Ilaria Rebella - IC Savona 4 Gruppo di Ricerca in Didattica della Matematica DIMA-UNIGE

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1 Ilaria Rebella - IC Savona 4 Gruppo di Ricerca in Didattica della Matematica DIMA-UNIGE

2 COSA VEDREMO Strutture additive Strutture moltiplicative Problemi statici e problemi dinamici I sensi del numero Esempi nei libri di testo Esempi dalla pratica quotidiana Esempi nelle prove Invalsi

3 Osservazione di fenomeni della natura Artefatti di uso quotidiano Argomentazione

4 Confronta... con... Giustifica la tua risposta Spiega perché Spiega come hai fatto a Situazioni problematiche reali ARGOMENTAZIONE Riflessione sul modello matematico Formulazione e confronto di ipotesi Verbalizzazione di procedimenti e strategie Confronto di strategie Confronto di testi

5 DA PROBLEMA A PROBLEMA ARGOMENTATIVO Martina ha pagato 3 centesimi così: Roberta invece ha pagato così: 1 2 Secondo te chi ha pagato in modo corretto? Perché?

6 CALENDARIO Oggi è il 9 febbraio. Fra 6 giorni sarà il compleanno di Giulia. Sai dirmi che giorno sarà? Spiega il tuo ragionamento. Lunedì è il 20 febbraio. La maestra dice che fra una settimana ci sarà la consegna della scheda di valutazione. Matteo pensa che sarà il giorno 27 febbraio. Sei d accordo con Matteo? Perché? Oggi è il 4 aprile. Il 13 aprile prepareremo la pasta di sale. Secondo Valentina mancano ancora 9 giorni, invece secondo Ivan mancano 10 giorni. Chi ha ragione e perché?

7 L ARGOMENTAZIONE NELLE PROVE INVALSI

8 L ARGOMENTAZIONE NELLE PROVE INVALSI

9 L ARGOMENTAZIONE NELLE PROVE INVALSI NO, PERCHÉ Ma il risultato non è stato 110 ma è stato 112 quindi non ce farà a finire in tempo il libro. SÌ, PERCHÉ 214+8=222 ma si ferma a duecentoventi 6-8=-2 finisce con due pagine in meno da leggere

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11 Le strutture additive Problemi di addizione Problemi di sottrazione

12 Le strutture additive Problemi di addizione Problemi di sottrazione

13 Quale struttura? Provate a proporre: 1 Problema di addizione 1 Problema di sottrazione

14 Quale struttura? PROPOSTE Problemi di addizione: METTERE INSIEME: AGGIUNGERE: Problemi di sottrazione: QUANTO RESTA: QUANTO MANCA: (altro):

15 Le strutture additive Problemi di addizione problemi il cui "senso" è "mettere insieme più quantità e trovare quanto è in tutto (SENSO STATICO) problemi il cui "senso" è "aggiungere qualcosa a quanto c'è già, per trovare a quanto si arriva (SENSO DINAMICO) (a...)

16 Le strutture additive Problemi di addizione problemi il cui "senso" è "mettere insieme entità compresenti, e trovare quanto è in tutto (SENSO STATICO) problemi il cui "senso" è "aggiungere qualcosa a quanto c'è già, per trovare a quanto si arriva (SENSO DINAMICO) (a...)

17 PROPOSTE DIVERSE IN CHE SENSO? METTERE INSIEME: Marta ha una striscia di carta lunga 5 cm, Luca ne ha una lunga 3 cm. Se le uniscono quanto sarà lunga la striscia ottenuta? AGGIUNGERE: Oggi è il 21 aprile. Fra 8 giorni sarà il compleanno di Leo. In che giorno compie gli anni Leo? Che differenza c è con i problemi precedenti?

18 Cosa ci serve ricordare il senso del numero Cardinalità quanti oggetti ci sono in un insieme Ordinalità Misura/ valore Etichetta numeri per mettere in ordine oggetti, tempi, situazioni a partire dal "contare per contare misura nel senso della fisica (numero di volte in cui un unità di misura fissata è contenuta fisicamente in una grandezza data) e valore (valutazione convenzionale in cui non esiste una "contenenza" fisica dell'unità di misura nell'oggetto misurato). Ad esempio una moneta da 1 euro in termini fisici non è la metà di quella da 2 euro, ma ha un attribuzione convenzionale di valore pari alla metà. numero usato per individuare un oggetto, una persona

19 I sensi del numero Esempi Cardinalità Ordinalità Misura/valore Etichetta Marta ha 3 biglie, ne vince altre 2. Quante biglie ha ora in tutto? Al gioco dell oca Luca è alla casella 3. Lancia i dadi e ottiene 2. A quale casella arriva? Stamattina ho percorso in bicicletta 3 chilometri, oggi pomeriggio ne percorrerò altri 2. Quanti chilometri avrò percorso a fine giornata? Posiziona la tua pedina sulla casella numero 15

20 Quale struttura nei problemi di sottrazione? QUANTO RESTA: Luigi ha 9 quaderni, ne regala 3 a Sara. Quanti quaderni gli restano? QUANTO MANCA: Oggi ci sono 14 gradi. Quanto manca per arrivare a 20 gradi? ALTRE PROPOSTE?

21 Strutture additive Problemi di sottrazione Con il calcolo scritto in colonna (o la calcolatrice), l'unica struttura del calcolo per tutti i problemi di questo tipo è: A - B= Con il calcolo a mente, i valori numerici in gioco e le caratteristiche individuali influenzano la scelta delle strutture del calcolo.

22 Ci sono diverse categorie di problemi di sottrazione, secondo la domanda che ci si pone.

23 A) quanto manca? A + = C

24 B) quanto resta? A B =

25 B) qual è il resto? A B = (B + = A)

26 C) quale differenza? A B =

27 D) quale aumento? A + = C

28 E) quale diminuzione? A - = C

29 F)? Francesca oggi ha perso 6 figurine e ora gliene sono rimaste solo 4, quante ne aveva prima?

30 Le strutture additive Problemi di sottrazione Francesca oggi ha perso 6 figurine e ora gliene sono rimaste solo 4, quante ne aveva prima? = 4 ( 4)

31 Problemi di sottrazione + A) quanto manca? a+...=c ( a c) B) quanto resta? a-b= (a - b ) C) quale differenza? a-b=... + D) quale aumento? a+...=c (a c) E) quale diminuzione? a-...=c (a - c) F) quale stato iniziale? -b=c ( - b c)

32 Problemi di sottrazione a + b = a + =c + b =c a b = a -... =c - b =c quanto in totale? quanto manca? quale aumento? quale stato iniziale? quanto resta? quale differenza? quale diminuzione? quale stato iniziale?

33 A+B= NELLA VERSIONE STATICA: METTERE INSIEME Gianni ha 6 biglie, Luca ne ha 3, quante biglie hanno in tutto? NELLA VERSIONE DINAMICA (A ) Gianni aveva 6 figurine, ne ha guadagnate 3, quante ne ha ora? + B AGGIUNGERE

34 A+ =C NELLA VERSIONE STATICA: QUANTE IN PIÙ? Daniele ha 6 biglie, Stefano ne ha 9, quante biglie ha Stefano più di Daniele? + NELLA VERSIONE DINAMICA (A C) Lucia aveva 6 figurine, ora ne ha 9, quante ne ha guadagnate? QUALE AUMENTO?

35 +B=C NELLA VERSIONE STATICA: Luca e Giacomo insieme hanno 9 biglie. Giacomo ne ha 3, Quante biglie ha Luca? NELLA VERSIONE DINAMICA ( + B C) Rispetto a ieri, la temperatura è aumentata di 3 gradi, e ora è di 9 gradi. Quale era la temperatura di ieri?

36 A-B= NELLA VERSIONE STATICA: DIFFERENZA? Daniele ha 6 biglie, Stefano ne ha 9, quante biglie ci sono di differenza? NELLA VERSIONE DINAMICA (A - B )? Daniele ha 9 biglie, ne perde 6. Quante biglie gli restano?

37 A- =C NELLA VERSIONE STATICA: Luca ha 9 figurine, Stefano ne ha 6, quante figurine? ha Stefano in meno di Luca? - NELLA VERSIONE DINAMICA (A C) Luca aveva 9 figurine, ora ne ha 6, quante ne ha? perse? La temperatura era di 9 gradi, ora è di 6 gradi, di quanto è diminuita?

38 -B=C NELLA VERSIONE STATICA: Marta ha 3 anni in meno di Lucia. Quanti anni ha Lucia se Marta ha 6 anni? + B NELLA VERSIONE DINAMICA ( C) Quale era la temperatura di ieri sera, sapendo che è diminuita di 3 gradi e ora è di 6 gradi?

39 Una parte dei "problemi di sottrazione" può essere ricondotta a "problemi di differenza A-B= "quanto manca per arrivare da A a B "quale aumento c'è stato tra A e B "quale diminuzione c'è stata tra A e B possono essere pensati come "quale differenza tra A e B"

40 È difficile (perché innaturale) ricondurre a problemi di differenza i problemi del tipo: "quale stato finale? (se conosco lo stato iniziale e la diminuzione) A - B "quale stato iniziale? (se conosco l'aumento A e lo stato finale) + B Differenza tra una trasformazione e uno stato. C

41 Alcune considerazioni - rispettare (nell'avvio degli allievi a risolvere tali problemi, a partire dalla metà della classe I) i tempi necessari di apprendimento; - familiarizzare gradualmente gli allievi con le diverse strutture delle situazioni dare spazio alle strategie di calcolo mentale, valorizzandone la diversità attraverso il confronto di strategie in classe;

42 Alcune considerazioni aiutare (rispettando i tempi di apprendimento) il riconoscimento della differenza tra A e B come modo di pensare "statico" unificante per i soli problemi del tipo: "quale aumento", cioè A+...=B, "quale diminuzione" cioè A-...=B; rinviare l'insegnamento della tecnica di calcolo scritto della sottrazione perché devia l'attenzione sul "meno" e sulla struttura A-B=..., a scapito di una piena interiorizzazione delle altre strutture, se ad esse non è stato riservato un tempo adeguato; evitare l'instaurarsi di comportamenti stereotipati legati a parole-chiave.

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44 QUALE STRUTTURA? A QUALI SENSI DEL NUMERO? + B ORDINALITÀ/MISURA

45 QUALE STRUTTURA? A + = C QUALI SENSI DEL NUMERO? CARDINALITÀ

46 A + = C QUALE STRUTTURA? QUALI SENSI DEL NUMERO? MISURA

47 QUALE STRUTTURA? QUALI SENSI DEL NUMERO? A + B = e A B = MISURA/VALORE

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49 + B QUALE STRUTTURA? A QUALI SENSI DEL NUMERO? ETICHETTA E ORDINALITÀ

50 QUALE STRUTTURA? QUALI SENSI DEL NUMERO?

51 QUALE STRUTTURA? QUALI SENSI DEL NUMERO?

52 QUALE STRUTTURA? QUALI SENSI DEL NUMERO?

53 QUALE STRUTTURA? QUALI SENSI DEL NUMERO?

54 QUALE STRUTTURA? QUALI SENSI DEL NUMERO?

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56 ALL INIZIO È MEGLIO ESSERE DINAMICI! QUANTO MANCA?

57 QUANTO MANCA?

58 QUANTO MANCA?

59 SEMBRA UGUALE MA QUALE AUMENTO?

60 RENDIAMOLO ARGOMENTATIVO! SPIEGA COME HAI FATTO A DIRE CHE IL LIQUIDO BLU È SALITO DI 13:

61 RENDIAMOLO ARGOMENTATIVO! SPIEGA COME HAI FATTO A DIRE CHE IL LIQUIDO BLU È SALITO DI 13:

62 Quale resto?

63 COMPOSIZIONE DI PREZZI: COME HAI FORMATO 3? 3 = = 2 + 1

64 DA PROBLEMA A PROBLEMA ARGOMENTATIVO Roberta ha pagato giusto perché ce ne aveva di meno di soldi ma se tu non le hai dato il resto vuol dire che andava bene perché lei ha guardato il prezzo e ti ha dato tre anche se erano due monete. Tutte e due perché Roberta ha messo una monetina da 2 e una monetina da 1 e fa 3 perché 2 più 1 fa tre. Anche Martina ha fatto giusto perché ha messo 1, 1 e 1 e se conti ti viene fuori 3 centesimi. Martina ha pagato 3 centesimi così: Roberta invece ha pagato così: 1 2 Secondo te chi ha pagato in modo corretto? Perché?

65 Porta esempi di problemi tratti dal libro di testo o dalla tua pratica quotidiana. Puoi provare a classificarli tenendo conto delle sei strutture dei problemi di addizione e sottrazione, dei "sensi del numero" e di staticitàdinamicità. rebella.ilaria@gmail.com

66 COSA VEDREMO NEI PROSSIMI INCONTRI Strutture additive Strutture moltiplicative Problemi statici e problemi dinamici I sensi del numero Esempi nei libri di testo Esempi dalla pratica quotidiana Esempi nelle prove Invalsi

67 Buon lavoro!