ElettroMagnetismo IL MAGNETISMO

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1 FISICA ElettroMagnetismo IL MAGNETISMO Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

2 1. CAMPI MAGNETICI GENERATI DA MAGNETI E CORRENTI Introduzione La proprietà della magnetite di attirare la limatura di ferro era già nota a Talete di Mileto nel 600 a.c. Pezzi di questo minerale di ferro trovati a Magnesia, nell'asia Minore, furono chiamati magneti. Chiamiamo magnete, o calamita, o anche ago magnetico ogni corpo che possiede la proprietà della magnetite. Il magnetismo è una caratteristica di certi corpi, detti magneti, grazie alla quale essi esercitano una forza distanza su sostanze come il ferro, attirandole. Si possono costruire anche calamite artificiali. Per esempio, una sbarretta di acciaio può essere magnetizzata avvicinandola a un pezzo di magnetite, oppure strofinandola con la magnetite sempre nello stesso verso. È ben noto che un ago magnetico, libero di ruotare intorno a un asse verticale, si dispone in modo che una delle due estremità (sempre la stessa) si orienti verso il Nord terrestre e l'altra verso il Sud; le due estremità del magnete sono chiamate rispettivamente polo Nord o polo N e polo Sud o polo S. Le calamite interagiscono fra loro con forze attrattive e repulsive che sono particolarmente intense vicino ai poli: poli di nome diverso si attraggono come le cariche elettriche di segno opposto, mentre poli dello stesso nome si respingono, così come le cariche dello stesso segno. C'è però una notevole differenza fra i poli magnetici e le cariche elettriche: mentre le cariche di un segno si possono separare da quelle di segno opposto, non si può fare altrettanto con i poli magnetici. Infatti, se tagliamo in due una calamita (esperienza della calamita spezzata), si ottengono due magneti, in quanto nella regione del taglio si generano altri due poli di nome diverso. Continuando la suddivisione si ottengono sempre, da ogni singolo magnete, due nuovi magneti. Sebbene si possa teoricamente prevedere l'esistenza di poli separati, la ricerca sperimentale dei cosiddetti monopoli magnetici non ha ancora dato risultati positivi.

3 Campi magnetici dei magneti In analogia con la forza gravitazionale e la forza elettrica, l'interazione fra due magneti si interpreta come l'azione che il campo magnetico generato da un magnete esercita sull'altro magnete. Per definire il campo elettrico e determinare le sue proprietà ci siamo serviti della forza agente su una carica di prova puntiforme; per esplorare il campo generato da un magnete dobbiamo invece utilizzare un piccolo ago magnetico. Pertanto, in generale, diciamo che in una certa regione dello spazio è presente un campo magnetico se un ago magnetico posto in quella regione è soggetto ad azioni meccaniche. La direzione lungo la quale si orienta l'ago si assume coincidente con la direzione del campo magnetico nel punto considerato. Il verso del campo, inoltre, è definito come quello che va dal Sud al Nord dello stesso ago. Il campo magnetico, indicato con B e chiamato anche induzione magnetica, è un campo vettoriale, cioè è caratterizzato da una direzione, un verso ed un modulo. Il campo magnetico è l insieme dei vettori che servono per descrivere l influenza che una calamita (sorgente) esercita nella zona a essa circostante su un qualsiasi ago magnetico (esploratore). Come qualsiasi campo vettoriale, anche il campo magnetico può essere visualizzato mediante linee di forza, cioè linee tangenti in ogni punto al campo e orientate secondo il verso del campo. All'esterno le linee di forza escono dal polo Nord ed entrano nel polo Sud, assumendo un andamento analogo a quello delle linee di forza di un dipolo elettrico. È ragionevole pensare che tali linee proseguano all'interno del magnete, che siano cioè delle linee chiuse. Possiamo notare che le linee si addensano in prossimità dei poli del magnete e si diradano allontanandosene. Così come abbiamo visto per il campo elettrico, a linee di forza più ravvicinate corrisponde un campo di maggiore intensità e a linee di forza diradate un campo più debole. Osservando l'andamento delle linee di forza possiamo dedurre perciò che l'intensità del campo magnetico, massima vicino ai poli di un magnete, diminuisce man mano che ci si allontana da essi. Per determinare sperimentalmente l'andamento delle linee di forza del campo generato da un magnete, chiamato spettro magnetico, si può spargere della limatura di ferro su un foglio di cartone collocato sul magnete. Le particelle di ferro si magnetizzano, diventando tanti piccoli aghi magnetici che si orientano nella direzione del campo magnetico, analogamente ai granelli di semolino (o di altro dielettrico) che si polarizzano e si dispongono lungo le linee di forza del campo elettrico.

4 Il campo magnetico terrestre Il fatto che il polo Nord di un ago magnetico sia rivolto verso il Nord terrestre dimostra che la Terra stessa è assimilabile a un magnete, i cui poli Nord e Sud sono in prossimità rispettivamente del Sud e del Nord geografici. Fu William Gilbert ( ) a scoprire che la Terra si comporta come un grosso magnete. Come ogni magnete, la Terra genera nello spazio circostante un campo magnetico, detto campo magnetico terrestre. Si può osservare che i poli magnetici sono spostati rispetto ai poli geografici. La deviazione angolare δ fra il polo magnetico indicato da una bussola (il Sud del magnete terrestre) e il Nord geografico prende il nome di declinazione magnetica, mentre l'angolo i che il campo magnetico terrestre forma con l'orizzontale in ciascun punto si chiama inclinazione magnetica. Gli angoli di declinazione e d'inclinazione magnetica variano sia con il tempo sia con la posizione sulla superficie della Terra. Nel corso dei millenni i poli magnetici hanno addirittura subìto dei ribaltamenti, l'ultimo dei quali è avvenuto anni fa. Fra le varie ipotesi, si pensa che il campo magnetico della Terra sia dovuto al moto rispetto alla crosta terrestre di materiali fusi dotati di elevata densità di carica elettrica. Come vedremo qui di seguito, infatti, al pari dei magneti, le correnti elettriche danno origine a campi magnetici. Campi magnetici delle correnti (Esperienza di Oersted) Suscitò molto stupore la scoperta del fisico danese Hans Christian Oersted ( ) quando, il 21 luglio 1820, annunciò che una corrente elettrica fa deviare un ago magnetico fino a disporlo perpendicolarmente alla linea corrente-ago.

5 In effetti un filo rettilineo sufficientemente lungo percorso da corrente fa orientare un ago magnetico, libero di ruotare intorno a un asse parallelo al filo stesso, secondo la tangente alla circonferenza avente il centro sull'asse del filo. Ciò vuol dire che la corrente che scorre nel filo è una sorgente di campo magnetico e che, nel caso specifico di un filo rettilineo, le linee di forza del campo sono circonferenze concentriche intorno al filo. Il loro verso è messo in relazione con quello della corrente dalla regola della mano destra: coincide cioè con il verso in cui si piega la mano destra quando il pollice punta nel verso della corrente. La figura b mostra lo spettro del campo magnetico di un filo rettilineo percorso da corrente ottenuto con il metodo della lima tura di ferro. La figura illustra l'andamento delle linee di forza del campo magnetico generato da una spira circolare percorsa da corrente. Si osserva che il campo magnetico nel centro è diretto perpendicolarmente al piano della spira e il verso del campo è quello secondo cui punta il pollice della mano destra, tenuto in posizione perpendicolare alle altre dita quando queste sono avvolte nel verso della corrente (regola della mano destra). Man mano che ci si avvicina alla spira, le linee di forza tendono ad assumere una forma circolare, poiché il contributo al campo magnetico dovuto all'elemento di filo più vicino (il quale, se sufficientemente piccolo, si può considerare rettilineo) prevale sui contributi degli elementi lontani. In prossimità della spira perciò il campo magnetico è analogo a quello prodotto da un filo rettilineo. Inoltre si nota che le linee di forza all'interno della spira sono più fitte, mentre all'esterno sono sempre più distanziate, cioè il campo magnetico della spira è più intenso all'interno e meno all'esterno. In effetti, mentre all'interno i campi magnetici prodotti da elementi opposti della spira hanno lo stesso verso e quindi si sommano, all'esterno i campi degli stessi elementi hanno verso opposto e quindi si sottraggono. Le linee di forza del campo magnetico generato dalla corrente che scorre in un solenoide, o bobina, cioè in una serie di spire molto vicine fra loro realizzate con un unico filo, e quindi il verso del campo magnetico, sono analoghi a quelli di una spira circolare. All'interno della bobina, lontano dalle estremità, le linee di forza sono con buona approssimazione rette parallele equidistanti, e quindi il campo magnetico è uniforme. All'esterno invece, se la lunghezza del solenoide è molto grande rispetto al diametro delle sue spire, cioè se idealmente il solenoide ha lunghezza infinita, il campo magnetico è nullo.

6 2. INTERAZIONI MAGNETE-CORRENTE E CORRENTE-CORRENTE Poiché un circuito percorso da corrente esercita un'azione meccanica su un ago magnetico, per il terzo principio della dinamica un magnete deve esercitare una forza su un circuito percorso da corrente. Se osserviamo le linee di forza del campo magnetico prodotto dalla corrente che scorre lungo una spira circolare, notiamo che, a una certa distanza dalla spira, il loro andamento è uguale a quello delle linee di forza del campo prodotto da una barra magnetica. Possiamo quindi dedurre che la spira, riguardo al campo magnetico generato, si comporta come un magnete con i poli orientati perpendicolarmente alla sua superficie. Precisamente, un osservatore che guarda la spira da sopra vede la faccia corrispondente al polo Nord o quella corrispondente al polo Sud, a seconda che per lui la corrente circoli rispettivamente in verso antiorario o in verso orario. Lo stesso si può dire per una spira di forma qualsiasi, purché si consideri il campo magnetico in un punto sufficientemente distante dalla spira. Esperienza di Faraday - Con questo dispositivo è possibile misurare la forza che un campo magnetico esercita su un filo rettilineo percorso da corrente. Il filo, facente parte di un circuito alimentato da un generatore, è disposto fra le espansioni polari di una calamita a ferro di cavallo, perpendicolarmente alle linee di forza del campo magnetico. Si verifica che su di esso agisce una forza, misurata con un dinamometro, perpendicolare sia al conduttore sia al campo magnetico; tale forza si inverte se la corrente cambia verso.

7 Esperienza di Ampère - L'azione dei magneti sulle correnti era stata osservata anche da Oersted. Fu proprio dalle scoperte di Oersted sull'azione reciproca fra correnti e magneti che presero le mosse i lavori di André-Marie Ampère sulla relazione fra elettricità e magnetismo, culminati, il 18 settembre 1820, con la presentazione di una celebre memoria all'accademia delle Scienze di Francia, in cui annunciò la scoperta delle interazioni fra due conduttori percorsi da corrente. Se una corrente genera un campo magnetico e un campo magnetico produce una forza su una corrente, allora due correnti devono necessariamente interagire con una forza. Con i suoi esperimenti Ampère dimostrò che: L'intensità F della forza d'interazione è direttamente proporzionale a ciascuna delle due intensità di corrente e alla lunghezza dei conduttori, mentre è inversamente proporzionale alla loro distanza: F µ 0 ii = 12 L 2π d µ 0 = 4π 10-7 H/m permeabilità magnetica del vuoto La forza è attrattiva o repulsiva a seconda che i versi delle correnti sono concordi o discordi. Questa relazione è utilizzata per definire l'unità di misura dell'intensità di corrente, chiamata ampere (A), che nel SI è assunta come unità di misura fondamentale, e dall'ampere si deriva l'unità di misura della carica elettrica, il coulomb (C): Unità di misura di corrente L'ampere è definita come l'intensità di corrente costante che, mantenuta in due conduttori rettilinei paralleli di lunghezza molto grande e sezione trascurabile, alla distanza di un metro l'uno dall'altro nel vuoto, produce fra i conduttori una forza uguale a N per ogni metro di lunghezza. Unità di misura della carica elettrica Il coulomb è la carica elettrica che passa in un secondo attraverso la sezione di un conduttore percorso dalla corrente di un ampere.

8 3. IL CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA Abbiamo definito operativamente, con l'uso di un ago magnetico, la direzione e il verso del vettore induzione magnetica B. Ora vogliamo introdurre il suo modulo. Abbiamo già osservato che un conduttore rettilineo percorso da corrente e immerso in un campo magnetico è soggetto a una forza perpendicolare sia al conduttore sia al campo. In generale il verso della forza si può individuare applicando la regola della mano destra. Per un filo rettilineo percorso da una corrente diretta verso l'alto e il campo magnetico orientato verso destra, la forza che agisce sul filo è entrante nel foglio, e sperimentalmente si trova che il modulo della forza F è direttamente proporzionale alla lunghezza L del filo e all'intensità i della corrente e dipende, inoltre, dall'angolo α formato dalla direzione della corrente e dal campo magnetico: F = BiLsenα Questa relazione definisce il modulo dell'induzione magnetica B nel caso in cui il campo B sia uniforme sull'intera lunghezza del filo. In generale, però, B varia in modulo e in direzione da un punto all'altro del filo; niente vieta, inoltre, di prendere in considerazione un filo conduttore non rettilineo. In entrambi i casi, l'angolo α fra la direzione della corrente e il campo magnetico può non essere lo stesso per tutti i tratti del filo. Possiamo allora suddividere il filo in tratti rettilinei di lunghezza infinitesima L. Su ciascun tratto agisce una forza F la cui direzione e verso sono ancora individuati, nel modo descritto, dalla regola della mano destra e la cui intensità è: F = Bi Lsenα La forza risultante sull'intero filo è la somma vettoriale delle forze agenti sui singoli tratti.

9 Riassumendo, siamo giunti alla seguente definizione: DIREZIONE, VERSO E MODULO DELL'INDUZIONE MAGNETICA Il campo di induzione magnetica (o campo magnetico) B ha, in ogni punto P dello spazio, la direzione e il verso indicati, all'equilibrio, dall'asse Sud-Nord di un ago magnetico posto in P e libero di ruotare intorno al proprio centro di massa. Il modulo del campo si ottiene dal modulo F della forza agente su un tratto di filo conduttore di lunghezza infinitesima L, ortogonale al campo nel punto P e percorso da una corrente di intensità i, mediante la relazione: B F = i L L'unità di misura dell induzione magnetica è il tesla (T) in onore all'ingegnere americano Nicola Tesla ( ), studioso di fenomeni elettrici e magnetici. Diciamo che un campo di induzione magnetica uniforme ha il modulo di l T se un conduttore rettilineo di lunghezza l m, percorso dalla corrente di l A, è soggetto alla forza di l N quando è disposto perpendicolarmente alla direzione del campo. Il tesla è una unità di misura piuttosto grande, per cui spesso viene usata un'altra unità, il gauss (simbolo G), così definita: 1G = 10-4 T Il vettore B può essere definito in maniera sintetica mediante un prodotto vettoriale: F = i L B

10 4. INDUZIONE MAGNETICA DI ALCUNI CIRCUITI PERCORSI DA CORRENTE Filo rettilineo I fisici francesi Jean Baptiste Biot e Felix Savart il 30 ottobre e il 18 dicembre del 1820 comunicarono i risultati delle loro ricerche, iniziate subito dopo la scoperta di Oersted, sul campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente. Vogliamo ora dedurre questa stessa legge dall'espressione della forza d'interazione fra due fili rettilinei paralleli percorsi da corrente. I due conduttori sono visti in sezione e le correnti di intensità i 1 e i 2 che li attraversano, entrambe con verso uscente dalla pagina, sono contrassegnate con un puntino. Le circonferenze concentriche sono le linee di forza del campo magnetico generato dalla corrente di intensità i 1 ; di tale campo è rappresentato anche il vettore B 1 nel punto in cui si trova il filo percorso dalla corrente di intensità i 2, la cui direzione è perpendicolare a B 1. Dalle misure eseguite ricavarono che il modulo dell'induzione magnetica è inversamente proporzionale alla distanza dal filo. Applicando la regola della mano destra si trova facilmente che la forza F 12 che il primo filo, mediante il suo campo magnetico, esercita sul secondo è diretta come in figura, cioè è una forza attrattiva di modulo: F12 = B12 i L D'altra parte, F 12 è anche uguale a: F12 µ 0 ii = 12 L 2π d In modo analogo, considerando la forza agente sul filo percorso dalla corrente di intensità i 1 come l'azione del campo magnetico generato dalla corrente di intensità i 2 che scorre nel secondo filo, si trova che il modulo dell'induzione magnetica sul primo filo è: B2 µ 0 i = 2 2π d Generalizzando il risultato, possiamo enunciare la seguente legge: Dal confronto fra queste due relazioni segue che il modulo dell'induzione magnetica generata dal primo filo sul secondo è: B1 µ 0 i = 1 2π d LEGGE DI BIOT-SAVART Il modulo B dell'induzione magnetica generata da un filo rettilineo molto lungo percorso da una corrente di intensità i in un punto a distanza r dal filo è direttamente proporzionale all'intensità di corrente e inversamente proporzionale alla distanza: B2 = µ 0 i 2π r

11 Spira circolare Il calcolo dell'induzione magnetica generata da una spira circolare percorsa da corrente è piuttosto complesso. Qui ci limitiamo a riportare l'espressione che si ottiene, nel caso di una spira circolare di raggio r, per il modulo dell'induzione magnetica in un punto sull'asse della spira a distanza z dal centro: ( r + z ) B = µ ir Come già sappiamo, il vettore B sull'asse della spira è perpendicolare al piano della spira e il suo verso dipende dal verso della corrente. Nel centro della spira, cioè per z = 0, la precedente relazione diventa: B = µ 0 i 2 r l'induzione magnetica nel centro della spira è direttamente proporzionale all'intensità di corrente e inversamente proporzionale al raggio della spira

12 5. IL FLUSSO DEL CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA In analogia con il flusso del campo elettrico, data una superficie S qualsiasi in un campo magnetico, può essere definito il flusso dell induzione magnetica B attraverso la superficie. Φ (B) = BiS = BS cos ϑ Unità di misura = weber (Wb) Tracciando le linee di forza del campo magnetico secondo il criterio di Faraday, il flusso del campo B attraverso una superficie, come il flusso del campo elettrico, è direttamente proporzionale al numero di linee di forza che attraversano la superficie. Questa ultima considerazione ci permette di enunciare una proprietà fondamentale del flusso dell'induzione magnetica. Osserviamo anzitutto che, mentre le linee di forza del campo elettrico generato da cariche ferme iniziano sulle cariche positive e terminano sulle cariche negative, le linee di forza del campo magnetico non hanno né inizio né fine, cioè sono linee chiuse, come si può verificare in tutti gli esempi finora considerati. Questa particolarità del campo magnetico è dovuta al fatto che non esistono monopoli magnetici, o meglio, finora non ne è stato osservato nessuno. Le sorgenti elementari del campo sono dunque i dipoli e, come sappiamo, ogni linea di forza che ha origine dal polo Nord di un dipolo si richiude su se stessa rientrando per il polo Sud. Poiché dunque le linee di forza del campo magnetico sono curve chiuse, comunque si tracci una superficie chiusa, il numero delle linee di forza entranti è uguale al numero di quelle uscenti. Di conseguenza il flusso netto che entra nella superficie o esce da essa è nullo. Possiamo così concludere enunciando il seguente teorema: TEOREMA DI GAUSS PER IL MAGNETISMO Il flusso del campo di induzione magnetica uscente da una superficie chiusa è sempre nullo, qualunque sia il campo magnetico e per qualunque superficie: Φ (B) = 0

13 6. LA CIRCUITAZIONE DEL CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA Un campo vettoriale è conservativo se e solo se la sua circuitazione lungo qualsiasi cammino chiuso è nulla. Se allora riusciamo a individuare un percorso lungo il quale la circuitazione dell'induzione magnetica B è diversa da zero, possiamo concludere che il campo magnetico è non conservativo. Calcoliamo dunque la circuitazione di B lungo una linea di forza del campo magnetico prodotto da un filo rettilineo molto lungo percorso da corrente. Il filo e la linea di forza, una circonferenza di raggio r con centro sul filo, sono visti in sezione; il campo magnetico è diretto in ciascun punto tangenzialmente alla linea di forza e, ha lo stesso modulo B su tutti i punti della linea. B = µ 0 i 2 r Percorriamo ora la linea nel verso del campo magnetico e suddividiamo il percorso in tanti spostamenti infinitesimi s 1, s 2... La circuitazione dell'induzione magnetica è: C(B) = B s = B( s1 + s ) La somma s 1 + s 2 + = 2πr rappresenta la lunghezza della circonferenza, per cui possiamo scrivere: C(B) = B2πr Sostituendo a B la sua espressione, si ottiene: µ 0i C(B) = 2π r=µ 0i 2πr La corrente che attraversa la superficie delimitata dalla linea chiusa lungo la quale si calcola la circuitazione di B si dice corrente concatenata con la linea. Poiché la circuitazione di un campo vettoriale lungo un certo cammino chiuso è una quantità scalare il cui segno dipende dal verso di percorrenza del cammino, per generalizzare la relazione trovata occorre attribuire un segno alla corrente concatenata i. Fissato un verso positivo di percorrenza della linea chiusa, facciamo la convenzione di assumere positiva la corrente nel caso in cui il suo verso coincida con quello del pollice della mano destra quando queste sono avvolte lungo la linea nel verso positivo; se invece il verso della corrente e quello del pollice sono opposti attribuiamo alla corrente concatenata un segno negativo.

14 Il risultato che abbiamo trovato può essere generalizzato al campo prodotto dalla corrente che scorre in un circuito di forma qualsiasi. La circuitazione dell'induzione magnetica può essere inoltre calcolata lungo qualunque linea chiusa. In ogni caso per corrente concatenata si intende quella che attraversa una qualunque superficie avente come contorno la linea lungo la quale si calcola la circuitazione. La circuitazione del campo di induzione magnetica B dipende sempre dalla corrente totale concatenata con il percorso chiuso, data dalla somma algebrica di tutte le correnti concatenate, prese ciascuna con il proprio segno. ESEMPIO - Per il percorso rappresentato in figura, sul quale è fissato come verso di percorrenza positivo quello antiorario, la corrente di intensità i 1 uscente dal foglio rappresenta una corrente concatenata positiva, mentre la corrente di intensità i 2, che ha verso entrante rappresenta una corrente concatenata negativa. Indicando con i c la corrente totale concatenata, è i c = i 1 i 2. Purché le correnti che generano il campo magnetico siano costanti nel tempo (vedremo più avanti cosa cambia quando le correnti sono variabili), il seguente teorema dovuto ad Ampère: TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE DI AMPÈRE La circuitazione dell'induzione magnetica B, calcolata lungo un percorso chiuso qualsiasi, è uguale al prodotto della permeabilità magnetica µ 0 per la corrente totale i c concatenata con il percorso: C(B) =µ 0c i IL CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA NON È UN CAMPO CONSERVATIVO.

15 7. CONFRONTO TRA CAMPO MAGNETICO E CAMPO ELETTRICO Entrambi sono campi vettoriali e, in quanto tali, possono essere rappresentati da linee di campo. Per tracciare le linee del campo elettrico si usa una carica positiva di prova, mentre per disegnare quelle del campo magnetico si esplora lo spazio con un aghetto magnetico di prova. Il fatto che esistano due poli magnetici, che si respingono se hanno lo stesso nome e si attraggono in caso contrario, rappresenta un'altra analogia tra fenomeni magnetici ed elettrici. La somiglianza, però, non va oltre, perché tra i due campi esistono differenze sostanziali. Mentre le cariche elettriche positive possono essere separate da quelle negative, è impossibile isolare i poli magnetici. Mentre un corpo può essere elettrizzato in modo da avere un eccesso di carica positiva o negativa, non esiste un corpo magnetizzato che abbia un eccesso di magnetismo «nord» oppure «sud». Possiamo elettrizzare un conduttore ponendolo a contatto con un corpo carico. Analogamente riusciamo a magnetizzare un corpo ferromagnetico ponendolo molto vicino o a contatto con un magnete. Ma mentre nel primo caso vi è un passaggio di cariche elettriche da un corpo all'altro, nel secondo caso non vi è alcun passaggio. Il campo elettrico è conservativo, il campo di induzione magnetica non è un campo conservativo.

16 8. MOMENTO TORCENTE DI UN CAMPO MAGNETICO SU UNA SPIRA PERCORSA DA CORRENTE Consideriamo una spira conduttrice rigida di forma rettangolare immersa in un campo di induzione magnetica uniforme di modulo B. La spira, avente i lati OP e QR di lunghezza a e i lati PQ e RO di lunghezza b, è percorsa da una corrente di intensità i ed è libera di ruotare intorno a un asse verticale passante per il suo centro di massa. Sui lati OP e QR il campo magnetico esercita due forze aventi uguale intensità F = i a B e dirette in versi opposti (come si può facilmente verificare applicando la regola della mano destra). Poiché le due forze agiscono lungo due rette parallele distinte, esse costituiscono una coppia, esercitano cioè un momento torcente sulla spira. Le forze agenti sui lati PQ e RO, invece, sono due vettori opposti che giacciono nel piano della spira e quindi non producono alcun effetto. Per calcolare il momento della coppia, facciamo riferimento alla seguente figura nella quale sono rappresentati la spira e il magnete visti dall'alto dove la corrente, perpendicolare al piano del foglio, esce da P ed entra in Q. Il braccio della coppia di forze è: d = bsenα Il modulo del momento torcente è perciò: M = F d = iabbsinα Poiché il prodotto a b rappresenta l'area S delimitata dalla spira, possiamo esprimere il modulo del momento anche con la relazione: M = isbsinα Questa espressione, ricavata per una spira di forma rettangolare, è valida qualunque sia la forma della spira. In generale dunque la relazione trovata esprime il momento M della coppia in forma scalare, cioè fornisce la proiezione del vettore M lungo l'asse di rotazione: tale proiezione assume valori positivi quando il momento tende a far ruotare la spira in senso antiorario e valori negativi quando tende a farla ruotare in senso orario. Osservando l'espressione, si nota che il momento torcente dipende, oltre che dall'induzione magnetica, da alcune proprietà della spira, come l'intensità i della corrente che vi scorre, la superficie S da essa delimitata e l'orientazione di tale superficie rispetto al campo magnetico. Questa considerazione suggerisce l'opportunità di introdurre un vettore chiamato momento magnetico della spira, avente modulo µ = i S, direzione perpendicolare al piano della spira e verso coincidente con quello del versore n. Il vettore M può quindi essere espresso come prodotto vettoriale fra µ e B: M = µ B

17 Galvanometro a bobina mobile Il momento torcente esercitato da un campo magnetico su una spira percorsa da corrente fa ruotare la spira intorno a un asse passante per il suo centro di massa. Questa proprietà è sfruttata in numerose applicazioni, come il galvanometro, lo strumento che costituisce la parte essenziale degli amperometri e dei voltmetri analogici. La bobina, fatta ruotare dal momento torcente esercitato dal campo magnetico, si arresta nella posizione in cui tale momento è equilibrato da quello delle forze elastiche sviluppate dalla molla collegata con la bobina. Motore elettrico a corrente continua Per effetto del momento torcente esercitato dal campo magnetico, la spira ruota verso la posizione di equilibrio e la oltrepassa a causa della velocità acquistata. Il momento torcente che agisce sulla spira cambia verso tutte le volte che la spira passa per la posizione di equilibrio: le oscillazioni, però, a causa degli attriti, si smorzano e dopo un certo tempo la spira si ferma nella sua posizione di equilibrio stabile. Per ottenere una rotazione continua, si deve evitare che il momento torcente si inverta ogni volta che la spira compie mezzo giro. Per questo bisogna che la corrente cambi verso quando la spira oltrepassa la posizione di equilibrio. Nel motore elettrico gli estremi della spira sono rigidamente fissati a un collettore, per cui un estremo della spira è a contatto con il polo positivo del generatore durante mezzo giro e con il polo negativo durante il successivo mezzo giro. Il collegamento cambia nell'istante in cui la spira supera la posizione di equilibrio; nello stesso istante cambia anche il verso della corrente. Di conseguenza il momento torcente ha sempre lo stesso verso e la spira ruota senza oscillare.

18 9. L ORIGINE DEL CAMPO MAGNETICO Può sembrare strano che oggetti esteriormente così diversi come i circuiti elettrici e i magneti generino nello spazio che li circonda lo stesso stato di cose (cioè un campo magnetico) e che subiscano gli stessi effetti da parte dello stesso campo di forze (ancora una volta il campo magnetico). Per comprendere questa strana somiglianza prendiamo in esame il fatto sperimentale che le cariche elettriche in movimento hanno un comportamento del tutto simile a quello di un circuito percorso da corrente. Per esempio, il campo magnetico generato da una calamita esercita una forza su un fascio di elettroni in un tubo a raggi catodici, proprio come se si trattasse di una corrente che ha verso opposto a quello del moto degli elettroni. Possiamo provare anche a disporre un filo elettrico in modo che sia parallelo al fascio di elettroni di un tubo a raggi catodici. Quando nel filo viene fatta scorrere una corrente elettrica con il verso che va dallo schermo del tubo al catodo, il fascio di elettroni è attratto verso il filo, come accadrebbe a una corrente elettrica che fluisce nello stesso verso di quella del filo. Se il fascio di elettroni è molto intenso e l'esperimento è condotto con grande precisione, si può osservare che anche il filo percorso da corrente è attratto verso il tubo a raggi catodici. Da tutte queste esperienze si ricava che un campo magnetico è generato da cariche elettriche in moto e che le cariche elettriche in moto sono soggette a forze dovute al campo magnetico. Ma che cosa ha a che fare un magnete con le cariche elettriche in moto? Fin da quando fu scoperto che le correnti elettriche producono effetti magnetici, Ampère suggerì che il campo magnetico generato da un magnete ha origine da una moltitudine di piccolissime correnti elettriche esistenti al suo interno. Ai tempi di Ampère si trattava solo di un'ipotesi suggestiva. Ma oggi sappiamo che la materia è costituita da cariche in moto: dentro agli atomi gli elettroni sono in continua rapida rotazione intorno ai nuclei atomici. L'idea suggerita da Ampère si è rivelata corretta. Grazie al moto degli elettroni, un atomo può essere descritto come un microscopico circuito percorso da corrente, il quale può generare nello spazio circostante un debolissimo campo magnetico.

19 Poiché gli atomi di un pezzo di ferro non magnetizzato sono orientati in tutti i modi possibili, i piccoli campi magnetici da essi generati, componendo si vettorialmente, danno una risultante nulla. Quando invece si magnetizza un pezzo di ferro, la maggior parte dei suoi atomi si orienta in una ben determinata direzione. La tendenza all'ordinamento dei campi magnetici atomici provocata da un campo magnetico esterno si chiama polarizzazione magnetica. I piccoli campi magnetici, generati da tutti gli atomi orientati (o, come si dice, polarizzati), si compongono vettorialmente, dando luogo al campo magnetico macroscopico della calamita. Possiamo concludere dicendo che: Un campo magnetico è sempre generato da cariche elettriche in movimento ed esercita forze su qualsiasi carica in movimento. Quindi le forze magnetiche sono forze che si esercitano tra cariche e cariche, entrambe in movimento rispetto all'osservatore.

20 10. IL MAGNETISMO NELLA MATERIA Consideriamo un circuito percorso da corrente posto inizialmente nel vuoto e sia B 0 l'induzione magnetica prodotta dal circuito in un punto dello spazio. Se ora riempiamo lo spazio con un mezzo materiale, sperimentalmente si verifica che nel punto considerato l'induzione B differisce da B 0 per un fattore che indichiamo con µ r : B =µ rb0 Se il mezzo è omogeneo e isotropo, cioè presenta le stesse proprietà chimico-fisiche in tutti i suoi punti e lungo tutte le direzioni, µ r non dipende dalla direzione del campo magnetico. Per molte sostanze, inoltre, si verifica che questa costante è indipendente anche dall'intensità del campo. Pertanto l espressione precedente è valida in tutti i punti in cui è presente il campo magnetico e µ r assume sempre lo stesso valore, sia dove l'induzione magnetica è più intensa, sia dove è più debole. La costante adimensionale µ r è chiamata permeabilità magnetica relativa (al vuoto) del mezzo considerato ed esprime in che modo la presenza della materia modifica il campo magnetico rispetto al vuoto. Materiali diversi sono caratterizzati da valori differenti di µ r. In base ai valori assunti da µ r i materiali possono essere raggruppati in tre classi. Si dicono diamagnetiche le sostanze la cui permeabilità magnetica relativa, indipendente dal campo magnetico e dalla temperatura, presenta un valore lievemente inferiore all'unità. Si comportano come sostanze diamagnetiche l'argento, il rame, l'acqua ecc. Si dicono paramagnetiche, le sostanze la cui permeabilità magnetica relativa è ancora indipendente dal campo magnetico ma è funzione della temperatura. Queste sostanze, come il platino, l'aria, l'alluminio sono caratterizzate da valori di µ r leggermente maggiori dell'unità. Infine esistono sostanze, come il ferro, il nichel e il cobalto, dette ferromagnetiche, per le quali µ r dipende sia dalla temperatura sia dal campo magnetico e può raggiungere ordini di grandezza da 10 3 a Abbiamo interpretato la magnetizzazione di una sostanza ferromagnetica da parte di un campo magnetico esterno come l'effetto dell'ordinamento dei circuiti microscopici presenti all'interno del materiale. Questo stesso effetto spiega come mai un oggetto di ferro, o di un altro materiale ferromagnetico, è attirato da un magnete: per fare un esempio, all'estremità dell'oggetto che avviciniamo al polo nord della calamita si forma un polo sud magnetico che è attirato da un polo nord (e lo attira a sua volta con una forza eguale e contraria). In analogia con quello che abbiamo fatto per le sostanze ferromagnetiche, interpretiamo le proprietà magnetiche dei diversi materiali come una conseguenza delle loro caratteristiche microscopiche. Questo significa che anche nelle sostanze paramagnetiche i circuiti elementari sono ordinati da un campo magnetico esterno (che indicheremo con B 0 ), in modo che essi creino campi magnetici con lo stesso verso di B 0. Questo effetto, però, è molto meno intenso di quello che si ha nelle sostanze ferromagnetiche. Nelle sostanze diamagnetiche, invece, i circuiti elementari si dispongono in modo da creare campi magnetici che hanno verso opposto a quello di B 0.

21 Le sostanze ferromagnetiche sono attirate molto intensamente da campo magnetico; le sostanze diamagnetiche vengono respinte da un campo magnetico, mentre quelle paramagnetiche sono debolmente attirate. Nel caso di un cilindro composto di una sostanza ferromagnetica l'azione complessiva di tutte le correnti microscopiche è equivalente a quella di un'unica corrente che scorre lungo la superficie esterna del cilindro. È quindi chiaro che queste correnti generano a loro volta un campo magnetico B m (campo magnetico della materia) che ha lo stesso verso di B 0. Allora: All'interno di una sostanza ferromagnetica immersa in un campo magnetico esterno B 0 si ha un campo magnetico totale B = B 0 + B m che è maggiore di B 0. Per le sostanze paramagnetiche si ha che: All'interno di una sostanza paramagnetica immersa in un campo magnetico esterno B 0 si ha un campo magnetico B m molto meno intenso di quello delle sostanze ferromagnetiche, al punto che le linee di campo della sembrano non essere influenzate dalla presenza di B m. Nelle sostanze diamagnetiche i circuiti elementari si dispongono nel verso opposto a quello di B 0, per cui il campo B m è parallelo e opposto al campo magnetico esterno B 0, per cui: All'interno di una sostanza diamagnetica immersa in un campo magnetico esterno B 0 si ha un campo magnetico totale B = B 0 + B m che è minore di B 0. Queste considerazioni sul comportamento della materia in presenza di un campo magnetico esterno B 0 ci chiariscono ancora meglio come il campo magnetico all interno della materia può essere scritto come: B =µ rb0

22 Momenti magnetici atomici e molecolari Gli atomi, e conseguentemente le molecole, possiedono un momento magnetico proprio, che interagisce con il campo magnetico modificandone l'effetto a seconda della natura della materia. Il momento magnetico degli atomi deriva dal moto degli elettroni intorno al nucleo e anche dal momento magnetico intrinseco delle particelle (elettroni, protoni e neutroni) che costituiscono l'atomo. SPIEGAZIONE - Per capire perché al moto degli elettroni atomici sia associato un momento magnetico, basta osservare che ogni particella carica in movimento dà origine a una corrente elettrica. Così, secondo un modello classico non del tutto corrispondente alla realtà fisica ma comunque efficace, un elettrone che ruota intorno al nucleo di un atomo si comporta come una microscopica spira percorsa da corrente. Indicando con e il valore assoluto della carica elettrica e con T il periodo di rotazione dell'elettrone, la spira è attraversata da una corrente di intensità i = e/t avente verso opposto al moto dell'elettrone. Detta S l'area delimitata dalla traiettoria dell'elettrone, la spira presenta un momento magnetico µ diretto come in figura e di modulo µ=i S=e S/T. Questo vettore si chiama momento magnetico orbitale dell'elettrone. Secondo la meccanica quantistica il momento magnetico orbitale di un elettrone di un atomo può assumere solo valori che siano multipli interi di un'unità µ B =9, A m 2 chiamata magnetone di Bohr. Molte particelle elementari, e fra queste l'elettrone, indipendentemente dal loro moto orbitale, hanno anche un momento magnetico intrinseco. L'esistenza di questo momento può essere spiegata in modo intuitivo con il modello dell'elettrone ruotante, proposto nel 1925 da Samuel A. Goudsmit e George E. Uhlenbeck, in base al quale un elettrone è assimilato a una sferetta carica che ruota come una trottola intorno a un asse passante per il suo centro di massa. L'elettrone possiede perciò un momento angolare detto spin (dall'inglese to spin, "ruotare") e anche un momento magnetico µ spin che risulta uguale a un magnetone di Bohr. Tuttavia lo spin trova una giustificazione rigorosa solo nell'ambito della teoria quantistica relativistica e l'immagine dell'elettrone che ruota intorno a un proprio asse non va presa alla lettera. Per ottenere il momento magnetico di un atomo si sommano vettorialmente i momenti magnetici orbitali e quelli di spin corrispondenti a tutte le particelle che costituiscono l'edificio atomico. In realtà, poiché i momenti magnetici del protone e del neutrone sono molto piccoli rispetto a quello dell'elettrone, vengono in genere trascurati. Perciò il momento magnetico di un atomo deriva dalla somma dei momenti orbitali e di spin dei suoi elettroni. Può succedere anche che i momenti magnetici dei singoli elettroni si compensino totalmente per dare un momento risultante nullo, qual è, in effetti, il momento magnetico proprio degli atomi delle sostanze diamagnetiche.

23 11. IL CICLO D ISTERESI MAGNETICA Per i materiali ferromagnetici la relazione tra B e B 0 è molto più complessa di quella vista nel paragrafo precedente per i materiali paramagnetici e diamagnetici. Per studiarla, supponiamo di avvolgere un solenoide attorno a un lungo cilindro fatto di una sostanza ferromagnetica. Questo solenoide fornisce il campo magnetico esterno B 0, la cui intensità può essere variata a piacere cambiando l'intensità della corrente i che fluisce nel solenoide stesso. I valori assunti dall'intensità del campo magnetico totale B al variare dell'intensità di B 0 sono riportati nella seguente figura: Come si vede, prima di fare fluire corrente nel solenoide sia B sia B 0 sono nulli: lo stato del magnete è rappresentato dal punto 0. Poi, al crescere di B 0 aumenta anche B, ma la curva che descrive la relazione tra di essi non è una retta (come nel caso delle sostanze diamagnetiche e paramagnetiche): B e B 0 non sono quindi direttamente proporzionali. Ciò significa che per le sostanze ferromagnetiche lo scalare µ r (che può assumere valori molto elevati) non è una costante, ma varia al variare di B 0. In principio, all'aumentare di B 0 il campo magnetico B cresce molto rapidamente. Poi il ritmo di tale crescita diminuisce e si giunge a una condizione (zona del punto a del grafico) in cui il valore di B tende a rimanere costante (valore di saturazione). Questo significa che il cilindro ha acquistato una magnetizzazione permanente: in questo modo abbiamo costruito un magnete artificiale. Ciò è possibile perché i circuiti microscopici della materia, che sono stati ordinati dal campo magnetico esterno, ora risentono degli effetti della loro interazione reciproca e molti di essi si mantengono ordinati senza che sia più necessario l'effetto di un campo magnetico esterno. Se, giunti a questo punto, riduciamo la corrente i nel solenoide in modo da far diminuire l'intensità di B 0, vediamo che il sistema magnetico non ripercorre a ritroso il comportamento precedente, come è mostrato dal tratto superiore della curva che porta una freccia da a a b. Al contrario, quando B 0 si annulla nel cilindro ferromagnetico rimane un campo magnetico residuo di intensità B r (punto b del grafico). In effetti, per eliminare questa magnetizzazione residua è necessario invertire il segno del campo esterno B 0 (cioè invertire il verso in cui scorre la corrente elettrica nel solenoide). In questo modo si giunge al punto c, in cui B è uguale a zero, ma B 0 ha un valore negativo. Facendo in modo che B 0 diminuisca ancora e poi torni a crescere si ottiene la curva di cui sopra, che prende il nome di curva di isterèsi magnetica. Si vede che questa curva non passa più dall'origine (che corrisponde allo stato in cui sia B 0 sia B sono eguali a zero). Per riportare il materiale ferromagnetico in questa condizione è necessario riscaldarlo al di sopra di una certa temperatura caratteristica della sostanza (temperatura di Curie). Al di sopra di essa ogni materiale ferromagnetico diviene paramagnetico e perde la propria magnetizzazione residua. Abbiamo visto che il campo magnetico B nel cilindro di materia nel quale è avvolto il solenoide è la somma del campo magnetico B 0 generato dal solenoide e del campo B m della materia: B = B0 + Bm È importante notare che B o è generato dalla corrente che fluisce nel solenoide, mentre le sorgenti di B m sono le correnti microscopiche introdotte per spiegare l origine del magnetismo. Introduciamo il vettore campo magnetico H che descrive il contributo al campo magnetico fornito dalla corrente nel solenoide. Si dimostrare che: Questa relazione è valida in generale per i campi B0 =µ 0H magnetici generati nel vuoto da configurazioni arbitrarie di correnti. Se lo spazio non è vuoto, ma è riempito da una sostanza con permeabilità magnetica relativa µ r si ottiene: B =µ 0µ rh =µ H dove: µ = µ r µ 0 è la permeabilità magnetica assoluta

24 Dall'entità del magnetismo residuo i materiali ferromagnetici si distinguono in magneti permanenti e magneti temporanei. Del primo tipo è l'acciaio: per eliminare la magnetizzazione da una calamita di acciaio occorre un campo smagnetizzante (forza coercitiva) molto intenso. Nei magneti temporanei, invece, il magnetismo residuo è nullo o comunque tanto piccolo da essere eliminato con un debole campo esterno. Fra i materiali ferromagnetici hanno particolare importanza le ferriti, ossidi di ferro con zinco, manganese, magnesio e nichel. Per la forma del loro ciclo di isteresi, queste sostanze hanno trovato applicazione come memorie magnetiche. Come illustrato in figura, una corrente di opportuna intensità, a seconda del verso in cui scorre lungo l'asse di un anello di ferrite (nucleo), può magnetizzare il materiale in un verso o nell'altro. Al cessare della corrente il nucleo rimane nello stato con induzione magnetica B r o in quello con induzione magnetica B r. Esso "ricorda" in tal modo il verso della corrente e, per l'elevata intensità del magnetismo residuo, l'informazione immagazzinata viene conservata definitivamente. Ai due stati di magnetizzazione residua possiamo far corrispondere i due valori binari 0 e 1. I nuclei di ferrite immagazzinano così le informazioni sotto forma di bit e le conservano per quanto tempo si desidera, praticamente fino a quando correnti di verso contrario a quelle che li hanno magnetizzati faranno cambiare i loro stati di magnetizzazione. Il magnetismo residuo dei materiali ferromagnetici può essere, tuttavia, per certe applicazioni, una proprietà indesiderata. Per realizzare ad esempio un elettromagnete, dispositivo capace di produrre, con tempi rapidi di accensione e spegnimento, un intenso campo magnetico, si fa uso di un nucleo di ferro dolce, cioè un ferro piuttosto puro caratterizzato da un magnetismo residuo praticamente nullo, inserito fra le spire di un solenoide. Un'applicazione dell'elettromagnete si ha nel relè elettromagnetico, dispositivo utilizzato per l'apertura o la chiusura automatica di un circuito elettrico. Posto nelle vicinanze di un interruttore, realizzato mediante una barretta di ferro (detta àncora) trattenuta da una molla, il nucleo dell'elettromagnete attira la barretta solo quando l'avvolgimento è percorso da corrente. In questo modo, a seconda di come l interruttore è inserito nel circuito, si può far aprire o chiudere il contatto elettrico.