza a trazione dei mattoni; B,t la base e lo spessore della parete; c,μ coesione e coefficiente di attrito della malta; α v = H 0 /B; con H 0 il punto di nullo del diagramma dei momenti; β = è un coefficiente che può essere assunto da a 3. Si noti come l espressione di V, relativa al caso di rottura dei mattoni, sia l equivalente dell espressione di Cacovic (4,5) nella quale è stato introdotto il coefficiente di taglio α v che dipende dalla condizione di vincolo del pannello. Inoltre nell espressione (6,b) la resistenza a taglio è legata esclusivamente alla resistenza dei mattoni proprio perché si suppone che siano questi a giungere a rottura. Nel caso di muratura in pietrame è comunque preferibile continuare ad utilizzare le (4) nelle quali è possibile introdurre un parametro convenzionale di resistenza. Meccanismo di rottura per scorrimento Il meccanismo di rottura a scorrimento si realizza in seguito alla formazione di piani di scorrimento lungo i letti di malta nelle sezioni di estremità della parete. Il criterio di rottura tradizionalmente utilizzato è quello di Mohr-Coulomb. Secondo tale criterio, la tensione tangenziale ultima viene espressa come somma di un termine costante c (coesione) e di un termine proporzionale alla tensione di compressione media nella sezione σ : ( ) τ = c + μσ u (7) Il coefficiente di proporzionalità μ prende il nome di coefficiente di attrito. Al fine di determinare il taglio ultimo corrispondente, è possibile supporre una distribuzione uniforme e integrare la (6) su tutta la zona di contatto(b *t). Si ottiene l espressione: P Vd = B' t c + μ (8) B' t 7

18 .3 Normativa nazionale in materia di murature Si presenta una panoramica delle normative nazionali che trattano le strutture in muratura, anticipando fin da adesso che molte di queste non sono state redatte con l obiettivo di inquadrare in maniera organica il problema ma sono state piuttosto dettate da esigenze particolari e urgenti come le ricostruzioni che hanno seguito i più importanti eventi sismici degli ultimi decenni. Norme insomma che dettavano prescrizioni di dettaglio nell ambito di un settore per il quale mancavano principi e direttive generali. Nel redigere il quadro normativo che verrà presentato, oltre che dai testi originali delle norme, si è fatto riferimento a quanto riportato nel lavoro prodotto a cura di Magenes [] nell ambito del progetto Catania..3. D.M. 3 Marzo 975 E il primo decreto che introduce in Italia norme per costruzioni in zone sismiche, le murature vengono trattate solo fornendo alcune indicazioni su possibili interventi di riparazione di strutture in muratura, trattandosi solo di vaghi cenni, tale decreto non può assolutamente considerarsi un punto di riferimento per la progettazione e verifica di strutture in muratura..3. Legge regionale 0 Giugno 977. n 30 Fu emanata a seguito del terremoto in Friuli, vengono introdotti alcuni importanti concetti che possono far comprendere il comportamento di una struttura muraria, come il comportamento scatolare o globale di un edificio, l importanza di una corretta distribuzione delle rigidezze, ecc. Inoltre si trattano alcune possibili tecniche di intervento, in particolare vengono trattate l inserimento di lastre in calcestruzzo armato per il rinforzo delle pareti e le iniezioni di malta cementizia. Vengono altresì fornite indicazioni sulla determinazione delle caratteristiche meccaniche dei materiali e sui metodi di dimensionamento degli interventi di riparazione..3.3 D.M.LL.PP. Luglio 98 Emanata per regolare gli interventi di risanamento degli edifici colpiti dal sisma nelle regioni Basilicata, Campania e Puglia, al suo interno vengono distinti gli interventi di riparazione dagli interventi di adeguamento sismico. Tratta i possibili interventi tecnici per adeguare sismicamente una struttura, distinguendoli in interventi mirati ad aumentare la resistenza della struttura e interventi mirati alla diminuzione delle masse. 8

19 Al punto 3.4 in particolare tratta le strutture in muratura e i possibili interventi per i diversi componenti strutturali, in particolare individua e descrive i seguenti interventi per il risanamento delle pareti: - risarciture localizzate - iniezioni di miscele leganti - applicazione di lastre in cemento armato - inserimento di pilastri in breccia alla muratura - tirantature orizzontali e verticali Va ricordato che nella circolare di attuazione (Circolare M.LL.PP. 30/7/98 n 754) viene riportato come esempio la verifica sismica di un edificio che viene effettuata utilizzando il metodo POR e valutando il taglio ultimo dei maschi con la formula di Turnsek e Cacovic (4)..3.4 D.M.LL.PP. 7 Novembre 987 Norme tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degli edifici in muratura e per il loro consolidamento [0] E stata la prima norma che ha trattato le murature in maniera organica ed ha costituito per anni il principale riferimento per la progettazione di strutture in muratura. Fornisce innanzitutto indicazioni generali sulla concezione strutturale, ribadendo che bisogna garantire un comportamento scatolare della struttura muraria e a tal fine prevede: - efficaci ammorsamenti lungo le intersezioni verticali tra i muri. - legature tra i muri paralleli realizzate da incatenamenti a livello di solaio e dal solaio stesso nella direzione di orditura, purché sia garantito un efficace collegamento tra i travetti del solaio e le pareti - inserimento di cordoli di piano di cui fissa le caratteristiche minime di area trasversale e armatura. Contiene indicazioni sulla determinazione dei valori caratteristici di resistenza della muratura che possono essere determinati partendo dalle caratteristiche dei mattoni e della malta, se questi rispettano certi limiti imposti, oppure tramite prove sperimentali di cui riporta le modalità di esecuzione. In particolare la resistenza a compressione (f k ) viene fornita mediante una tabella, in funzione della resistenza a compressione dei mattoni e il tipo di malta. La resistenza a taglio (f vk ) è espressa secondo un criterio alla Coulomb: f vk f vk = 4σ (9) Il termine f vk0 rappresenta la resistenza a taglio in assenza di sforzo normale e viene fornito in maniera analoga alla resistenza a compressione. Per quanto riguarda la verifiche di resistenza, prevede innanzitutto una verifica semplificata se sono rispettate certe prescrizioni, questa consiste nel verificare: m Dove : N è lo scarico totale di piano. σ = N/( 0. 65) * A (0) f k 9

20 A è la sezione totale di muratura dello stesso piano. f k è la resistenza caratteristica a compressione Se tali prescrizioni non sono rispettate, impone una verifica per carichi verticali che in pratica è una verifica a pressoflessione fuori piano poiché si considerano delle eccentricità cui può essere affetto lo sforzo normale, e delle verifiche a pressoflessione (nel piano della parete) e a taglio per pareti soggette a forze orizzontali. C è da dire a tal proposito che questa norma non si riferisce alla costruzione in zona sismica e i carichi orizzontali previsti sono quelli da vento. I carichi verticali possono essere ripartiti ragionando per aree di influenza, per la distribuzione dei carichi orizzontali si può adoperare uno schema che prevede i solai sufficientemente resistenti e rigidi a trasmettere tali carichi a tutte le pareti secondo le rigidezze di ognuna. La normativa prevede sia la possibilità di seguire il metodo di verifica delle tensioni ammissibili che il metodo semiprobabilistico degli stati limite ultimi. Al contrario di quanto annunciato dal titolo, la presente norma si limita a pochi cenni sul consolidamento delle strutture murarie riportando concetti generali, peraltro già espressi dalle precedenti normative. Non viene fornita nessuna indicazione pratica per la progettazione ed esecuzione di un intervento di consolidamento..3.5 D.M.LL.PP. 6 Gennaio 996 : Norme tecniche per le costruzioni in zona sismica [] In riferimento alle murature detta delle prescrizioni generali che tutte le costruzioni in muratura devono rispettare, prevede poi ulteriori prescrizioni, rispettate le quali è possibile omettere la verifica sismica. Nel caso in cui si debba effettuare la verifica sismica la normativa, analogamente a quanto imposto per le altre tipologie di edifici, prescrive una analisi statica e assegna la distribuzione di forze. Per le verifiche delle sezioni dei muri rimane valido quanto contenuto nel decreto del 987. Le norme appena descritte hanno costituito per parecchi anni il quadro normativo nazionale. Prima di passare a dare qualche cenno sulla nuova normativa sismica, recentemente emanata si vuole citare uno studio condotto da Braga et al [] mirato a stabilire se le prescrizioni riportate nel decreto del 996, in particolar modo quelle che permettono di non eseguire la verifica sismica, siano in grado di garantire un coefficiente di sicurezza rispetto al collasso sufficiente. Gli autori hanno considerato una serie di pareti che rispettavano la norma, per tutti i parametri non espressamente citati dalla normativa gli autori hanno proceduto a un analisi parametrica. Per ogni parete hanno calcolato il carico ultimo con il metodo POR e con un macromodello sviluppato dagli autori e descritto nel seguito di questo lavoro (macromodello a ventaglio), il rapporto tra il carico ultimo della struttura ottenuto tramite detti modelli e il carico previsto dalla stessa normativa costituisce il coefficiente di sicurezza. 0

21 Dal risultato delle analisi si è riscontrata una distribuzione del coefficiente di sicurezza al variare dei diversi parametri tutt altro che uniforme e situazioni con coefficienti di sicurezza minori dell unità. Una di queste è rappresentata dagli edifici con numero di piani pari al massimo consentito dalla normativa (3 e 4 rispettivamente per gradi di sismicità 9 e ), si è visto altresì che in questo caso non porta alcun miglioramento aumentare l area di muratura, questo perché il carico ultimo risulta influenzato solo dalla snellezza globale della parete, che potrebbe essere oggetto di ulteriori prescrizioni di normativa. Come nel caso appena citato, gli autori hanno individuato altri parametri che sebbene non contemplati dalla norma possono giocare un ruolo fondamentale per la sicurezza di una struttura. Quanto detto non deve apparire come una critica alla normativa, che è normale abbia dei limiti; si è solo voluto mettere in luce come sia importante prendere coscienza dei problemi e approfondire di volta in volta quelli che si ritiene più opportuno a seconda del problema trattato..3.6 Nuova normativa sismica : Norme tecniche per il progetto, la valutazione e l adeguamento sismico degli edifici [] La norma considera solo l approccio semiprobabilistico agli stati limite. Per le nuove costruzioni impone che le forze sismiche debbano essere fronteggiate con un comportamento globale della struttura. Gli orizzontamenti a tal proposito devono essere sufficientemente rigidi da garantire la distribuzione degli sforzi alle pareti parallele alle sollecitazioni sismiche. Viene mantenuto il concetto di regolarità, rispettata la quale si possono considerare alcune semplificazioni nelle analisi e nelle verifiche. Caratterizzazione delle forze sismiche L azione sismica viene caratterizzata tramite la definizione di uno spettro di progetto elastico la cui forma è indipendente dall intensità sismica, e normalizzato rispetto a g. Tale spettro viene amplificato dalla accelerazione massima al suolo definita in base alla zona sismica di appartenenza (ne sono previste quattro) e a un coefficiente dipendente dal tipo di suolo (sono previsti cinque tipi di suolo). Spettro di risposta elastico : T S e ( T) = a g S + ( η. 5 ) 0<T<T B TB Se ( T) = a g Sη.5 T B <T<T C

22 Tc Se ( T) = a g Sη. 5 T D <T<T D T TC TD Se ( T) = a g S. 5 T D <T T S, T B, T C, T D dipendono dal tipo di suolo; a g dipende dalla zona sismica, secondo quanto riportato nella tabella seguente: Zona a g 0.35g 0.5g 3 0.5g g Lo spettro inelastico, utilizzato nella determinazione delle forze sismiche agli SLU viene ottenuto da quello elastico riducendo le ordinate in funzione del coefficiente di struttura q. Per strutture in muratura ordinaria (non armata) si considera : q=.5 Spettro di progetto inelastico : T.5 S d ( T ) = ag S + 0<T<T B TB q S d S d.5 ( T ) = ag S T B <T<T C q.5 TC ( T ) = ag S T C <T<T D q T S d.5 TC TD ( T ) = ag S T>T D q T Lo spettro da utilizzare agli stati limite di esercizio (o di danno) viene ottenuto da quello elastico riducendo le ordinate di un fattore pari a.5.

23 Schemi strutturali Le strutture tridimensionali possono essere considerate come un insieme spaziale di sottostrutture piane, nel caso della muratura la sottostruttura è costituita dalla generica parete piana. Soltanto se la struttura è regolare lo studio si può ricondurre a quello di due schemi piani relativi alle direzioni principali della struttura. Modellazione e analisi E prevista la possibilità di eseguire : - Analisi lineari - Analisi statica lineare - Analisi modale - Analisi non lineari - Analisi statica non lineare - Analisi dinamica non lineare Verifiche mediante analisi lineari Nell ambito delle analisi lineari, il metodo principale viene considerato l analisi modale; solo se si è in presenza di strutture con determinate caratteristiche da renderle regolari, si può applicare l analisi statica lineare. Questa consiste nell applicare una distribuzione di forze, la cui intensità viene ricavata tramite lo spettro elastico per la verifica agli SLD, oppure tramite lo spettro inelastico, precedentemente riportato, per le verifiche agli SLU. Tale distribuzione è lineare con l altezza, in maniera analoga a quanto prescritto dal D.M. del 96. Per le rigidezze elastiche degli elementi murari la norma prescrive di considerare gli elementi deformabili flessionalmente e a taglio e di considerare la rigidezza relativa agli elementi fessurati. Tale rigidezza, in mancanza di dati attendibili, può porsi pari alla metà della rigidezza relativa a elementi non fessurati. Sia che si utilizza l analisi modale che l analisi statica, si giunge a calcolare il valore di calcolo delle sollecitazioni dovute al sisma che vengono combinati con le sollecitazioni derivanti dagli altri carichi. La verifica agli stati limite, in questo caso, consiste nel verificare che in 3

24 ogni sezione muraria il valore di calcolo della resistenza superi il valore di calcolo delle sollecitazioni. In particolare ogni elemento deve essere sottoposto alle seguenti verifiche : - Verifica a pressoflessione nel piano V f = D t p p H f 0 d () Dove V f rappresenta il valore del taglio che porta allo schiacciamento della muratura compressa, D e t sono rispettivamente larghezza e spessore della parete, H 0 è la distanza dalla sezione considerata al punto di nullo del diagramma dei momenti, p è la compressione media sulla sezione in esame. f d =f k /γ m è la resistenza di calcolo a compressione della muratura. - Verifica a taglio V f = D' t f γ m vk () Dove D è la larghezza della parte di sezione compressa, fvk è la resistenza caratteristica a taglio calcolata in base alla compressione media della sezione e secondo quanto prescritto dal decreto dell Verifica a pressoflessione fuori piano Il momento ultimo deve essere calcolato considerando un diagramma delle tensioni di compressione rettangolare, di ampiezza 0.85*fd e trascurando la resistenza a trazione della muratura. Per la progettazione di costruzioni in muratura viene fissato: γ m =.Per verifiche di edifici esistenti tale valore viene incrementato a seconda del grado di conoscenza della struttura che il professionista è in grado di documentare tramite prove e sondaggi. Verifiche mediante analisi non lineari In questo caso la verifica consiste nel controllare che la duttilità richiesta dal sisma di progetto non superi le reali disponibilità della struttura. I legami costitutivi degli elementi murari possono essere considerati elasto perfettamente plastici, per quanto riguarda la rigidezza elastica si 4

25 fa riferimento a quanto detto per le analisi lineari, il valore ultimo della resistenza è definito dalle relazioni () e (), relative al comportamento flessionale e a taglio, mentre gli spostamenti ultimi sono fissati in : Rottura a flessione Rottura a taglio δu = 0.008*h δu = 0.004*h Dove con h si indica l altezza del pannello. Se si intende utilizzare una analisi dinamica non lineare, le richieste di duttilità vengono ricavate direttamente dall integrazione delle equazioni del moto della struttura soggetta agli accelerogrammi opportunamente scelti. Nel caso che si utilizzi l analisi statica non lineare, alla struttura viene applicata una distribuzione di forze proporzionali alle masse e una proporzionale al primo modo di vibrazione, l analisi verrà quindi eseguita per entrambe le distribuzioni per poi considerare il caso più sfavorevole. L analisi viene condotta incrementando le forze fino al collasso della struttura e ricavando il diagramma che riporta in ordinata il taglio alla base e in ascissa lo spostamento del punto baricentrico posto a /3 dell altezza totale dell edificio. Da tale diagramma si ricava la disponibilità di duttilità globale dell edificio. In particolare vengono definiti : - Capacità di spostamento allo stato limite ultimo: Lo spostamento relativo alla perdita di capacita portante del 0% rispetto alla forza massima, dovuta alla progressiva rottura degli elementi murari che raggiungono il limite ultimo di spostamento. - Capacità di spostamento allo stato limite di danno: Lo spostamento minimo tra quello relativo alla massima forza e quello per il quale si ha la rottura del primo elemento murario. La domanda di spostamento relativa al sisma di progetto, deve essere calcolata attraverso lo spettro elastico : Δ d = S e ( T ) s Ts π Dove T s è il periodo del sistema a un grado di libertà equivalente alla struttura che deve essere definito tramite la procedura riportata nella normativa stessa. 5

26 Bibliografia [] G. Magenes, D. Bolognini, C. Braggio (A cura di): Metodi semplificati per l'analisi sismica non lineare di edifici in muratura, CNR-Gruppo Nazionale per la Difesa dai Terremoti - Roma, 000, 99 pp. [] F. Braga, D. Liberatore & G. Spera: Esame critico delle prescrizioni di norma per pareti in muratura soggette ad azioni sismiche. Atti 8 convegno nazionale ANIDIS, Taormina, -4 Settembre, 997. [3] A. Giuffrè (A cura di:): Sicurezza e conservazione dei centri storici Il caso Ortigia, Ed. Laterza. [4] G. Magenes, G. M. Calvi : In plane seismic response of brick masonry walls, Earthquake Engineering and structural Dynamics, Vol. 6, 09- (997). [5] M. Tomazevic: Recent advances in earthquake-resistant design of masonry buildings: European perspective, Proc. th World Conference on Earthquake Engng., Acapulco, Paper N 0, 996. [6] M. Tomazevic: Masonry structures in seismic areas a state of the art report, 9th European Conference on Earthquake Engng., Moscow, 990, Vol. A, pp [7] V. Turnsek, F. Cacovic: Some experimental result on the strength of brick masonry walls, Proc. Of the nd Int. Brick Masonry Conference, Stoke-on-Trent, 97, pp [8] V. Turnek, P. Sheppard : The shear and flexural resistence of masonry walls, Pro. Intern. Research Conference on Earthq. Engng., Skopje, 980, pp [9] D. Benedetti, M. Tomazevic: sulla verifica sismica di costruzioni in muratura, Ingegneria sismica, Vol I, No. 0, 984, pp.9-6. [0] Decreto Ministeriale 0 novembre 987 (D.M ) (Suppl. Ord. alla G.U , n. 85). [] Decreto Ministero Dei Lavori Pubblici (G.U , n.9). [] Ordinanza n. 374 della Presidenza del Consiglio dei Ministri (Suppl. Ord. 7 alla G. U. 8 maggio 003 n.05). 6

27 Modelli non lineari per l analisi di edifici in muratura Introduzione L analisi di strutture esistenti in muratura non può prescindere da un accurato esame del corpo di fabbrica. Tale esame deve essere mirato ad accertare le tecniche costruttive, i materiali utilizzati, nonché lo stato di degrado della struttura (presenza di dissesti e lesioni). Questo passo preliminare è fondamentale per comprendere il comportamento qualitativo della struttura e per individuare i parametri di resistenza e di deformabilità che dovranno poi essere impiegati nelle analisi numeriche. La scelta del modello da adoperare, essendo subordinata a tali informazioni sulla struttura in esame, non può pertanto essere effettuata a priori, come invece avviene usualmente per altre tipologie strutturali per le quali le tecniche costruttive e le caratteristiche dei materiali sono standardizzate (come ad esempio strutture in cemento armato o acciaio). Tuttavia questa non è la sola difficoltà che si incontra nella modellazione delle strutture murarie. Numerosi aspetti tipici delle strutture in muratura, quali il comportamento fortemente inelastico con limitata o nulla resistenza a trazione, la presenza di elementi strutturali che mal si prestano ad essere modellati come elementi monodimensionali, nonché fenomeni di degrado che modificano continuamente il comportamento della struttura, rappresentano aspetti salienti del manufatto murario e incidono fortemente sulla sua risposta. Una corretta modellazione non può pertanto prescindere da tali aspetti che però, se venissero presi in considerazione integralmente, condurrebbero a modelli di calcolo estremamente complessi, la cui risoluzione richiederebbe un enorme sforzo computazionale, spesso tale da rendere inapplicabile un approccio di questo tipo. Appare quindi evidente come il grado di dettaglio della modellazione deve essere il giusto compromesso tra costi e benefici ovvero tra oneri computazionali e risultati che ci si propone di ottenere. Il peso che può essere attribuito a ognuno 7

28 dei contrapposti interessi è certamente diverso a seconda se le analisi da condurre sono relative a scopi di ricerca o all ambito professionale. Nel secondo caso viene quasi sempre adoperato un approccio semplice che, pur non cogliendo appieno il comportamento non-lineare della struttura, presenta il notevole vantaggio di essere compatibile con le conoscenze della maggioranza dei professionisti del settore e di fornire in tempi brevi risultati facilmente interpretabili. I metodi presenti in letteratura per il calcolo in campo inelastico delle murature sono svariati. Sembra utile, prima di descrivere nel dettaglio quelli che appaiono essere i più rappresentativi, riportarne una possibile classificazione []. Una prima suddivisione individua quattro diversi approcci, all interno dei quali possono pensarsi collocati tutti i metodi di analisi :. Calcolo secondo l analisi limite : con un approccio del genere si mira esclusivamente a determinare il carico ultimo della struttura e il meccanismo di collasso, senza ricevere alcuna informazione sulla deformabilità della struttura.. Modelli monodimensionali : Gli elementi murari vengono schematizzati utilizzando degli elementi asta, le cui caratteristiche di rigidezza e duttilità devono essere opportunamente tarate. Tale categoria comprende il metodo POR, le schematizzazioni a telaio, i modelli a puntone equivalente. 3. Modelli bidimensionali : I pannelli murari vengono schematizzati mediante modelli continui bidimensionali. In tale categoria rientra la grande famiglia degli elementi finiti. 4. Macromodelli : In cui i pannelli murari vengono descritti mediante modelli discreti equivalenti. La maggiore peculiarità della muratura è quella di possedere una limitata resistenza a trazione. In relazione a tale peculiarità si può operare un ulteriore suddivisione in: - Modelli a geometria fissa : Sono tutti quei modelli in cui la geometria della struttura resta immutata durante l analisi, coincidente con la configurazione iniziale, coerentemente con l ipotesi di piccoli spostamenti. La non resistenza a trazione viene simulata o attraverso opportune ipotesi sul campo di tensioni (es: macromodello a ventaglio) o agendo sui vari legami costitutivi degli elementi che compongono il modello. - Modelli a geometria variabile : Il materiale si considera elastico lineare,la fessurazione per trazione viene simulata modificando la geometria della struttura in modo da escludere le porzioni di struttura che vanno in trazione. Le altre possibili modalità di rottura possono essere modellate tramite opportuni criteri di resistenza. 8

29 . Metodo POR Secondo la classificazione presentata, tale metodo si colloca tra i modelli monodimensionali e a geometria fissa. Per la sua semplicità il metodo POR è attualmente il metodo per la verifica di strutture in muratura più diffuso in ambito professionale, essendo implementato nella quasi totalità dei programmi di calcolo commerciali. Tale metodo è applicabile esclusivamente a edifici bassi con impalcati di piano sufficientemente rigidi. Questo perché il metodo si basa sull ipotesi fondamentale di impalcati infinitamente rigidi, sia assialmente che flessionalmente, perfettamente ammorsati alle pareti. Tale assunzione, comunque molto approssimata, risulta accettabile nel caso di edifici con solai in latero-cemento, i quali, oltre a offrire una maggiore rigidezza flessionale rispetto a tutte le altre tipologie di orizzontamenti, risultano usualmente ben ammorsati alle pareti. Nel caso di edifici con differenti tipologie di impalcato, come solai in legno o volte portanti, entrambi frequentemente riscontrabili in edifici storici, le ipotesi formulate risultano molto meno accettabili. In questo caso infatti i solai risultano più deformabili e non sempre l impalcato è sufficientemente ammorsato alle pareti verticali. Tale condizione può essere migliorata mediante l inserimento di tiranti e progettando opportunamente i collegamenti solaio-parete. Il metodo risulta invece del tutto inapplicabile a edifici privi di impalcati. Tale situazione si riscontra in diverse tipologie di costruzioni a carattere monumentale, come ad esempio le chiese. Descrizione del metodo Nell applicazione del metodo POR, per l edificio si assume un comportamento a impalcati rigidi, pertanto le pareti di ogni piano si comportamento come un sistema di molle in parallelo che collegano due impalcati contigui. La rigidezza assiale dei setti viene trascurata, pertanto il sistema presenta complessivamente tre gradi di libertà per ogni impalcato. Spesso viene trascurata anche la rigidezza fuori piano delle pareti in quanto risulta notevolmente inferiore rispetto alla rigidezza nel piano. I setti costituiscono delle molle alla traslazione nella direzione della parete stessa, il legame costitutivo considerato è elastico - perfettamente plastico con una resistenza limitata in termini di spostamenti. Le analisi in campo inelastico vengono condotte applicando le forze orizzontali nel centro di massa di ogni impalcato. Tali forze si distribuiranno inizialmente a seconda delle rigidezze elastiche delle molle. Durante l analisi quando una parete giunge al proprio limite di snervamento inizia a deformarsi senza incrementare il proprio carico, fino al raggiungimento del valore ultimo dello spostamento. A questo punto tale parete viene eliminata dallo schema di calcolo in quanto non è più in grado di portare carico. L analisi procede finché è possibile garantire l equilibrio. Il modello in genere fornisce valori di carico ultimo e rigidezza iniziale della struttura sovrastimati. 9