L incertezza di misura

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1 L ncertezza d mura - 1 L ncertezza d mura 1 - La norma nternazonale Introduzone Poché l epreone dell ncertezza d mura non era unforme a lvello nternazonale, l CIPM (Comtè Internatonal de Pod et Meure) promoe negl ann ottanta un ndagne dettaglata con l compto d ndvduare le lnee guda per l epreone dell ncertezza permentale. Il compto d vluppare una orma artcolata venne uccevamente conferto all ISO (Internatonal Standard Organzaton), l quale ttuì l gruppo d lavoro ISO-TAG 4 (Techncal Advory Group on Metrology) formato da: CIPM Comtè Internatonal de Pod et Meure ISO Internatonal Standard Organzaton IEC Internatonal Electrotechncal Common OIML Organzaton Internatonale de Métrologe Legale IUPAP Internatonal Unon of Pure and Appled Phc IUPAC Internatonal Unon of Pure and Appled Chemtry IFCC Internatonal Federaton of Clncal Chemtry Lo copo del gruppo d lavoro era eenzalmente quello d: Promuovere una completa nformazone ul come vengono dcharate le ncertezze. Fornre una bae per l confronto nternazonale de rultat delle murazon. Frutto d tale lavoro fu la pubblcazone nel 1995 della: ISO Gude to the epreon of uncertanty n meaurement (GUM) Recepta n Itala nel 1997 come orma UI-CEI 9 (revone UI CEI EV 13005): Guda all epreone dell ncertezza d mura Obettv elle applcazon ndutral e commercal, della antà come della curezza, è necearo fornre un ntervallo ntorno al rultato della murazone entro l quale c poa apettare che cada gran parte de valor che ono ragonevolmente acrvbl a quella grandezza. Sarebbe opportuno rucre ad aegnare tale ntervallo con una probabltà d copertura, o lvello d fduca, che corrponda realtcamente a quello rcheto. Per avvcnar a tale obettvo, la Guda tablce, puttoto che truzon tecnologche pecfche, delle regole general per eprmere l ncertezza d mura. In tal modo è voluto ndrzzare l documento a contet anche molto dver fra loro. Fra camp d applcazone della Guda vengono egnalat: mantenere l controllo e la garanza della qualtà nella produzone; garantre la conformtà a legg e regolament o mporne l rpetto; condurre la rcerca d bae, applcata o d vluppo, nella cenza e nell ngegnera; 013 Mure Elettrche ed Elettronche

2 L ncertezza d mura - tarare campon e trument ed effettuare prove nell ambto d un Stema azonale d Taratura, per conegure la rferbltà a campon nazonal; vluppare, mantenere e confrontare campon d rfermento nternazonal e nazonal, compre materal d rfermento. L ncertezza del rultato d una murazone cottuce, n fondo, la mancanza d una conocenza eatta del murando. Coì l rultato d una murazone, quand anche rucmo a correggere effett tematc dentfcat, cottuce empre una tma del valore del murando. L ncertezza permentale è dovuta a numero fattor, fra qual: defnzone ncompleta del murando; mperfetta realzzazone del murando; non rappreentatvtà della camponatura; nadeguata conocenza delle condzon ambental o de loro effett ulla murazone; dtorone peronale dell operatore nella lettura d trument analogc; roluzone fnta degl trument; valor non eatt de campon e de materal d rfermento; valor non eatt delle cotant e de parametr uat per gl algortm d valutazone; appromazon o emplfcazon del metodo o del procedmento permentale; varazon del murando n condzon apparentemente dentche. Tutt quet fattor, noltre, non empre ono ndpendent. La Guda raggruppa le component d ncertezza n due categore, a econda del metodo d valutazone: component valutate con metod tattc (tpo A); component valutate con altr metod (tpo B). Element d tattca e probabltà Oervazon rpetute Supponamo d voler conocere una grandezza fca X, raccoglendo allo copo una ere d mure, rpetute nelle tee condzon permental. Sano valor murat ( 1,, ), dove è l generco valore d una murazone. Quet valor non aranno tutt ugual, per numero motv, come gà detto. Defnamo allora l valor medo per l neme de valor murat: 1 = 1 (.1) È ragonevole rtenere che l valore medo d un neme d mure cottuca la tma mglore del vero valore della grandezza n eame. Per cacuna mura, potremo conderare la devazone dal valor medo: (.) Le devazon poono eere d valore a potvo che negatvo. Appare ntereante rcercare un ndce complevo dell enttà d tal cotament. Tale ndce non può eere l valore medo degl cotament, n quanto queto valore è ovvamente nullo, come evnce faclmente facendo la meda d entramb termn dell epreone (.). Rulta pù doneo un ndce quadratco, come la varanza. 013 Mure Elettrche ed Elettronche

3 L ncertezza d mura - 3 Defnamo varanza permentale dell neme d mure l valore medo del quadrato delle devazon: = 1 = (.3) ( ) Da queta varanza deduce lo carto tpo permentale: 1 1 (.4) = 1 = 1 ( ) Lo carto tpo, o devazone tandard, rappreenta un ndce approprato della dperone delle mure attorno al valore medo. La ua defnzone arà tuttava affnata n eguto, conderando che le mure non rappreentano l neme (popolazone) d tutte le mure ma olo un campone lmtato dell nfntà d mure eegubl. Itogramm delle oervazon I rultat d numeroe mure rpetute ulla tea grandezza poono eere grafcamente rappreentat u opportun dagramm, dett togramm. Quet cotrucono con alcune emplc operazon: ndvduano valor mamo ( ma ) e mnmo ( mn ) tra le mure della grandezza X; dvde l ntervallo ( ma - mn ) n un numero M d ntervalln d uguale ampezza, cacuno de qual può eere dentfcato col uo valore centrale (=1,..,M); conta l numero n delle mure che rcadono n cacun ntervallno; calcola la frequenza d oervazone dvdendo queto numero per l numero totale delle oervazon : M n f ( 1,,... M ) f 1 (.5) = 1 rappreenta u un grafco l valore del numero delle oervazon relatve a cacun ntervallo, oppure la corrpondente frequenza. Per comprendere l modo d operare, conder, come eempo, la mura rpetuta d una tenone V, eeguta con uno trumento numerco che conente d rappreentare ul dplay olo una cfra dopo l punto decmale. Operando u portate d volt, la mnma dfferenza fra due letture dtnte è percò 0,1V. La generca ndcazone v dello trumento d mura può aver per quala valore d tenone compreo entro l ntervallo v ± 0,05 V. In tal modo tutt valor compre n queto ntervallo vengono automatcamente raggruppat dallo trumento n un unco valore v, rappreentatvo dell ntervallo teo. Supponamo, per fare le dee, che valor murat ano tutt compre nell ntervallo 99,5V 100,5V: l numero M de valor dtnt delle mure rulta par a 11. Poché molte murazon porteranno allo teo valore, ndchamo con n l numero d volte che preenta l valore v. Il rultato delle prove può eere raunto n un togramma che, per cacuno degl 11 valor pobl, rporta l numero d oervazon n che cadono nella -ema clae v. In alternatva (ved Fg..1), e è l numero totale d oervazon, può rappreentare drettamente la frequenza con cu rpete l valore della clae v. 013 Mure Elettrche ed Elettronche

4 L ncertezza d mura - 4 Fg..1- Itogramma del numero d oervazon. La omma d tutte le frequenze d occorrenza f deve rultare evdentemente par a uno. Con rfermento alle frequenze f, l valor medo e la varanza poono rcrver nella forma: 1 eendo = 1 M = 1 n M = 1 f (.6) M M 1 n ( ) f (.7) = 1 = 1 = 1 lo cotamento della -ema clae rpetto al valore medo. Concetto d probabltà e parametr tattc Se foe poble effettuare ulla tea grandezza fca X un numero d mure nfntamente grande, le frequenze d occorrenza de dver valor rappreenterebbero le probabltà della ntera popolazone. L neme delle mure può allora eere vto come una varable aleatora dcreta X, dove cacuno de pobl valor è caratterzzato dalla ua probabltà d occorrenza: n Prob( ) P( ) P lm f lm (.8) Se nfttce l pao d oervazone (nell eempo del voltmetro cò equvarrebbe ad aumentare la roluzone dello trumento mpegato per le mure) la dtrbuzone delle oervazon mantene lo teo andamento e l togramma tende ad aumere un apetto contnuo. S defnce dentà d probabltà p() quella funzone contnua che, moltplcata per una varazone nfntema d dell aca, fornce la probabltà che la varable aleatora X cada entro l ntervallo d ampezza d, contguo al valore corrente : Prob[ X ( d)] p( ) d (.9) La probabltà cumulatva P() è nvece la probabltà che la varable aleatora X a mnore del valore corrente : Prob[ X ] P( ) p( z) dz - + p( ) d 1 - (.10) 013 Mure Elettrche ed Elettronche

5 L ncertezza d mura - 5 Le funzon ntrodotte con le relazon precedent rappreentano le dtrbuzon d probabltà della varable cauale X. Il dagramma motrato n Fg.. rporta n ace pobl valor contnu della varable aleatora X e n ordnate la dentà d probabltà p() con cu oervano tal valor e la probabltà cumulatva P(). La Fg.. rferce, a ttolo d eempo, al cao d una curva normale, o Gauana, n quanto molt fenomen fc, ntereat olo da error caual, e oervat un numero d volte molto grande obbedcono a una legge d occorrenza degl event d queto tpo. Fg.. - Dentà d probabltà p() e probabltà cumulatva P(). La probabltà che la varable aleatora X auma un valore quala, compreo entro tutto l campo d defnzone, è par a uno. ota la dentà d probabltà p() d una varable aleatora contnua X defncono l valore medo e la varanza, rpettvamente come: + p( ) d - + ( ) p( ) d - (.11) S not la otanzale analoga delle dvere relazon, nel cao delle varabl aleatore dcrete (relazon.6 e.7) e contnue (relazon.11). La radce quadrata della varanza è ancora defnta come carto tpo o devazone tandard. Talvolta la dentà d probabltà p() è rferta, anzché a valor delle mure, alle loro devazon, tramte una emplce tralazone par al valor medo (ved Fg..3). In tal modo, nota la dentà d probabltà delle devazon p(), può eere valutata la probabltà che la varable aleatora a comprea entro un aegnato ntervallo d valor. Fg..3 - Dentà d probabltà delle devazon. 013 Mure Elettrche ed Elettronche

6 L ncertezza d mura - 6 Valor carattertc Gl ntervall uual ono rfert allo carto tpo o a uo multpl. Per la curva normale ottene: Prob[- ] 68,7 % Prob[- ] 95,45 % Prob[-3 3] 99,73 % (.1) Cò gnfca che aumendo, per eempo, un ntervallo d rfermento par a 3, la probabltà che tutt gl cart pobl cadano entro l ntervallo ± 3 è del 99,73%. 3 - Valutazone delle ncertezze Stme d parametr da campon Parlando d varabl aleatore è detto che la valutazone delle probabltà preuppone un ndagne u un numero teorcamente nfnto d element, cottuent l ntera popolazone. All atto pratco arà poble raccoglere olo un numero lmtato d dat, cottuent un campone dell ntera popolazone. Con rfermento a un campone d element, dmotra che l valor medo permentale, defnto nell epreone (.1), cottuce la tma mglore del valore atteo della popolazone e pertanto vene aunto come rultato della mura. Per quanto rguarda nvece lo carto tpo, una tma pù corretta ottene dvdendo per (-1), anzché per nell epreone dello carto tpo permentale: 1 (3.1) 1 = 1 ( ) In pratca, tuttava, queta precazone aume caro rlevo quando a abbatanza grande. In ogn cao, la devazone tandard permentale ( ) rappreenta l grado d attendbltà della generca mura fra le del campone, o, n altr termn, quantfca la dperone degl valor murat attorno al loro valore medo. Ma, dal momento che l valore aegnato alla grandezza è l valore medo permentale, è mportante valutare quale a l grado d attendbltà d queto rultato. A tale copo, e conderamo dvere ere d mure, cacuna formata da oervazon, potremmo calcolare evdentemente, per cacuna ere, l valore medo e la varanza. Vta la dmenone fnta d cacun campone, l valore medo e la varanza permental aranno n generale dver per ogn campone d mure e cotturanno percò delle varabl aleatore a loro volta. S dmotra che la varanza e lo carto tpo del valor medo, fra var grupp d mure, ono eprmbl nel eguente modo: (3.) Lo carto tpo cottuce una tma della devazone tandard d tutta la popolazone. 013 Mure Elettrche ed Elettronche

7 L ncertezza d mura - 7 Valutazone dell ncertezza d tpo A La varanza permentale della meda e lo carto tpo permentale della meda, quantfcano quanto bene tm l valore medo della popolazone (valore atteo) e pertanto verranno adottat come valutazon quanttatve della ncertezza d. Dremo qund che una grandezza fca X determnata con oervazon rpetute avrà una ncertezza (uncertanty) ulla ua tma par a: u n termn d varanza ; u n termn d carto tpo Valutazone dell ncertezza d tpo B Quando una grandezza X non vene determnata da oervazon rpetute, benì con una mura ngola, la varanza tmata o l ncertezza u() ono valutate per mezzo d un gudzo centfco baato u tutte le altre nformazon dponbl: dat d murazon precedent; eperenza o conocenza del comportamento e delle propretà de materal e degl trument; pecfche tecnche del cotruttore; dat fornt n certfcat d taratura; ncertezze aegnate a valor d rfermento pre da manual. L uo d tal nformazon per una valutazone d ncertezza d tpo B rchede conocenza, eperenza e perza che poono acqur olo con la pratca e qund col tempo. L anal tattca ulle mure è un ndagne che vene fatta uualmente durante le procedure d taratura d uno trumento, quando ne vengono determnate le carattertche metrologche. Il certfcato d taratura accompagna l ngolo trumento nel uo mpego e ch lo utlzza a che le ndcazon fornte poono avere un ncertezza comprea entro l ntervallo dcharato ul certfcato d taratura, con un aegnato lvello d confdenza. Pù peo, cotruttor d trumentazone aegnano le pecfche d accuratezza con valor numerc vald per tutt gl eemplar d un dato modello e per e dcharano emplcemente un ntervallo d ampezza (-a, +a), centrato ul valore letto, entro l quale rtene che cada l valore del murando. In tal cao, per poter calcolare l valore dell ncertezza n termn d varanza o d devazone tandard, n modo da avere a dpozone un nformazone confrontable con quella ottenuta con la valutazone d tpo A, è necearo potzzare la dtrbuzone d probabltà da conderare all nterno dell ntervallo. ella maggor parte de ca è pra comune aumere all nterno d queto ntervallo una dtrbuzone d probabltà unforme. Pertanto, detto z l generco cotamento n tale ntervallo, ha p(z)=1/a e la varanza della mura è: u a u 1 a 1 3 z p( z )dz z dz a a a a L ncertezza aocata alla quanttà rulta qund: (3.3) a u (3.4) 3 L pote d dtrbuzone unforme è puttoto pemtca, ma è anche quella uggerta dalla GUM n mancanza d ulteror nformazon. Se nvece foe poble potzzare che non tutt valor dell ntervallo (-a, +a) ono 013 Mure Elettrche ed Elettronche

8 L ncertezza d mura - 8 ugualmente probabl, ma al contraro quell pù central hanno maggor probabltà d verfcar, potrebbe aumere una dtrbuzone d tpo gauano. In queto cao dovrebbe conderare l valore a come quello per l quale l ntervallo (-a, +a) contene la qua totaltà de valor pobl e qund, ulla bae delle relazon (.1), a arebbe par a tre volte la devazone tandard della dtrbuzone potzzata. Coneguentemente, l ncertezza aocata alla quanttà rulterebbe: u a 3 (3.5) Un cao ntermedo tra due eamnat è quello d aumere una dtrbuzone d probabltà trangolare, con valore mamo par a 1/a n corrpondenza del valore centrale dell ntervallo. Cò porterebbe ad un ncertezza, eprea ancora n termn d devazone tandard, par a: a u (3.6) 6 Combnazone delle ncertezze La defnzone dello carto tpo o della varanza rvela partcolarmente utle nell anal della combnazone delle ncertezze d pù fenomen aleator, coè nella valutazone della ncertezza d quanttà determnate n modo ndretto: y f 1,,.., m. In tal cao cacuna delle grandezze ndpendent (=1,..,m) vene conderata una varable aleatora, pertanto caratterzzata con la ua dentà d probabltà (calcolata oppure potzzata a pror) ed uo parametr tattc. Le varanze delle varabl aleatore rappreentano, come detto, le loro ncertezze u, che poono eere valutate ndfferentemente con metod d tpo A o B. S dmotra che, e le varabl aleatore ono tutte fra loro tattcamente ndpendent, l ncertezza tmata ulla determnazone ndretta della quanttà y, rulta: u c m y u 1 f Il valore u c (y) vene detto ncertezza tpo compota aocata alla grandezza y. La legge d propagazone (3.7) è d grande utltà nella valutazone d ncertezze u grandezze murate per va ndretta. Tuttava la ua applcazone pratca rulta n molt ca dffcoltoa a caua della dffcle valutazone delle dervate parzal della funzone f ( coddett f coeffcent d enbltà ). Queto verfca quando la funzone non è defnta n forma chua o quando è cottuta da un algortmo d elaborazone del egnale compleo. In quet ca occorre utlzzare metod alternatv, come quell permental o mulazon. Inoltre, n preenza d correlazone fra le varabl d ngreo, la relazone (3.7) deve eere modfcata con la preenza d opportun termn agguntv: m m1 f f f y u u, j 1 m 1 j1 (3.7) u c (3.8) j In (3.8) l termne u(, j ) rappreenta la covaranza tra le varabl aleatore e j, ed è 013 Mure Elettrche ed Elettronche

9 L ncertezza d mura - 9 un ndcazone della loro mutua dpendenza. Se le due grandezze ono tate ottenute ulla bae d mure, la covaranza tra le loro mede può eere tmata come: 1 u, j j j (3.9) 1 = 1 Speo, le dpendenza tra due varabl aleatore è eprea n termn d coeffcente d correlazone: u, j r, j (3.10) u u j Queto coeffcente è empre compreo tra 1 e 1 ed è nullo e le due grandezze non ono tra loro correlate, mentre è untaro e ono totalmente correlate, coè e ad ogn varazone d una d ee corrponde una determnata varazone dell altra. E mportante oervare che, mentre nella ommatora della relazone (3.7) tutt termn ono quadratc e qund potv, nella econda ommatora della (3.8) poono etere termn a potv che negatv. Qund la preenza d eventual correlazon tra le varabl d ngreo può comportare a ncrement che rduzon dell ncertezza compota. La correlazone tra due grandezze può eere nta nel modello matematco utlzzato oppure può eere cauata dalle condzon ambental. Speo la ua determnazone quanttatva rulta dffcle, oprattutto per mure non rpetute, per le qual non può applcare la (3.9). Talvolta quete dffcoltà nducono a tracurare quet contrbut, ntroducendo però nella valutazone dell ncertezza appromazon non empre accettabl. Incertezza etea L ncertezza compota u c (y) vene unveralmente accettata per eprmere l ncertezza d una murazone. In cert ca, tuttava, rchede che la valutazone quanttatva dell ncertezza venga data come un ntervallo U ntorno al rultato della murazone che comprenda "ragonevol" valor del murando. Tale ntervallo è denomnato ncertezza etea e ottene moltplcando l ncertezza compota u c (y) per un fattore d copertura : U u (y) (3.11) c Percò dremo che l murando Y arà tmato nel modo mglore dal rultato della murazone y, che gl vene attrbuto nella forma: Y y U. Il fattore d copertura vene celto n bae al lvello d fduca p che vene rcheto all ntervallo [( y U) ( y U)]. Fg Incertezza compota u c (y) ed etea U (=). 013 Mure Elettrche ed Elettronche

10 L ncertezza d mura - 10 Il lvello d fduca p rappreenta la probabltà d copertura d queto ntervallo, coè la probabltà che l rultato dcharato cada entro l ntervallo [( y U) ( y U)]. Il legame fra e p può eere tablto e ono note le dtrbuzon d probabltà che caratterzzano rultat della murazone. In pratca qund non è facle determnare un legame rgoroo. Un metodo emplce, adeguato a molte tuazon permental, potzza la dtrbuzone delle probabltà d tpo normale o gauano e condera un numero d grad d lbertà uffcentemente elevato. Il numero d grad d lbertà è cottuto dal numero d termn d una omma (per eempo mede o varanze) meno l numero d vncol u tal termn. Con quete pote, frequent nella pratca, può rtenere che: = corrponda a un lvello d fduca d crca l 95% = 3 corrponda a un lvello d fduca d crca l 99% Dcharazone dell ncertezza S conder nfne l modo formale d dcharare l ncertezza. Supponamo d avere, per eempo, una maa per la quale abba un valore d 100,01 47 g e potzzamo una devazone tandard d 0,35 mg. Potremo crvere l rultato della ua murazone n uno de mod eguent: Utlzzando l ncertezza compota u c (y), crveremo: m = 100,01 47 (0,000 35) g. Utlzzando l ncertezza etea U con fattore d copertura =, crveremo: m = (100, ,000 70) g. 4 L ncertezza nelle valutazon d conformtà Le murazon vengono peo effettuate per verfcare che l rultato rcada entro un ntervallo d valor conderato accettable. È queto l cao della metrologa ndutrale, quando a necearo verfcare la conformtà a pecfche d prodott a nella fae d produzone che n quella d accettazone, e della metrologa legale, quando debba verfcare l rpetto d lmt mpot dalla normatva (p. e. l lvello d nqunamento elettromagnetco). Se foe poble effettuare mure prve d ncertezze le regole deconal per l accettazone o l rfuto d un prodotto o per la verfca del rpetto d lmt arebbero molto emplc: e la mura rcade entro l ntervallo conderato accettable l eto è potvo, mentre e cade al d fuor d tale ntervallo l eto è negatvo. L nevtable preenza d ncertezza aocata al rultato della mura ntroduce però una tuazone d ndetermnazone n alcun ca crtc. Se nfatt l rultato della murazone y trova vcno a uno de lmt mpot, è poble che l ntervallo ndvduato dall ncertezza etea (y±u) a contenuto n parte n zona d accettazone e n parte n zona d reezone. Dal momento che, per la defnzone tea d ncertezza, tutt valor contenut n queto ntervallo rappreentano pobl valor ver della mura, non è poble tablre con certezza la conformtà o meno del rultato. S defncono pertanto tre face d valor, llutrate n Fg. 4.1 con rfermento alla verfca d conformtà dmenonale d un prodotto, che deve eere compreo nella zona d pecfca, ndvduata tra l lmte nferore LI e l lmte uperore LS: zona d conformtà: è la zona d pecfca rdotta dell ncertezza etea (e la mura rcade n queta zona, l eto del confronto è da conderar potvo); zona d non conformtà: è la zona al d fuor delle pecfche, comprenva dell ncertezza 013 Mure Elettrche ed Elettronche

11 L ncertezza d mura - 11 etea d mura (e la mura rcade n queta zona, l eto del confronto è da conderar negatvo); zona d ncertezza: è la zona attorno a lmt delle pecfche, con ampezza par al doppo dell ncertezza etea (e la mura rcade n queta zona, non è poble tablre con certezza la conformtà o la non conformtà). Soltanto opportune ndcazon normatve (come quelle prevte nella ISO 1453, che rguarda le pecfche dmenonal de prodott) o accord preventv tra le part poono defnre le azone da ntraprendere quando l rultato d una mura cada all nterno della zona d ncertezza. LI Zona d pecfca LS U U U U Zona d non conformtà Zona d conformtà Zona d non conformtà Zona d ncertezza Zona d ncertezza Fg.4.1 Defnzone delle zone d conformtà, non conformtà e ncertezza. 013 Mure Elettrche ed Elettronche