18 Luglio 2002 recupero seconda prova

Transcript

1 8 Luo recupero econda prova Eerczo ATTENZIONE: errore d tampa ne teto: a f.d.t. G ( ) deve avere un oo zero, qund non è G () = 7 3, ma G () 7 3 = (*) o G () = (**) (entrambe quete correzon ono coerent con daramma d Bode de moduo rportato nea fura)..a Da daramma d Bode de moduo d L( ) = G( ), ee che ωc rad /. Ne cao cea (*), ha po ϕc = arctan arctan arctan = = ϕ = 8 ϕ = 8 8. = 6.9 m c Eendo qund ϕ m > e vto che uadano dea funzone d aneo L() è potvo, per crtero d Bode tema è antotcamente tabe. Per competezza, rportamo daramma d Bode dea fae d L() : Daramma d Bode - Fae rad puazone Ne cao (**), comunque, tema è ancora antotcamente tabe, perché ottene ϕ c = 8.3 (che, n moduo, è <8 ).

2 Daramma d Bode - Fae rad b puazone - Ne cao y ( t) = ca( t), è ute rcordare che a f.d.t. da y ad y è Y() G() F () = =, percò Y () + G() G( jω) per G( jω) F( jω) per G( jω) e qund a reazone tra y ed y può appromare con un tema a noo poo, d puazone par aa puazone crtca d G ( ), coè rad/; a corrpondente cotante d tempo arà, ed tema andrà a reme n un tempo par a 4-5 vote a cotante d tempo, oa n Ne cao y () t = n(7) t e dt () =, tenendo conto dee oervazon de punto precedente, ha che F( jω) G( jω) db.3 rad ω = 7 > ωc G( jω) = arctan arctan arctan = = 6.6 = 3.95rad 3 3 e qund, per teorema dea rpota n frequenza, yt ( ) =.3n(7t 3.95). - Ne cao y () t = e dt ( ) = n(. t), convene oervare che Y() Fd () = D () = + G (), percò per G() F () G () d ; per G( ) rad eendo po ω =. < ωc, deduce che nua), percò yt () = n(.) t. Y( jω) Fd ( jω) = (qund è d moduo untaro e fae D( jω)

3 Eerczo.a Conderamo prmo requto tatco: et () = y () t yt () nuo per t, a fronte d y () t = ca() t : E () = =, da cu, per teorema de vaore fnae, Y () + G() R() k m et ( ) = m =. t + 5k Secondo requto tatco: y < a fronte d dt () = rampt (): poché Y() =, D () + GR () () y = m < è ancora adeuato; + 5k n partcoare, ceendo, per empctà, vaore mnmo =, ottene k k 5k < > < ; tuttava, ntervao d vaor k < è da ecudere, e vuoe po tudare a tabtà con crtero d Bode (oervazone: vto che n queto cao equazone carattertca de tema n aneo chuo ruta k =, per k < un poo è empre >, qund tema ruta ntabe). k Raumendo, avremo R () =, k>. 5 Sceendo, ad eempo, k=5, ottenamo L () = RG () () =. 4 +.b Daramm d Bode d 5 L () = RG () () = : Daramma d Bode - Moduo -9 Daramma d Bode - Fae db - rad

4 Motvazone: per quanto ruarda daramma de moduo, ha o retta con pendenza nzae - (coè -db/decade) per va de nteratore (=), ordnata per puazone untara par a o 5 = 7.96dB; o a partre da ω=/4=.5rad/econdo, per va de poo a pendenza dmnuce d, dventando - (coè d -4dB/decade); per quanto ruarda daramma dea fae, ha o fae nzae par a -9, perché uadano è 5> e perché ha un nteratore; o a partre da ω=/4=.5rad/econdo, per va de poo (reae) neatvo a fae dmnuce d 9, dventando qund -8 ; o n queto cao, epreone anatca dea fae per on ω è -9 -arct(.4ω)..c ωc 8.5 rad / 4 ϕ c = 9 arctan 8.5 = = 63.6 ϕm = 8 ϕc = > vto che k>, per crtero d Bode tema n aneo chuo è antotcamente tabe. Eerczo 3 3. La funzone d trafermento da wt () a vt (), ove vt () è ndcato nea fura ottotante, v() t V() + 3 ; pertanto, ha che e f.d.t. da r a w e da d a w ono, rpettvamente, W() + 4 ( + ) + 3 W() ( + ) = = R () ( + ) ( + ) è = = W() ( + ) = = D ( + ) () + ( ) 3 4

5 3. ATTENZIONE: yt () è n reatà wt (). Per rt () = 5 cat ()(e dt () = ), ha 5 W( ) 5 ( + ) = m = m = ( r) w R () ( ) 3 ( d ) W( ) ( + ) w = m = m = Per dt () = cat ()(e rt () = ), ha. D ( ) ( + ) Compevamente (ovrappozone de effett), per rt () = 5 cat () e dt () = cat (), ha TOT ( r) ( d ) w = w + w = =. 3 3 Eerczo 4 4.a F.d.t. G () = : uno zero n, un poo n 3, due po concdent n -5, cotante d ( 3)( + 5) trafermento. Mappa zer-po:.8 Poe-Zero Map.6.4 Ima Ax. -. α 8 β Rea Ax Oervazon: + G( j ) =, G( j ) = 9 8 = 9 (nea fura ucceva daramma poare è nfatt queo bu, che è obo nferore percoro n eno oraro); G( j ) =, G( j ) = = 8 ; a crecere d ω >, G( jω ) prma crece, per va deo zero ne orne, po decrece per va de po non ne orne; ω ω G( jω) = 9 α (8 β) = 9 α + β = 9 arctan + arctan, 5 3 che è empre d G( jω) 7 5 decrecente (nfatt, 5 3 ω = + = < ω ); dω ω ω (5 + ω )(9 + ω )

6 daramma d Nyqut è verde+bu:.5 Nyqut Daram..5. Imanary Ax Rea Ax Per competezza e confronto, rportamo anche daramm d Bode, a antotc che eatt: - Daramma d Bode - Moduo Daramma d Bode - Fae db -5-6 rad b S ha dunque un tema n aneo chuo, con retrozone neatva untara e con funzone d aneo che è a tea G ( ), per a quae numero d po a parte reae potva è P = ; da daramma d Nyqut deduce che numero d r attorno a punto - è N = ; vto che P N, per crtero d Nyqut tema n aneo chuo, con f.d.t. F( ), è ntabe. (Infatt, ma queta verfca non è rcheta ne ambto dea econda prova, equazone carattertca n 3 aneo chuo è ( 3)( + 5) + =, oa =, che non ha tutt coeffcent deo teo eno: queto nfca che non è verfcata una condzone neceara per antotca tabtà, percò tema è, appunto, ntabe). Eerczo 5 S facca rfermento aa teora. 6