Laboratorio di Fisica I Seconda Esperienza Oscillazioni armoniche del sistema Massa Molla

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1 Università degli Studi di Udine Corsi di Laurea in Ingegneria Laboratorio di Fisica I Seconda Esperienza Oscillazioni armoniche del sistema Massa Molla 1 Introduzione In tale esperienza si considera lo studio della statica e della dinamica del sistema massamolla. Lo scopo è quello di approfondire e consolidare le conoscenze teoriche e pratiche del fenomeno oggetto di studio apprendendo anche i metodi relativi alle misure dirette, indirette, e alla propagazione degli errori. Lo studio del sistema verrà condotto supponendo che: i) la resistenza del mezzo (l aria) sia trascurabile rispetto alle altre forze che agiscono sul sistema; ii) la massa della molla sia trascurabile. O x 0 x eq F F F e x m g g g Figura 1: Sistema massa molla a riposo (a sinistra) e in equilibrio con un corpo di massa m appeso (a destra). 1

2 Introduzione teorica al sistema massa molla Considerando la Figura 1 in cui abbiamo indicato un asse x verticale rivolto diretto verso il basso con l origine O alla quota dell aggancio superiore della molla. Come indicato in figura, le forze agenti sul corpo appeso (di massa m) sono la forza elastica F F Fe della molla e la forza di gravità m g g g, entrambe dirette lungo la verticale. La forza elastica ha ampiezza F e = k(x x 0 ) (1) ed è diretta verso l alto o verso il basso a seconda che la molla abbia lunghezza maggiore o minore di quella che a riposo (pari a x 0 ). La costante k è detta costante elastica della molla..1 Sistema in equilibrio statico In condizioni di equilibrio le due forze si bilanciano F F F e +m g g g = 0 mg k(x eq x 0 ) = 0 k(x eq x 0 ) = mg, () dalla quale otteniamo x eq = x 0 + mg k. (3). Dinamica del sistema e oscillazioni armoniche In condizioni dinamiche (di non equilibrio) l applicazione della a legge della dinamica porta all equazione del moto seguente m a a a = F F Fe +m g g g ma = m d x dt = mg k(x x 0). (4) Utilizzando la (3) ed esprimendo x 0 in termini di x eq, la precedente diventa m d x dt = k(x x eq), (5) che ha la forma dell equazione del moto dell oscillatore armonico per oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio x eq. La presenza della forza di gravità determina (insieme alla forza elastica) la posizione di equilibrio del sistema; tuttavia, la forma della (5) ci mostra che le oscillazioni intorno a tale posizione sono determinate unicamente dalla forza elastica. Come già visto durante il corso, la soluzione dell equazione del moto (5) ha la forma seguente x(t) = x eq +Acos(ωt+φ), (6) dove k ω = m, (7) corrisponde alla pulsazione del moto armonico, mentre A e φ sono delle costanti (da determinare) che dipendo dalle condizioni iniziali del sistema. Ad esempio, se consideriamo le seguenti condizioni iniziali: x(0) = x eq + x 0 ; v(0) = dx dt = 0, (8) t=0

3 che corrispondono a far partire il sistema da fermo (v(0) = 0) e da una posizione (x(0)) di un x 0 al di sotto (se lo prendiamo positivo) di x eq, allora si ricava A = x 0 e φ = 0. In tali condizioni, la posizione e la velocità del corpo in funzione del tempo saranno date dalle x(t) = x eq + x 0 cos(ωt); (9) v(t) = dx dt = ω x 0sin(ωt). (10) In conclusione, la massa oscillerà di moto armonico attorno alla posizione di equilibrio x eq ; la semi ampiezza dell oscillazione sarà pari a x 0 ; il periodo dell oscillazione sarà pari a T = π ω = π m k. (11).3 Considerazioni energetiche Nelle ipotesi che abbiamo indicato in precedenza, durante l oscillazione l energia meccanica E mecc del sistema si deve conservare. Tale energia è pari alla somma dell energia cinetica K = 1 mv della massa m e delle energie potenziali gravitazionale U g = mgx (essendo l asse x orientato verso il basso) ed elastica U e = 1k(x x 0) della molla. Tuttavia, osservando che la somma delle espressioni suddette delle energie potenziali, si ottiene U = U g +U e = 1 (x x 0) mgx = 1 [ x x eq + mg ] mgx = (1) k = 1 (x x eq) + m g k +mg(x x eq) mgx = 1 (x x eq) + m g k mgx eq, (13) e tenendo presente che, in generale, l energia potenziale è conosciuta a meno di una costante C arbitraria, allora ponendo C = mgx eq m g possiamo utilizzare come energia potenziale del sistema la seguente k, (14) U = U e +U g +C = 1 (x x 0) mgx+c = 1 (x x eq) (15) Pertanto, esplicitando le espressioni di x(t) e v(t) date dalle (9) e (10), si vede immediatamente che, come aspettato, è E mecc = K +U = 1 mv + 1 k(x x eq) = 1 mω x 0 sin (ωt)+ 1 k x 0 cos (ωt) = 1 mω x 0 sin (ωt)+ 1 mω x 0 cos (ωt) = 1 mω x 0 [sin (ωt)+cos (ωt)] = 1 }{{} mω x 0 = cost. (16) =1 dove, attraverso la (7), si è posto k = mω. 3

4 3 Misura diretta e indiretta del periodo Nella prima parte dell esperimento si effettueranno varie misure al fine di valutare il periodo di oscillazione del sistema massa molla. 3.1 Misura diretta del periodo Una volta scelta la massa appesa e la molla, si procederà effettuando una serie di misure dirette (30 saranno sufficienti) del periodo misurando direttamente (tramite il cronometro computerizzato) il tempo corrispondente ad un dato numero di oscillazioni. In effetti, si procederà in maniera del tutto analoga a quanto effettuato nella Prima Esperienza di laboratorio (per i dettagli si rimanda alle relativa nota). Con T 1 e σ T1 indicheremo i valori del periodo e del suo errore ottenuti con questo metodo. 3. Misura indiretta del periodo Come visto nella sezione., il periodo di oscillazione del sistema massa molla, espresso dalla relazione (11), è funzione della costante elastica della molla, k, e della massa, m, del corpo appeso. Pensando di ricavare T da tale relazione, parleremo di misura indiretta di T dato che, in realtà, ad essere misurati saranno k ed m Misura indiretta della costante elastica k La costante elastica della molla è la costante di proporzionalità tra il modulo della forza elastica prodotta dalla molla e l ampiezza del suo allungamento. D altra parte, come abbiamo visto nella sezione.1, considerando il sistema in equilibrio statico, la (3) ci permette di scrivere la seguente k(l l 0 ) = mg, (17) dove l 0 e l sono le lunghezze della molla quando è, rispettivamente, a riposo o in equilibrio con la massa m appesa. Allo stesso modo, per due diversi valori della massa m 1 e m possiamo scrivere k(l 1 l 0 ) = m 1 g k(l l 0 ) = m g k(l 1 l ) = (m 1 m )g k = g (m 1 m ) (l 1 l ) Per la valutazione dell errore su k dobbiamo: i) fare una stima degli errori sulle misurazioni delle masse (m 1 e m ) e delle lunghezze (l 1 e l ); ii) utilizzare la propagazione degli errori. Misura delle masse Le masse dei corpi appesi si misureranno con una bilancia: attribuiremo alle masse dei corpi il valore letto sul visore al quale si associerà un errore (a priori) pari alla sensibilità dello strumento. In questo caso non è necessario ripetere la misura; in effetti, data la sensibilità relativamente bassa della bilancia presente in laboratorio, ripetendo la misura si otterrebbe sempre lo stesso risultato. L errore da assegnare alla differenza tra le masse si ottiene con la propagazione degli errori: date le masse m 1 e m, indicando con m = m 1 m, si ha σ m = [ m m 1 ] σ m 1 + [ m m ] σm = σm 1 +σm σ m = σm 1 +σm 4 (18)

5 Misura delle lunghezze La misura dell allungamento della molla al variare delle masse appese può essere effettuata in due tempi: 1) segnano su un foglio di carta le posizioni degli estremi della molla corrispondenti alle due masse; ) con un metro misuriamo sul foglio le distanze tra la coppia di segni. Anche in questo caso, possiamo associare a tali misure un errore (a priori) pari alla sensibilità dello strumento o di apprezzamento dello sperimentatore. Come per m, l errore su l = l 1 l, sarà dato da [ ] l σ l = σl l [ l l ] σl = σl 1 +σl σ l = σl 1 +σl Una volta ottenuti m e l, il corrispondente valore di k sarà ottenuto attraverso la (18) e cioè k = g m l. La varianza di k si ottiene invece con la propagazione degli errori [ ] [ ] k k ( g ) ( ) σ σk = σ m m + σl l = g m m l + σ l l. 3.. Calcolo di T e del suo errore A questo punto, finalmente, possiamo procedere al calcolo del periodo T e del suo errore. Se indichiamo con m la massa del corpo utilizzata nello studio delle oscillazioni del sistema massa molla, potremo dire che il valore più attendibile per T sarà m T = π k. (19) L errore sulla misura di T sarà, ancora una volta, ricavato tramite la propagazione degli errori. Si ottiene [ ] [ ] ( ) ( ) T T π σt = σm + σk π = σm m + σ m k mk k k. 3/ Si noti che, al fine di distinguerli dai risultati della misura diretta, i risultati della misura indiretta sono stati indicati con T e σ T. Infine, si noti che in termini relativi l errore su T è σ T T = σ m 4m + σ k 4k. 4 Sistema di acquisizione dati In Figura è schematizzato il sistema di acquisizione che verrà utilizzato durante l esecuzione dell esperimento. Tale sistema è composto da un sensore ad ultrasuoni, un interfaccia e un PC (Personal Computer). Il sensore ad ultrasuoni determina la distanza 5

6 y di un oggetto facendo la misura del tempo che trascorre tra l invio di un impulso sonoro e il suo ritorno determinato dalla riflessione sull oggetto; la distanza dell oggetto è, ovviamente, ottenuta moltiplicando tale tempo per la per la velocità del suono e dividendo per due. La distanza y può essere poi convertita nella posizione x del corpo tenendo presente che, se L è la distanza tra il sensore e il punto di aggancio della molla, allora si avrà x = L y. x L PC interfaccia sensore y Figura : Illustrazione schematica del sistema di acquisizione dati Il sensore viene controllato dal PC attraverso l interfaccia indicata in Figura. L interfaccia permette anche il trasferimento dei dati del sensore al PC e tali dati, attraverso uno specifico software, possono essere visualizzati ed elaborati. Ad esempio, tramite un algoritmo alle differenze finite, il software permette il calcolo dei valori istantanei di velocità e accelerazione permettendo anche una loro visualizzazione grafica, in tempo reale. È anche possibile definire altre grandezze in funzione delle precedenti come, ad esempio, l energia cinetica e potenziale e fare anche di queste un grafico in tempo reale. Infine, è possibile calcolare la media, la varianza, la deviazione standard, i valori massimi e minimi per le varie grandezze misurate. Gli studenti potranno utilizzare il sistema computerizzato nella seconda parte dell esperienza (una volta effettuate le misure prima descritte). Per mezzo di questo sistema potranno anche effettuare delle rilevazioni atte a verificare i risultati ottenuti nella prima parte dell esperimento. Inoltre, potendo analizzare in tempo reale anche una serie di oscillazioni, avranno modo di valutare l andamento nel tempo di varie grandezze, come le energie cinetica, potenziale e meccanica del sistema. Ad esempio, l analisi dell andamento dell energia meccanica in funzione del tempo potrebbe rivelare l incidenza delle dissipazioni di energia dovute alla resistenza del mezzo. 6

7 Schema di stesura della relazione della II a esperienza di Laboratorio di Fisica I TITOLO: Oscillazioni Armoniche del Sistema Massa Molla OGGETTO DELLA PROVA Stima del periodo di oscillazione del sistema molla mediante vari metodi di misura e analisi delle oscillazioni attraverso un sistema di acquisizione dati. Nella prima parte dell esperimento si dovranno effettuare due serie di misure (manuali) riguardanti: 1) l allungamento di una molla in funzione della massa appesa; ) il periodo delle oscillazioni del sistema massa molla. Nella seconda parte si farà uso di un sistema computerizzato per ottenere un ulteriore analisi delle oscillazioni del sistema. CENNI TEORICI In base alle conoscenze acquisite ed alle nozioni impartite nella lezione teorica propedeutica alla presente esperienza di laboratorio, riportare (sinteticamente) gli elementi della teoria degli errori necessari ai fini dell elaborazione dei dati. MATERIALI E STRUMENTI UTILIZZATI Indicare i materiali e gli strumenti di misura utilizzati nell esperienza. MISURE ED ELABORAZIONI DATI Dopo aver scelto la molla, indicare (in poche righe) le modalità con le quali si sono effettuate le misure. 1) Misura diretta del periodo Ogni misura del periodo venga effettuata su almeno 4-5 oscillazioni complete. Effettuare perlomeno 30 misure indipendenti del periodo. Riportare: il valor medio del periodo, T 1, e il relativo errore. ) Misura indiretta del periodo Effettuare le misure di allungamento e si riporti il valor della costante elastica della molla, k, e il corrispondente errore(ottenuto dalla propagazione degli errori); Utilizzandolamassachesièsceltaperleoscillazioni, riportarelastimadelperiodo T e del relativo errore (ottenuto con la propagazione degli errori). Effettuare un confronto fra le due valutazioni del periodo di oscillazione, T 1 e T, tenendo esplicitamente conto dei rispettivi errori (fare anche uso della formula fornita nelle Note allegate). Considerare poi una descrizione dello studio delle oscillazioni con il sistema computerizzato, riportando: i dati ottenuti (per esempio, in forma di grafico); una stima del periodo di oscillazione e del suo errore confrontandolo con i valori ottenuti attraverso le misure manuali. A completamento della relazione riportare un breve commento finale sui risultati ottenuti e su come la misura potrebbe essere migliorata. Inoltre, commentare i vari problemi e/o gli eventuali risultati negativi ottenuti dandone una possibile giustificazione fisica. 7